Một số dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ MINH TUYÊN

MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ MINH TUYÊN

MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẨN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH

THÁI NGUYÊN - 2015


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình trình bày của riêng tôi. Các kết quả nêu
trong luận văn là trung thực. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bảo trung thực và sự chính xác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Dương Thị Minh Tuyên


ii

LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trịnh Thị Diệp Linh. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Yên Thủy A, Huyện Yên Thủy,
Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt
trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Dương Thị Minh Tuyên


iii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Các điểm kì dị đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm
yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm

5
6

1.1.3. Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến)

không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Hệ cơ học một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Các tính chất của một phương trình vi phân đạo
hàm riêng hỗn hợp

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Mạng của các đường giới hạn của một bất đẳng thức
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Các khái niệm quan trọng trong lý thuyết của phương trình
vi phân ẩn cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Phôi và điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Một số dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn

20

2.1. Các dạng chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Các ánh xạ đối hợp tốt . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2. Các điểm kì dị chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


iv

2.1.3. Các điểm kì dị gấp và lùi . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4. Các điểm kì dị gấp chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5. Các lùi elliptic và hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng . . . . . . 33
2.2.1. Dạng elliptic và hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2. Dạng chuẩn Cibrario . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3. Dạng chuẩn trong lân cận của các điểm kì dị gấp . . 35
2.3. Dạng chuẩn của các chuyển động chậm của phương trình
tích thoát trên đường của sự gián đoạn . . . . . . . . . . . 37
2.4. Các kì dị trên biên của bất đẳng thức vi phân điển hình
trên mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1. Các định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2. Các kì dị gấp trên miền giới hạn xác định . . . . . . 40
2.4.3. Các kì dị gấp vào bên trong của miền dốc . . . . . . 42
Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

1

Mở đầu
Phương trình vi phân không giải được đối với đạo hàm cấp cao (hay
phương trình vi phân ẩn) xuất hiện khi toán học mô tả các hiện tượng tự
nhiên. Chẳng hạn, phân tích trạng thái đặc trưng của phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp 2 trên mặt phẳng dạng hỗn hợp (xem [26], [18],
[27]) hoặc nghiên cứu dáng điệu trường hướng của các đường tiệm cận trên
bề mặt trơn trong không gian ba chiều (xem [8], [25], [12]).
Vấn đề nghiên cứu các phương trình vi phân ẩn bắt đầu được tuyên
bố vào đầu năm 1885 bởi cuộc thi ở Thụy Điển do quốc vương Oscar đệ
nhị đề xuất. Cuộc thi yêu cầu mô tả các đường cong, đưa đến các phương
trình vi phân bao gồm không chỉ nghiên cứu dáng điệu đặc biệt của các
đường cong pha của các trường véctơ, mà còn phân tích các nghiệm đặc
biệt đưa đến các phương trình vi phân ẩn.
Từ vấn đề cần thiết phân tích dáng điệu nghiệm trơn của phương trình
vi phân, có thể nhận được các dạng chuẩn tắc trơn của phương trình vi
phân hay họ các đường cong pha với độ chính xác cho sự lựa chọn các nhóm
được cải tiến. Đối với các trường véctơ trơn điển hình trên mặt phẳng, lý
thuyết của các dạng chuẩn trơn đã hoàn thành chưa lâu khi nhận được
các dạng chuẩn tắc quỹ đạo trơn đối với yên ngựa không cộng hưởng (xem
[4]).
Trong quá trình nghiên cứu, tìm được các dạng chuẩn tắc của phương
trình vi phân không giải được đối với đạo hàm, kết quả cơ bản là phương
trình điển hình trong lân cận của mỗi điểm kì dị, với điểm kì dị mà đường


2

cong trơn biệt thức, đi đến dạng chuẩn y =

dy
+ kx
dx

2

là phép vi đồng

1
phôi của mặt phẳng (x, y) (với các đồng phôi có thể đạt được k = 1, ,
9
1
hay ). Phương trình điển hình với hàm số trơn F có dạng
4
F (x, y, p) = 0,

(1)

dy
, mặt trơn được xác định trong không gian ba chiều của
dx
các 1−tia của các hàm số y(x) (với các tọa độ x, y, p) bề mặt trơn. Mặt
trong đó p =

này sẽ gọi là bề mặt của phương trình (1). Ánh xạ gấp của phương trình
(1) được gọi là phép chiếu dọc theo trục p lên mặt của phương trình (1)
trên mặt phẳng (x, y). Điểm tới hạn của gấp gọi là điểm kì dị của phương
trình, các điểm kì dị của phương trình tạo thành criminant của phương

trình. Phép chiếu của criminant trên mặt phẳng (x, y) gọi là biệt tuyến.
Mỗi điểm của criminant của phương trình có điểm tới hạn là gấp hoặc là
lùi Whitney của gấp của phương trình (1).
Trong không gian của các 1−tia xác định trường của các mặt phẳng
tiếp xúc dy = pdx. Điểm kì dị của phương trình F = 0 gọi là chính quy,
nếu thỏa mãn điều kiện của các criminant trơn trong điểm này

rank((x, y, p) → (F, Fp )) = 2
và criminant không tiếp xúc trong điểm này của mặt phẳng tiếp xúc.
Dạng chuẩn p2 = x của phương trình F = 0 trong lân cận của điểm kì
dị chính quy của phương trình đã được tìm thấy, có lẽ là, đồng thời bởi
Dara L. [15] và Bruce I. W., người mà đã sử dụng dạng p2 = xE(x, y),
trong đó E là hàm số trơn, nhận bởi Thom R. [26].
Dara L. trong nghiên cứu của mình đã chỉ ra rằng, đối với hàm F từ
tập mở trù mật hầu khắp trong không gian của các hàm số này với tôpô
mịn C 3 Whitney phương trình F = 0 có thể có các điểm kì dị không chính
quy chỉ của năm dạng : yên ngựa gấp tốt, điểm nút gấp tốt, tiêu điểm gấp
tốt, nếp gấp elliptic, nếp gấp hyperbolic. Từ năm dạng điểm kì dị trên, ba


3

dạng đầu được gọi là gấp tốt, còn hai dạng cuối gọi là các dạng đặc biệt.
Ba dạng đầu được mô tả tương ứng trong Hình 1.8a-c.
Dara L. đã trình bày giả thuyết rằng, phương trình (1) địa phương
trong lân cận của mỗi điểm kì dị gấp tốt của tôpô tương đương nhận được
1
1
p2 + χx2
nếu χ < 0, 0 < χ < , và χ > tương ứng

phương trình y =
2
4
4
với yên ngựa, điểm nút, và tiêu điểm, phương trình x = p3 − yp trong
trường hợp của nếp xếp elliptic, phương trình x = p3 + yp trong trường
hợp của nếp xếp hyperbolic.
Nội dung của luận văn chủ yếu trình bày lại các kết quả của bài báo
[14] và một số kiến thức liên quan trong tài liệu [12]. Ngoài phần mở đầu,
kết luận, và tài liệu tham khảo luận văn được chia thành hai chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 chúng tôi trình bày một vài ví dụ dẫn đến vấn đề nghiên
cứu và các khái niệm cơ bản của hàm ẩn.
Chương 2. Một số dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn
Trong chương 2 chúng tôi trình bày một số định lý chính trên các dạng
chuẩn.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài ví dụ dẫn đến vấn đề
nghiên cứu và định nghĩa các khái niệm cơ bản của lý thuyết các hàm ẩn.

1.1.

Các điểm kì dị đơn giản

Xét hệ phương trình vi phân

dx


= P (x, y);
dt

 dy = Q(x, y).
dt

(1.1)

Điểm (x0 , y0 ) mà tại đó P (x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = 0 được gọi là điểm
cân bằng của hệ (1.1) hoặc điểm kì dị.
Bây giờ ta xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bắt đầu
từ hệ 2 phương trình

dx


= a11 x + a12 y;
dt
(1.2)

 dy = a21 x + a22 y,
dt

a11 a12
= 0. Điểm (0, 0) là

a21 a22
điểm cân bằng của hệ (1.2). Ta hãy nghiên cứu đặc tính của các quỹ đạo
đối với hệ (1.2) ở lân cận điểm đó. Ta tìm nghiệm dưới dạng

trong đó aij (i, j = 1, 2) là các hằng số và

x = a1 ekt , y = a2 ekt .

(1.3)


5

Để xác định k ta có phương trình đặc trưng

a11 − k
a12
= 0.
a21
a22 − k

(1.4)

Ta sẽ xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra và đưa ra khái niệm các
điểm kì dị.
1.1.1.

Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa

Các nghiệm của (1.4) là thực và khác nhau. Trong trường hợp này có

thể xảy ra 3 trường hợp sau:
i. k1 < 0; k2 < 0. Điểm kì dị sẽ ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định,
Hình 1.1a).

Hình 1.1:

ii. k1 > 0; k2 > 0. Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn
định, Hình 1.1b).
iii. k1 > 0; k2 < 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình
1.2a).

Hình 1.2:


6

1.1.2.

Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm

Các nghiệm của (1.4) là phức: k1 = p + qi; k2 = p − qi. Ở đây có 3
trường hợp sau:
i. p < 0; q = 0. Điểm cân bằng ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định,
Hình 1.2b).
ii. p > 0; q = 0. Điểm cân bằng không ổn định (tiêu điểm không ổn
định, Hình 1.3a).

Hình 1.3:

iii. p = 0; q = 0. Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm

cận (tâm điểm, Hình 1.3b).

Hình 1.4:

1.1.3.

Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định

Phương trình (1.4) có nghiệm kép (k1 = k2 ). Ở đây có 2 trường hợp:
i. k1 = k2 < 0. Điểm cân bằng ổn định trên tiệm cận (điểm nút (suy
biến) ổn định, Hình 1.4a-b).
ii. k1 = k2 > 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm nút (suy biến)
không ổn định, Hình 1.4c).


7

Chú ý. 1. Nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều có
phần thực âm thì điểm cân bằng ổn định tiệm cận. Còn nếu chỉ cần một
nghiệm của (1.4) có phần thực dương thì điểm cân bằng sẽ không ổn định.
2. Những kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất với hệ số hằng

dxi
=
dt

n

aij xj (i = 1, 2, ..., n).

j=1

3. Để ngắn gọn đôi khi ta có thể viết x˙ (y,
˙ z,
˙ ...) thay cho

1.2.

(1.5)

dx dy dz
( , , ...).
dt dt dt

Một vài ví dụ

Chúng ta bắt đầu với các ví dụ của ba hiện tượng trong đó các phương
trình vi phân ẩn cấp 1 đóng vai trò quan trọng.
1.2.1.

Hệ cơ học một chiều

Xét một khối lượng điểm trượt (chuyển động) trong một đường dưới
tác động của hai lực. Một lực trơn (nghĩa là của lớp C ∞ ) điện thế u phụ
thuộc vị trí x của một điểm trên đường thẳng.
Bằng định luật Niutơn thứ 2, phương trình của chuyển động có thể viết
như sau
m¨
x = −Ux (x) − k(x)x,
˙

∂U
dx
trong đó m là khối lượng của mảnh nhỏ, Ux =
, và x˙ =
. Hệ là tán
∂x
dt
xạ vì khi điểm chuyển động năng lượng tổng cộng giảm (nhờ có ma sát).
Chúng ta suy ra phương trình sau do quá trình trên

mx˙ 2
+ U (x) = mx¨
˙ x + Ux (x)x˙
2
t
= (m¨
x + Ux (x))x˙ = −k(x)x˙ 2
E − U (x)
= −2k(x)
.
m
E − U (x)
Do đó, E˙ = −2k(x)
. Từ phương trình do tổng năng lượng ta
m
2(E − U (x))
tìm được x˙ 2 =
. Vì vậy, họ của hệ quỹ đạo trong mặt phẳng
m
E˙ =

8

với các biến x, E (năng lượng cân bằng mặt phẳng) trùng với họ của các
đường cong tích phân của phương trình ẩn cấp 1

dE
dx

2

2k 2 (x)(E − U (x))
=
.
m

(1.6)

Do đó, phương trình này không thể tìm ra lời giải trơn với mối quan hệ
đạo hàm trong lân cận một điểm của đồ thị hàm số E = U (x).

Hình 1.5:

Mặt phẳng pha biến đổi vào trong năng lượng cân bằng mặt phẳng dưới
mx˙ 2
+ U (x) . Tập hợp của các điểm
ánh xạ gấp, nghĩa là (x, x)
˙ → x,
2

tới hạn của ánh xạ này trùng với đồ thị của hàm số E = U (x) trong năng
lượng cân bằng mặt phẳng. Điều này chỉ ra rằng, mỗi điểm tới hạn của
ánh xạ gấp của mặt phẳng pha là một gấp Whitney (nghĩa là trong lân
cận của điểm tới hạn, ánh xạ có dạng (u, v) → (s = u, r = v 2 ) trong các
tọa độ tương ứng (u, v) và (s, r) trong các không gian nguồn và đích với
các gốc tại điểm này và hình ảnh tương ứng của nó).
Mỗi điểm tới hạn x0 của điện thế U có một điểm kì dị tương ứng (x0 , 0)
−Ux (x) k(x)x˙
của hệ trong mặt phẳng pha.
của trường vận tốc x,
˙
−
m
m
Dưới ánh xạ gấp của mặt phẳng pha điểm kì dị đi vào trong điểm kì dị
gấp của phương trình (1.6). Do Uxx (x0 ) < 0, 0 < 4mUxx (x0 ) < k 2 (x0 ),
hoặc k 2 (x0 ) < 4mUxx (x0 ) điểm kì dị này tương ứng là một yên ngựa, nút
thắt, hay một tiêu điểm.
Ví dụ các điểm tới hạn −1, 0, và 2 của điện thế

4x3
U (x) = x −
− 4x2 + 11
3
tại đó tương đương ba điểm kì dị (−1, 0), (0, 0), và (2, 0) của hệ trường vận
4


9

tốc trong mặt phẳng pha, và tương ứng ba điểm kì dị gấp −1,

28
, (0, 11),
3

1
trong năng lượng cân bằng mặt phẳng. Vì khối lượng m = 1 và
3
hệ số hằng của ma sát k = 8 do đó các điểm kì dị là tương ứng một nút,
một yên ngựa, và một tiêu điểm. Dáng điệu của họ của hệ quỹ đạo trong
lân cận của các điểm kì dị gấp của các dạng tương ứng minh họa trong
Hình 1.5a-c. Đường đôi là đồ thị của hàm E = U (x); các đường nét gạch
biểu diễn các hình ảnh, dưới ánh xạ gấp của mặt phẳng pha, các phần của
các quỹ đạo pha nằm trong các nửa mặt phẳng trên và dưới, tương ứng;
điểm kì dị là chính nó mô tả bởi một đường tròn nhỏ.

và

2,

1.2.2.

Các tính chất của một phương trình vi phân đạo hàm riêng hỗn hợp

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 trong mặt phẳng với các biến
x, y dạng

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1.7)

trong đó a, b, c là các hàm số khả vi, F là một hàm số đã cho, và u là hàm
số chưa biết. Các miền hàm số ở đây ∆ = b2 − ac là âm và dương tương
ứng gọi là các miền elliptic và hyperbolic.
Phương trình vi phân ẩn

a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0
(trong một dạng là đối xứng với mối quan hệ dx và dy ) gọi là phương trình
đặc trưng của phương trình (1.7).
Trong lân cận mọi điểm của miền hyperbolic, đường cong đặc trưng
phân tích vào trong hai phương trình cấp 1 mô tả 2 nhánh trơn của trường
các hướng.
Các đường cong tích phân của trường này gọi là các đặc trưng. Chúng
đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của phương trình vi phân đạo hàm
riêng.
Trong trường hợp tổng quát, gradient của một hàm ∆ là khác 0 trên
tất cả các điểm mà ở đấy hàm số tự nó triệt tiêu. Như vậy, đường mức 0
của hàm số là đường cong trơn (một cách chính xác hơn, được nhúng trơn)


10

trong mặt phẳng. Đây là đường cong dạng biến đổi thay cho phương trình
(1.7) trong miền elliptic nằm trên một phía của đường, và miền hyperbolic
trên phía khác. Do đó, (1.7) là phương trình hỗn tạp trong lân cận của
mỗi điểm của đường cong này. Trong trường hợp chung, các hàm số a và
c không triệt tiêu một cách đồng thời tại một điểm nào đó trên đường của
dạng biến đổi vì nếu không thì gradient của hàm số ∆ tại điểm này có thể
cũng triệt tiêu. Do đó, trong lân cận của một điểm như thế phương trình

đặc trưng có thể đã được rút gọn về phương trình bậc 2 với mối quan hệ
dy
dx
đạo hàm
hoặc
bằng cách phân chia nó tương ứng bằng dx2 hoặc
dx
dy
dy 2 . Do đó, chúng ta nhận được một phương trình ẩn cấp 1 gần giống
dạng phương trình đường thay đổi không khó hơn khi phân tích vào hai
phương trình cấp 1 trơn và không giải được với đạo hàm. Khi phép xấp xỉ
trên một đường của 2 hướng đặc trưng tiến đến 2 hướng khác, trên một
đường chính nó trùng khớp nhau và xác định một trường trơn của các
đường thẳng trên nó. Nói chung, trường quay khi chuyển động dọc theo
một đường và bởi vậy nó có thể tiếp xúc đường ở một vài điểm cấp 1 của
sự tiếp xúc. Tại một điểm của véctơ tiếp xúc (−∆y, ∆x) xác định một
hướng đặc trưng và thỏa mãn đường cong

a(x, y)∆2x + 2b(x, y)∆x∆y + c(x, y)∆2y = 0.
Trong một trường hợp chung, họ của các đặc trưng của các phương trình
(1.7) có một điểm kì dị gấp ở tại điểm tiếp xúc. Tính kì dị có thể là một
yên ngựa, một điểm nút, hay một tiêu điểm (Hình 1.5a-c tương ứng, nhưng
trong sự tương phản với các quỹ đạo của một hệ cơ học không hướng của
chuyển động đã định nghĩa trên các đặc trưng của phương trình (1.7)).
Chẳng hạn, cho phương trình

uxx + (kx2 − y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0
số không là một yên ngựa gấp, một nút gấp, hay một tiêu điểm gấp tương
1
1

ứng đối với k < 0, 0 < k < , hoặc
< k . Sẽ được trình bày trong Mục
16
16
2.2 mặc dù mỗi phương trình (1.7) là rút gọn được đến dạng này (với k
nào đó) trong một lân cận các điểm kì dị gấp.


11

1.2.3.

Mạng của các đường giới hạn của một bất đẳng thức vi phân

Hình dung rằng, một luồng nước chảy với trường vận tốc (−x, −βy), β >
0, trong một biển phẳng có một người bơi là số 0. Người bơi có thể chuyển
động trong nước bất động theo hướng nào đó với vận tốc không vượt quá
1. Một người bơi có thể lấy các bước (đường đi) có thể được mô tả bởi bất
đẳng thức vi phân (x˙ + x)2 + (y˙ + βy)2 ≤ 1. Bất đẳng thức x2 + β 2 y 2 > 1
xác định một miền ngâm nước, ở đây người bơi không thể đối kháng lại sự
chảy. Ở mỗi điểm của miền ngâm nước các hướng của người bơi chấp nhận
được các vận tốc tại dạng này ở một góc không quá 180o . Các cạnh của
góc được gọi là các hướng giới hạn được xác định trong một miền ngâm
nước.
Định nghĩa 1.1. Đường cong tích phân của phương trình ẩn là đường
cong tích phân của trường các hướng trên mặt của phương trình.
Đường cong tích phân của trường được gọi là các đường giới hạn.
Các đường này nằm trong các đường cong tích phân của phương trình
vi phân ẩn cấp 1

(xdy − βydx)2 (x2 + β 2 y − 1) = (xdx + βydy)2
(phương trình là đối xứng với mối quan hệ dx và dy ) và (1.7) trong lân
cận của mỗi điểm biên của một miền dốc, phương trình không thể tìm ra
dy
dx
lời giải trơn với mối quan hệ đạo hàm
hoặc
.
dx
dy

Hình 1.6:

Khi xấp xỉ biên của một miền dốc từ bên trong, góc đã tạo thành bởi


12

các hướng giới hạn tiến đến góc thẳng. Tại một biên, các hướng giới hạn
xác định một trường trơn của các đường thẳng. Tóm lại, như trong ví dụ
trước, trường này quay khi chúng chuyển động dọc theo biên. Do đó, trong
trường hợp tổng quát, có thể có tiếp xúc cấp 1 với biên tại một vài điểm.
Trong trường hợp chung, tại mỗi điểm của tiếp tuyến, mạng của các đường
giới hạn có một điểm kì dị gấp là một yên ngựa, một điểm nút, một tiêu
điểm.
Hình 1.6 mô tả mạng các đường giới hạn của bất đẳng thức vi phân đối
với β > 2. Đường đôi trong hình là biên của miền dốc, các đường nét gạch
và liền nét là các đường giới hạn. Chúng ta có thể nhìn thấy các điểm kì
1
.

dị gấp là các yên ngựa tại (±1, 0) và các điểm nút tại 0, ±
β
Các đường giới hạn là quan trọng trong nghiên cứu các biên của các
tập hợp có thể đạt được. Ví dụ, trong Hình 1.6, tập hợp của các điểm mà
người bơi có thể đạt tới từ điểm 0 là một miền mở. Nó là biên bởi các bao
đóng là hợp của bốn đường giới hạn đi vào các nút gấp.

1.3.

Các khái niệm quan trọng trong lý thuyết của phương
trình vi phân ẩn cấp 1

Trong tất cả ba ví dụ đã nói ở trên chúng ta đã nhận được một phương
trình ẩn mô tả một trường hướng hai giá trị. Tổng quát, nghiên cứu phương
trình ẩn

F (x, y, p) = 0,

(1.8)

dy
trong đó p =
và F là một hàm trơn, xác định một trường hướng đa
dx
trị.
Ví dụ 1.1. Xét phương trình p3 − 3yp − x = 0
Ta có
3

p − 3yp − x = 0 ⇒

y = −2p3
x=p

2

⇒ y 2 = 4p6 ⇒ y 2 = 4x3

trường hướng là ba giá trị trong miền y 2 < 4x3 , hai giá trị là một phần


13

của parabolic nửa bậc ba y 2 = 4x3 nằm trong đúng nửa mặt phẳng, và
giá trị đơn nằm trong phần còn lại của mặt phẳng.
Chúng ta đồng nhất hóa không gian của phương trình ẩn với không gian
của các hàm số trơn F và nó cung cấp một tôpô mịn C 3 Whitney. Lân cận
của hai hàm số trong tôpô này là các đạo hàm từ cấp 1 tới cấp 3 chứa tại
tất cả các điểm trong không gian của các giá trị x, y, p.
Đối với phương trình điển hình (1.8) gradient của hàm số F là khác
không tại tất cả các điểm mà hàm số tự nó triệt tiêu.
Thực vậy, đồng thời đang triệt tiêu cả hai hàm, và gradient của nó tác
động bốn điều kiện độc lập lên điểm trong không gian ba chiều và vì đây
là hiện tượng tương tự không được nghiên cứu đối với một phương trình
điển hình. Nói chung, một phương trình ẩn xác định một mặt trơn trong
không gian của các ẩn x, y, p của không gian này được gọi là không gian
các 1−tia của các hàm số y(x), và mặt gọi là mặt của phương trình.
Định nghĩa 1.2. Phương trình vi phân ẩn cấp 1 trên mặt phẳng R2x,y cho
cấp 0 của hàm số trơn trong không gian của các hướng trên mặt phẳng,
mặt phẳng được gọi là mặt của phương trình.

Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát là phương trình từ
tập mở trù mật hầu khắp nơi nào đó của tập hợp trong không gian tôpô
được lựa chọn. Giả sử rằng không gian của phương trình vi phân ẩn trong
hệ tôpô trơn Whitney.
Định nghĩa 1.3. Giới hạn trên mặt của phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo
trục của các hướng, nghĩa là ánh xạ của mặt này trên mặt phẳng pha
(thường gọi là hướng) được gọi là gấp của phương trình ẩn.
Mệnh đề 1.1. Gấp của phương trình ẩn điển hình có các điểm tới hạn
chỉ có dạng nếp uốn và dạng lùi Whitney.
Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ gấp của phương trình ẩn là phép chiếu của
phương trình mặt trên mặt phẳng với các biến x, y dọc theo trục p.
Một điểm trên mặt gọi là chính quy nếu nó không là một điểm tới hạn
gấp của phương trình. Các điểm khác của phương trình mặt gọi là các kì
dị dạng criminant.


14

Định nghĩa 1.5. Tập hợp của các điểm tới hạn gấp của phương trình ẩn
gọi là criminant của phương trình.
Đối với một phương trình ẩn điển hình, mỗi điểm tới hạn của phương
trình gấp (nghĩa là một điểm trên criminant) là một gấp Whitney, hay
một điểm lùi Whitney (hay nếp gấp). Trong một lân cận của một điểm tới
hạn, điểm là lùi Whitney, ánh xạ có thể viết dưới dạng

(u, v) → (r = u, s = v 3 − uv),
trong các tọa độ trơn địa phương thích hợp với u, v và r, s trong các không
gian nguồn và đích với các gốc tại điểm đó và hình ảnh tương ứng của nó.
Đặc biệt, criminant chính là đường cong trơn (nghĩa là được nhúng trơn)
trong không gian của các 1−tia.

Hình 1.7:

Ví dụ 1.2. Cho phương trình p3 − 3xp − y = 0 criminant được xác định
bởi phương trình x = p3 , y = −2p3 , và đường cong biệt tuyến trùng với
parabolic nửa bậc ba y 2 = 4x3 (Hình1.7). Các điểm (0, 0, 0) là điểm lùi
Whitney của phương trình gấp. Các điểm còn lại của phương trình mặt là
các điểm chính quy của phương trình.
Trường hướng trên phương trình mặt là nhát cắt bởi trường của các
mặt phẳng tiếp xúc, các mặt phẳng được định nghĩa trong không gian của
các 1−tia các hàm số có dạng α = dy − pdx. Mặt phẳng tiếp xúc tại một
điểm trong không gian này bao gồm tất cả các véctơ được ứng dụng tại


15

điểm, mà trên các điểm đó có dạng triệt tiêu. Có thể thấy rằng mặt phẳng
tiếp xúc luôn luôn bao hàm hướng của trục p, nghĩa là hướng thẳng đứng.
Trường hướng cắt bởi cấu trúc tiếp xúc trên phương trình mặt là trơn
trong lân cận của mỗi điểm, với mặt phẳng tiếp xúc không là tiếp tuyến
mặt. Đặc biệt, đây là hướng luôn luôn thỏa mãn tại mỗi điểm chính quy
của hàm số. Điều đó rõ ràng rằng, trong mặt phẳng x, y , ngoài đường cong
biệt tuyến, hình ảnh cắt trường dưới phương trình gấp trùng với trường
hướng đa trị của phương trình.
Mệnh đề 1.2. Đối với phương trình điển hình mặt phẳng tiếp xúc và mặt
phẳng tiếp tuyến của phương trình mặt trùng duy nhất tại các điểm đã biết
của criminant, trong phép cộng là các gấp Whitney của phương trình gấp.
Chứng minh. Criminant của một phương trình điển hình là một đường
cong trơn trong không gian của các 1−tia. Tại mỗi điểm của đường cong
này là hai mặt phẳng thẳng đứng : mặt phẳng tiếp tuyến với phương trình

mặt và mặt phẳng tiếp xúc. Vì vậy, hai trường của các mặt phẳng thẳng
đứng được định nghĩa trên criminant. Nói chung, khi chuyển động dọc theo
criminant, đây là hai trường quay vòng quanh hướng thẳng đứng. Do đó,
đối với phương trình điển hình các trường này có thể tiếp xúc khác với mỗi
tiếp xúc cấp 1 tại một điểm không là điểm lùi Whitney của phương trình
gấp. Các điểm như thế của tiếp tuyến sẽ gọi là các điểm kì dị gấp.
Như vậy, trường hướng cắt trên mặt của một phương trình điển hình
bởi cấu trúc tiếp xúc là trơn mọi nơi ngoại trừ các điểm kì dị gấp.
Chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu của trường này trong lân cận của một
điểm kì dị gấp. Hệ tọa độ trong mặt phẳng của các biến x, y với nguồn tại
điểm ảnh của điểm đó dưới phương trình gấp là sự lựa chọn, vì thế ảnh
của criminant trong lân cận đủ nhỏ của điểm thuộc về trục tọa độ Đề các
vuông góc. Với sự lựa chọn này của hệ tọa độ, điểm kì dị gấp được xét đến
trùng với điểm (0, 0, 0) trong không gian của các 1−tia của hàm số, và mặt
phẳng tiếp tuyến với phương trình mặt tại O trở thành mặt phẳng y = 0.
Tuy nhiên, đối với phương trình điển hình (1.8) gradient của hàm số F là
khác không tại tất cả các điểm ở đây hàm số tự nó triệt tiêu. Do đó, đối
với phương trình điển hình trong hệ tọa độ này chúng ta có Fy (0, 0, 0) = 0.


16

Do định lý hàm số ẩn, trong một lân cận của O phương trình là tương
đương với phương trình y = f (x, p), trong đó hàm số f là hàm số trơn
và f (0, 0) = 0 = fx (0, 0) = fp (0, 0) nhờ có sự lựa chọn của hệ tọa độ.
Vì thế, trong lân cận của O thì x và p có thể lấy như tọa độ địa phương
trên phương trình mặt. Trong các tọa độ này trường hướng dưới sự xét
đến trùng nhau trong lân cận của O với trường hướng của phương trình
trơn pdx = fx (x, p)dx + fp (x, p)dp hoặc (fx (x, p) − p)dx + fp (x, p)dp = 0.
Phương trình này có một điểm kì dị tại O bởi vì fx (0, 0) = fp (0, 0) = 0.

Như vậy, trong lân cận của điểm kì dị gấp được trường hướng cắt trên
phương trình mặt bởi cấu trúc tiếp xúc là trường hướng của một phương
trình vi phân trơn trên mặt này, đối với mặt có điểm kì dị. Đối với một
phương trình điển hình, một điểm kì dị không suy biến của trường véctơ
(fp (x, p), p − fx (x, p)), do đó nó có thể là một yên ngựa, một điểm nút,
hoặc một tiêu điểm. Hơn nữa, trong trường hợp của một yên ngựa hay
một điểm nút các véctơ riêng tuyến tính hóa của trường véctơ tại điểm đó
là đường hoành criminant của phương trình và nhân của ánh xạ đạo hàm
gấp tại một điểm, và các giá trị riêng tương ứng có môđun khác nhau. Do

Hình 1.8:

đó, các điểm kì dị gấp của phương trình ẩn điển hình có thể đã được phân
loại như các yên ngựa, các điểm nút, các tiêu điểm. Có ba kiểu điểm kì dị
biểu diễn ở Hình 1.8a-c, tương ứng. Mũi tên thẳng đứng trong các hình
ký hiệu phương trình ánh xạ gấp. Các sơ đồ trên biểu diễn họ các đường
cong tích phân của trường hướng phương trình vi phân ẩn điển hình trên
mặt của nó. Các sơ đồ dưới chứng minh các ảnh của các họ, dưới phương


17

trình ánh xạ gấp: các đường liền nét là ảnh các phần của các đường cong
tích phân từ một lớp của lớp phủ ngoài, và các đường gạch nét là biến đổi
từ sơ đồ trên. Đường đôi mô tả criminant và đường cong biệt tuyến (Hình
1.5a-c).

Hình 1.9:

Điểm kì dị của phương trình (1.8) gọi là chính quy nếu criminant là

trơn tại điểm, nghĩa là hạng của ánh xạ ((x, y, p) → (F, Fp )) bằng 2 và
criminant không tiếp tuyến với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm này. Thấy
rằng, các điểm kì dị gấp thuộc về lớp của các điểm kì dị không biệt tuyến.
Điểm lùi Whitney của phương trình gấp cũng là các điểm kì dị không
chính quy. Các điểm tới hạn sẽ gọi là các điểm kì dị lùi (hay gấp). Đối với
phương trình điển hình trường hướng trong lân cận của điểm kì dị lùi là
trơn, và ảnh của các họ các đường cong tích phân dưới phương trình gấp
có thể có hai dạng vi phân (Hình 1.9 a-b, ký hiệu như trong hình trước
với các đường chấm chấm mô tả các đường cong tích phân từ ba lớp của
một lớp phủ ngoài). Sau đây Dara L. [15], hai kiểu của các điểm kì dị lùi
sẽ gọi là lùi hyperbolic và lùi elliptic, tương ứng. Trong Mục 2.1.3 chúng ta
sẽ có mặt một điều kiện giải tích rằng có thể phân biệt giữa hai kiểu này
của các điểm kì dị.


18

Dara L. [15] trình bày rằng phương trình ẩn điển hình có thể chỉ có năm
kiểu của các điểm kì dị không biệt tuyến : một yên ngựa gấp, một điểm
nút gấp, một tiêu điểm gấp, một lùi elliptic, và một lùi hyperbolic. Phương
trình mặc dù giả định rằng phương trình điển hình trong một lân cận của
nó các điểm kì dị là tôpô (nghĩa là trong một hệ tọa độ liên tục phù hợp)
p2 + χx2
1
tương đương với phương trình y =
với χ < 0, 0 < χ < , và
2
4
1
< χ, tương ứng đối với một yên ngựa gấp, một điểm nút gấp, một tiêu

4
điểm gấp, với phương trình x = p3 − yp đối với một điểm lùi elliptic, và
phương trình x = p3 + yp đối với một điểm lùi hyperbolic. Trong Mục
2.1.4 chúng tôi trình bày rằng tính tương đương với ba dạng chuẩn của
các điểm kì dị gấp thực hiện trong thực tế nơi lấy, và C ∞ −phương trình
hiện nay rút gọn được chúng (dưới các điều kiện bổ xung đã tác động trên
các giá trị riêng của tuyến tính hóa của trường hướng trên phương trình
tại điểm kì dị, các điều kiện này là công thức sau nhận xét của Định lý
2.3) bởi các phương pháp của phép C ∞ −vi đồng phôi của mặt phẳng x, y .
Tôpô tương đương khử bỏ tham số χ trong mỗi lực của ba lực chuẩn. Do
đó, các điểm kì dị gấp được của lời giải một phương trình với quan hệ đạo
hàm có một môđun đơn giản dưới phép vi đồng phôi và cũng như thế các
điểm kì dị của các phương trình thông thường là cấu trúc ổn định với mối
quan hệ các phép vi đồng phôi. Trong Mục 2.1.5 chúng ta sẽ trình bày
rằng, Dara L. trình bày trường hyperbolic không đúng với các tính kì dị
lùi bởi vì các dạng chuẩn tôpô của chúng phải chứa hàm môđun.

1.4.

Phôi và điểm kì dị

Định nghĩa 1.6. Hai đối tượng có tính chất giống nhau (các tập hợp, các
trường véctơ, các họ của đường cong, phép ánh xạ,...) được gọi là tương
đương tại một điểm nếu chúng trùng nhau trong một lân cận của điểm.
Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của
nó tại điểm đó.

x + |x|
có
2

một phôi chung tại mỗi điểm của nửa trục x dương và các phôi khác tại
Ví dụ 1.3. Các hàm số của một biến g1 (x) = x và g2 (x) =


19

mỗi điểm khác.
Định nghĩa 1.7. Hai phôi (có tính chất như nhau) được gọi là phép
C k −vi đồng phôi nếu tại đó tồn tại một phôi của phép C k −vi đồng phôi
dịch chuyển phôi thứ nhất trong phôi thứ hai. Lớp các phôi của phép
C k −vi đồng phôi được gọi là một điểm C k −kì dị hay đơn giản là một kì
dị.
Nhận xét. Một phép C k −vi đồng phôi là ánh xạ 1 − 1 mà cùng với
nghịch đảo của nó là khả vi k lần, còn phép C 0 −vi đồng phôi gọi là phép
đồng phôi.
Ví dụ 1.4. Tập hợp y = x2 − 1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như nhau
tại các điểm (−1, 0) và (1, 0) trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x| tại
O (Hình 1.10).

Hình 1.10:

Định nghĩa 1.8. Hai sự biến dạng (của phôi) của phương trình ẩn gọi là
tương đương trơn nếu hai sự biến dạng tạo thành một trong phép vi đồng
phôi trơn khác (tương ứng phôi của phép vi đồng phôi trơn).
Định nghĩa 1.9. Sự biến dạng (của phôi) của phương trình vi phân ẩn
gọi là quy nạp từ phôi khác nếu phôi thứ nhất từ các phôi nhận được ánh
xạ trơn của phôi cơ sở trong phôi cơ sở thứ hai.