Định lý Fenchel Moreau mở rộng và đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KIỀU ANH TUẤN

ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ
ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KIỀU ANH TUẤN

ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ
ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy
chế của trường.
Thái Nguyên, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Kiều Anh Tuấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng
dẫn khoa học của mình, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn, người đã đặt bài toán và
tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, sau Đại học - Trường Đại

học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tôi để tôi có thể hoàn thành bản luận
văn này. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Cao học Toán K21, đã
chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Tôi cũng vô cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình,
đã cảm thông chia sẻ cùng tôi trong hai năm qua để tôi có thể học tập và hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015
Tác giả

Kiều Anh Tuấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI ........................ 3
1.1. Tập lồi ........................................................................................................... 3
1.2. Hàm lồi ......................................................................................................... 7
1.2.1. Tính liên tục của hàm lồi ........................................................................... 8
1.2.2. Tính Lipschitz địa phương....................................................................... 11
1.3. Định lý Fenchel- Moreau trong trường hợp vô hướng ............................... 13

1.4. Dưới vi phân của hàm lồi ........................................................................... 18
1.5. Cực tiểu của hàm lồi ................................................................................... 30
Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC
TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ .............................................. 32
2.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................. 32
2.2. Dưới vi phân ............................................................................................... 35
2.3. Định lý Fenchel-Moreau mở rộng .............................................................. 39
2.4. Đặc trung cấp hai của hàm lồi véctơ .......................................................... 43
KẾT LUẬN....................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1
MỞ ĐẦU
Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại chuyên nghiên
cứu tập lồi, hàm lồi và các tính chất của chúng sau đó ứng dụng để nghiên cứu
bài toán tối ưu lồi và các bài toán liên quan. Đây là một đề tài thông dụng đối
với sinh viên và học viên cao học, nó cho ta một số tư tưởng và phương pháp tư
duy để tiếp cận với các bài toán phi tuyến ở cả hai lĩnh vực lý thuyết và ứng
dụng. Hàm lồi được nhiều tác giả nghiên cứu, một vài kết quả thu được cho
phép ta giải quyết những bài toán tối ưu liên quan tới hàm lồi véctơ.
Ta biết rằng các bài toán liên quan đến hàm lồi đóng vai trò rất quan
trọng trong ứng dụng toán học vào các vấn đề của cuộc sống. Người ta đã đưa ra
định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi để tìm ra thuật toán giải nghiệm và các điều
kiện cần và đủ cho tối ưu. Hàm lồi có cấu trúc hình học rất đơn giản, gần giống
với hàm tuyến tính, có cấu trúc tôpô rất đặc biệt gần với hàm liên tục Lipschitz.

Đối với bài toán lồi, một kết quả rất quan trọng: x 0 là nghiệm địa
phương khi và chỉ khi x 0 là nghiệm toàn cục. Việc khai thác các tính chất của
hàm lồi cho phép nghiên cứu bài toán tối ưu một cách toàn diện và đầy đủ từ đó
dẫn đến việc giải quyết các bài toán cũng được hoàn chỉnh. Tuy nhiên một vài
mô hình thực tế liên quan tới hàm không nhất thiết là lồi nhưng vẫn có nhiều
tính chất giống như hàm lồi. Những hàm này là những biến dạng hay tổng quát
hóa của hàm lồi.
Trong thực tế nảy sinh nhiều bài toán liên quan đến hàm véctơ. Việc định
nghĩa hàm lồi cho trường hợp véctơ là rất cần thiết để nghiên cứu các bài toán
liên quan tới các hàm lồi véctơ. Các hàm lồi véctơ cũng có các tính chất giống
như các tính chất của hàm lồi vô hướng. Người ta mở rộng các khái niệm của
hàm lồi véctơ dựa trên cơ sở của một nón trên không gian giá trị của hàm. Từ
đó sinh ra một quan hệ thứ tự và ta có thể phát biểu được các bài toán đặt ra
trong thực tế và giải quyết chúng như trong trường hợp vô hướng. Định lý
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2
Fenchel- Moreau đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết đối ngẫu của các
bài toán tối ưu được mở rộng trong trường hợp véctơ. Chính vì lý do đó tôi
chọn đề tài: Định lý Fenchel- Moreau mở rộng và đặc trưng cấp hai cho hàm
lồi véctơ.
Mục đích chính của luận văn này là trình bày lý thuyết hàm lồi vô hướng,
Định lý Fenchel- Moreau trong trường hợp vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau
trong trường hợp tổng quát và đặc trưng cấp hai của các hàm lồi véctơ.
Dựa trên các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, giải tích Lipschitz, giải tích
hàm, ta nghiên cứu đi sâu vào vấn đề đối ngẫu của hàm lồi vô hướng và véctơ,
các bài toán tối ưu lồi vô hướng và véctơ.

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham
khảo, cụ thể là:
Chƣơng 1 Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm về tập lồi,
hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi, các tính chất của hàm lồi như tính liên tục,
tính Lipschitz địa phương,…, định lý Fenchel- Moreau trong trường hợp vô
hướng và một số ứng dụng.
Chƣơng 2 Trong chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản, dưới vi phân
hàm véctơ lồi, định lý Fenchel- Moreau trong trường hợp tổng quát và tìm đặc
trưng cấp hai của các hàm lồi véctơ.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt luận văn và tài liệu tham khảo.

Tác giả
Kiều Anh Tuấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

Chƣơng 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI
Trong những năm gần đây giải tích lồi là một trong những môn nghiên
cứu phát triển và cho các kết quả sâu sắc của toán học. Nó được ứng dụng rộng
rãi trong thực tế như trong các bài toán vận trù học, toán kinh tế và trong các
ngành kỹ thuật. Các hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích lồi đặc biệt
trong lý thuyết tối ưu hóa vì nó đảm bảo các tính chất liên quan đến các điểm
cực trị. Do đó các đặc trưng lớp của các hàm này bậc nhất cũng như bậc hai đã
được nghiên cứu nhiều.

Trước hết ta trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản và những kết quả
chủ yếu của giải tích lồi. Những kiến thức của chương này được viết trên cơ sở
của chương 1 trong [1].
1.1. Tập lồi
Dưới đây ta luôn giả thiết X là không gian tô pô thực, X* là không gian tô pô
đối ngẫu của X, R là tập số thực và R
Định nghĩa 1.1.1. Cho A

X . Ta nói rằng A là tập lồi nếu
0;1 : a

Cho a, b

.

R

1

b

a, b

A với mọi

A.

A là hai điểm cố định, đoạn thẳng nối a,b được xác định như sau

a, b

x

A :x

a

1

b;0

Nhận xét. Tập A là tập lồi khi và chỉ khi với mọi a, b
đoạn thẳng trong

1.
A thì a, b

A . Các

, quả cầu, đa diện trong

, hình chữ nhật, tam giác trong

đều là những tập.
Định nghĩa 1.1.2. Cho f
Tập H

x

X :f x

X *,

là một số thực cố định.

gọi là một siêu phẳng;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

H

x

X :f x

gọi là nửa không gian trên;

H

x

X :f x

gọi là nửa không gian dưới.

Tất cả các tập trên đều là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.3. Cho A

X.

i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A:
n

coA

x

X :x

x , xi

A

i i

i

1, 2,..., n

.

i 1

ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng của A,
ký hiệu là co A . Ta thấy các tập lồi có những phép tính tôpô, đại số như sau

Nhận xét. i) CoA là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
ii) A là tập lồi khi và chỉ khi A

CoA ;

iii) co A là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;
iv) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử A

co A .

X là một tập lồi, khi đó:

i) Phần trong int A và bao đóng A là các tập lồi;
ii) Với x 1

int A , x 2

iii) Nếu int A

A thì x 1, x 2

, thì A

int A;

int A , int A

int A .

Khái niệm tách hai tập lồi đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu, đặc
biệt trong việc chứng minh sự tồn tại nhân tử Lagrange trong bài toán tối ưu có
ràng buộc .
Định nghĩa 1.1.5. Cho các tập A, B
f

0 tách A và B nếu tồn tại một số
f ,y

X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục

sao cho

f , x với mọi x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

A , với mọi y

B ,



(1.1)


5
trong đó f , x

f x

là tích vô hướng giữa X và X * . Nếu các bất đẳng thức

ở (1.1) là thực sự, tức là

f ,y

f ,x

tách chặt A và B. Siêu phẳng H

x

với mọi x

A, y

B , ta nói f

gọi là siêu phẳng tách

X : f ,x

A và B. Các tập A, B được gọi là tách được.
Nhận xét. i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với

f ,y
ii) Phiếm hàm f

f ,x , x

A, y

B;

f ,y

,

f ,x

x

A,

y

Định lý 1.1.6. Cho A và B là các tập lồi trong X, A
hoặc intB
f

0, f

0 sao cho

0 tách chặt A và B, nếu tồn tại số

B.

B

, hoặc int A

. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục

X tách A và B.

theo Mệnh đề 1.1.4 ta có int A là tập lồi.

Chứng minh. Giả sử int A
Vì (int A)

nên int A

B

B là tập lồi mở và 0 (int A)

Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng H

x

tuyến tính 0 và không cắt (int A)

B.

0 chứa không gian con

X : f ,x

Ta có f liên tục vì H đóng, hơn nữa f

0 vì f

không phải là siêu phẳng của X. Ta lại có (int A)

0 thì H

X do đó H

B nằm trong nửa không

gian sinh bởi H. Chẳng hạn nửa không gian trên. Khi đó

f ,x
f ,x

f ,x

y

0

f ,y

x
x

f ,y

A, y
int A,

x

A, y

B;
y

B;

B.

Tức là A, B tách bởi phiếm hàm f.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

B.




6

0 khi đó A, B tách được

Hệ quả 1.1.7. Cho A,B là các tập lồi trong X, int A
khi và chỉ khi int A

.

B

Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử int A

theo Định lý 1.1.6 thì A,

B

B là tách được.
Điều kiện cần: Giả sử f

f ,x
Nếu tồn tại x

X* , f

0 tách A, B tức là

f ,y

x

A, y

B.

B thỏa mãn f , x

int A, y

f , y , do f

tìm được điểm x 1 trong lân cận U của x : U

f ,x

(1.2)
0, nên ta có thể

int A thỏa mãn

f ,y

.

Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (1.2). Vì vậy

f ,x
Ta suy ra int A

B

f ,y

x

int A, y

B.

. Hệ quả đã được chứng minh.

Định lý 1.1.8. Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian lồi địa phương X và
A khi đó tồn tại f

x0

X* , f

0 tách chặt A và x 0 .

Chứng minh. Vì A là tập đóng nên X

A là tập mở và x 0

Do vậy tồn tại lân cận lồi của x 0 sao cho x 0 U
x0 U

f

A

tức là

U và A, như vậy

f ,y
Do f

X

. Theo Định lý 1.1.1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục

A

0 tách x 0

A.

X

f , x0

f ,z

y

A, z

U.

0 nên ta có

inf f , z

0

z U

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

f ,y

f ,x0

y

A .




7
Vậy f tách chặt A và x 0 .
Hệ quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.1.8.
Hệ quả 1.1.9. Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A

X ta có: i)

co A trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A ;

ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng khi và chỉ khi A đóng theo tôpô yếu.
1.2. Hàm lồi
Cho A

X là tập lồi, f : A

R là một hàm số.

Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là hàm lồi nếu với mọi x , y

0, 1 : f

x

1

y

Nếu (1.3) xảy ra thực sự với mọi x,y, x

f x

1

A với mọi

f y .

(1.3)

y, thì f là lồi thực sự trên A .

Định nghĩa 1.2.2. i) Trên đồ thị của hàm f , ký hiệu

epif

x,

A / R sao cho x

A:f x

;

R của hàm f là tập

ii) Tập mức tại

lev f ,

x

A:f x

;

iii) Miền hữu hiệu của hàm f , ký hiệu là domf

domf= x

A:f x

;

iv) Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu
và f x

domf

với

x

X ;

v) Hàm f được gọi là lõm trên A nếu f là hàm lồi trên A.
Mệnh đề 1.2.3. Hàm số f được gọi là hàm lồi trên A nếu và chỉ nếu một trong
các điều kiện sau được thỏa mãn.
i) epif là tập lồi;
ii) lev f

g,

là tập lồi

g

X trong đó: f

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

g x

f x

g x .

8
Nhận xét. i) Nếu f là một hàm lồi thì domf là tập lồi;
ii) Nếu f là một hàm lồi thì : x : f x
,

, x:f x

là các tập lồi

.

1.2.1. Tính liên tục của hàm lồi
Trước khi trình bày tính liên tục của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái niệm liên quan.
Định nghĩa 1.2.1.1. i) Bao đóng của hàm f là một hàm ký hiệu
clf :epi clf

epif ;

ii) Bao lồi đóng của hàm f là một hàm ký hiệu cof : epi cof
iii) Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong X
iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x
f x

coepif ;

R;

X nếu

lim inf f y ;
y

x

v) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x
vi) Hàm f được gọi là liên tục tại x

X nếu f x

lim sup f y ;
y

x

X nếu f đồng thời là nửa liên tục trên và

nửa liên tục dưới tại x;
vii) Hàm f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x

X .

Nhận xét. Các khẳng định sau đây là đúng
i) Hàm f là lồi thì clf cũng là lồi;
ii) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f

clf .

Mệnh đề 1.2.1.2. Hàm f là đóng khi và chỉ khi

lev f ,

x:f x

là tập đóng với

R .

Chứng minh. Điều kiện cần. Do

lev f ,

x:f x

mà f đóng nên epi f là tập đóng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

x

lev f ,

X : x,

epif .

là tập đóng.

9
Điều kiện đủ. Ta có lev f ,
Giả sử x 0 ,
cận U

x 0,

 lev f ,

epi f để chứng minh epi f đóng ta chứng minh tồn tại lân

0

0

sao cho epi f  U

khi đó từ (1.4) suy ra

0

U

x,

Rõ ràng U là lân cận của x 0 ,
x

: x0

. Vì x 0 ,
lev f ,

0

epi f

x0

lev f ,

do đó tồn tại lân cận V

0

x0

. Đặt

V

sao cho lev f ,

Vì vậy f x

(1.4)

lev f ,

X x R:x

V,

.

trong X x R . Nếu x,

0

,x

do

:epi f U

lev f ,

U thì

.

ta có điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2.1.3. Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.3 f đóng khi và chỉ khi x : f x
đóng. Mặt khác f là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi x : f x

là
là tập

đóng suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.2.1.4. Cho f là hàm lồi chính thường trên X khi đó các khẳng định
sau đây là tương đương.
i) f bị chặn bên trong một lân cận của x 0

X ;

ii) f liên tục tại x 0 ;
iii) int epi

;

iv) int domf
int epif

và f liên tục trên int domf

x,

X xX :x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

đồng thời

int domf , f x

.




10
Chứng minh. i

ii) Giả sử f bị chặn trên trong lân cận U của x 0 tức là

c > 0 sao cho f ( x) c

, x U.

Không giảm tính tổng quát ta giả thiết x 0
thay U bằng U
f (x

x0 và nếu f (0)

f ( x0 ). Lấy

x0 )

Mặt khác, x

c

f ( x)

U và

0

f (0)
0

Vậy, f ( x)
ii

c

1

/c

/c

1
1

/c

(

c

V là một lân

U)

c

U

U vậy ta có

c

) f (0)

f ( x)

c

.c

.

/c
c
(
x) 0 cho nên
1
/c

x

1
1

c

c
f ( x) (l

1

( U)
c

, x V . Thật vậy, lấy x V thì x

thì x
x U

0 ta

0 ta thay f ( x ) bằng biểu thức

0;c và đặt V

cận của 0. Ta chứng minh f ( x)

c

0 và f (0) 0. Bởi vì nếu x 0

f ( x)

f ( x)

/c
c
f(
x) 0
1
/c

/c
c
1
/c

f ( x)

.

f ( x) liên tục tại 0.

i) Giả sử f liên tục tại x 0 khi đó f bị chặn trong lân cận của x 0

f

bị chặn trên trong một lân cận của điểm x 0.
i

iii) Giả sử f bị chặn trên trong một lân cận U của x 0 f ( x)

0

x U

ta có

( x, )
iii)

X R : x U,

0

epif

int(epif ) 0.

iv) Giả sử int(epif ) 0 . Khi đó nếu ( x, ) int(epif ) thì f bị chặn trong

một lân cận của x . Theo chứng minh (ii) f liên tục tại x 0.
Từ mệnh đề 1.1.4 ta suy ra int(domf )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

và f liên tục trên int(domf )



11
nếu ( x, ) int(epif ) thì

int(epif )

( x, ) X R : x int(domf ), f ( x)

.

Ngược lại, nếu f liên tục trên int(domf ), x int( domf ) và f ( x)

thì

( x, ) int(epif ).
iv

i) hiển nhiên.

1.2.2. Tính Lipschitz địa phƣơng
Định nghĩa 1.2.2.1. Giả sử X là không gian định chuẩn với chuẩn được ký
hiệu là . . Hàm f : X

R được gọi là Lipschitz địa phương tại x 0

tồn tại lân cận U của x 0 và k
x, x '

0 sao cho

U: f x

f x'

k x

x' .

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D
phương tại

x

(1.5)

X nếu f Lipschitz địa

D .

Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập D
đúng

x, x

X nếu

X nếu (1.5)

D.

Định lý 1.2.2.2. Giả sử X là không gian định chuẩn f là hàm lồi trên tập lồi
mở D

X , f bị chặn trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc D khi ấy f

Lipschitz địa phương trên D.
Chứng minh. Lấy x

D ta phải chứng minh f Lipschitz trong một lân cận

của x. Trước hết ta phải chứng minh f bị chặn trong một lân cận của x. Không
giảm mất tính tổng quát ta giả sử f bị chặn trên bởi số
đó
Lấy y

0 cho trước,
x

B

là hình cầu đơn vị mở trong X ta có thể giả thiết
1

D với

một lân cận của điểm x
f v

trên tập

. Tập V

v:v

y với bán kính 1

1

f x'

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

f y

1

,

x'

v, x'

v V ta có
f y .



D ở
1.

là


12
Như vậy f bị chặn trên trong lân cận V của x.
Lấy z

V

V

x

1

, có tồn tại z '

V sao cho x

f z

f z'

1
z
2

z' .

Khi đó,

1
f z
2

f x

1
f z'
2

2f x

2f x

f y

suy ra f bị chặn dưới trên V. Vậy f bị chặn trên V.
Giả sử L là đánh giá trên của f trên tập x

x
Đặt x 3
vì x 2

x2

x1

2 B

2 B trong đó

D . Lấy x 1, x 2

x2 ,

x2

x

0
x2 .

2 B, x1

x 1 , ta có x 3

x

2 B

x

x2
x2

x1
x1

B . Từ đó ta suy ra x 2

f x2

x1

f x1

f x1

x 3,

f x3
f x3 .

Vậy ta được,
f x2

Vì f

f x1

L,

f x3

x2

f x1

x 1 cho nên f x 2

f x3
2L

f x1

f x1 .

x2

x1 .

Cuối cùng, ta có
f x2

f x1

2L

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

x2

x1

x 1, x 2

x

2 B.




13
Hệ quả 1.2.2.3. Giả sử f : D

R là hàm lồi liên tục tại x 0 thuộc tập lồi mở

D khi đó f Lipchitz địa phương trên D.
Chứng minh. Do f liên tục tại x 0

D nên f bị chặn trong lân cận của điểm

x 0 theo Định lý 1.2.2.2 thì f Lipchitz địa phương trên D.

1.3. Định lý Fenchel- Moreau trong trƣờng hợp vô hƣớng
Giả sử X là không gian lồi địa phương, X * là không gian liên hợp của X ,
f là hàm xác định trên X .
Định nghĩa 1.3.1. Phép biến đổi Young - Fenchel của hàm f hay hàm liên
hợp với f được xác định trên X * , ( f * : X *
f * x*

sup x * , x

R ), như sau

.

f x

(1.6)

x X

Mệnh đề 1.3.2. f * là hàm lồi đóng

*

yếu ( f * là hàm đóng trong tô pô yếu*

trên X * ).
Chứng minh. Với x cố định hàm g x * :

x* , x

f x

là hàm tuyến tính

trên X * . Do đó g x * lồi đóng * yếu. Trên đồ thị của f * x * là giao của trên
đồ thị các hàm g x *

tức là giao của các tập lồi đóng

*

yếu. Vì vậy epif * lồi

đóng * yếu.
Nhận xét. Từ Định nghĩa 1.3.1 ta có
f * x*

f x

x* , x

x

x*

X,

X *.

(1.7)

Bất đẳng thức (1.7) gọi là bất đẳng thức Young - Fenchel .
Ví dụ. Cho hàm f x

f * x*

x 0* , x

sup x *
x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

x

X,

x 0*

X 0* .

x 0* , x

; x*

x 0*

; x*

x 0* .



14
Tính chất của hàm liên hợp
Từ Định nghĩa 1.3.1 suy ra
f ** x

f* * x

sup x * , x

f * x*

.

(1.8)

*

x

Mệnh đề 1.3.3. Với hàm bất kỳ ta có f **

Chứng minh. f ** x

sup x * , x

f .

f * x*

x*

sup x * , x
x

f x

x

x* , x

sup
x

sup x * , x

*

x* , x

inf f x

*

x

sup x * , x

x* , x

f x

f x .

x*

Định lý 1.3.4. Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X khi đó f * là hàm
lồi chính thường.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.3.2. f * là hàm lồi. Ta chứng minh f * là hàm
chính thường. Lấy x 0

domf ta có

f * x*

Hơn nữa

x 0* , x 0

x 0, f x 0

x*

f x0

X*

epif . Theo định lý tách thứ hai tồn tại y 0* ,

1

0

sao cho

sup
x,

Rõ ràng
vế phải bằng

o

epif

0 và

y 0* , x 0
o

y 0* , x 0

o

không thể là số dương vì nếu

. Chia hai vế của (1.9) cho
sup
x domf

1
0

1
0

o

y 0, x

y 0* , x 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

f x

1

o

f*

f x0

f x0
o

1 .

0 thì cận trên ở

ta có
1
0

(1.9)

y 0*

.



15
Định lý 1.3.5. Giả sử X ,Y là các không gian lồi địa phương, A : X

Y là

phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm xác định trên X . Đặt
f x

Y , x 0*

trongđó y 0

g Ax

X *,

f * x*

1

g

A

Chứng minh. f * x *

R,

0
1*

x*

x 0* , x

y0

0. Khi đó
x 0*

sup x * , x

x*

g Ax

1

sup

A

1*

x*

x 0* ,y

y

g*

1

A

Hệ quả 1.3.6. i) f x

g x ,

iv) f x

g
g

1*

x*

g x

x 0* , x

g x

iii) f x

v) f x

x 0* , x

0

0

.

,

A x+y 0 , ta được

f * x*

ii) f x

x 0* , A 1y 0
y0

x

Đặt y

0

x ,

x ,

x 0* , A 1y 0

f * x*

x0

g*

f * x*
f * x*

g* x *

g* x *

f * x*
0

0

x*

f * x*

0

1

x 0*

x*

g y

x 0* , A 1y 0

0

.

0

x* , x 0 ;

x 0* ;
1 *

x

;

g* x * ;
g*

1 *

x

.

Định lý 1.3.7. (Định lý Frenchel - Moreau) Giả sử X là không gian lồi địa
phương Hausdorff f : X

,

. Khi đó f

f **

f lồi đóng.

Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1.9. Nếu A là tập lồi trong không gian lồi địa
phương Hausdorff thì bao đóng và bao đóng yếu của A trùng nhau.
) Giả sử f

f ** theo Mệnh đề 1.3.4 f ** là hàm lồi đóng yếu.

Vậy f ** lồi đóng.
) Giả sử f lồi đóng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




16
f ** ,

+ Nếu f x

thì hiển nhiên f

+ Nếu f x

theo Mệnh đề 1.3.3 f **

f .

Vì vậy ta cần chứng minh nếu f là hàm lồi chính thường đóng thì f
Thật vậy giả sử

Ta có epif là tập lồi đóng, epif

tách thứ hai tồn tại y * ,

y,

y* , x 0

epif

Khi đó

và x 0 , f ** x 0

R tách chặt x 0 , f ** x 0

X*

y * ,y

sup

f ** x 0 .

dom f ** sao cho f x 0

x0

0 : Lấy y 1*
f * y 1*
sup
y domf

f * y 1*

dom f * , với t

ty*

sup
y domf

y1* ,y

. Mặt khác theo
.

0 ta có

y 1*

ty * ,y

f y

t sup y* ,y

f y

y domf

t sup y * ,y .

(1.11)

y domf

0 suy ra y* , x

Từ (1.10) với

và epif tức là
(1.10)

Định lý 1.3.4 f * là hàm lồi chính thường, như vậy domf *
Nếu

epif . Theo định lý

f ** x 0 .

0 thì cận trên ở vế phải bằng

0 vì nếu

f ** .

sup y * , y . Vì vậy từ (1.11) ta có
y domf

f ** x 0

y 1* , x 0
Khi t
mâu thuẫn với x 0

f * y 1*

y 1*

ty * , x 0

f * y 1*

t

y 1* , x 0

sup y * ,y

ta suy ra f ** ( x 0 )

ty *

.

y domf

Và như vậy x 0

dom f ** . Điều này

dom f ** ở trên.

Vậy, ta kết luận trường hợp

0 không xảy ra. Do đó, ta luôn có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

0.




17

x* , x 0

f ** x 0

y,

y* ta nhận được

x * ,y

sup

x * ,y

sup

1

và đặt x *

Chia cả hai vế của (1.10) cho

epif

f * x* ;

f y

y domf

x* , x 0

f ** x 0

f * x* .

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức Young - Fenchel. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.3.8. Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X. Khi đó

f x

sup h x : h affine liên tục, h

Chứng minh. Theo định lý Fenchel - Moreau f

f .

f ** . Do đó f x là lân cận

trên của các hàm affine có dạng
x* , x

x

Như vậy, f x

f * x*

sup x * , x

x*

domf * .

f * x*

x

sup h x : h affine liên tục, h
Vì vậy f x

f x .

f

sup h x : h affine liên tục, h

f .

Hệ quả 1.3.9. Giả sử cof là hàm chính thường, khi đó
f **

cof .

Chứng minh. Ta có epif ** là tập lồi đóng do f
Do đó epif

cof

f ** .

f **

(1.12)

f2* . Vì vậy f *

f2 thì f1*

Chú ý rằng nếu f1

epif .

epif f **

co epif
f

f ** nên epif **

*

cof

**

cof

Từ (1.12) và (1.13), ta suy ra f **
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

cof .

(1.13)

cof .



18
Hệ quả 1.3.10. Giả sử cof là hàm chính thường, khi đó
*

f*

.

cof

Chứng minh. Theo hệ quả 1.3.9 f **

f*

cof

*

**

cof

.

Theo Mệnh đề 1.3.6 f * là hàm lồi đóng nên theo Định lý 1.3.7
f*

**

*
f * . Vậy ta có f

*

.

cof

1.4. Dƣới vi phân của hàm lồi
Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng trong các bài toán tối ưu, các
phương pháp tối ưu. Lớp hàm lồi có tính chất gần với tính khả vi mà các lớp
hàm khác không có. Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm f
xác định trên D

X và f : D

R, f x

.

Ta biết rằng trong trường hợp f khả vi tại x 0

domf , thì tại lân cận của x 0 , f

được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó. Đối với hàm lồi , nói chung
là không liên tục và không khả vi.
Định nghĩa 1.4.1. Đạo hàm theo phương d của f tại x 0

X , ký hiệu

f ' x 0 ,d , được xác định như sau

f ' x 0 ,d

lim

f x0

d

f x0

0

nếu giới hạn tồn tại ( có thể hữu hạn hoặc bằng

,
).

Cho X là không gian định chuẩn. Ta nhắc lại; nếu tồn tại ánh xạ tuyến
tính liên tục
Jf( x 0 ) : X

Sao cho f( x 0 )

h

f( x 0 )

Jf( x 0 )h

R

O( h )

0, thì Jf( x 0 ) được gọi là

đạo hàm Galeaux của f tại x 0. Ta dễ dàng chỉ ra rằng Jf( x 0 )h
mọi h

f '( x 0 , h ) với

X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




19
Định nghĩa 1.4.2. Cho D là một tập lồi không rỗng của X và x 0

D . Hướng d

được gọi là hướng chấp nhận được của D tại x 0 nếu tồn tại một số
cho x 0

d

0 sao

D. Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại x 0 được

ký hiệu là T D, x 0 .
Nhận xét. Nếu f là hàm lồi chính thường trên X thì
i) f ' x 0 ,. là hàm thuần nhất dương trên X tức là với mọi

0, f ' x 0, d
ii) Với mọi x

f ' x 0,d ;

domf thì f ' x 0 ,. là dưới tuyến tính.

0 ta có

Chứng minh. i) Với mọi

f ' x 0, d

lim

f x0

d

f x0

f x0

'd

f x0

0

lim

'

'

0

.f ' x 0,d .
ii) Lấy d1,d 2

X ta có

f x
f ' x,d1

d2

lim

2

d1

d2

f x

0

2

f
2 lim

1
x
2

d1

1
x
2

d2

f x

d2

f x

0

lim

f x

d1

f x

f x

0

f ' x,d1

f ' x,d2 .

Vậy f ' x 0,. là dưới tuyến tính.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




20
Mệnh đề 1.4.3. Cho hàm f : X

R là hàm lồi chính thường trên X khi đó

f có đạo hàm theo phương tại mọi điểm x 0

f ' x 0 ,d
Chứng minh. Lấy x 0

t2

X , đặt

domf , d

t 3 với t 1,t 2

dom

do
t3
t3

t2

t3
t2

Suy ra

.
t

f x0

t2

t2
t1

t2
t3

t3
t3

t3

t1

t1
t1

t2
t1

0 . Do vậy với t

dom

' t
Hơn nữa với t 1,t 2
t1

t3 ;

t3

t1

dom . Lấy 3 số

t2

t3

t

;

.

t1

t3

t1

t

t1
t1

t3

t1

t3

dom

t2

t3

t1

t1

t2

t1

t2

.

là hàm không tăng khi

thì

t

t

hàm

có đạo hàm phải ' t

' t,l

lim

dom

và 0

t1

t2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

dt . Khi đó

là hàm lồi nên

0. Nếu t là điểm biên phải của dom

' t1

f x0

0

t2

Lấy t

d

R là hàm lồi chính thường trên R và 0

:R

t1

f x0

inf

domf đồng thời:

t2

t

t

0

t2
t1
t1

giảm dần tới

với mọi

.

t 1 ta có
t2

t2

' t2