Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ MAI

DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG
VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ MAI

DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG
VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1

Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương

4

1.1

Dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy .

8

1.1.2

Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng . 13

2

1.2

Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto . . . . . . . 14

1.3

Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto . . . 24

Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương

27

2.1

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu . . . . . . . . . . 27

2.2

Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu . . . . . . . . 32

2.3

Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu . . . . . 33

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

36


1

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu,
Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình, thầy
đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa

Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,
cùng toàn thể các cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K7Y đã nhiệt tình
giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp
luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015
Tác giả

Lê Thị Mai


2

Mở đầu
Khái niệm dưới vi phân suy rộng không lồi của Jeyakumar – Luc ra đời
năm 1999. Đây là một tổng quát hóa các khái niệm dưới vi phân của Clarke,
Michel – Penot, Mordukhovich, Clarke-Rockafellar, . . . Các điều kiện tối ưu
dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng mạnh hơn các điều kiện tối ưu dưới
ngôn ngữ một số loại dưới vi phân trong một số trường hợp, chẳng hạn cho
bài toán với các hàm Lipschitz địa phương. Điều kiện cần Fritz John cho cực
tiểu yếu bài toán tối ưu đa mục tiêu trong không gian hữu hạn chiều với các
hàm liên tục được D. T. Luc ([6]) thiết lập. Dutta - Chandra ([2]) dẫn điều
kiện cần cho cực tiểu yếu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng bán chính
quy trên cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức. D. V. Luu ([7,8]) dẫn các
điều kiện cần cho cựu tiểu yếu và cựu tiểu Pareto của bài toán tối ưu đa mục
tiêu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không
gian Banach qua dưới vi phân suy rộng. Đây là đề tài được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tôi chọn đề tài: “Dưới vi phân suy rộng

và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu”.
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện cần cho cực tiểu
Pareto địa phương và cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu
có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian
Banach dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng của Đỗ Văn Lưu đăng trên tạp
chí Optimizaton, vol 63 (2014), No3, 321-335.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài


3
liệu tham khảo
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng
bao gồm dưới vi phân suy rộng trên, dưới vi phân suy rộng dưới, dưới vi
phân suy rộng bán chính quy và dưới vi phân suy rộng chính quy, các quy
tắc tính và định lí giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng. Chương 1
cũng trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương
và điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto của bài
toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành
phần của hàm mục tiêu.
Chương 2 trình bày về điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương bao
gồm các điều kiện cần Fritz John và Kuhn-Tucker cho cực tiểu yếu địa
phương qua dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên và điều kiện cần Kuhn
- Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương với các nhân tử Lagrange dương
ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu.
Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng
với trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các
anh chị đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn.
Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015
Tác giả

Lê Thị Mai


4

Chương 1

Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu
Pareto địa phương
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng
của V. Jeyakumar và D. T. Luc [5], J. Dutta và S. Chandra [2], và các điều
kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của D. V. Luu [7]
dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng.

1.1

Dưới vi phân suy rộng

Giả sử X là một không gian Banach và f : X → R là hàm giá trị thực
mở rộng, trong đó R := R ∪ {∞}. Không gian đối ngẫu của X được kí hiệu
bởi X ∗ và trang bị với tôpô yếu∗ . Bao lồi và bao lồi đóng của tập A trong
X ∗ được kí hiệu tương ứng bởi co(A) và co(A). Giả sử x ∈ X tại đó f là
hữu hạn. Đạo hàm theo phương Dini dưới và trên của f tại x theo phương v
được định nghĩa tương ứng bởi
f − (x, v) := lim inf

f (x + tv) − f (x)
,
t

f + (x, v) := lim sup

f (x + tv) − f (xt)
.
t

t↓0

t↓0

Định nghĩa 1.1.


5
Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ f (x) tại
x nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≤

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Định nghĩa 1.2.
Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng dưới ∂∗ f (x) tại
x nếu ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) ≥

inf

x∗ ∈∂

x∗ , v .

∗ f (x)

Định nghĩa 1.3.
Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x
nếu nó đồng thời là dưới vi phân suy rộng dưới và trên của hàm f tại x
Điều này có nghĩa là với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≤

sup

x∗ , v ,

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

f + (x, v) ≥

inf

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v .

Điều đó tương ứng với điều kiện: với mỗi v ∈ X,
max f − (x, v) , −f + (x, −v) ≤ s v | ∂ ∗ f (x) ,

trong đó
s (v | C) := sup x∗ , v
x∗ ∈C

là hàm tựa của tập đóng yếu∗ C ⊂ X ∗ .
Chú ý rằng dưới vi phân suy rộng không nhất thiết phải là lồi hoặc compắc yếu∗ . Sự mở rộng này cho phép ta áp dụng được cho một lớp rộng hàm
liên tục không trơn.


6
Ví dụ 1.1.
Hàm f : R → R xác định bởi

 √x,
nếu x ≥ 0,
f (x) =
 −√−x, nếu x < 0
có dưới vi phân suy rộng không compắc tại 0 có dạng [α, ∞) với α ∈ R.
Ví dụ 1.2.
Hàm f : R → R xác định bởi
f (x) = −|x|
có dưới vi phân suy rộng không lồi tại 0 là ∂ ∗ f (0) = {1, −1}.
Giả sử f : X −→ R là hữu hạn tại điểm x ∈ X. Nếu f là nửa liên tục
dưới tại x thì dưới đạo hàm trên Clarke - Rockafellar của f tại x theo phương
v được định nghĩa bởi
f x + tv − f x
,
t
v →v

f ↑ (x, v) = lim sup inf
x →f x
t↓0

trong đó x →f x có nghĩa là x → x và f (x ) → f (x).
Nếu f là nửa liên tục trên tại x thì dưới đạo hàm dưới Clarke - Rockafellar
của f tại x với phương v được định nghĩa bởi
f (x + tv ) − f (x )
.
t
v →v

f ↓ (x, v) = lim inf sup
x →f x
t↓0

Nếu f liên tục tại x thì x →f x trong định nghĩa của các dưới đạo hàm dưới
và trên có thể viết đơn giản là x → x. Các dưới vi phân suy rộng trên và
dưới của f tại x được cho bởi công thức:
∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X ,


7
∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≥ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X .
Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ thì ∂ ↑ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của
X ∗ và với mỗi v ∈ X,
f ↑ (x, v) =

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ↑ f (x)

Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ thì ∂ ↓ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng
của X ∗ và với mỗi v ∈ X,
f ↓ (x, v) =

inf

x∗ ∈∂ ↓ f (x)

x∗ , v .

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì
f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) ,
f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) ,
trong đó
f ◦ (x, v) = lim sup
x →x

f (x + tv) − f (x )
,
t

t↓0

f◦ (x, v) = lim inf
x →x

f (x + tv) − f (x )
,
t

t↓0

là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của f tại x theo v.
Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi
∂ ◦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ◦ (x, v), ∀v ∈ X .
Hơn nữa,
f ◦ (x, v) = ∗ max
◦

x∗ , v ,

f◦ (x, v) =

x∗ , v .

x ∈∂ f (x)

min

x∗ ∈∂ ◦ f (x)

Vì vậy, nếu f Lipschitz địa phương tại x thì ∂ ◦ f (x) là dưới vi phân suy rộng
của f tại x, bởi vì
f − (x, v) ≤ f ◦ (x, v) và f + (x, v) ≥ f◦ (x, v), với mỗi v ∈ X.

8

1.1.1

Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy

Định nghĩa 1.4.
Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên
∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ , với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) =

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Định nghĩa 1.5.
Hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới ∂∗ f (x) ⊂ X ∗
tại x nếu ∂∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) =

inf

x∗ ∈∂∗ f (x)

x∗ , v .

Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại x là dưới
vi phân suy rộng của f tại x.

Định nghĩa 1.6.
Hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên
∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) ≤ sup

ξ, v

(∀v ∈ X).

ξ∈∂ ∗ f (x)

Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa tính khả vi và tính chính quy.
Mệnh đề 1.1.
Hàm f : X → R khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu f là khả vi theo
phương tại x0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới tại
x0


9
Chứng minh.
Nếu f là một khả vi Gâteaux tại x0 , thì f khả vi theo phương và đạo hàm
Gâteaux {f (x0 )} là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới của
f tại x0 .
Ngược lại, nếu f là khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂ ∗ f (x0 ) là một dưới
vi phân suy rộng chính quy trên và dưới, thì với mỗi v ∈ X,
f (x0 , v) = f − (x0 , v) =
= f + (x0 , v) =

inf

x∗ , v

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂∗ f (x)

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do đó, ∂ ∗ f (x0 ) là một tập điểm và f khả vi Gâteaux tại x0 .

1.1.2

Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng

Mệnh đề 1.2.
Giả sử hàm f : X → R có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x ∈ X. Nếu
f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂ ∗ f (x)).
Chứng minh.
Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≥ 0.
Như vậy,
x∗ , v ≥ 0,

sup
x∗ ∈∂ ∗ f (x)

bởi vì ∂ ∗ f (x) là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x. Ta định nghĩa hàm

φ : X → R như sau
φ(v) =

sup
x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v ,


10
là hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới. Do đó từ giải tích lồi ta suy ra, với
mỗi v ∈ X,
nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂φ(0),

φ(v) ≥ 0,
trong đó

∂φ(0) = co(∂ ∗ f (x)).
Mặt khác, nếu f đạt cực đại tại x thì với mỗi v ∈ X,
inf

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v ≤ f + (x, v) ≤ 0.

Như vậy, với mỗi v ∈ X,
sup

x∗ , v ≥ 0.

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do đó ta có điều cần chứng minh.
Quy tắc 1.1.1.
Giả sử ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và
dưới của f tại x. Nếu λ > 0 thì λ∂ ∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên
của λf tại x. Nếu λ < 0 thì λ∂∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên của
λf tại x.
Chứng minh. Điều này suy ra từ định nghĩa
Quy tắc 1.1.2.
Giả thiết rằng các hàm f, g : X → R nhận ∂ ∗ f (x) và ∂ ∗ g(x) tương ứng
là các dưới vi phân suy rộng trên tại x và một trong các dưới vi phân suy
rộng là chính quy trên tại x. Khi đó ∂ ∗ f (x) + ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy
rộng trên của f + g tại x.
Chứng minh.


11
Giả sử ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x. Khi
đó, với mỗi v ∈ X,
(f + g)− (x, v) ≤ f − (x, v) + g + (x, v)
≤

sup

x∗ , v +

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

sup

y∗, v .

y ∗ ∈∂ ∗ g(x)

Do đó, với mỗi v ∈ X,
(f + g)− (x, v) ≤

sup

z∗, v .

z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+∂ ∗ g(x)

Vì vậy ta có kết luận cần chứng minh.
Quy tắc sau đây cho ta một kết quả mạnh hơn quy tắc trước nhưng với
điều kiện khả vi.
Quy tắc 1.1.3.
Nếu f : X → R có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂ ∗ f (x) tại x và
g : X → R khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm g (x) thì ∂ ∗ f (x) + {g (x)} là
dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f + g tại x.
Chứng minh.
Điều đó suy ra từ các đẳng thức sau:
(f + g)+ (x, v) = f + (x, v) + g (x), v
=

sup

x∗ , v + g (x), v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do đó, với mỗi v ∈ X,
(f + g)+ (x, v) =

sup
z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+{g (x)}

z∗, v .


12
Cho I = {1, 2}, x0 ∈ X và với mỗi i ∈ I, giả sử fi : X → R là một
hàm liên tục. Hàm h : X → R xác định bởi
h(x) = max{f1 (x), f2 (x)}.
Đặt
I(x0 ) = {i ∈ I : h(x0 ) = fi (x0 )}.
Quy tắc 1.1.4.
Với mỗi i ∈ I, nếu fi có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ fi (x0 ) tại x0 thì
∂ ∗ h(x0 ) :=

∂ ∗ fi (x0 )
i∈I(x0 )

là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 .
Chứng minh.
Nếu f1 (x0 ) > f2 (x0 ) thì I(x0 ) = {1} và h(x) = f1 (x) với mỗi x trong
lân cận của x0 . Do đó,
h− (x0 , v) = f − (x0 , v) ≤

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f1 (x)

Như vậy,
∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f1 (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 .
Tương tự, nếu f1 (x0 ) < f2 (x0 ) thì
∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f2 (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Bây giờ giả thiết rằng
f1 (x0 ) = f2 (x0 ). Khi đó,
h(x0 ) = f1 (x0 ) = f2 (x0 ),


13
và với mỗi v ∈ X,
h− (x0 , v)
max f1 (x0 + tv), f2 (x0 + tv) − h(x0 )
t↓0
t
f1 (x0 + tv) − f1 (x0 ) f2 (x0 + tv) − f2 (x0 )
,
= lim inf max
t↓0
t
t
f2 (x0 + tv) − f2 (x0 )
f1 (x0 + tv) − f1 (x0 )

, lim inf
= max lim inf
t↓0
t↓0
t
t

= lim inf

≤

x∗ , v .

sup
x∗ ∈ ∂ ∗ f1 (x0 )∪∂ ∗ f2 (x0 )

Do đó, ∂ ∗ f1 (x0 ) ∪ ∂ ∗ f2 (x0 ) là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 .

1.1.3

Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng

Định lí 1.1.
Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm sao cho thu hẹp f |[a,b] là
hữu hạn và liên tục. Giả thiết rằng với mỗi x ∈ (a, b), ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x)
tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f . Khi đó, tồn tại
c ∈ (a, b) và một dãy {x∗k } ⊂ co(∂ ∗ f (c)) ∪ co(∂∗ f (c)) sao cho
f (b) − f (a) = lim x∗k , b − a .
k→∞

Chứng minh.
Xét hàm g : [0, 1] → R bởi
g(t) := f a + t(b − a) − f (a) + t f (a) − f (b) .
Khi đó, g liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0. Như vậy, tồn tại γ ∈ (0, 1)
sao cho g đạt cực trị tại γ. Đặt
c = γb + (1 − γ)a.


14
Giả sử g đạt cực tiểu tại γ. Khi đó, điều kiện cần để γ là cực tiểu là: Với mỗi
v ∈ R,
g − (γ, v) ≥ 0.
Bởi vì
g − (γ, v) = f − c, v(b − a) + v f (a) − f (b) , với mọi v ∈ R,
ta có
f − c, v(b − a) ≥ v f (b) − f (a) .
Khi đó, bằng cách đặt v = 1 và v = −1, ta có các bất đẳng thức sau:
−f − (c, a − b) ≤ f (b) − f (a) ≤ f − (c, b − a).
Bởi vì ∂ ∗ f (c) là một dưới vi phân suy rộng trên của f tại c, ta nhận được
inf

z ∗ ∈∂ ∗ f (c)

z ∗ , b − a ≤ f (b) − f (a) ≤

sup

z∗, b − a .

z ∗ ∈∂ ∗ f (c)

Khi đó, từ bất đẳng thức trên suy ra tồn tại dãy {x∗k } ⊂ co(∂ ∗ f (c)) thỏa mãn
f (b) − f (a) = lim x∗k , b − a .
k→∞

Mặt khác, nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận
được kết luận của định lí.

1.2

Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto

Giả sử f, g, h tương ứng là các ánh xạ từ không gian Banach X vào
Rm , Rn , Rl và C là một tập con của X. Khi đó f, g, h có dạng: f =
(f1 , ..., fm ), g = (g1 , ..., gn ), h = (h1 , ..., hl ), trong đó f1 , ..., fm , g1 , ..., gn ,
h1 , ..., hl là các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên X. Để đơn giản, ta


15
đặt: I = {1, ..., n}, J = {1, ..., m} và L = {1, ..., l}. Ta xét bài toán tối ưu
đa mục tiêu sau đây:
min f (x)
(M P )

gi (x) ≤ 0,

i ∈ I,

hj (x) = 0,

j ∈ L,

x∈C
Kí hiệu M là miền chấp nhận được của bài toán (MP)
M = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ L},
và I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} .
Định nghĩa 1.7.
Điểm x ∈ M được gọi là cực tiểu Pareto (cực tiểu yếu) địa phương của
bài toán (MP) nếu tồn tại số δ > 0 sao cho không tồn tại x ∈ M ∩ B (x; δ)
thỏa mãn
fk (x) ≤ fk (x)

(∀k ∈ J),

fs (x) < fs (x)

với một s ∈ J,

(tương ứng fk (x) < fk (x)

∀k ∈ J),

trong đó B(x; δ) kí hiệu là hình cầu mở tâm x bán kính δ.
Nhắc lại: Nón tiếp liên của tập C ⊂ X tại x ∈ C được định nghĩa như sau:
K(C, x) = v ∈ X : ∃vn → v, ∃tn ↓ 0 sao cho
x + tn vn ∈ C, ∀n .
Nón các phương tuyến tính dãy của C tại x ∈ C được định nghĩa bởi:
Z(C, x) = v ∈ X : ∃tn ↓ 0 sao cho x + tn v ∈ C, ∀n .

16
Chú ý rằng cả hai nón này đều khác ∅ và
Z(C, x) ⊂ K(C, x).
Với tập A ⊂ X nón cực của A được xác định bởi
A0 = ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ 0, ∀v ∈ A .
Với x ∈ X và s ∈ J, ta đặt
Qs (x) = x ∈ C :fk (x) ≤ fk (x) (∀k ∈ J, k = s),
gi (x) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hj (x) = 0 (∀j ∈ L) .
Nếu hj là khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L, ta đặt
C(Qs (x); x) = v ∈ Z(C; x) : fk− (x; v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k = s),
gi− (x; v) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hj (x; v) = 0 (∀j ∈ L) .
Trước hết chỉ ra mối quan hệ giữa Z (Qs (x) ; x) và C (Qs (x) ; x) .
Mệnh đề 1.3.
Giả sử x ∈ M và hj khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L. Khi đó, với s ∈ J,
Z (Qs (x) ; x) ⊂ C (Qs (x) ; x) .

(1.1)

Chứng minh.
Với v ∈ Z(Qs (x); x), tồn tại tn ↓ 0 sao cho x + tn v ∈ Qs (x). Do đó,
x + tn v ∈ C, và
fk (x + tn v) ≤ fk (x) ,

(∀k ∈ J, k = s),

gi (x + tn v) ≤ 0 = gi (x) , (∀i ∈ I(x)),
hj (x + tn v) = 0,

(∀k ∈ J).

17

Vì vậy, v ∈ Z(C; x) và
fk (x + tn v) − fk (x)
≤ 0, (∀k ∈ J, k = s) ,
n→+∞
tn
gi (x + tn v) − gi (x)
gi− (x; v) ≤ lim inf
≤ 0, (∀i ∈ I(x)),
n→+∞
tn
hj (x + tn v) − hj (x)
hj (x; v) = lim
= 0, (∀k ∈ J).
n→+∞
tn

fk− (x; v) ≤ lim inf

Do đó, v ∈ C (Qs (x) ; x) và ta suy ra điều phải chứng minh.
Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương
của bài toán (MP), ta đưa vào điều kiện chính quy Abadie (CQ1) sau đây:
C(Qs (x); x) ⊂ Z(Qs (x); x).

(1.2)

Một điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương của (MP) có thể được
phát biểu như sau:

Định lí 1.2.
Giả sử x là một tiểu Pareto địa phương của (MP) và T là nón con lồi
đóng khác rỗng tùy ý của Z(C; x) với đỉnh tại gốc. Giả thiết rằng điều kiện
chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J nào đó và hàm hj là khả vi Dini tại x với
mọi j ∈ L, hàm gi là liên tục tại x với mọi i ∈
/ I(x). Khi đó, hệ sau đây
không có nghiệm v ∈ T :
fs+ (x; v) < 0,

(1.3)

fk− (x; v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k = s),

(1.4)

gi− (x; v) ≤ 0 (∀i ∈ I (x)) ,

(1.5)

hj (x; v) = 0 (∀j ∈ L).

(1.6)


18
Chứng minh.
Giả sử ngược lại, giả sử tồn tại v0 ∈ T thỏa mãn (1.3)-(1.6). Khi đó,
v0 ∈ C(Qs (x); x) và vì vậy v0 ∈ Z(Qs (x); x) bởi vì (CQ1) đúng. Do đó, tồn
tại một dãy tn ↓ 0 sao cho x + tn v0 ∈ Qs (x). Vì vậy, x + tn v0 ∈ C và
fk (x + tn v0 ) ≤ fk (x) (∀k ∈ J, k = s),

gi (x + tn v0 ) ≤ 0

(∀i ∈ I(x)),

hj (x + tn v0 ) = 0

(∀i ∈ L).

Với i ∈
/ I(x) có gi (x) < 0. Do tính liên tục của gi (i ∈
/ I(x)), tồn tại một số
tự nhiên N sao cho với mọi n ≥ N, gi (x + tn v0 ) ≤ 0, (∀i ∈
/ I(x)). Vì vậy
với mọi n ≥ N ,
gi (x + tn v0 ) ≤ 0 (∀i ∈ I).
Bởi vì x là một cực tiểu Pareto địa phương của (MP), suy ra với mọi n ≥ N ,
fs (x + tn v0 ) ≥ fs (x),
Điều này dẫn đến
fs+ (x; v0 ) ≥ lim sup
n→+∞

fs (x + tn v0 ) − fs (x)
≥ 0.
tn

Nhưng điều đó lại mâu thuẫn với (1.3). Ta có điều phải chứng minh.
Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP), ta đưa vào
giả thiết sau.
Giả thiết 1.1.
Tồn tại chỉ số s ∈ J sao cho hàm fs có một dưới vi phân suy rộng bán

chính quy trên bị chặn khác rỗng ∂ ∗ fs (x) tại x, với mọi k ∈ J, k = s,
và i ∈ I(x), các hàm fk và gi có dưới vi phân suy rộng trên tương ứng
là ∂ ∗ fk (x) và ∂ ∗ gi (x) tại x, các hàm gi (i ∈
/ I(x)) liên tục tại x, các hàm
hj (j ∈ L) khả vi Gâteaux tại x là

G hj (x).


19
Với s ∈ J và một nón con lồi đóng khác rỗng T của Z (C; x), ta đặt
HTs (x) =

co∂ ∗ fs (x) +

λk co∂ ∗ fk (x) +
k∈J, k=s

+

γj

µi co∂ ∗ gi (x)
i∈I(x)

G hj (x)

+ T 0 : λk ≥ 0 (∀k ∈ J, k = s),

j∈L

µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) .
Bây giờ ta có thể phát biểu được điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực
tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP).
Định lí 1.3.
Giả sử x là một cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP). Giả sử
rằng giả thiết 1.1 thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J nào
đó. Hơn nữa, giả sử rằng tập HTs (x) là đóng yếu∗ với nón con lồi đóng khác
rỗng có đỉnh tại gốc T ⊂ Z(C; x). Khi đó, tồn tại λk ≥ 0 (∀k ∈ J, k =
s), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) sao cho
λk co∂ ∗ fk (x) +

0 ∈ co∂ ∗ fs (x) +
k∈J,k=s

+

γj

µi co∂ ∗ gi (x)
i∈I(x)

G hj

0

(1.7)

(x) + T .

j∈L

Chứng minh.
Áp dụng định lí 1.2 ta suy ra hệ sau đây không có nghiệm v ∈ T :
fs+ (x; v) < 0,
fk− (x; v) ≤ 0

(∀k ∈ J, k = s),

gi− (x; v) ≤ 0

(∀i ∈ I(x)),

G hj (x); v

=0

(∀j ∈ L).

Vì vậy, theo giả thiết 1.1, hệ sau đây cũng không có nghiệm v ∈ T :
sup
ξs ∈co∂ ∗ fs (x)

ξs , v < 0,

(1.8)


20
sup

(1.9)

ξk , v ≤ 0

(∀k ∈ J, k = s),

ζi , v ≤ 0

(∀i ∈ I(x)),

(1.10)

(∀j ∈ L).

(1.11)

ξk ∈co∂ ∗ fk (x)

sup
ζi ∈co∂ ∗ gi (x)

G hj (x); v

=0

Ta chỉ ra rằng
(1.12)

0 ∈ HTs (x) .

Giả thiết ngược lại 0 ∈
/ HTs (x). Chú ý rằng HTs (x) là tập lồi và đóng yếu∗ ,
áp dụng định lí tách cho một tập lồi đóng yếu∗ và một điểm ở ngoài nó ([3],
định lí 3.4) ta suy ra tồn tại 0 = v0 ∈ X sao cho
(∀ζ ∈ HTs (x)).

ζ, v0 < 0

(1.13)

Điều đó kéo theo
ξs , v0 +

λk ξs , v0 +
k∈J,k=s

+

γj

µi ζi , v0
i∈I(x)

G hj (x); v

(1.14)

+ η, v0 < 0,

j∈L

với mọi ξs ∈ co∂ ∗ fs (x), λk ≥ 0, ξk ∈ co∂ ∗ fk (x)(k ∈ J, k = s), µi ≥ 0,
ζi ∈ co∂ ∗ gi (x) (i ∈ I (x)) , γj ∈ R (j ∈ L) , η ∈ T 0 .
Với λk = 0(∀k ∈ J, k = s), µi = 0(i ∈ I(x)), γj = 0, (∀j ∈ L), η = 0,
do tính bị chặn của ∂ ∗ fs (x), từ (1.14) suy ra
sup

ξs , v0 < 0.

(1.15)

ξs ∈co∂ ∗ fs (x)

Ta chỉ ra rằng
ξk , v0 ≤ 0

sup
ξk

∈co∂ ∗ f

k (x)

(∀k ∈ J, k = s).

(1.16)


21

Nếu điều đó không đúng thì phải tồn tại k0 ∈ J, k0 = s sao cho
sup
ξk0 ∈co∂ ∗ fk0 (x)

ξk0 , v0 > 0.

Khi đó, với λk = 0 (∀k ∈ J, k = k0 , s), µi = 0 (i ∈ I(x)), γj = 0
(∀j ∈ L), η = 0, ξs ∈ ∂ ∗ fs (x), và lấy λk0 đủ lớn, ta được
ξs , v0 + λk0

ξk0 , v0 > 0,

sup
ξk0 ∈co∂ ∗ fk0 (x)

do | ξs , v0 | < +∞. Nhưng từ (1.14) suy ra
ξs , v0 + λk0

ξk0 , v0 ≤ 0.

sup
ξk0

∈co∂ ∗ f

k0 (x)

Như vậy, ta đi đến một mâu thuẫn. Vì thế ta suy ra (1.16). Tương tự, ta có
(1.17)

ζi , v0 ≤ 0 (∀i ∈ I (x)) .

sup
ζi ∈co∂ ∗ gi (x)

Hơn nữa, ta có
G hj

(x) ; v0 = 0

(1.18)

(∀j ∈ L).

Thật vậy, giả sử điều này không đúng, có nghĩa là

G hj (x); v0

= 0 với

j0 ∈ L nào đó. Khi đó, với λk = 0(∀k ∈ J, k = s), µi = 0(i ∈ I(x)), η = 0
và ξs ∈ ∂ ∗ fs (x), do tính bị chặn của ξs , bằng cách cho γj0 đủ lớn nếu
G hj (x); v0

> 0, còn γj0 < 0 với trị tuyệt đối đủ lớn nếu

G hj (x); v0

<

0, chúng ta đi đến mâu thuẫn với (1.14) và do đó (1.18) đúng.
Có thể thấy rằng v0 ∈ T . Thật vậy, nếu không như thế phải tồn tại η0 ∈
T 0 sao cho η0 , v0 > 0. Bằng cách lấy λk = 0 (∀k ∈ J, k = s) , µi =
0 (i ∈ I (x)) , γj = 0(∀j ∈ L), với α đủ lớn, αη0 ∈ T 0 , và vì vậy ta đi
đến mâu thuẫn với (1.14). Do đó, η, v0 ≤ 0

∀η ∈ T 0 . Bởi vì T là lồi

đóng, nên nó cũng là đóng yếu, và vì thế
v0 ∈ T 00 = T.

(1.19)


22
Từ (1.15) - (1.18) ta suy ra hệ (1.8) - (1.11) có một nghiệm v0 ∈ T :
Đây là một mâu thuẫn. Vì vậy (1.12) đúng và cho nên tồn tại λk ≥ 0(∀k ∈
J, k = s), µi ≥ 0 (i ∈ I (x)) , γj ∈ R(∀j ∈ L) sao cho bao hàm thức (1.7)
đúng. Định lí được chứng minh.
Nhận xét 1.1.
(i) Trong định lí 1.3, ∂ ∗ fk (x) và ∂ ∗ gi (x) có thể không bị chặn với mọi
k ∈ J, k = s và i ∈ I(x). Các thành phần của hàm mục tiêu, các ràng buộc
đẳng thức, ràng buộc bất đẳng thức tích cực không nhất thiết liên tục.
(ii) Trong trường hợp dim X < +∞, C = X, như trong nhận xét 3.1
trong [8], nếu ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J) và ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I (x)) bị chặn và điều kiện
sau đây là đúng:
co∂ ∗ fk (x )

0∈
/ co

co∂ ∗ gi (x ) + lin {∇G hj (x ) : j ∈ L} ,
i ∈I (x )

k∈J,k=s

thì HTs (x) là đóng, trong đó lin kí hiệu bao tuyến tính.
Thật vậy, bởi vì ∂ ∗ fk (x)(k ∈ J, k = s) và ∂ ∗ gi (x)(i ∈ I(x)) là đóng
và bị chặn, cho nên co∂ ∗ fk (x )(k ∈ J , k = s) và co∂ ∗ gi (x )(i ∈ I (x )) là
compăc, và như vậy,
co∂ ∗ gi (x )

co∂ ∗ fk (x )

co

i ∈I (x )

k∈J,k=s

là compăc.
Do đó tập sau đây là tập đóng:
co∂ ∗ fk (x )

DTs (x) := co
k∈J,k=s

co∂ ∗ gi (x )
i ∈I (x )

+lin {∇G hj (x ) : j ∈ L} .
Mặt khác,
HTs (x) = co∂ ∗ fs (x ) + coneDTs (x ),