Bài toán Sylvester và bài toán fermat - Torricelli cho các hình cầu Euclid

Header Page 1 of 166.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
-----------------------------------------

HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN
FERMAT – TORRICELLI CHO
CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
-----------------------------------------

HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT–
TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ : 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. ĐỖ VĂN LƯU

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 3 of 166.

Lời cảm ơn
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
PGS.TS. ĐỗVăn Lưu – Người Thầy đã luôn giúp đỡ và hướng dẫn em trong
suốt học tập và làm luận văn này.
Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội. Em xin cảm ơn
tới các Giáo sư, Tiến sỹ và các Thầy, cô giáo trong bộ môn Toán đã giảng dạy
cho em những kiến thức cơ bản, nền tảng quý báu trong thời gian học cao học.
Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành khóa luận này.
Cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long,
chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, đã luôn thân thiện và nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong thời gian học tập vừa qua.
Tôi cảm ơn những người thân yêu trong gia đình và các bạn bè luôn
ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong suốt quá trình học
tập và thời gian làm luận văn.
Tác giả

Hoàng Thị Thùy Linh

Footer Page 3 of 166.


Header Page 4 of 166.

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu......................................................................................................1
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI
VI PHÂN HÀM LỒI
1.1.

Tập lồi và nón lồi.....................................................................3

1.1.1. Tập lồi......................................................................................3
1.1.2. Nón lồi.....................................................................................4
1.2.

Hàm lồi.....................................................................................8

1.2.1. Hàm lồi.....................................................................................8
1.2.2. Các phép toán về hàm lồi.......................................................14
1.3.

Dưới vi phân hàm lồi.............................................................17

1.4.

Dưới vi phân hàm max..........................................................23

Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID
2.1.

Khái niệm và định nghĩa.......................................................25

2.2.

Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid...........................26

2.2.1. Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu..............26
2.2.2. Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu....................32
2.3.

Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid.............49

2.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm tối ưu............49
2.3.2. Cấu trúc nghiệm...............................................................56
KẾT LUẬN.......................................................................................63
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................64

Footer Page 4 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 5 of 166.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi
và ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như:
Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau về hàm liên hợp, Định
lý Moreau – Rockafellar về dưới vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker
cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi các đối
tượng đẹp trong tối ưu hóa.Với các bài toán lồi ta có các điều kiện đặc
trưng cho nghiệm của bài toán đó dưới ngôn ngữ dưới vi phân của hàm
lồi.
Trong toán sơ cấp nhiều bài toán được phát biểu với các hàm lồi.
Với các bài toán cực trị, hàm lồi đóng một vai trò rất quan trọng. Cực trị
địa phương của hàm lồi trên miền lồi cũng là cực tiểu toàn cục, cực đại của
một hàm lồi trên một đa giác lồi đạt tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Nhiều bài toán sơ cấp hay được phát biểu theo hướng này. Bài toán
Sylvester cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ
hữu hạn các hình cầu Euclid. Tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các
hình cầu của họ thứ nhất và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai”. Bài
toán Fermat – Torricelli cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “
Cho hai họ các hình cầu Euclid. Hãy tìm một điểm làm cực tiểu tổng
khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần
nhất đến các hình cầu của họ thứ hai”. Các bài toán đó được nghiên cứu
bằng công cụ giải tích lồi trong [3]. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “BÀI
TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI
CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID ”
4

Footer Page 5 of 166.


Header Page 6 of 166.

2. Nội dung đề tài
Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân
hàm lồi và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và
cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli của N. M.
Nam, N. Hoang và N. T. An đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 160
(2014) bằng phương pháp giải tích lồi.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1: “Các kiến thức cơ bản vê hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi”
Trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và các phép
toán về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân của hàm max.
Chương 2: “ Bài toán Sylester và bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu
Euclid”
Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, điều kiện
tối ưu và cách giải của Nam – Hoang – An (2014) cho bài toán Sylester
với các hình cầu Euclid và bài toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu
Euclid. Trường hợp quan trọng của bài toán Sylester với ba hình cầu và
mối quan hệ với bài toán Apollonius cũng được trình bày trong chương
này.

5

Footer Page 6 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 7 of 166.

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN
HÀM LỒI
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và
các phép toán về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi phân của hàm
max. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong [1], [2].

1.1. TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI
1.1.1. Tập lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1
Tập A  X được gọi là lồi, nếu:
 x1, x2  A,    R : 0    1   x1 + (1 -  ) x2  A .

Giả sử A  X; x1, x2  A .
Định nghĩa 1.2
Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa như sau:
[x1, x2] = { x  A : x =  x1 + (1 -  ) x2, 0    1}.
Định nghĩa 1.3
Vectơ x  X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1, ... , xm  X , nếu
i  0 ( i = 1, ..., m),

m

m

i 1

i 1

 i = 1, sao cho x =  i xi .

Nhận xét 1.1
Tập A là lồi, nếu:  x1, x2  A  [x1, x2]  A.
Ví dụ 1.1

Footer Page 7 of 166.
6


Header Page 8 of 166.

Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình tròn trong mặt
phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi ...
Mệnh đề 1.1
Giả sử A   X (   I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó,
tập A =

A


I

cũng lồi.

Từ định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2
Giả sử tập Ai  X lồi, i  R ( i = 1, ..., m). Khi đó, 1 A1 + ... + 2 A2 là
tập lồi.
Mệnh đề 1.3

Giả sử Xi là không gian tuyến tính, tập Ai  Xi lồi ( i = 1, ..., m). Khi đó,
tích Đề các A1  ...  Am là tập lồi trong X1  ...  Xm .
Mệnh đề 1.4
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X  Y là toán tử tuyến
tính. Khi đó
a) A  X lồi



T(A) lồi;

b) B  Y lồi



Nghịch ảnh T –1(B) của B là tập lồi.

Định lý 1.1
Giả sử tập A  X lồi; x1, ... , xm  A. Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp
lồi của x1, ... , xm .
1.1.2. Nón lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.4
Tập K  X được gọi là nón có đỉnh tại 0 , nếu:

Footer Page 8 of 166.
7

Thang Long University Library

Header Page 9 of 166.

 x  K,  > 0



 x  K.

K được gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu K – x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.5
Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi, có nghĩa là:
 x, y  K ,  ,  > 0 

 x +  y  K.

Ví dụ 1.2
Các tập sau đây trong Rn :
{( 1 , ... ,  n )  Rn : i  0, i = 1, ... , n},
{( 1 , ... ,  n )  Rn : i > 0, i = 1, ... , n}
là các nón lồi có đỉnh tại 0.
Mệnh đề 1.5
Giả sử K (   I ) là các nón lồi có đỉnh tại x0 với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó,

 I

K là nón lồi có đỉnh tại x0 .

Ví dụ 1.3

n
X = Rn , b  R (   I ). Khi đó:

K = { x  Rn : < x , b >  0,   I }
là một nón lồi bởi vì K =

 I

K , trong đó:

K = { x  Rn : < x , b >  0}

là nón lồi.
Định lý 1.2
Tập K  X là một nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi:
 x, y  K,  > 0 

x + y  K,  x  K.

Chứng minh
a) Giả sử K là nón lồi. Khi đó, do K là tập lồi, ta có:

Footer Page 9 of 166.
8


Header Page 10 of 166.

z=

1
(x + y)  K .
2

Do K là nón có đỉnh tại 0, ta lại có:
x + y = 2z  K .
b) Ngược lại, với  x  K,  > 0 ta có  x  K, vậy K là một nón có đỉnh tại
0. Với 0 <  < 1, x, y  K ta có (1 -  )x  K,  y  K và (1 -  )x +  y  K.
Chú ý với  = 0 hoặc 1 ta vẫn có (1 -  )x +  y  K. Vậy K là nón lồi có đỉnh
tại 0.
Hệ quả 1.1
Tập K  X là nón lồi  K chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của
các phần tử của K, tức là nếu x1, ... , xm  K, 1 , ... , m > 0 thì

m

 x K .
i 1

i i

Hệ quả 1.2
Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính
dương của A. Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.6
Tương giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm 0 là
một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi A, ký hiệu là KA.
Định nghĩa 1.7
Tương giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được
gọi là bao tuyến tính của tập A, ký hiệu là lin A.

Nhận xét 1.2
lin A = KA - KA .
Mệnh đề 1.7
a) KA = KconvA ,
b) Nếu A là tập lồi thì :

Footer Page 10 of 166.
9

Thang Long University Library


Header Page 11 of 166.

KA =

 A = {x  X : x =  z,   0, z  A},
 0

trong đó convA là bao lồi của A.
Giả sử X là không gian lồi địa phương, X * là không gian các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên X.
Định nghĩa 1.8
Vec tơ x*  X* được gọi là pháp tuyến của tập lồi A tại x  A, nếu:
< x* , x - x >  0 ( x  A ).
Tập tất cả các vec tơ pháp tuyến của tập lồi A tại x  A được gọi là nón pháp
tuyến của A tại x , ký hiệu là N ( x |A). Như vậy:
N( x |A) = {x*  X* : < x*, x – x >  0, x  A }.
Nhận xét 1.3
Nón pháp tuyến của tập lồi A tại x  A là lồi đóng.

Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.9
Giả sử A  X lồi, khác  . Ta nói tập A lùi xa theo phương d  0, nếu
A +  d  A (   0), hay:
x +  d  A (   0, x  A ).

(1.1)

Nhận xét 1.4
Tập A lùi xa theo phương d nếu A chứa tất cả các nửa đường thẳng xuất
phát từ các điểm của A và theo phương d.
Định nghĩa 1.10
Tập các vectơ d  X thỏa mãn (1.1) và vec tơ d = 0 được gọi là nón lùi
xa (recession cone) của A; ký hiệu là o+ A.
Định lý 1.3

Footer Page 11 of 166.
10


Header Page 12 of 166.

Giả sử tập A  X lồi, khác  . Khi đó, o+ A là nón lồi chứa điểm 0.
Đồng thời :
o+ A = {d  X : A + d  A}.
Ví dụ 1.4
X = R2 .
a) C1 = {(x, y) : x > 0, y 


1
}
x

o+ C1 = {(x, y) : x  0, y  0} .
b) C2 = {(x, y) : y  x2 }



o+ C2 = {(x, y) : x = 0, y  0}

1.2. HÀM LỒI.
1.2.1 Hàm lồi.
Giả sử X là không gian lồi địa phương, D  X, f : D  R

{  }.

Định nghĩa 1.11
Trên đồ thị ( epigraph ) của hàm f, ký hiệu là epif, được định nghĩa như
sau:
epif = {(x, r)  D  R : f(x)  r}.
Định nghĩa 1.12
Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f, ký hiệu là dom f, được định
nghĩa như sau:
Dom f = {x  D : f(x) < +  }.
Định nghĩa 1.13
Hàm f được gọi là chính thường (proper), nếu dom f   và f(x) > - 
(  x  D).
Định nghĩa 1.14

Footer Page 12 of 166.
11

Thang Long University Library


Header Page 13 of 166.

Hàm f được gọi là lồi trên D, nếu epif là tập lồi trong X  R. Hàm f được
gọi là lõm trên D, nếu –f là hàm lồi trên D.
Nhận xét 1.5
Nếu f lồi



dom f lồi.

Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epif :
dom f = { x : f(x) < +  } = {x :  r , (x, r)  epif }.
Như vậy, dom f là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó, dom f
lồi.
Ví dụ 1.5
Hàm affine
f(x) = < x* , x > +  ( x*  X* ,   R)
là hàm lồi trên X, trong đó X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên X.
Ví dụ 1.6
Giả sử f là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lân trên tập lồi mở A  Rn . Khi
đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian :
 2 f

Qx = 
 xi x j





là bán xác định dương (  x  A), tức là :
< z, Qxz >  0 (  z  Rn,  x  A).
Ví dụ 1.7
Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn :
|| x || = < x, x >1/2 = (x12 + ... + xn2 )1/2 ,
trong đó x = (x1, ... , xn)  Rn
Ví dụ 1.8

Footer Page 13 of 166.
12


Header Page 14 of 166.

Hàm chỉ (indicator function )  ( . |A) của tập lồi A  X là hàm lồi:
0, 𝑛ế𝑢 𝑥 ∈ 𝐴 ,
+∞, 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ 𝐴 .

 ( x |A) = {

Ví dụ 1.9
Giả sử X* là không gian liên hợp của X. Hàm tựa (support funtion) s( . |A) của
tập lồi A  X* là một hàm lồi:

s (x|A) = sup
< x* , x> .
*
x A

Định lý 1.4
Giả sử D là tập lồi trong không gian X, hàm f : D  ( ,  ]. Khi đó, f
lồi trên D khi và chỉ khi:
f(  x + (1 -  )y) ≤  f(x) + (1 -  )f(y)
(    [0,1],  x, y  D).

(1.2)

Chứng minh
a) Giả sử f là hàm lồi. Không mất tính tổng quát có thể xem như   (0, 1).
Không thể xảy ra trường hợp f(x) <  , f(y) <  , mà f (  x +(1 -  )y) =  ,
bởi vì dom f lồi, với x, y  dom f thì [x, y]  dom f. Do   (0, 1), nên: f(x) =




 f(x) =  . Nếu x hoặc y  dom f , thì f(x) =  hoặc f(y) =  và

(1.2) đúng.
Bởi vì epif lồi,  (x, r)  epif ,  (y, s)  epif,    (0, 1),  (x, r) + (1 -  )
(y, s) = (  x + (1 -  )y,  r + (1 -  )s)  epif .


f(  x + (1 -  )y)   r + (1 -  )s.



f(  x + (1 -  )y)   f(x) + (1 -  )f(y)
( lấy r = f(x), s = f(y) ).
b) Ngược lại, giả sử (1.2) đúng. Lấy (x, r)  epif , (y, s)  epif ,   [0, 1]

ta phải chứng minh:

Footer Page 14 of 166.
13

Thang Long University Library


Header Page 15 of 166.

 (x, r) + (1 -  )(y, s)  epif.

Thật vậy:
(x,  )  epif, (y, s)  epif



f(x)  r, f(y)  s.



f(  x + (1 -  )y)   f(x) + (1 -  )f(y)   r + (1 -  )s



(  x + (1 -  )y,  r + (1 -  )s)  epif



 (x, r) + (1 -  )(y, s)  epif

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử f : X  ( ,  ]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi  i  0 (i =
m

1, ... , m),


i 1

i

= 1,  x1, ... , xm  X,
f( 1 x1 + ... + m xm)  1 f(x1) + ... + m f(xm).

(1.3)

Chứng minh
Không giảm tổng quát, có thể xem như i > 0 (i = 1, ... , m). Khi đó, nếu
xi  dom f thì f(xi) =  , i f(xi) =  và bất đẳng thức (1.3) là tầm thường. Do


m



dom f lồi nên không xảy ra trường hợp f(x i) <  (i = 1, ... , m) mà f   i xi  =
 i 1

 , bởi vì khi đó

m

 x
i 1

i i



 dom f.

Nếu xi  dom f (i = 1, ... , m), do epif lồi và (x i, f(xi))  epif (i = 1, ... , m),
theo định lý 1.4, ta có:
( 1 x1 + ... + m xm, 1 f(x1) + ... + m f(xm))  epif.


f( 1 x1 + ... + m xm)  1 f(x1) + ... + m f(xm).

Mệnh đề 1.8
Giả sử f : X  [ ,  ]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi:
f(  x + (1 -  )y) <  r + (1 -  )s

Footer Page 15 of 166.

14


Header Page 16 of 166.

(    (0, 1),  x, y : f(x) < r, f(y) < s) .
Định lý 1.6
Giả sử f là hàm lồi trên X,   [ ,  ]. Khi đó, các tập mức { x : f(x)
<  } và {x : f(x)   } lồi.
Chứng minh
a) Lấy x1, x2  {x : f(x) <  }, ta có f(x1) <  , f(x2) <  . Từ mệnh đề 1.8
suy ra :    (0, 1) :
f(  x1 + (1 -  ) x2) <  + (1 -  )  = 


 x1 + (1 -  ) x2  {x : f(x) <  }



{x : f(x) <  } lồi.
b) Tập {x : f(x)   } lồi, bởi vì:
{ x : f(x)   } =

{ x : f(x) <  } .
 

Hệ quả 1.3
Giả sử f là hàm lồi trên X,   R (   I), I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó, tập
A = {x  X : f (x)   ,   I} – lồi.

Định nghĩa 1.15
Hàm f(x) xác định trên X được gọi là thuần nhất dương , nếu  x  X, 
 (0,  ),

f(  x) =  f(x).
Định lý 1.7
Hàm thuần nhất dương f : X   ,   là lồi khi và chỉ khi:
f  x  y  f  x  f  y

 x, y  X  .

(1.4)

Footer Page 16 of 166.
15

Thang Long University Library


Header Page 17 of 166.

Chứng minh
a)

Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi. Lấy x, y  X . Khi đó,
1 
1
1
1


f  x, y   2 f  x  y   2  f  x   f  y   = f  x   f  y 
2 
2
2
2


b)

Ngược lại, giả sử (1.4) đúng. Lấy  xi , ri   epif (i = 1, 2)

Ta có  x1  x2 , r1  r2   epif , bởi vì:
f  x1  x2   f  x1   f  x2   r1  r2 .

Hơn nữa, bởi vì f là hàm thuần nhất dương, cho nên nếu  x, r   epif thì f  x   r
và
 f ( x )  f ( x )   r

(0 <  <  ) .

   x, r   epif .

Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng. Do đó,
epif là một nón lồi. Vậy f là hàm lồi.
Hệ quả 1.4
Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó,
xi  X , i  0  i  1,..., m 
f  1 x1  ...  m xm   1 f  x1   ...  m f  xm  .

Định lý 1.8

Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả tập mức có dạng  x : f  x     của f là
đóng.
Chứng minh
Kí hiệu các tập mức của f là L f .Ta có:
L f   x  X : f  x       x  X :  x,    epif .

Footer Page 17 of 166.
16


Header Page 18 of 166.

Vì vậy, epif đóng kéo theo tất cả các tập L f đóng.
Ngược lại, giả sử tất cả các tập L f đóng. Ta chứng minh epif đóng?
Thật vậy,
L f 

 

L f .

(1.5)

Giả sử  x0 ,  0   epif . Để chứng minh epif đóng, ta chứng minh tồn tại lân cận V
của  x0 ,  0  sao cho:

 epif   V   .
Bởi vì  x0 ,  0   epif , cho nên x0  L f . Từ (1.5) suy ra    0 : x0  L f . Do đó
0

tồn tại lân cận U của x0 :  L f   U   .
Đặt:
V   x,    X  R : x  U ,    .

Khi đó, V là lân cận của điểm  x0 ,  0  trong X  R .
Nếu  x,    V thì x  ℒβf. Do  <  , x  ℒαf . Vì vậy, f(x) >  , nghĩa là
(epif)

V = .

1.2.2. Các phép toán về hàm lồi
Định lý 1.9
Giả sử f1 ,..., fm là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó tổng f1  ...  f m
là một hàm lồi.
Nhận xét 1.6
Nếu f1 ,..., fm là các hàm lồi chính thường, thì f1  ...  f m là hàm lồi nhưng
có thể không chính thường.
Định lý 1.10

Footer Page 18 of 166.
17

Thang Long University Library


Header Page 19 of 166.

Giả sử F là tập lồi trong X  R và
f  x   inf  :  x,    F .

(1.6)

Khi đó f chính là hàm lồi trên X.
Chú ý: Ta quy ước infimun trên tập  (các số thực) bằng  .
Chứng minh
Nếu f  x1   r thì từ (1.6) suy ra:





1  r, x1 , 1  F .

Nếu f  x2   s thì 2  r,  x2 , 2   F.


(0 <  < 1)

 x1  (1   ) x2 . 1  (1   ) 2  F



 f   x1  1    x2   inf  :   x1  1    x2 ,    F



  1  1    2   r  1    s.

Suy ra f là hàm lồi (mệnh đề 1.8)
Định nghĩa 1.15

Giả sử f1 ,..., fm là các hàm chính thường trên X. Tổng chập infimal ( infimal
convolution) của f1 ,..., fm , được xác định như sau:
m


f  x   inf  f  x1   ...  f  xm  : xi  X ,  xi  x  .
i 1



(1.7)

m

và được kí hiệu là  fi hay f1  ...  f m .
i 1

Nhận xét 1.7
Trường hợp m=2, thì (1.7) có dạng:

 f1  f 2  x   inf  f1  x  y   f 2  y .
y

Định lý 1.11
m

Giả sử f1 ,..., fm là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó  fi là hàm lồi
i 1

Footer Page 19 of 166.

18


Header Page 20 of 166.

trên X.
Chứng minh
Đặt Fi  epifi , F  F1  ...  Fm . Khi đó, F là tập lồi trong X  R . Theo định
nghĩa  x,    F  xi  R n , i  R sao cho:
f  x1   i , (i  1,..., m),   1  2  ...  m , x  x1  ...  xm

Do đó, hàm f được xác định bởi (1.7) là một hàm lồi được xây dựng theo định lý
1.10 bởi tập F.
Định nghĩa 1.16
Giả sử  f  I là một họ tùy ý các hàm.
a) Cận trên của các hàm f , kí hiệu là VI f , được xác định như sau:

VI f  x   sup f  x  ;
 I

b)Cận dưới của hàm f , kí hiệu là I f , được xác định như sau:

 I f  x   infI f  x  ;
c) Bao lồi cận dưới của các hàm f , kí hiệu co I f , được xác định như sau:

 conv I





f  x  : inf    R :  x,    conv  epif   .
  I



Mệnh đề 1.9
Giả sử f ,   I  là các hàm lồi trên X. Khi đó,
a)

VI f là hàm lồi,

b)

conv I f là hàm lồi.

Định nghĩa 1.17
a)

Bao đóng của hàm f, kí hiệu là f , được xác định như sau:
epi f = epif

Footer Page 20 of 166.
19

Thang Long University Library


Header Page 21 of 166.

b)

Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f, kí hiệu là convf và conv f , được xác

định tương ứng như sau:
epi  convf   conv  epif  ,





epi conv f  conv  epif  .

Nhận xét 1.8
a)

Hàm f đóng  f  f

b)

Bao đóng của một hàm lồi là một hàm lồi;

Ví dụ 1.10
Giả sử A1 , A2  X với các hàm chỉ  . A1  ,  . A2  . Khi đó:
a)

 . A1    . A2    . A1    . A2    . A1  A2  ;

b)

 . A1    . A2    . A1  A2  ;

1.3. DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI
Giả sử f là hàm lồi trên X; X* là không gian liên hợp của X.
Định nghĩa 1.18
Phiếm hàm x  X  được gọi là dưới gradient của hàm f tại x  X nếu :



f  x   f x  x , x  x 

 x  X  .

Định nghĩa 1.19
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f
tại x , kí hiệu là f  x  , tức là:

 





f x  x  X  : f  x   f x  x , x  x 

x  X .

Định nghĩa 1.20
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu f  x    .
Định lý 1.12

Footer Page 21 of 166.
20


Header Page 22 of 166.

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x  domf . Khi đó:



 

x f x  f ' x; d  x , d 

 d  X  .

Chứng minh
Nếu x  f  x  , thì với mọi d  X ,   0 , ta có:



 

f x   d  f x    x , d  .

Theo định lý 4.1 [1], f có đạo hàm tại x theo phương d, cho nên:

 

f ' x; d  x , d  .

(1.8)

Ngược lại, nếu (1.8) đúng, ta lấy x  X , d  x  x từ dịnh lí 4.1 [1] ta nhận được:



 



  

 x , x  x  f ' x; x  x  f x  x  x  f x .

Do đó, x f  x  .
Hệ quả 1.5



 

f x   d f ' x;0 ,

trong đó  d là vi phân dưới của f '  x; d  theo biến d.
Chứng minh
Do f '  x;0  0 theo định lí 1.12 ta có:



 

 

x f x  f ' x; d  f ' x;0  x , d 

d  X

 

 x  d f ' x;0 .

Định lý 1.13
Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x  domf . Khi đó:





x f x  f x  f   x   x , x  ,

Footer Page 22 of 166.
21

Thang Long University Library


Header Page 23 of 166.

trong đó f*(x*) = sup  x* , x   f ( x) .

xX

Chứng minh
a)

Giả sử x f  x  . Khi đó,



f  x   f x  x , x  x 

x  X


 x , x   f  x   sup  x , x   f  x 

 x* , x   f x  x , x   f  x  , x  X




x

= f * ( x* ) .

(1.9)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Young – Fenchel [1], ta có:
 x* , x   f ( x )  f * ( x * )

(1.10)

Từ (1.9),(1.10) suy ra:



f x  f   x   x , x 

b)

(1.11)

Giả sử (1.11) đúng. Từ bất đẳng thức Young - Fenchel [1] với   0, d  X ,

ta có:







 

f x   d  x , x   d    x  x   f x




     x ,  d   x , d 

f x  d  f x

 











 f ' x; d  x , d , d  X



(định lý 1.12)

 x f x

Ví dụ 1.11
Cho hàm affine f  x   x , x   ,  x  X ,   R  . Khi đó:
f  x    x , x  X .

Footer Page 23 of 166.
22

Header Page 24 of 166.

Ví dụ 1.12
Cho hàm chỉ f  x    . A trong đó A là tập lồi khác rỗng.
Khi đó, với mỗi x  A ,

 

 

x  x A    x A   x A   x , x  x , x  X
 x , x  x  0, x  A .

Điều đó có nghĩa là x  là vecto pháp tuyến của A tại x .
Như vậy,  ( x | A) là nón pháp tuyến của A tại x :

 

 

 x A  N x A

Với x  A,   x A   .
Ví dụ 1.13
Giả sử X là không gian Banach, f  x   x .
a)

Với x  0 , ta có:



f  x   x  X : x  1,  x , x  x



Thật vậy, nếu x  thỏa mãn x  1,  x , x  x thì
 x , z  z x  z , x  X
 x , z  x  z  x  x f  x  .

Ngược lại, nếu x  f  x  thì:
 x  0  x  x , 0  x    x , x 
x  2 x  x  x , 2 x  x  x , x 

 x  x* , x 

(1.12)

Với z  X ,   0 ta có:

Footer Page 24 of 166.
23

Thang Long University Library


Header Page 25 of 166.

 z  x  x  x ,   z  x   x  x ,  z 
 z

x 1
 x  x , z 
z 

Cho    ta nhận được:
z  x , z , z  X
 x 1

Nhưng x không thể nhỏ hơn 1 vì nếu x nhỏ hơn 1 thì:
 x , z   1,  z  X , z  1

Với z 

x
 z  1 . Do đó,
x
 x ,

x
  1  x , x  x .
x

Điều này mâu thuẫn với (1.12). Vì vậy x =1.
b)

Với x=0, ta có:
f  0    x  X * : z  x , z 



 x  X * : x  1



 B  0,1 (hình cầu đơn vị đóng trong X  )

Trường hợp riêng: X  R, f  x   x ,
Với x  0 : f là hàm khả vi, và:



f  x   x

1



x .

Với x=0:
f  0     R : z   , z , x  R
   R :   1   1,1 .

Footer Page 25 of 166.
24