Kết hợp giải thuật di truyền và logic mờ giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TT & TT



ĐÀO NGỌC TUẤT



KẾT HỢP GIẢI THUẬT DI TRUYỀN VÀ LOGIC MỜ
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên, tháng 10 - 2012
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TT& TT



ĐÀO NGỌC TUẤT



KẾT HỢP GIẢI THUẬT DI TRUYỀN VÀ LOGIC
MỜ
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC


TS. Vũ Mạnh Xuân

Thái Nguyên, tháng 10 -2012
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán tối ưu trong thực tế là bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt
là trong thiết kế. Chẳng hạn người ta muốn thiết kế sản phẩm sao cho chi phí
thấp, tiết kiệm nguyên liệu nhưng chất lượng tốt, hoặc thiết kế một bể chứa
nước với yêu cầu dung lượng lớn mà chi phí thấp…. Đã có nhiều nhà toán học
và tin học đã nghiên cứu về vấn đề này và đưa ra nhiều phương pháp giải khác
nhau. Một số những phương pháp thường được sử dụng để giải bài toán đa
mục tiêu như: phương pháp nhượng bộ dần, phương pháp tìm nghiệm có
khoảng cách ngắn nhất đến nghiệm lý tưởng, phương pháp trọng số,….
Được sự đồng ý của Hội đồng Khoa học khoa Công Nghệ Thông Tin,
cùng sự hướng dẫn của thầy giáo Vũ Mạnh Xuân, em chọn đề tài khóa
luận của mình nhằm nghiên cứu một phương pháp tiếp cận khác để giải
bài toán tối ưu đa mục tiêu là sử dụng giải thuật di truyền kết hợp logic
mờ.
Mục đích nghiên cứu: tìm hiểu một số phương pháp giải bài toán tối ưu

đa mục tiêu, giải thuật di truyền và logic mờ, trên cơ sở đó sử dụng giải thuật
di truyền kết hợp với logic mờ để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Nội dung của đề tài: gồm 3 chương
1) Chương 1. Giải thuật di truyền
2) Chương 2. Logic mờ
3) Chương 3. Kết hợp giải thuật di truyền và logic mờ giải bài toán tối ưu
đa mục tiêu
Để tiến hành nghiên cứu đề tài này, em đã sử dụng phối hợp một số
phương pháp như: phương pháp nghiên cứu tài liệu (nghiên cứu tài liệu về các
giải thuật di truyền, bài toán tối ưu đa mục tiêu, logic mờ, ngôn ngữ lập trình
matlab 7.0); phương pháp lấy ý kiến chuyên gia (giáo viên hướng dẫn, tham
khảo trên mạng).
Khi thực hiện đề tài này, bước đầu em đã tìm hiểu được một số phương
pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu, một số vấn đề về giải thuật di truyền, logic
mờ. Kết quả là đã đề xuất một kỹ thuật kết hợp giải thuật di truyền với logic mờ
để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu và đã lập trình thử nghiệm trên một số bài toán
cụ thể.







4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1: GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
Chương này giới thiệu những vấn đề khái quát về giải thuật di truyền

(GA) làm cơ sở cho việc ứng dụng giải bài toán tối ưu đa mục tiêu.[2], [6]
1.1. Khái quát chung
Giải thuật di truyền GA(GENETIC ALGORITHM) do D.E. Goldberg
đề xuất, sau đó được L. Davis và Z. Michalevicz phát triển, đây cũng chính là
một trong các thuật toán tiến hóa. Thuật toán tiến hóa là các chương trình máy
tính có dùng các thuật toán tìm kiếm, tối ưu hóa dựa trên nguyên lý tiến hóa
tự nhiên.
Giải thuật di truyền được hình thành dựa trên quan niệm: quá
trình tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo và hợp lý nhất, tự quá trình này
đã mang tính tối ưu. Quan niệm này là một tiên đề đúng, không chứng minh
được nhưng phù hợp với thực tế khách quan. Tính tối ưu của quá trình tiến
hóa thể hiện ở đặc điểm, thế hệ sau bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn
thiện hơn) thế hệ trước. Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai quá trình cơ
bản là sinh sản và chọn lọc tự nhiên, trong suốt quá trình tiến hóa tự nhiên,
các thế hệ mới luôn được sinh ra để bổ sung thay thế thế hệ cũ. Cá thể nào
phát triển hơn, thích ứng hơn với môi trường sẽ tồn tại, cá thể nào không thích
ứng được với môi trường sẽ bị đào thải. Sự thay đổi của môi trường là động
lực thúc đẩy quá trình tiến hóa, ngược lại tiến hóa cũng tác động trở lại góp
phần thay đổi môi trường.
Giải thuật di truyền (GA-Genetic Algorithms) là giải thuật tìm kiếm,
chọn lựa các giải pháp tối ưu để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau, dựa
trên cơ chế chọn lọc của tự nhiên: từ tập lời giải ban đầu, thông qua nhiều
bước tiến hoá, hình thành tập lời giải mới phù hợp hơn, và cuối cùng dẫn đến
lời giải tối ưu toàn cục.
Trong tự nhiên, mỗi cá thể muốn tồn tại và phát triển phải thích nghi
5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

với môi trường, cá thể nào thích nghi hơn thì tồn tại, cá thể nào kém thích

nghi thì bị tiêu diệt. Trong mỗi cá thể, các gen liên kết với nhau theo cấu trúc
dạng chuỗi, gọi là nhiễm sắc thể (NST). Mỗi NST đặc trưng cho mỗi loài và
quyết định sự sống còn của cá thể đó. Do môi trường tự nhiên luôn biến đổi
nên cấu trúc NST cũng thay đổi để thích nghi với môi trường và thế hệ sau
luôn thích nghi hơn thế hệ trước. Cấu trúc này có được do sự trao đổi thông
tin có tính ngẫu nhiên với môi trường bên ngoài hoặc giữa các NST với nhau.
1.2. Các vấn đề cơ bản của giải thuật di truyền
1.2.1. Mã hóa
Việc mô tả di truyền cho lời giải cho bài toán gồm hai phần cơ bản:
+ Xây dựng cấu trúc gen cho mỗi lời giải của bài toán để từ mỗi lời giải ta có
thể mã hoá thành một NST (chuỗi các gen).
+ Giải mã các NST để nhận được lời giải.
Đây là vấn đề cần giải quyết trước khi giải bài toán với GA. Tuỳ thuộc vào
nội dung của mỗi bài toán mà ta có cách mã hoá khác nhau.
Sau đây là phương pháp mã hoá hay được sử dụng:
Mã hoá dạng chuỗi nhị phân: đây là phương pháp thông dụng và cơ bản nhất
được sử dụng ngay từ bước ban đầu khi nghiên cứu GA. Trong phương pháp
này mỗi NST là một chuỗi các bit 0 và 1.
Mã hoá thứ tự: được sử dụng trong bài toán có sắp xếp thứ tự. Ở đây mỗi
NST là một chuỗi các số nguyên thể hiện thứ tự phân bố lời giải của bài toán.
Mã hoá theo giá trị: được sử dụng trong các bài toán mà mỗi lời giải là tập các
giá trị (ví dụ tập số thực). Trong phương pháp này, mỗi NST là một chuỗi các
giá trị có mối quan hệ tương ứng với bài toán.
Mã hoá dạng cây: được sử dụng chủ yếu trong các biểu thức toán học, trong
phương pháp mã hoá này mỗi NST là một cây của một nhóm đối tượng nào
đó.
6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Ví dụ: Biểu thức sau x+(y / 5) được mã hoá thành:





Mã hoá số thực : Mỗi NST được mã hoá là một véc tơ trong không gian R
m

chẳng hạn X = (a
1
, a
2
, , a
m
) với các a
i
 R. Cách mã hoá này thường tự nhiên
đối với các bài toán tối ưu số và được phát triển rất mạnh trong thời gian gần
đây.
1.2.2. Tạo lập lời giải ban đầu (khởi tạo quần thể)
Tập lời giải ban đầu thường được khởi tạo ngẫu nhiên từ miền xác định của
các lời giải. Cách tạo lập tập lời giải ban đầu phụ thuộc rất nhiều vào cách mã
hoá NST.
Với phương pháp mã hoá nhị phân: xây dựng NST bằng cách tạo ngẫu nhiên
chuỗi các bit 0 hoặc 1.
Với phương pháp mã hoá thứ tự: xây dựng NST ban đầu bằng cách hoán vị
ngẫu nhiên các thứ tự.
Với phương pháp mã hoá theo giá trị: tạo ngẫu nhiên từng giá trị trong miền
xác định của lời giải để tạo ra chuỗi NST ban đầu.

Với mã hoá số thực: tạo ngẫu nhiên N véc tơ thực trong R
m
.
1.2.3. Xây dựng hàm phù hợp
Hàm phù hợp đánh giá khả năng phù hợp của tập lời giải theo yêu cầu bài
toán. Hàm này được xây dựng cho từng bài toán với yêu cầu cụ thể. Thông
thường trong các bài toán tối ưu hàm này chính là hàm mục tiêu của bài toán.
1.2.4. Các toán tử di truyền
a. Toán tử chọn lọc
+
/
x
y
5
7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Trong quá trình thực hiện của giải thuật di truyền, sau mỗi lần tiến hoá ta chỉ
giữ lại các cá thể có độ phù hợp cao còn các cá thể phù hợp thấp bị loại bỏ.
Toán tử chọn lọc thường giữ lại 50% các cá thể phù hợp nhất. Tuy nhiên
người ta cũng phát triển nhiều sơ đồ chọn khác nhau nhằm là tăng tính đa dạng
của quần thể, tránh sự hội tụ sớm.
b. Toán tử lai ghép là toán tử di truyền cơ bản trong GA, tiến trình lai ghép
như sau :
Bước 1: Tạo ra tập NST để tạo sinh từ quần thể bằng cách chọn ngẫu nhiên N
NST từ M NST (M là kích cỡ quần thể).
Có nhiều cách chọn:
Chọn ngẫu nhiên theo thứ tự: lặp N lần việc tạo ngẫu nhiên ra một số nguyên i
thuộc khoảng [1, M] để chọn NST thứ i.

Chọn theo trọng số: tạo trọng số tích luỹ cho M NST theo công thức:



M
k
i
k
i
p
1
(với bài toán tìm min)




M
k
i
k
iM
p
1
1
(với bài toán tìm max)
Sau khi có trọng số tích luỹ cho NST, ta lần lượt tạo các xác suất ngẫu nhiên r
và duyệt từ NST đầu tiên đến khi gặp NST có trọng số tích luỹ lớn hơn r thì
chọn nó.
Bước 2: Sau khi chọn được N NST, lần lượt lấy ra từng cặp NST để lai ghép
tạo ra hai NST mới. Một số dạng toán tử lai ghép hay dùng là :

Lai ghép 1 điểm: chọn ngẫu nhiên một vị trí sau đó hoán vị phần đứng sau vị
trí vừa chọn giữa hai NST cha và mẹ để nhận được hai NST con.
Lai ghép hai điểm: chọn ngẫu nhiên hai vị trí trong một NST, sau đó hoán vị
các giá trị đứng giữa hai điểm đã chọn của hai NST cha mẹ để nhận được hai
NST con.
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Lai ghép mặt nạ: tạo một mặt nạ ngẫu nhiên có số bit bằng chiều dài của NST.
Ta sẽ hoán vị các giá trị của hai NST cha và mẹ ở những vị trí tương ứng với
vị trí bit 1 của mặt nạ.
c. Toán tử đột biến: Toán tử đột biến được xây dựng để tránh việc nhận được
giá trị tối ưu cục bộ. Đột biến gây ra thay đổi ngẫu nhiên trên từng bit của
NST để tạo ra một NST mới.
d. Tạo sinh: Chọn các cá thể từ quần thể hiện thời làm quần thể mới cho lần
lặp kế tiếp.
1.3. Thuật toán di truyền
Giải thuật di truyền giải một bài toán cần có các thành phần sau:
1. Một cấu trúc dữ liệu biểu diễn không gian lời giải của bài toán
2. Cách khởi tạo quần thể ban đầu
3. Hàm định nghĩa độ thích nghi eval(), đóng vai trò môi trường
4. Các phép toán di truyền ( phép lai, phép đột biến, phép tái sinh và phép
chọn)
5. Các tham số được giải thuật di truyền sử dụng (kích thước quần thể,
xác suất lai, đột biến )
Sơ đồ cấu trúc giải thuật di truyền tổng quát như sau:
Begin
1. t:=0; Khởi tạo P(t);
2. Tính độ thích nghi cho các cá thể thuộc P(t);

3. Khi (điều kiện dừng chưa thỏa mãn) lặp
t:=t+1;
Tái sinh P
‟
(t) từ P(t)
Lai Q(t) từ P(t-1);
Đột biến R(t) từ P(t-1);
Chọn lọc P(t) từ P(t-1)Q(t)R(t)P
‟
(t)
Kết thúc lặp
Cá thể tốt nhất P(t) là lời giải cần tìm
End.
9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.4. Giải thuật di truyền mã hóa số thực
1.4.1. Mã hóa RCGA
Trong phần này ta quan tâm tới giải thuật di truyền mã hóa số thực
(RCGA) để giải các bài toán tối ưu giá trị thực trong không gian R
n
và không
có các ràng buộc đặc biệt.
Một cách tổng quát, bài toán tối ưu số thực có thể xem là một cặp (S,f),
trong đó S  R
n
và f : S  R là một hàm n biến. Bài toán đặt ra là tìm véctơ
x=(x
1

,x
2
, , x
n
)  S sao cho f(x) đạt giá trị cực tiểu trên S. Nghĩa là với mọi
yS phải có f(x)  f(y). Hàm f ở đây có thể không liên tục nhưng cần bị chặn
trên S (đối với các bài toán tìm cực đại có thể chuyển về cực tiểu một cách
đơn giản).
Trong GA mã hoá số thực, mỗi cá thể được biểu diễn như một véc tơ
thực n chiều: b = (x
1
, x
2
, , x
n
), x
i
 R.
Như vậy một quần thể kích cỡ m là một tập hợp có m véctơ trong R
n
. Ta
cũng có thể xem một quần thể kích cỡ m như một ma trận thực cấp (mxn), đây
là cách mã hoá tự nhiên và thuận tiện trong việc thực hiện các toán tử tiến hóa.
Sau đây ta sẽ xem xét cụ thể hơn các toán tử này trong giải thuật di truyền mã
hoá số thực.
1.4.2. Các toán tử của RCGA
a. Toán tử lai ghép
GA mã hoá số thực cũng áp dụng các toán tử lai ghép như GA cổ điển
bao gồm lai ghép 1 điểm, lai ghép nhiều điểm, lai ghép mặt nạ. Ngoài ra, do
cách mã hóa quần thể, người ta còn nghiên cứu và đề xuất nhiều dạng khác

nhau của toán tử lai ghép trong RCGA. Dưới đây là một số dạng toán tử lai
ghép thường dùng với giả thiết cặp cá thể cha mẹ đã chọn để tiến hành lai
ghép là
), ,,(
21 m
xxxX 
và
), ,,(
21 m
yyyY 
.
 Lai số học (Arithmetic Crossover)
Phép lai này chọn một số thực a (0<a<1); các con X' và Y' được tính bởi:
x'
i
= a*x
i
+ (1-a)*y
i
;
10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

y'
i
= a*y
i
+ (1-a)*x
i

 Lai ghép Heuristic
Giả sử với cặp bố mẹ (X, Y) đã chọn, trong đó cá thể X có độ thích nghi
(giá trị hàm mục tiêu) tốt hơn cá thể Y thì toán tử này tạo một con duy nhất X'
từ cặp X, Y bởi:
x'
i
= *(x
i
- y
i
) + x
i
với 0 <  < 1
b. Toán tử đột biến
Toán tử đột biến trong RCGA được giới thiệu đa dạng hơn trong GA cổ
điển. Sau đây sẽ giới thiệu một số dạng điển hình:
Đột biến đều: Với một gen i được chọn ngẫu nhiên để đột biến từ cá thể
), ,,(
21 N
xxxb 
, thành phần
i
x
được thay thế bởi một số ngẫu nhiên trong
khoảng xác định
 
ii
ul ,
của

i
x
.
Đột biến biên: Từ cá thể cha đã chọn đột biến x và vị trí chọn đột biến k,
thành phần thứ k (x
k
) của x được thay bởi l
k
hay u
k
trong đó [l
k
, u
k
] là khoảng
xác định của x
k
. Trong những bài toán mà biên của các biến không lớn và giải
pháp cần tìm nằm gần biên thì phép đột biến này tỏ ra rất hữu ích.
Đột biến không đều:
Giả sử t
max
là một số cực đại định nghĩa trước, thành phần x
i
được thay
thế bởi một trong 2 giá trị tính theo các công thức sau :
x‟
i
= x
i

+ (t, b
i
– x
i
) x”
i
= x
i
- (t, x
i
– a
i
)
Việc chọn giá trị nào được tiến hành tuỳ theo giá trị ngẫu nhiên khởi
tạo với xác suất 1/2. Biến ngẫu nhiên (t, x) xác định một bước đột biến trong
khoảng [0, x] theo công thức sau :



)1(
max
)1.(),(
t
t
xxt



Trong công thức này,  thường là số ngẫu nhiên phân bố đều trong
khoảng đơn vị. Tham số  xác định ảnh hưởng của lần tạo sinh thứ t trên phân

bố của đột biến trong miền [0, x].
1.5. Mô hình Markov của giải thuật di truyền.
11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Trong giải thuật di truyền, mỗi quần thể được tạo sinh có đặc trưng là
chỉ phụ thuộc theo xác suất vào quần thể trước đó, do vậy GA có thể được mô
hình hóa bởi một xích Markov. Các tính chất của quần thể hữu hạn, chẳng hạn
như xu hướng di truyền có thể được khảo sát cẩn thận sử dụng xích Markov
hữu hạn. Không giống như nhiều phương pháp mô phỏng khác, xích Markov
có thể mô tả chính xác và chi tiết cho mỗi lớp đặc biệt. Từ năm 1992, Nix và
Vose đã mô hình hóa GA kinh điển (biểu diễn chuỗi nhị phân chiều dài cố
định, lai ghép một điểm, chọn lọc tỷ lệ) như một xích Markov trong đó mỗi
trạng thái là một quần thể. Vose đã mở rộng mô hình này đến mô hình “tìm
kiếm ngẫu nhiên Heuristic” trong đó mỗi cá thể của lần tạo sinh kế tiếp được
chọn theo một phân bố xác suất trên các cá thể của không gian tìm kiếm.
Suzuki đã giới thiệu mô hình của một lớp giải thuật di truyền ưu tú và đưa ra
kết quả về số lần tạo sinh cần thiết để hội tụ dựa trên xác suất đột biến. Năm
1996, Aytug và Koehler đưa ra chặn trên cho số lần tạo sinh cần thiết đối với
GA kinh điển để hội tụ đến quần thể có chứa chuỗi tối ưu dựa trên xác suất đột
biến.
Phần dưới đây trình bày vắn tắt mô hình xích Markov của giải thuật di
truyền đơn giản
1.5.1. Tính Markov
 Một hệ vật lý hoặc hệ trạng thái nào đó gọi là có tính Markov nếu sự
tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với
quá khứ. VD sự tăng dân số.
 Ký hiệu E là không gian trạng thái của X(t); nếu X(t) có tính Markov
và E là tập đếm được thì X(t) gọi là xích Markov. Nếu giá trị của thời điểm

t là 0, 1, … thì ta nói xích Markov với thời gian rời rạc. Nếu t  [0, ] thì
ta có xích Markov với thời gian liên tục.
 ĐN: Ta nói X(t) có tính Markov nếu:
P {X(t
n
+1) = j | X(t
0
) = i
0
, …, X(t
n
) = i} = P {X(t
n
+1) = j | X(t
n
) = i}
với bất kỳ t
0
< t
1
< … < t
n
< t
n+1
< … ; i
0
, … , i
n
, j  E
12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 Đặt p(s,i,t,j) = P {X(t) = j | X(s) = i} (s<t) là xác suất có điều kiện để hệ tại
thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển đến trạng thái j và gọi là
xác suất chuyển của hệ. Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc vào t-s hay
p(s,i,t,j) = p(s+h, i, t+h, j) thì hệ là thuần nhất theo thời gian.
 Ký hiệu p
ij
= P {X
n+1
= j | X
n
= i} và ma trận [p
ij
] gọi là ma trận xác
suất chuyển sau 1 bước. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có
0  p
ij
 1 và 
j
p
ij
= 1 (ma trận ngẫu nhiên)
 Xác suất chuyển sau n bước :
p
ij
(n)
= P {X
n+m

= j | X
m
= i} = P {X
n
= j | X
0
= i}
Khi đó p
ij
(1)
= p
ij

. Quy ước p
ij
(0)
= 1 ( i=j) và là 0 với i<> j
Đặt P
n
= (p
ij
(n)
) là ma trận xác suất chuyển sau n bước.
 Ta có phương trình Chapman-Kolmogorov





Ek

n
jk
n
ik
mn
ij
ppp
)(
(1.1)

 Một ví dụ về GA được mô hình hóa bởi một xích Markov: Ta bắt đầu bằng
mô hình đơn tử (haploid model) của sự tái tạo ngẫu nhiên, khi không xét
đến những tác nhân đột biến và thiên hướng chọn lọc (mutation pressures
and selective forces). Giả sử ta xét cỡ loài cố định gồm 2N gene kết hợp từ
các cá thể loại a và loại A. Sự hình thành thế hệ sau được xác định bởi 2N
phép thử nhị thức độc lập như nhau: Nếu loài bố mẹ có j a-gene và (2N - j)
A-gene thì mỗi phép thử có kết quả là a hay A với xác suất tương ứng là

2
j
j
p
N

và
N
j
q
j
2

1

Các chọn lọc được lặp lại và được tiến hành có thay thế. Bằng cách
này ta có xích Markov { X
n
} trong đó X
n
là số a-gene ở thế hệ thứ n trong
cỡ loài không đổi gồm 2N cá thể. Không gian trạng thái E = {0,1,2, , 2N}
gồm 2N + 1 giá trị. Ma trận xác suất chuyển P = (p
jk
) tính theo phân phối nhị
thức là:
p
jk
=
 
kN
j
k
j
k
Nnn
qpCjXkXP



2
21
(j, k = 0, 1, , 2N) (1.2)

13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chú ý rằng các trạng thái X
n
= 0 (hoặc 2N) là hấp thụ hoàn toàn theo
nghĩa khi X
n
= 0 (hoặc 2N) thì X
n+k
= 0 (hoặc 2N, tương ứng) với mọi k  0.
Một trong những vấn đề thú vị là xác định xác suất để loài sẽ đạt tới
fixation (nghĩa VN) với điều kiện X
0
= i, tức là nó sẽ trở thành một quần thể
thuần chủng chỉ có a-gene hoặc A-gene. Việc xác định tốc độ đạt tới fixation
cũng là điều đáng quan tâm. Ta sẽ nghiên cứu những vấn đề như thế trong
phân tích tổng quát về xác suất hấp thụ.
Một mô hình đầy đủ hơn phải tính đến những mutation pressures (tác
nhân đột biến). Ta giả sử rằng trước khi hình thành thế hệ mới, mỗi gene có
xác suất đột biến, tức là xác suất chuyển thành gene của loại kia. Đặc biệt, ta
giả sử rằng đối với mỗi gene hiện tượng đột biến a  A xảy ra với xác suất x
1

và hiện tượng đột biến A  a xảy ra với xác suất x
2
.
Một lần nữa ta lại giả sử rằng sự hình thành của thế hệ sau được xác
định bởi 2N phép thử nhị thức. Các giá trị liên quan của p

j
và q
j
khi loài cha
mẹ có j a-gene lúc này có dạng:
 
 
12
12
11
22
11
22
j
j
jj
p x x
NN
jj
q x x
NN

   



   


Vµ

(1.3)
Lập luận như sau: các tác nhân đột biến hoạt động đầu tiên, sau đó một
gene mới được chọn bằng cách chọn lọc ngẫu nhiên từ loài. Bây giờ xác suất
của chọn lọc một a-gene sau khi tác nhân đột biến hoạt động chính là 1/2N lần
số a-gene hiện có. Vì vậy xác suất trung bình (lấy trung bình đối với những
đột biến có thể) là 1/2N lần số trung bình của a-gene sau đột biến. Nhưng số
trung bình này rõ ràng là j(1-x
1
) + (2N - j)x
2
. Từ đó dẫn đến công thức (1.3).
Xác suất chuyển của xích Markov tương ứng được tính bởi công thức
(1.2) ở trên với các p
j
, q
j
được tính bởi công thức (1.3) vừa viết.
Nếu x
1
, x
2
> 0 thì fixation sẽ không xảy ra ở bất cứ trạng thái nào. Thay
vào đó, khi n   hàm phân phối của X
n
sẽ tiến đến phân phối trạng thái vững
của biến ngẫu nhiên  trong đó P{=k}=
k
; k = 0, 1, , 2N (
k
= 1, 

k
> 0).
Hàm phân phối của  được gọi là phân phối tần số gene tại trạng thái vững.
14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Ta trở lại mô hình giao phối (mating model) ngẫu nhiên đơn giản và
bàn về khái niệm thiên hướng chọn lọc, hoạt động về a-gene chẳng hạn. Giả
sử muốn đặt một ưu tiên chọn lọc cho a-gene đối với A-gene sao cho số con
sinh ra có kỳ vọng với tỉ lệ (1+ s) và 1 tương ứng, trong đó s là nhỏ và dương.
Ta thay p
j
=
N
j
2
và q
j
=
N
j
2
1
bằng p
j
=
sjN
js



2
)1(
và q
j
= 1 - p
j
rồi xây dựng
thế hệ sau theo mẫu nhị thức như trước.
Nếu thế hệ cha mẹ có j a-gene, thì ở thế hệ sau cỡ loài trung bình của a-
gene và A-gene tương ứng là
 
sjN
js
N


2
1
2
và
 
sjN
jN
N


2
2
2

.
Tỷ số các cỡ loài trung bình của a-gene đối với A-gene tại thế hệ thứ
(n + 1) là:











1
1
21
1 s
jN
js








nthø hÖthÕ ë gene- sè
nthø hÖthÕ ë gene- Sè

A
a

Điều này giải thích ý nghĩa của sự chọn lọc.

1.5.2. Một số kết quả
- Phân phối của hệ tại thời điểm n cho bởi công thức
p
j
(n)
= P(X
n
= j) ; n = 0, 1, 2, …; j  E
Đặt 
(n)
= {p
j
(n)
; jE) và gọi 

= 
(0)
là phân phối ban đầu của hệ.
- Phân phối ban đầu gọi là dừng nếu 
(n)
không phụ thuộc vào n
nghĩa là 

= 
(n)

.
- Một mô hình xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba (X
n
, 

, P)
trong đó X
n
là dãy đại lượng ngẫu nhiên rời rạc; 

là phân phối ban
đầu; P là ma trận xác suất chuyển.
- Vấn đề là phân phối dừng có tồn tại không? có duy nhất không?
cách tìm nó?
15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

- Định nghĩa phân phối dừng: Giả sử P = (p
ij
) là ma trận chuyển của
xích Markov (X
n
) có không gian trạng thái hữu hạn E = {1, 2, , N}, nghiệm
không âm (
1
, ,
N
) của phương trình:
x

j
=

Ek
kjk
px
; j  E
sao cho 
j
= 1 được gọi là phân phối dừng (hay bất biến) của xích
Markov với ma trận xác suất chuyển P = (p
ij
).
Ý nghĩa: Nếu ta lấy (
1
, ,
N
) là phân phối ban đầu của xích Markov,
tức là 
j
= P(X
0
= j); j = 1, 2, , N. Khi đó: 
j
(1)
= P(X
1
=j)=
j
k

kjk
p




Tổng quát ta có: 
j
(n)
P(X
n
= j) = 
j
, tức là: X
0
, X
1
, , X
n
, có phân phối
xác suất như nhau, ta có thể chứng minh phân phối đồng thời của các biến ngẫu
nhiên X
k
, X
k+1
, , X
k+m
không phụ thuộc vào k đối với mọi m. Quá trình có tính
chất như thế được gọi là quá trình dừng. Viết dưới dạng ma trận thì phân phối
dừng là véctơ cột bất biến đối với ma trận chuyển vị của P, nghĩa là:

11 21 1 1 1
12 22 2 2 2
12




N
N
N N NN N N
p p p
p p p
p p p



    
    
    

    
    
    
.

1.5.3. Xích Markov trong GA
Xét bài toán: Cho một hàm f : J  R
+
và J
L

là tập rời rạc hóa J. Cần tìm một
phần tử i  J
L
sao cho f(i) = max{f(j) | j  J
L
}
Gọi r là số cá thể hợp lệ thì r = |J
L
| = 
L
, trong đó  là số phần tử của
bảng ký hiệu sử dụng rời rạc hóa. Chẳng hạn với mã hóa nhị phân thì  = 2.
Gọi tập tất cả các quần thể hợp lệ là S và giả thiết ta xét quần thể với
kích cỡ cố định M (M = |k| với k  S). Khi đó số các quần thể hợp lệ là:

1
1
||



r
rM
CSN
(số các tổ hợp chập r-1 của M+r-1).
Ta xét giải thuật di truyền đơn giản với các toán tử như sau:
- Toán tử chọn lọc tỷ lệ, chọn cá thể i trong quần thể k với xác suất:
16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




r
h
ik
khZhf
kiZif
p
0
),(*)(
),(*)(

trong đó Z(i,k) là biến cố xảy ra khi cá thể i thuộc vào quần thể k.
- Toán tử lai ghép một điểm.
- Toán tử đột biến là phép đảo bit tại vị trí đột biến.
Với giải thuật này, GA có thể được mô hình hóa như một xích Markov
thời gian rời rạc, mỗi quần thể xem như một trạng thái của xích. Rõ ràng là
trạng thái hiện tại chỉ phụ thuộc vào một trạng thái ngay trước nó, vì nếu ký
hiệu X
n
là quần thể tại lần tạo sinh thứ n thì với n = 1,2, ta có:
P(X
n
= k | X
0
= k
0
, X

1
= k
1
, , X
n-1
= k
n-1
) = P(X
n
= k | X
n-1
= k
n-1
)
nghĩa là X
n
thỏa tính chất của xích Markov. Ký hiệu ma trận chuyển của xích
Markov này là Q.
Rudolph đã chỉ ra rằng giải thuật di truyền đơn giản như trên không hội
tụ đến tối ưu toàn cục. Sự hội tụ của giải thuật di truyền được định nghĩa theo
Rudolph như sau:
Định nghĩa 1: Giả sử B
t
= max{f(i) | Z(i, X
i
)  0, i = 0,1, , r-1} là chuỗi biến
ngẫu nhiên của độ thích nghi cao nhất trong một quần thể biểu diễn trạng thái
X
t
tại bước thứ t. Giải thuật di truyền là hội tụ đến tối ưu toàn cục nếu và chỉ

nếu
1*)(lim 

fBP
t
t
, ở đây f* = max{f(j) | j  J
L
} là lời giải tối ưu của bài
toán nêu trên.
Do các toán tử của GA độc lập với nhau nên có thể biểu diễn ma trận
chuyển là Q = SCM trong đó S, C, M theo thứ tự là ma trận chuyển của các
phép chọn lọc, lai ghép và đột biến.
Định nghĩa 2: Khoảng cách Hamming giữa hai chuỗi bit là số vị trí bit không
trùng nhau của hai chuỗi đó (chẳng hạn H(„0100‟, „0001‟) = 2). Đặt H
ij
là
tổng khoảng cách Hamming giữa các cá thể trong quần thể i và j:




1
0
),(
M
h
hhij
jiHH

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ở đây i
h
là một cá thể trong quần thể i, j
h
là một cá thể trong quần thể j với
h=0, , M-1; i,j = 1, , N và H(i
h
, j
h
) là khoảng cách Hamming giữa i
h
và j
h
.
Định nghĩa 3 : Ma trận A gọi là nguyên sơ nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho
ma trận A
k
là ma trận dương (ma trận mà mọi phần tử đều là số dương).
Bổ đề 1 : Ma trận chuyển của giải thuật di truyền đơn giản với xác suất đột
biến p
m
 (0, 1), sử dụng lai ghép và chọn lọc tỷ lệ là ma trận nguyên sơ.
Từ những ký hiệu và kết quả trên Rudolph đã chứng minh định lý sau:
Định lý 1: Giả sử hàm thích nghi không ấn định một giá trị thích nghi cho mỗi
cá thể, giải thuật di truyền đơn giản với các giả thiết như trong bổ đề trên
không hội tụ đến lời giải tối ưu.

Tuy nhiên để tăng hiệu lực của GA, De Jong đã đề xuất một chiến lược
ưu tú, Suzuki ([9]) đã chứng minh sự hội tụ đến lời giải toàn cục của GA với
chiến lược ưu tú sửa đổi. Cụ thể như sau: Giả sử số cá thể M của quần thể là
một số lẻ, i* là cá thể có giá trị thích nghi cao nhất của quần thể hiện tại.
Chiến lược ưu tú được sửa đổi là: quần thể kế tiếp luôn chứa i* .
Với chiến lược này, toán tử tạo sinh phần tử i* luôn được thực hiện đầu
tiên tại mỗi bước của quá trình. Sau đó M-1 cá thể còn lại được sinh ra theo
các toán tử di truyền thông thường. Dưới đây ta giả thiết là bài toán chỉ có một
lời giải tối ưu toàn cục.
Với mỗi quần thể k (k = 1,2, , N), ký hiệu i*(k) là cá thể có độ thích nghi cao
nhất trong quần thể. Đặt N(i) là số các quần thể mà trong quần thể đó, i là cá
thể có độ thích nghi cao nhất (i = 0,1, ,r-1). Ta gán nhãn cho mỗi cá thể i =
0,1, , r-1 theo thứ tự f(i) giảm dần sử dụng một quy tắc luân phiên tiền định
nào đó đối với các cá thể có cùng độ thích nghi. Ta cũng gán nhãn cho mỗi
quần thể k = 1,2, ,N theo thứ tự giảm dần của i*(k) theo một quy tắc luân
phiên tiền định nào đó cho những quần thể có cùng i*(k). Giả sử các trạng thái
trong tập K = {1, 2, , N(0)} là các trạng thái tối ưu toàn cục.
Với các ký hiệu trên, điều kiện hội tụ của GA có thể phát biểu là:
18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Giải thuật di truyền hội tụ tới tối ưu toàn cục nếu và chỉ nếu
KX
t
t


lim

Ma trận chuyển Q
+
đối với chiến lược ưu tú sửa đổi như sau:












1
1
0
000

000
000
r
Q
Q
Q

Q
+
gồm r ma trận con Q

0
, Q
1
, , Q
r-1
, mỗi ma trận có phần trên đường
chéo chính bằng 0. Kích cỡ của Q
i
là N(i)xN(i). Có thể thấy N(i) tính được là
số tổ hợp chập (r-i-1) của (r-i+M-2).
Dựa trên các ký hiệu trên, Suzuki đã đưa ra công thức tính xác suất
chuyển từ trạng thái k đến trạng thái v là:











)(*)(*0
)(*)(*),(
)!,(
1
)!1(
1
0

),(
viki
vikikjr
vjY
M
q
r
j
vjY
kv

trong đó






)(*1),(
)(*),(
),(
kijkjZ
kijkjZ
kjY

ỏ đây Z(j,k) là xác suất để cá thể j thuộc vào quần thể k; r(j,k) là xác suất để cá
thể j được tạo lập bởi các toán tử di truyền từ quần thể k. Nếu p
m
> 0 thì r(j,k)
> 0. Bởi vậy q

kv
> 0 với k, v  K vì i*(k) = i*(v). Điều này cũng có nghĩa là
Q
0
là ma trận dương và là nguyên sơ. Tuy nhiên cấu trúc của ma trận không
thể suy ra nhờ trực giác bằng sự nghiên cứu mỗi toán tử di truyền. Toán tử
chọn lọc không thể tạo cá thể mới và cũng không thể làm tăng i*(k). Toán tử
lai ghép và đột biến đều tạo cá thể mới và có xác suất dương khi chuyển đến
quần thể mới có cá thể cao hơn i*(k).
Định lý 2: Giải thuật di truyền với chiến lược ưu tú sửa đổi như trên và
p
m
 (0, 1) hội tụ đến tối ưu toàn cục.
Chứng minh: Từ những phân tích trên, ta có Q
+
là không phân ly được
và Q
0
là ma trận nguyên sơ. Theo lý thuyết xích Markov, ta có
















0
0lim
)(lim
0
R
Q
QQ
k
k
k
n

trong đó R

là ma trận ngẫu nhiên chứa các xác suất chuyển từ trạng thái
không tối ưu toàn cục đến trạng thái tối ưu toàn cục. Điều này cho thấy xác
19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

suất sống sót của trạng thái không tối ưu toàn cục có khuynh hướng giảm dần
đến 0 còn xác suất sống sót của trạng thái tối ưu toàn cục hội tụ về 1.
Như vậy, định lý này cho thấy giải thuật di truyền có khả năng hội tụ về
tối ưu toàn cục sau quá trình tiến hoá.
Việc mô hình GA qua xích Markov có ý nghĩa quan trọng. Nó vừa chứng tỏ
được sự hội tụ của giải thuật một cách chính xác, vừa là mô hình toán học để

có thể tính toán chi tiết các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng và tốc độ hội tụ
của giải thuật. Tuy nhiên, thực hiện thuật toán qua xích Markov sẽ gặp khó
khăn rất lớn do không gian trạng thái cần xét đến là rất lớn. Vì vậy mô hình
này thường chỉ được phát triển về phương diện lý luận.
Kết Luận: phần trên giới thiệu những vấn đề khái quát về giải thuật di truyền
(GA) làm cơ sở cho việc ứng dụng giải bài toán tối ưu đa mục tiêu.
20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 2: LOGIC MỜ

Chương này giới thiệu những vấn đề khái quát về logic mờ làm cơ sở cho
việc ứng dụng giải bài toán tối ưu đa mục tiêu.[1]
2.1. Tập mờ
2.1.1. Định nghĩa tập con mờ
Một tập con cổ điển A của X được định nghĩa bởi một hàm đặc trưng
A

lấy giá trị 0 đối với những phần tử của X không thuộc A và lấy giá trị 1
với những phần tử X thuộc A:

1,0: X
A


Định nghĩa 2.1: Một tập con mờ A của X được định nghĩa bởi một hàm
thuộc, gán cho mỗi phần tử x của X, độ thuộc f
A
(x), nằm giữa 0 và 1, theo đó

x thuộc A:
 
1,0: Xf
A

Trường hợp đặc biệt, trong đó f
A
chỉ lấy những giá trị bằng 0 hay 1, tập
con mờ A là một tập con cổ điển của X. Vậy một tập con cổ điển là một
trường hợp riêng của tập con mờ.
Từ nay về sau, ta sẽ ký hiệu F(X) là tập tất cả các tập con mờ của X. Ký
pháp sau đây vẫn được dùng để biểu diễn tập con mờ A, mặ dù nó không liên
quan gì đến ý lấy tổng hoặc láy tích phân. Nó chỉ ra với mọi phần tử x của X,
độ thuộc f
A
(x) của nó vào A:
Ký pháp:










x
A
Xx

A
xxfA
xxfA
/)(
/)(

2.1.2. Các đặc trưng của một tập con mờ
Những đặc trưng hữu ích nhất của một tập con mờ A của X để mô tả nó
là những đặc trưng chỉ rõ nó khác với một tập con thông thường của X ở điểm
nào.
Đặc trưng thứ nhất là giá của A, là tập những phần tử của X ít nhất có
thuộc A một chút.
21

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa 2.2: Giá của A, ký hiệu supp(A), là bộ phận của X trên đó
hàm thuộc của A khác không:
Supp(A)=
 
0)(/  xfXx
A

Đặc trưng thứ hai của A là chiều cao của nó, ký hiệu h(A), là độ thuộc
lớn nhất mà một phần tử của X thuộc A.
Định nghĩa 2.3: Chiều cao, ký hiệu h(A), của tập con mờ A của X là giá
trị lớn nhất mà hàm thuộc có thể lấy được:
h(A)=
)(sup xf
AXx

Người ta thường dùng các tập con mờ được chuẩn hóa, có nghĩa với
chúng có ít nhất một phần tử của X thuộc tuyệt đối (với độ thuộc 1) vào A.
Nói riêng, lý thuyết khả năng cần tới những tập con mờ được chuẩn hóa.
Định nghĩa 2.4: Tập con mờ A của X là được chuẩn hóa nếu chiều cao
h(A) của nó bằng 1.
Một tập con mờ được chuẩn hóa giả định có tồn tại những phần tử của
X điển hình cho tính chất được liên kết với nó. Đó là những phần tử thuộc A
tuyệt đối và tập những phần tử đó được gọi là hạt nhân của A.
Định nghĩa 2.5: Hạt nhân của A, ký hiệu ker(A), là tập các phần tử của
X tại đó hàm thuộc của A có giá trị 1:
Ker(A)=
 
1)(/  xfXx
A

Khi tập X là hữu hạn, ta cón đặc trưng tập con mờ A của X bởi lực
lượng của nó, chỉ rõ độ thuộc tổng thể mà các phần tử của X thuộc A.
Định nghĩa 2.6: Lực lượng của tập con mờ A của X được định nghĩa
bởi:
|A|=

Xx
A
xf )(

22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Nếu A là tập con thông thường của X, chiều cao của nó bằng 1; nó
được chuẩn hóa và đồng nhất với giá và hạt nhân của nó; lực lượng của nó
chính là số phần tử của tập theo định nghĩa cổ điển.
2.1.3. Các phép toán trên các tập con mờ
a. Sự bằng nhau và sự bao hàm (chứa nhau) của các tập con mờ
Định nghĩa 2.7: Hai tập con mờ A và B của X là bằng nhau nếu các
hàm thuộc của chúng lấy cùng giá trị với mọi phần tử của X:
)()(: xfxfXx
BA


Định nghĩa 2.8: Cho hai tập con mờ A và B của X, ta nói rằng A bao
hàm trong B, ký hiệu
BA 
, nếu các hàm thuộc của chúng thỏa điều kiện
)()(: xfxfXx
BA


b. Giao và hợp của các tập con mờ
Định nghĩa 2.9: Giao của hai tập con mờ A và B của X là tập con mờ C,
ký hiệu
BA 
, sao cho:
))(),(min()(: xfxfxfXx
BAC

,
Min ký hiệu toán tử lấy cực tiểu
Định nghĩa 2.10: Hợp của hai tập con mờ A và B của X là tập con mờ

D, ký hiệu là
BA
sao cho:
))(),(max()(: xfxfxfXx
BAD

,
Max ký hiệu toán tử lấy cực đại.
Tính chất 1:
 Tính kết hợp của

và

;
 Tính giao hoán của

và

;

,AXA 


A


,AA 


XXA 

23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


BAABA 


)''()'()'''( BABABBA 


)''()'()'''( BABABBA 


BABABA 

c. Phần bù của một tập con mờ
Định nghĩa 2.11: Phần bù A
C
của một tập con mờ A của X được định
nghĩa là tập con mờ của X với hàm thuộc:
)(1)(: xfxfXx
AA


Tính chất 2:
 Các luật De Morgan:
ccc
BABA  )(

,
ccc
BABA  )(


AA
cc
)(


X
c






c
X


XAA
c


Tính chất 3: Giá và hạt nhân của A và phần bù của nó nghiệm đúng:
(supp(A
c
))

c
=ker(A), (ker(A
c
))
c
= supp(A).
d. Tích Descartes của các tập con mờ
Định nghĩa 2.12: Cho các tập con mờ A
1
, A
2
, …, A
r
được xác định
tương ứng trên X
1
,X
2
, …, X
r
, ta định nghĩa tích Descartes của chúng
A=A
1
*A
2
*…*A
r
như một tập con mờ của X có hàm thuộc:
))(), (min()(,), ,,(
121

1
rAAAr
xfxfxfXxxxx
r


e. Hình chiếu của một tập con mờ
24

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa 2.13: Hình chiếu trên X
1
của tập con mờ A của X
1
*X
2
là tập
con mờ
)(Pr
1
Aoj
X
của X
1
, với hàm thuộc được xác định bởi:
)),((sup)(,
211)(Pr11
22
1

xxfxfXx
AXxAoj
X



Hình chiếu của A trên X
2
cũng được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa 2.14: hình chiếu trên X
a
*X
b
*….*X
k
của tập con mờ A của
X
1
*X
2
*…X
r
là tập con mờ Proj(A) của X
a
*X
b
*…*X
k
với hàm thuộc được
định nghĩa là:

,, ,
kkaa
XxXx 

 
, ))(( sup), ,(
, ,,1/)(Pr iAkiairiikaAoj
xfxxf



f. Khuếch trụ của một tập con mờ
Định nghĩa 2.15: Khuếch trụ của một tập con mờ B của X
a
*X
b
*…*X
k

trên X= X
1
*X
2
*…X
r
được định nghĩa là:
), ,()(,), ,, ,, ,(
1 kaB
c
Brka

xxfxfXxxxxx 

2.2. Quan hệ mờ
Quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong Logic mờ và lập luận xấp xỉ.
Khái niệm quan hệ mờ là sự tổng quát hoá trực tiếp của khái niệm quan hệ
(quan hệ rõ). Trước hết ta nhắc lại về khái niệm quan hệ .
Giả sử U và V là hai tập . Một quan hệ R từ U đến V (sẽ được gọi là
quan hệ 2 ngôi, hoặc quan hệ nhị nguyên ) là một tập con của tích đề các UV.
Trong trường hợp U = V, ta nói R là quan hệ trên U. Chẳng hạn, tập R bao
gồm tất cả các cặp người (a, b) trong đó a là chồng của b, xác định quan hệ
“vợ _ chồng” trên tập người nào đó.
Khi U và V là các tập hữu hạn, chúng ta sẽ biểu diễn quan hệ R từ U
đến V bởi ma trận, trong đó các dòng được đánh dấu bởi các phần tử x  U và
các cột được đánh dấu bởi các phần tử y  V. Phần tử của ma trận nằm ở dòng
x, cột y là 
R
(x,y)
1 nếu (x,y) R

R
(x,y) =
25

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

0 nếu (x,y) R

Ví dụ 1: Giả sử U = {1,2,3} và V = {a,b,c,d} giả sử R là quan hệ từ U đến V
như sau:
R = {(1,a), (1,d), (2,a), (2,b), (3,c), (3,d)}

Chúng ta biểu diễn quan hệ R bởi ma trận sau:
1 0 0 1 1
1 1 0 0 2
0 0 1 1 3
a b c d
Bây giờ ta xét quan hệ “anh em họ gần” trên một tập người U nào đó.
Quan hệ này không thể đặc trưng bởi tập rõ của tích UU. Một cách hợp lý
nhất là xác định quan hệ này bởi một tập mờ R trên UU.
Chẳng hạn 
R
(a,b) = 1 nếu a là anh em ruột của b; 
R
(a,b) = 0,9 nếu a là
anh em con chú con bác của b; 
R
(a,b) = 0,75 nếu a là anh em cháu cô, cháu
cậu của b;
Một quan hệ mờ từ U đến V là một tập mờ trên tích đề các UV. Tổng
quát, một quan hệ mờ n ngôi là một tập R trong không gian tích đề các của n
không gian U
1
x U
2
x … x U
n
.
Quan hệ mờ 2 ngôi R(u,v) gọi là:
1. Đối xứng nếu: 
R
(u, v) = 

R
(v, u)
2. Phản xạ nếu: 
R
(u, u) = 1, u  U
3. Phản phản xạ nếu: 
R
(u, u) = 0 , u  U
4. Bắc cầu Max_Min nếu 
R
(u, v)  { 
R
(u, w)  
R
(w, v): wW}
5. Bắc cầu Min_Max nếu 
R
(u, v)  { 
R
(u, w)  
R
(w, v): wW}
6. Phép hợp thành R

S với RU W, S W U được định nghĩa như sau:

RS
(u, v) = { 
R
(u, w)  

S
(w, v): wW}.
R =