Bất đẳng thức Klamkin Một số mở rộng và ứng dụng.PDF
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (914.11 KB, 69 trang )
Header Page 1 of 166.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------
NGỤY PHAN TIẾN
BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN:
MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – Năm 2016
Footer Page 1 of 166.
Header Page 2 of 166.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------
NGỤY PHAN TIẾN – C00461
BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN:
MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG
Hà Nội – Năm 2016
Footer Page 2 of 166.
Thang Long University Library
Header Page 3 of 166.
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1
BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ ............................3
1.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN .......................................................... 3
1.1.1 Định lí 1.1.1 ....................................................................................... 3
1.1.2 Định lí 1.1.1’ ..................................................................................... 3
1.2 MỘT SỐ HỆ QUẢ ................................................................................. 7
1.2.1 Hệ quả 1.2.1....................................................................................... 7
Hệ quả 1.2.1 .......................................................................................... 7
Các ứng dụng của hệ quả 1.2.1 .............................................................. 8
1.2.2 Hệ quả 1.2.2 .................................................................................... 10
Hệ quả 1.2.2 .......................................................................................... 11
Chứng minh hệ quả 1.2.2 ...................................................................... 11
Các ứng dụng của hệ quả 1.2.2 ............................................................ 13
1.2.3 Hệ quả 1.2.3 ................................................................................. 16
Hệ quả 1.2.3 ....................................................................................... 16
Chứng minh hệ quả 1.2.3 ...................................................................... 16
Các ứng dụng của hệ quả 1.2.3 ............................................................ 19
1.2.4 Hệ quả 1.2.4 .................................................................................... 25
1.2.5 Hệ quả 1.2.5 .................................................................................... 26
1.2.6 Hệ quả 1.2.6 .................................................................................. 27
1.2.7 Hệ quả 1.2.7 .................................................................................... 30
1.2.8 Hệ quả 1.2.8 .................................................................................... 31
1.2.9 Hệ quả 1.2.9 .................................................................................... 34
Kết luận Chương 1..................................................................................... 37
Footer Page 3 of 166.
Header Page 4 of 166.
Chương 2
MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN .................. 38
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO HAI ĐIỂM.......................... 38
2.1.1 Định lí 2.1.1 ..................................................................................... 38
2.1.2 Các hệ quả ....................................................................................... 40
2.1.3 Một vấn đề mở ................................................................................ 45
2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC LIÊN QUAN ........................ 45
2.2.1 Định lí 2.2.1 ................................................................................... 46
2.2.2 Các trường hợp đặc biệt của 2.2.1................................................... 47
2.3 MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO BỘ BA TỌA
ĐỘ BARYCENTRIC CỦA CÁC ĐIỂM ................................................. 48
2.3.1 Các kết quả chính ............................................................................ 49
2.3.2 Ứng dụng ......................................................................................... 51
Kết luận Chương 2..................................................................................... 61
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 62
1. Kết luận ................................................................................................... 62
2. Khuyến nghị ........................................................................................... 62
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................ ...........63
Footer Page 4 of 166.
Thang Long University Library
Header Page 5 of 166.
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Tạ Duy
Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp với đề
tài Bất đẳng thức Klamkin: Một số mở rộng và ứng dụng là công trình nghiên
cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học
Thăng Long.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và
phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả
Ngụy Phan Tiến
Footer Page 5 of 166.
Header Page 6 of 166.
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn gồm ba phần:
PHẦN 1. Mở đầu
PHẦN 2. Nội dung
Phần này gồm hai chương:
Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ
1.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN
1.2 MỘT SỐ HỆ QUẢ
Chương 2. MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO HAI ĐIỂM
2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC LIÊN QUAN
2.3 MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO BỘ BA TỌA ĐỘ
BARYCENTRIC CỦA CÁC ĐIỂM
PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị
Footer Page 6 of 166.
Thang Long University Library
Header Page 7 of 166.
MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề cơ bản của toán học nói
chung, toán phổ thông và toán sơ cấp nói riêng. Bất đẳng thức trong tam giác
là một chuyên mục hấp dẫn trong chương trình Hình học sơ cấp. Đây là lĩnh
vực toán học đã được quan tâm từ thời cổ đại, và nay vẫn còn tính thời sự.
Vấn đề đặt ra là: Ngày nay có thể phát hiện và chứng minh các bất đẳng thức
mới trong tam giác không?
M. S. Klamkin (xem [7], 1975) đã chứng minh một bất đẳng thức sau
đây: Giả sử ABC là một tam giác bất kì có độ dài các cạnh là a,b, c; P là một
điểm bất kì trong không gian. Kí hiệu khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B,C
là R1, R2, R3 . Với mọi bộ số thực x , y, z ta có
x y z xR
2
1
yR22 zR32 yza 2 zxb 2 xyc 2 .
(*)
Bất đẳng thức (*) được M. S. Klamkin gọi là moment cực của bất đẳng thức
quán tính (the polar moment of the inertia inequality). Jian Liu trong [8] gọi
bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức hình học có trọng (the weigted geometric
inequality). Trong [6], bất đẳng thức (*) được gọi là bất đẳng thức Klamkin.
Bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức quan trọng trong tam giác, nó có rất
nhiều hệ quả và ứng dụng. Mặc dù vậy, có lẽ nó còn gần như chưa được quan
tâm đúng mức trong các tài liệu tiếng Việt.
Luận văn Bất đẳng thức Klamkin: Một số mở rộng và ứng dụng có mục
đích trình bày chứng minh bất đẳng thức (*), các mở rộng và các ứng dụng
của nó, đặc biệt là trong chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác.
Luận văn Bất đẳng thức Klamkin: Một số mở rộng và ứng dụng được chia ra
làm hai chương.
Footer Page 7 of 166.
1
Header Page 8 of 166.
Chương 1. Bất đẳng thức Klamkin và một số Hệ quả
Chương này tập trung trình bày và chứng minh bất đẳng thức Klamkin. Nêu
các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin và các ứng dụng.
Chương 2. Một số mở rộng của bất đẳng thức Klamkin
Chương này gồm các mục:
Mục 2.1 Bất đẳng thức Klamkin cho hai điểm: Phát biểu và chứng minh bất
đẳng thức Klamkin mở rộng cho hai điểm, đồng thời nêu các hệ quả là các bất
đẳng thức trong tam giác.
Mục 2.2 Một số bất đẳng thức khác liên quan.
Mục 2.3 Trình bày mở rộng bất đẳng thức Klamkin cho bộ ba tọa độ
barycentric của các điểm.
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của PGS TS Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối
với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy, Cô giáo trong trường Đại học
Thăng Long, phòng sau đại học trường Đại học Thăng Long. Đồng thời tác
giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc Giang)
khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trường THPT Yên
Dũng số 3, huyện Yên Dũng, tỉnh Bắc Giang đã tạo điều kiện cho tác giả học
tập và hoàn thành kế hoạch học tập.
Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2016
Tác giả
Ngụy Phan Tiến
Footer Page 8 of 166.
2
Thang Long University Library
Header Page 9 of 166.
Chương 1
BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ
1.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN
Klamkin trong [7] đã phát biểu định lý sau.
1.1.1 Định lí 1.1.1 (Klamkin [7], 1975) Giả sử ABC là một tam giác bất kì
có độ dài các cạnh là a,b, c; P là một điểm bất kì trong không gian. Kí hiệu
khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B,C là R1, R2, R3 . Nếu x , y, z là các số
thực thì
x y z xR
2
1
yR22 zR32 yza 2 zxb 2 xyc 2 .
(1.1.1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi P nằm trong mặt phẳng tam giác và
x : y : z S PBC : S PCA : S PAB , trong đó S là diện tích tam giác.
Chứng minh Định lí 1.1.1 Ta có:
xPA yPB zPC
0
2
x 2PA2 y 2PB 2 z 2PC 2
2xyPA.PB 2yzPB.PC 2zxPC .PA 0.
(1.1.2)
Theo định lý hàm số cosin ta có:
2PA.PB 2PA.PB cos PA, PB PA2 PB 2 c 2 ;
2PB.PC 2PB.PC cos PB, PC PB PC a ;
2PC .PA 2PC .PA cos PC , PA PC PA b .
2
2
Thay các bất đẳng thức trên vào (1.1.2) ta được:
Footer Page 9 of 166.
3
2
2
2
2
Header Page 10 of 166.
x PA y PB z PC xy PA PB c
yz PB PC a zx PC PA b 0.
x y z xPA yPB zPC yza zxb
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xyc 2,
hay
x y z xR
2
1
yR22 zR32 yza 2 zxb 2 xyc 2 .
Đẳng thức trong (1.1.1) xảy ra khi và chỉ khi
xPA yPB zPC 0,
(1.1.1.1)
tức là P là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B,C .
Bây giờ ta đi chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.1 P là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC khi và chỉ khi
S PBC .PA S PCA.PB S PAB .PC 0.
(1.1.1.2)
Chứng minh Điểm P nằm ngoài miền trong tam giác ABC thì vế trái của
(1.1.1.2) không thể bằng 0 và ngược lại. Do đó có thể coi là điểm P thuộc
miền trong của tam giác ABC . Dựng hệ tọa độ Pxy sao cho
P 0; 0, A x 1; y1 , B x 2 ; y2 ,C x 3 ; y 3 .
Diện tích các tam giác PBC , PCA, PAB được tính theo công thức:
2SPBC
x 2 y2
x 3 y3
; 2SPCA
x 3 y3
x1
y1
; 2SPAB
x 1 y1
x 2 y2
.
Do vậy
2.S PBC .PA x 2y 3 x 3y2 x 1; y1 ;
2.S PCA.PB x 3y1 x 1y 3 x 2 ; y2 ;
2.S PAB .PC x 1y2 x 2y1 x 3 ; y 3 ;
Bởi vì hai định thức sau có hai hàng trùng nhau nên
Footer Page 10 of 166.
4
Thang Long University Library
Header Page 11 of 166.
x1 x2 x 3
y1 y 2 y 3
x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 0.
y1 y 2 y 3
y1 y 2 y 3
Do đó
S PBC .PA S PCA.PB S PAB .PC
x 2y 3 x 3y2 x 1; y1 x 3y1 x 1y 3 x 2 ; y2 x 1y2 x 2y1 x 3 ; y 3
x y x y x x y x y x x y x y x ;
3 2
1
1 3
3 1
2
1 2
2 1
3
2 3
x 2y 3 x 3y2 y1 x 1y 3 x 3y1 y2 x 1y2 x 2y1 y 3
x x x y y y
1 2
3
1
2
3
x 1 x 2 x 3 ; x 1 x 2 x 3 0; 0 0.
y1 y2 y 3 y1 y2 y 3
Từ (1.1.1.1) và (1.1.1.2) suy ra dấu bằng xảy ra trong (1.1.1) khi và chỉ khi
x : y : z S PBC : S PCA : S PAB .
1.1.2 Trong [1] (Bài 5, trang 204) đã phát biểu và chứng minh bất đẳng thức
sau, là dạng tương đương của bất đẳng thức Klamkin (1.1.1).
Định lí 1.1.1’ Cho tam giác ABC và ba số x , y, z 0. P là một điểm bất kì
trong không gian. Khi ấy:
xyz
x .PA y.PB z .PC
x y z
2
2
2
a 2 b 2 c 2
.
x
y
z
(1.1.3)
Chứng minh dựa trên các bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.2 Cho tam giác ABC và ba số x , y, z 0. Tồn tại duy nhất điểm
J thuộc mặt phẳng ABC sao cho
x .JA y.JB z .JC 0 .
Chứng minh Ta có
Footer Page 11 of 166.
5
Header Page 12 of 166.
x .JA y.JB z .JC x .JA y JA AB z JA AC
x y z JA yAB zAC 0
yAB zAC
AJ
.
x y z
Đẳng thức cuối chứng tỏ luôn xác định duy nhất một điểm J thỏa mãn điều
kiện x .JA y.JB z .JC 0.
Bổ đề 1.1.3 Giả sử điểm J thỏa mãn x .JA y.JB z .JC 0 (Với
x y z 0 ). Khi ấy với mọi điểm P trong không gian ta luôn có
x .PA2 y.PB 2 z .PC 2 xy.AB 2 yz .BC 2 zx .CA2
PJ
.
2
x y z
x y z
2
Chứng minh Đặt
(1.1.4)
x
y
z
,
,
. Khi ấy
x y z
x y z
x y z
1 và ta có:
PJ
x y z PJ x .JA y.JB z .JC
y z
x
x PJ JA y PJ JB z PJ JC
x
y z
x .PA y.PB z .PC
=
.PA .PB .PC .
x y z
Suy ra
2
PJ .PA .PB .PC
2
2 .PA2 2 .PB 2 2 .PC 2
+2.PA.PB 2.PB.PC 2.PC .PA.
Ta có
Footer Page 12 of 166.
6
Thang Long University Library
Header Page 13 of 166.
2PA.PB PA2 PB 2
2
2
2PB.PC PB PC
2PC .PA PC 2 PA2
2
PB PA PA2 PB 2 AB 2 ;
2
PC PB PB 2 PC 2 BC 2 ;
2
PA PC PC 2 PA2 CA2 .
Suy ra
PC
CA
PJ 2 2 .PA2 2 .PB 2 2 .PC 2 PA2 PB 2 AB 2
+ PB 2 PC 2 BC 2
2
PA2
2
PA2 ( ) PB 2 ( ) PC 2 ( )
.AB 2 .BC 2 .CA2
x .PA2 y.PB 2 z .PC 2 xy.AB 2 yz .BC 2 zx .CA2
2
x y z
x y z
Chứng minh Định lí 1.1.1’ Do PJ 2 0 nên
xyz
x .PA y.PB z .PC
x y z
2
2
2
a 2 b 2 c 2
.
x
y
z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi PJ 2 0 P J .
1.2 MỘT SỐ HỆ QUẢ
1.2.1 Hệ quả 1.2.1
Jian Liu trong [9] (2011) đã phát biểu hệ quả sau của bất đẳng thức Klamkin.
Hệ quả 1.2.1 Với mọi số thực dương x , y, z ta có
p a p b p c xa yb zc p
,
x
y
z
yza zxb xyc
trong đó p
a b c
là nửa chu vi tam giác.
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z .
Footer Page 13 of 166.
7
(1.2.1)
Header Page 14 of 166.
Các ứng dụng của hệ quả 1.2.1
Hệ quả 1.2.1.1 (Thi vào Đại học kinh tế quốc dân, 1998)
Chứng minh rằng, trong tam giác ABC ta có:
ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b 0.
(1.2.1.1)
Chứng minh 1 Ta có (1.2.1.1) tương đương với
ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b 0
ab a b c bc b c a ca c a b 3abc
p a p b p c 3
.
a
b
c
2
(1.2.1.1.1)
Áp dụng bất đẳng thức (1.2.1) cho (1.2.1.1.1) với x a, y b, z c ta được:
a b c
a 2 b 2 c 2
2
p a p b p c
a
b
c
bca cab abc
3
2 3 abc
3
3 abc .
3
2
.
3.abc
2
Dấu đẳng thức xảy ra a b c hay tam giác ABC đều.
Chứng minh 2 Biến đổi vế trái của (1.2.1.1) ta được
ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b
a 2b ab 2 2abc b 2c bc 2 2abc c 2a ca 2 2abc
a b 2 2bc c 2 b a 2 2ac c 2 c a 2 b 2 2ab
a b c b a c c a b 0.
2
2
2
Dấu đẳng thức xảy ra a b c hay tam giác ABC đều.
Hệ quả 1.2.1.2 (Vô địch Quốc tế, 1983; Thi Olympic 30-04-2003, Lớp 11)
Chứng minh rằng, trong tam giác ABC ta có:
a 2b a b b 2c b c c 2a c a 0.
(1.2.1.2)
Chứng minh 1 Ta có (1.2.1.2) tương đương với
Footer Page 14 of 166.
8
Thang Long University Library
Header Page 15 of 166.
a 2b a c b b 2c b a c c 2a c b a a 2bc b 2ca c 2ab
a b c
p a p b p c
abc.
1
1
1
2
c 2a
a 2b
b 2c
p a p b p c
abcp.
1
1
1
c 2a
a 2b
b 2c
(1.2.1.2.1)
Áp dụng bất đẳng thức (1.2.1) cho (1.2.1.2.1) với x
1
1
1
,y 2 ,z 2 :
2
ca
ab
bc
1
.a 1 .b 1 .c p
c 2a
a 2b
b 2c
p a p b p c
1
1
1
1 1
1 1
1 1
.
.
a
.
.
b
.
.c
c 2a
a 2b
b 2c
a 2b b 2c
b 2c c 2a
c 2a a 2b
1
1 1 p
a 2 b 2 c 2
p a p b p c
1
1
1
1 1
1
1
c 2a
a 2b
b 2c
abc a 2 b 2 c 2
p a p b p c
abcp.
1
1
1
c 2a
a 2b
b 2c
Đẳng thức xảy ra
1
1
1
2 2 a b c hay tam giác ABC đều.
2
ca ab bc
Chứng minh 2
(Hình 1.2.1.2)
Footer Page 15 of 166.
9
Header Page 16 of 166.
Ta có
AM AN x p a
BM BP y p b
CN CP z p c
b c a
0,
2
c a b
0,
2
a b c
0.
2
Suy ra (xem hình 1.2.1.2)
a y z ; b x z ; c x y
a b y x ; b c z y; c a x z .
Khi đó bất đẳng thức (1.2.1.2) tương đương với
y z x z y x x z x y z y x y y z x z 0,
2
2
2
hay
xy 3 yz 3 zx 3 xyz x y z .
Bất đẳng thức này tương đương với
y2 z 2 x 2
x y z.
z
x
y
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
y 2 z 2 x 2
2
x y z z x y x y z .
Suy ra điều phải chứng minh.
1.2.2 Hệ quả 1.2.2 Jian Liu trong [8], Theorem 2.2 đã phát biểu và chứng
minh bất đẳng thức sau là hệ quả của bất đẳng thức Klamkin.
Footer Page 16 of 166.
10
Thang Long University Library
Header Page 17 of 166.
Hệ quả 1.2.2 Giả sử ABC là một tam giác bất kì có độ dài các cạnh là
a,b, c; x , y, z là các số dương; P là một điểm bất kì trong mặt phẳng tam giác
ABC . Khi ấy ta có bất đẳng thức
R12 R22 R32 aR1 bR2 cR3
.
x
y
z
yz zx xy
(1.2.2)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác nhọn, P trùng với trực tâm
tam giác và x : y : z cot A : cot B : cotC .
Chứng minh hệ quả 1.2.2 Để chứng minh (1.2.2), ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.1 Cho ABC là một tam giác tùy ý và P là một điểm bất kỳ trong
mặt phẳng chứa tam giác ABC . Nếu bất đẳng thức sau đây:
f a, b, c, R1, R2, R3 0.
(1.2.3)
đúng, thì cũng có bất đẳng thức:
f aR1, bR2, cR3, R2R3, R3R1, R1R2 0.
(1.2.4)
trong đó R1, R2, R3 lần lượt là khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B,C .
Chứng minh Xét phép nghịch đảo N tâm P , hệ số R1.R2 .R3 , ta có
N : A A, B B ,C C .
Khi đó ta có
PA ' PB.PC R2R3, PB PC .PA R3R1, PC PA.PB R1R2 và
B C aPA aR1,C A bPB bR2, A B cPC cR3 .
Vì f a, b, c, R1, R2, R3 0 đúng với mọi tam giác ABC và mọi P nên áp
dụng điều kiện này cho tam giác A B C và điểm P ta được:
Footer Page 17 of 166.
11
Header Page 18 of 166.
f B C ,C A, A B , PA, PB , PC 0.
hay
f aR1, bR2, cR3, R2R3, R3R1, R1R2 0.
Chứng minh Hệ quả 1.2.2
Nếu P trùng với một trong các đỉnh của ABC , chẳng hạn P A thì
PA 0, PB c, PC b và bất đẳng thức (1.2.2) trở thành tầm thường.
Trong trường hợp này, dấu đẳng thức trong (1.2.2) rõ ràng không xảy ra.
Giả sử P không trùng với một trong các đỉnh của ABC . Nếu x , y, z là các
số dương thì bất đẳng thức (1.1.1) tương đương với bất đẳng thức sau:
1
1
1 a 2 b 2 c 2
xR yR zR
.
yz zx xy x
y
z
2
1
2
2
2
3
(1.2.5)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
2
2
a b c
2
2
a
b
c
x
y
z
x y z
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x : y : z a : b : c và P là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC .
Áp dụng phép nghịch đảo trong Bổ đề 1.2.1 cho bất đẳng thức (1.2.5) ta được:
2
2
2 1
1
1 aR1 bR2 cR3
x
R
R
y
R
R
z
R
R
2 3
3 1 1 2 yz zx xy x y z .
2
hay
R R
2
2
3
yz
Footer Page 18 of 166.
R R
2
3
zx
1
R R
2
1
2
xy
2
aR bR cR
2
3
1
.
x y z
(1.2.6)
12
Thang Long University Library
Header Page 19 of 166.
Thay x xR12, y yR22, z zR32, ta được:
2
aR bR cR
1
1
1
2
3
21
.
2
yz zx xy xR1 yR2 zR32
Lại một lần nữa thay x
(1.2.7)
1
1
1
, y , z ta được bất đẳng thức (1.2.2)
x
y
z
cần chứng minh.
Nếu đẳng thức trong (1.2.3) xảy ra chỉ khi P là tâm của đường tròn nội tiếp
ABC , thì đẳng thức trong (1.2.4) xảy ra khi ABC là tam giác nhọn và
P là trực tâm của nó. Theo điều này và điều kiện để đẳng thức xảy ra trong
(1.2.5), ta biết rằng đẳng thức trong (1.2.2) xảy ra khi và chỉ khi ABC là
tam giác nhọn, P là trực tâm của nó và
R1
R
R
2 3.
xa
yb
zc
(1.2.8)
Khi P là trực tâm tam giác nhọn ABC , ta có:
R1 : R2 : R3 cot A : cot B : cotC .
Do đó, trong trường hợp này, từ (1.2.8) ta có
x : y : z cot A : cot B : cotC .
Vì vậy, có đẳng thức trong (1.2.2) khi và chỉ khi ABC là tam giác nhọn, P
trùng với trực tâm của nó và
x
y
z
.
cot A cot B
cotC
Các ứng dụng của hệ quả 1.2.2
Các Hệ quả dưới đây có thể xem trong [3].
Hệ quả 1.2.2.1 Với P tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa ABC và với mọi số
dương x , y, z bất đẳng thức sau luôn đúng:
Footer Page 19 of 166.
13
Header Page 20 of 166.
R12 R22 R32
4S
.
x
y
z
xy yz zx
(1.2.2.1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x : y : z cot A : cot B : cotC và P là trực
tâm của tam giác nhọn ABC .
Hệ quả 1.2.2.2 Cho tam giác ABC và P là một điểm tùy ý trong mặt phẳng
chứa tam giác. Khi đó bất đẳng thức sau đúng:
R12 R22 R32
3
3
S.
(1.2.2.2)
Hệ quả 1.2.2.3 Với P tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC và với
mọi số dương x,y,z, bất đẳng thức sau luôn đúng:
aR12 bR22 cR32
2Rr .
aR1 bR2 cR3
(1.2.2.3)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là trực tâm của nó.
Hệ quả 1.2.2.4 (Bất đẳng thức Hayashi) Nếu P là một điểm tùy ý và không
trùng với các đỉnh của tam giác ABC , thì
R2R3 R3R1 R1R2
1.
bc
ca
ab
(1.2.2.4)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là trực tâm của tam giác nhọn ABC .
Hệ quả 1.2.2.5 Nếu P là một điểm tùy ý và không trùng với các đỉnh của tam
giác ABC , thì
R R
2
3
R3R1 R1R2
2
1
1
1
2
R R R R R R 4 p ,
2 3
3 1
1 2
(1.2.2.5)
trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC nhọn và P là trực tâm của nó.
Footer Page 20 of 166.
14
Thang Long University Library
Header Page 21 of 166.
Hệ quả 1.2.2.6 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC , khi đó bất đẳng
thức sau luôn đúng
R R
2
2
3
r2r3
R R
2
3
1
r3r1
R R
2
1
2
r1r2
16 2
p,
9
(1.2.2.6)
trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC .
Hệ quả 1.2.2.7 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC , khi đó bất đẳng
thức sau luôn đúng
R
R2 R3
1
2
r1 r2 r3
4
3
p.
(1.2.2.7)
Hệ quả 1.2.2.8 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC , khi đó bất đẳng
thức sau luôn đúng
R12 R22 R32
4
r1 r2 r3 .
ra
rb
rc
3
(1.2.2.8)
Hệ quả 1.2.2.9 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC , khi đó bất đẳng
thức sau luôn đúng
R12 R22 R32
r1 r2 r3 r .
ra
rb
rc
(1.2.2.9)
Hệ quả 1.2.2.10 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC . Gọi ha , hb , hc
lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A, B,C . Khi đó
R12 R22 R32
4r ,
ha
hb
hc
trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Footer Page 21 of 166.
15
(1.2.2.10)
Header Page 22 of 166.
Hệ quả 1.2.2.11 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC . Khi đó bất
đẳng thức sau luôn đúng
aR12 bR22 cR32
2 S3
4
27
.
(1.2.2.11)
Hệ quả 1.2.2.12 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC . Gọi ma , mb , mc
lần lượt là độ dài trung tuyến xuất phát từ A, B,C . Khi đó bất đẳng thức sau
luôn đúng
4S S
maR12 mbR22 mcR32
4
3
.
(1.2.2.12)
1.2.3 Hệ quả 1.2.3 Jian Liu trong [9] đã phát biểu và chứng minh hệ quả sau
đây của bất đẳng thức Klamkin.
Hệ quả 1.2.3 Với mọi số thực và mọi điểm P ta có
R22 R32
a
2
2
x
R32 R12
b
2
2
y
R12 R22
c
2
z2
2
yz zx xy .
3
(1.2.3)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm của nó.
Chứng minh hệ quả 1.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Klamkin (1.1.1), ta có:
2
2
y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y2 y2 z 2
2
2
. R 2 z x R 2 x y R 2
b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 1 c2 a2 2 a2 b2 3
z 2 x 2 x 2 y2
x 2 y2 y2 z 2
y2 z 2 z 2 x 2
2 2 2 2 a2 2 2 2 2 b2 2 2 2 2 c2.
b
c
c
a
a a
b
b
c
c
a
b
x 2 y 2 z 2 y 2 z 2 2 z 2 x 2 2 x 2 y 2 2
2 2 2 2 2 2 R1 2 2 R2 2 2 R3
a
c
a
b
c b
c
a
b
z 2 x 2 x 2 y 2
x 2 y 2 y 2 z 2
y 2 z 2 z 2 x 2
2 2 2 2 a 2 2 2 2 2 b 2 2 2 2 2 c 2 .
c
a
b
a a
b
b b
c
c c
a
Footer Page 22 of 166.
16
Thang Long University Library
Header Page 23 of 166.
(1.2.3.1)
Nếu yz zx xy 0 thì (1.2.3) luôn đúng.
Nếu yz zx xy 0 thì từ (1.2.3.1) để chứng minh (1.2.3), ta cần phải
chứng minh rằng:
z 2 x 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 y 2 z 2 2 y 2 z 2 z 2 x 2 2
a b c
2
a 2 b 2 b 2 c 2
c 2 a 2 a 2 b 2
c 2 c 2 a 2
b
x 2 y 2 z 2
4
yz zx xy 2 2 2 .
a
3
b
c
(1.2.3.2)
Bằng cách thay thế x xa, y yb, z zc, thì (1.2.3.2) tương đương với:
z
2
x 2 x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 y 2 z 2 b2 y 2 z 2 z 2 x 2 c2
4
yzbc zxca xyab x 2 y 2 z 2 .
3
(1.2.3.3)
3 z 2 x 2 x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 y 2 z 2 b2 y 2 z 2 z 2 x 2 c2
4 yzbc zxca xyab x 2 y 2 z 2 0,
(1.2.3.4)
hay
a1a 2 b1a c1 0.
(1.2.3.5)
với
a1 3 z 2 x 2 x 2 y 2 0; b1 4 zc yb x .
c1 3 y 2 z 2 x 2 y 2 b 2 z 2 x 2 c 2 4yzbc x 2 y 2 z 2
2
2
2
2
2
= 3 b c y z 4yzbc x y 2 z 2 3b 2y 2 3c 2z 2 4yzbc
2
2
5 2 2
2 2
2 2 2
= 3 by cz c z 3b z 3c y x
3
3
2
2
5
+ y 2 z 2 3 by cz c 2z 2 0.
3
3
Footer Page 23 of 166.
17
Header Page 24 of 166.
Để chứng minh (1.2.3.5), ta cần chứng minh
b12 4a1.c1 0 4a1.c1 b12 0.
Ta có:
4a1.c1 b12 a2b 2 b2b c2 .
(1.2.3.6)
với
a2 20x 6y 2 36x 6z 2 40x 4y 4 76x 4y 2z 2 36x 4z 4 20x 2y 6
+76x 2y 4z 2 56x 2y 2z 4 36y 6z 2 36y 4z 4 0.
b2 16c 5x 4 5x 2y 2 5x 2z 2 3y 2z 2 x 2 y 2 z 2 yz .
9x 6y 2 5x 6z 2 9x 4y 4 19x 4y 2z 2 10x 4z 4 14x 2y 4z 2
2
0.
c2 4c
19x 2y 2z 4 5x 2z 6 9y 4z 4 y 2z 6
Nhận thấy, với a2 0, c2 0 đủ để chứng minh rằng
b22 4a2 .c2 0 4a2 .c2 b22 0.
Nhưng
4a2 .c2 b22 192c 2 z 2 x 2 x 2 y 2 .
x 4y 4 x 4 y 4
6 6
6 6
6 6
30 x y y z z x 15 4 4 4
4
4 4
4
4
y z y z z x z x
. 18x 2y 2z 2 y 2 z 2 x 4 z 2 x 2 y 4 x 2 y 2 z 4
2x 2y 2z 2 x 6 y 6 z 6 78x 4y 4z 4
. (1.2.3.7)
Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau:
30 u 3v 3 v 3w 3 w 3u 3
15 u 2v 2 u 2 v 2 v 2w 2 v 2 w 2 w 2u 2 w 2 u 2
2
2
2
18uvw u v w v w u w u v
2uvw u 3 v 3 w 3 78u 2v 2w 2 0.
Footer Page 24 of 166.
(1.2.3.8)
18
Thang Long University Library
Header Page 25 of 166.
Trong đó u x 2, v y 2, w z 2 là các số thực không âm.
Ta biểu thị vế trái của (1.2.3.8) bởi Q, sau khi phân tích, ta có được đẳng thức
sau đây:
Q Q1 Q2 Q3,
(1.2.3.9)
trong đó:
2
2
2
Q1 15 u 2v 2 u v v 2w 2 v w w 2u 2 w u
2
2
2
12uvw u v w v w u w u v 0.
Q2 2uvw u 3 v 3 w 3 3uvw
3 3
3 3
3 3
30 u v v w w u 3u 2v 2w 2 0.
2 2
2 2
Q3 30 u v w u w v v w u v u w w 2u 2 v w v u .
Bằng cách thay thế u vw, v wu, w uv vào bất đẳng thức nổi tiếng
Schur:
u u v u w v v w v u w w u w v 0.
(1.2.3.10)
Từ đó suy ra Q3 0. Vậy Q1 0, Q2 0, Q3 0. Từ (11.9) suy ra: Q 0.
Dễ dàng thấy dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức (1.2.3.2) đúng khi và chỉ khi
x y z và tam giác ABC là tam giác đều. Hơn nữa, dấu bằng xảy ra ở bất
đẳng thức (1.2.3) khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm của nó.
Vậy hệ quả 1.2.3 được chứng minh.
Các ứng dụng của hệ quả 1.2.3
Trong bất đẳng thức (1.2.3), cho
x
a
R22 R32
,y
b
R32 R12
ta được
Footer Page 25 of 166.
19
,z
c
R12 R22
,
