Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông_unprotected

Header Page 1 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

NGUYỄN VĂN KHÁI – C00447

CÁC PHƢƠNG PHÁP VÀ DẠNG TOÁN
CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ Ở PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ĐÌNH NAM

Hà Nội – Năm 2016
1

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa...................................................................................................01
Mục lục............................................................................................................02
Lời cam đoan...................................................................................................04
Tóm tắt luận văn..............................................................................................05
Mở đầu............................................................................................................06
Chƣơng 1. ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ

1.1 DÃY SỐ....................................................................................................08
1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM............................................................08
1.3 DÃY TUẦN HOÀN..................................................................................08
1.4 DÃY CON.................................................................................................09
1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT.......................................................................09
1.5.1 Cấp số cộng............................................................................................09
1.5.2 Cấp số nhân............................................................................................09
1.5.3 Dãy Fibonacci ........................................................................................10
1.5.4 Dãy Lucas...............................................................................................11
Chƣơng 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ.................................................................................12
2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ.....................................................13
2.2.1 Xét sự hội tụ của dãy số.........................................................................13
2.2.2 Tìm giới hạn của dãy số.........................................................................22
2.3 BÀI TẬP....................................................................................................26
2.4 HƢỚNG DẪN GIẢI.................................................................................27
Chƣơng 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG
QUÁT CỦA DÃY SỐ
3.1 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN..........31
3.1.1 Sai phân..................................................................................................31
2

Footer Page 2 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 3 of 166.

3.1.2 Phƣơng trình sai phân.............................................................................33

3.1.3 Bài tập.....................................................................................................37
3.1.4 Hƣớng dẫn giải.......................................................................................37
3.2 PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH..................................................................40
3.2.1 Hàm sinh và số hạng tổng quát của dãy số ............................................40
3.2.2 Bài tập.....................................................................................................46
3.2.3 Hƣớng dẫn giải.......................................................................................46
3.3 PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC VÀ QUY NẠP...................................49
3.3.1 Nội dung phƣơng pháp...........................................................................49
3.3.2 Bài tập.....................................................................................................53
3.3.3 Hƣớng dẫn giải.......................................................................................54
3.4 PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA HỆ THỨC TRUY HỒI..............56
3.4.1 Quy trình tuyến tính hóa một hệ thức truy hồi không tuyến tính...........56
3.4.2 Bài tập....................................................................................................62
3.4.3 Hƣớng dẫn giải.......................................................................................63
Chƣơng 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
4.1 CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ DÃY SỐ NGUYÊN.............................65
4.2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT.............................................76
4.3 DÃY SỐ CHÍNH PHƢƠNG.....................................................................80
4.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN ..................................................86
4.5 DÃY SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ...............................................................89
4.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ FIBONACCI...................................92
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ...............................................................98
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................99

3

Footer Page 3 of 166.


Header Page 4 of 166.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dƣới sự giúp đỡ, hƣớng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS
Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp
với đề tài “Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông”
là công trình nghiên cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu
tại trƣờng Đại học Thăng Long.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và
phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Văn Khái

4

Footer Page 4 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 5 of 166.

TÓM TẮT LUẬN VĂN
PHẦN 1. Mở đầu
PHẦN 2. Nội dung
Phần này gồm bốn chƣơng.
Chƣơng 1. ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ

1.1 DÃY SỐ
1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
1.3 DÃY TUẦN HOÀN
1.4 DÃY CON
1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT
Chƣơng 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
Chƣơng 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG
QUÁT CỦA DÃY SỐ
3.1 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN
3.2 PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH
3.3 PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC VÀ QUY NẠP
3.4 PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA HỆ THỨC TRUY HỒI
Chƣơng 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
4.1 CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ DÃY SỐ NGUYÊN
4.2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT
4.3 DÃY SỐ CHÍNH PHƢƠNG
4.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN
4.5 DÃY SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ
4.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ FIBONACCI
PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị.
5

Footer Page 5 of 166.


Header Page 6 of 166.

MỞ ĐẦU

Dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học nó cũng
là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của
toán học. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng, các bài toán về
dãy số thƣờng là các bài toán hay và khó. Vì thế, dãy số thƣờng xuất hiện trong
các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng tƣ duy của học sinh.

Hơn nữa cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng
thƣờng viết khá rộng về các vấn đề của dãy số. Tuy nhiên nó chƣa đƣợc hệ
thống đầy đủ theo dạng toán cũng nhƣ phƣơng pháp giải tƣơng ứng trong
chƣơng trình toán phổ thông. Vì lí do trên tôi đi thực hiện đề tài "Các phương
pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông" chủ yếu để bồi dƣỡng học
sinh giỏi Toán và nhằm tìm hiểu sâu hơn về các nội dung liên quan đến dãy
số.
Luận văn gồm bốn chƣơng:
Chƣơng 1: Trình bày các khái niệm cơ bản nhƣ khái niệm dãy số, dãy
số tăng, dãy số giảm, dãy số tuần hoàn, dãy con, và một số dãy số đặc biệt
đồng thời cũng trình bày mối liên hệ cơ bản giữa các dãy đặc biệt.
Chƣơng 2: Trình bày các vấn đề về giới hạn dãy số đồng thời cũng
phân loại một số dạng toán thƣờng gặp về giới hạn dãy số nhƣ xét sự hội tụ
của dãy số, tìm giới hạn của các dãy cho bởi dạng phân thức, vô tỉ, dùng định
lí giới hạn kẹp giữa, dãy con để khảo sát sự hội tụ của dãy số.
Chƣơng 3: Trình bày một số phƣơng pháp xác định số hạng tổng quát
của dãy số nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp hàm sinh, phƣơng pháp
lƣợng giác và quy nạp, phƣơng pháp tuyến tính hóa hệ thức truy hồi.
6

Footer Page 6 of 166.

Thang Long University Library

Header Page 7 of 166.

Chƣơng 4: Trình bày một số dạng toán hay liên quan tới dãy số nguyên
nhƣ chứng minh một dãy là dãy số nguyên, bài toán chia hết, dãy số chính
phƣơng, các bài toán về phần nguyên, dãy số và số nguyên tố cũng nhƣ một
số bài toán về dãy số Fibonacci.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Đình Nam, Trƣờng
Đại Học Bách Khoa Hà Nội là ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ và tạo
mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán
Trƣờng Đại Học Thăng Long, phòng Sau đại học và Quản lý khoa học Trƣờng Đại học Thăng Long. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp
CTM3 khóa 2014 – 2016 của Trƣờng Đại học Thăng Long cũng nhƣ các
đồng nghiệp nơi tôi công tác đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn này.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng song do thời gian có hạn và trình
độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác
giả rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn bè để luận
văn đƣợc hoàn thiện và phát triển hơn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn !
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Văn Khái

7

Footer Page 7 of 166.


Header Page 8 of 166.

Chƣơng 1.
ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ
1.1 DÃY SỐ
Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên  (hoặc *
) vào tập K ( K là tập  hoặc  ).
u:   K
n  u ( n)  un

Ký hiệu:  un n0 hoặc đơn giản là  un .
Định nghĩa 1.1.2 Số hạng tổng quát của dãy số  un  là biểu thức f  n  của
biến duy nhất n sao cho un  f (n) , với mọi số tự nhiên n.
1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số tăng nếu un  un1 , với mọi n.
Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số giảm nếu un  un1 , với mọi n .
Dãy số tăng hay dãy số giảm đƣợc gọi chung là dãy đơn điệu.
1.3 DÃY TUẦN HOÀN
1.3.1 Dãy tuần hoàn cộng tính
Dãy  un  đƣợc gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi tồn tại số l
nguyên dƣơng sao cho ul n  un , với mọi số tự nhiên n.
Số l nhỏ nhất đƣợc gọi là chu kì cơ sở của dãy  un .
Đặc biệt:  un  tuần hoàn cộng tính, chu kì l  1 là dãy hằng.
8

Footer Page 8 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 9 of 166.

1.3.2 Dãy tuần hoàn nhân tính
Dãy  un  đƣợc gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi tồn tại số l

 l  1 nguyên dƣơng sao cho ul .n  un , với mọi số tự nhiên n.
Số l nhỏ nhất đƣợc gọi là chu kì cơ sở của dãy.
1.4 DÃY CON

 

Cho  un  , từ các số hạng của nó lập một dãy mới unk với:

 

n1  n2  ...  nk  ... Ta gọi unk là một dãy con của  un .

1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT
1.5.1 Cấp số cộng
Định nghĩa 1.5.1.1 Dãy đƣợc gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng
thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trƣớc nó cộng với số không đổi d
Tính chất 1.5.1.2 Cho  un  là cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, ta có
a) Công thức số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d , n *.
b) un1 

un  un  2
, n  *.
2

c) Tổng của n số hạng đầu tiên:

Sn  u1  u2  ...  un 

n  u1  un  n  2u1   n  1 d 

.
2
2

1.5.2 Cấp số nhân
Định nghĩa 1.5.2.1 Dãy đƣợc gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng
thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trƣớc nó nhân với số không đổi

q.
9

Footer Page 9 of 166.


Header Page 10 of 166.

Tính chất 1.5.2.2 Cho dãy số  un  là cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội
là q, ta có:
a) Công thức số hạng tổng quát: un  u1.qn1, n *.
b) un21  un .un2 với mọi n thuộc vào  * .
c) Tổng của n số hạng đầu tiên:

1  q  , (q  1).
u .
n

Sn  u1  u2  ...  un

1

1 q

d) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S  u1  u2  ...  un  ... 

u1
, q  1.
1 q

1.5.3 Dãy Fibonacci
Định nghĩa 1.5.3.1 Dãy Fibonacci  Fn  là dãy số đƣợc cho bởi hệ thức truy
hồi sau:
 F0  0, F1  1

*
 Fn1  Fn  Fn1 , n   .

Công thức tổng quát của dãy  Fn  là:
n
n
1  1  5   1  5  

Fn 
 
  , n   (Công thức Binet).

5  2   2  



Tính chất 1.5.3.2
a)  Fn , Fn1   1, n .
b) Nếu n chia hết cho m thì Fn chia hết cho Fm .
c) Nếu Fn chia hết cho Fm thì n chia hết cho m với m  2.
d)  Fn , Fm   Fd với d   m, n .
10

Footer Page 10 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 11 of 166.

e) Nếu n  5 và Fn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố.
f) Dãy Fibonacci  Fn  chứa tập hợp vô hạn những số đôi một nguyên
tố cùng nhau.
g) F5 n  5Fn .qn với q n không chia hết cho 5.
h) Fn 5k  nk.
i) Fn có tận cùng là 0 khi và chỉ khi n15.
k) Fn có tận cùng là hai chữ số 0 khi và chỉ khi n150.
1.5.4 Dãy Lucas
Định nghĩa 1.5.4.1 Dãy Lucas  Ln  đƣợc xác định bởi hệ thức truy hồi sau:
 L0  2, L1  1



 Ln1  Ln  Ln1 , n   .

Công thức tổng quát của dãy  Ln  là:
n

n

1 5  1 5 
Ln  
 
 , n   (Công thức Binet).
2
2

 

Tính chất 1.5.4.2 (Tính chất số học)
a) Lmn chia hết cho Ln nếu m là số lẻ.
n

n

1 5  1 5 
b) Ln    (1   )    ( )  
 
 .
2
2

 


n

n

n

n



1 5
 1,6180339887...  .
Với là tỉ lệ vàng   
2



11

Footer Page 11 of 166.


Header Page 12 of 166.

Chƣơng 2.
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa 2.1.1 Ta nói dãy số  un  có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi   0,
nhỏ tùy ý, đều tồn tại số tự nhiên N 0 sao cho với mọi n  N 0 ta đều có

un  a   .
Kí hiệu: lim un  a.
lim un  a    0, N 0   , n  N 0 : un  a   .

Tính chất 2.1.2 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Tính chất 2.1.3 (Phép toán các dãy hội tụ) Nếu un  ,  vn  là các dãy hội tụ

u 
và có giới hạn tƣơng ứng là a, b thì các dãy số un  vn , un  vn , un .vn ,  n 
 vn 
cũng hội tụ và có giới hạn tƣơng ứng là a  b, a  b, a.b,

a
. (Trong trƣờng
b

hợp dãy số thƣơng, ta giả sử vn  0 và b  0) .
Định nghĩa 2.1.4 Ta nói dãy số  un  dần đến dƣơng vô cực nếu với mọi số
thực dƣơng M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N 0 (phụ thuộc vào dãy số u n và
M ) sao cho với mọi n  N 0 , ta có un  M .
lim un    M  0, N 0   : n  N 0 ta có un  M .

Tƣơng tự
lim un    P  0, N 0   : n  N 0 ta có un  P.

12

Footer Page 12 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 13 of 166.

Dãy số có giới hạn hữu hạn đƣợc gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn
hữu hạn hoặc dần đến vô cực (  hoặc  ) gọi là dãy phân kì.
Tính chất 2.1.5 (Tính chất của dãy số có giới hạn vô cực)
i) Nếu lim un   thì lim

1
 0.
un

ii) Nếu lim un  , lim vn   thì lim un .vn  .
iii) Nếu lim un  , lim vn  L  0 thì lim un .vn  .
Nếu lim un  L  0, lim vn  0 và  vn  có dấu xác định kể từ một số
hạng nào đó trở đi thì lim

un
 .
vn

iv) Nếu lim un  , lim vn  L thì lim un  vn   .
Tính chất 2.1.6 Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn
dƣới thì hội tụ.
Tính chất 2.1.7
i) Nếu dãy  un  tăng và có giới hạn là L thì ta có un  L với mọi n.
ii) Nếu dãy  un  giảm và có giới hạn là L thì ta có un  L với mọi n.
Tính chất 2.1.8 Nếu dãy  un  hội tụ về a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ

về a.
Hệ quả 2.1.9 Để  un  hội tụ đến a điều kiện cần và đủ là hai dãy con u2n 
và  u2 n1  cùng hội tụ về a.
2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.2.1 Xét sự hội tụ của dãy số
2.2.1.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để xét sự hội tụ của dãy số
13

Footer Page 13 of 166.


Header Page 14 of 166.

u1  1

Ví dụ 1 Cho dãy số (un ) : 
3 n  2 
n

u

u

 n1 2  n  1 n 2  n  1 , n   .

a) Chứng minh rằng dãy số bị chặn trên.
b) Chứng minh rằng dãy số tăng.
Chứng minh Ta dự đoán dãy số bị chặn trên bởi số thích hợp nhất. Xuất phát
từ yêu cầu thứ hai, từ giả thiết ta có:

un1  un 

3  un   n  2  0 suy ra u
n 1

n

 3.

a) Ta chứng minh un  3, n  * bằng phƣơng pháp quy nạp.
Với n  1 ta có u1  3 mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với n  k , k  , 1  k  n  1.
Ta đi chứng minh: uk 1  3
Thật vậy:
uk 1 

3 k  2 
3 k  2 
k
3k
uk 


 3.
2  k  1
2  k  1 2  k  1 2  k  1

Vậy uk 1  3 mệnh đề đúng. Do đó un  3, n  *.
Vậy dãy số đã cho bị chặn.
b) Ta có un1  un 

3  un   n  2  0, n  *
n 1

Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.
n

 1
Ví dụ 2 Chứng minh rằng dãy số un  1   , n  * là dãy số đơn điệu
 n

tăng và bị chặn trên.
Chứng minh Ta có:
14

Footer Page 14 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 15 of 166.

1 

1

un1  n  1 

n
un

 1
1  
 n

n 1


1 
 1 

  n  12 



n 1

.

n 1 
1  n 1
 1 
 1.

n
 n 1 n

Do đó dãy  un  là dãy số tăng.
Mặt khác
n  n  1 ... n  n  1 1
n n  n  1 1

 1
. 2  ... 
. n
1    1  
n
2!
n
n!
n
 n
n

11

1  1
1  1  2   n  1 
1    ...  1  1  ...1 

2!  n 
n!  n  n  
n 

11

1
1
1
1
 ...   1  1   ...  n1
2!

n!
2
2

11

1
1
1
 ...  n1  ...  1 
 3.
1
2
2
1
2

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn trên.

1 
1
 1 
Ví dụ 3 Chứng minh dãy số: un  1  1  2  ...1  n  , n  * là dãy
 2  2   2 
số hội tụ.
Chứng minh
Ta có

un1
1

 1  n1  1, n  * do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.
un
2

Ta đi chứng minh dãy số này bị chặn

1
1
 1


ln un  ln 1    ln 1  2   ...  ln 1  n 
 2
 2 
 2 

11

1
1
1
1
1 1
 ...  n  1  1   ...  n  ...  .
 1.
2
2
2
2
2 1 1

2
15

Footer Page 15 of 166.


Header Page 16 of 166.

Ta có un  e, n  * do đó dãy số bị chặn.
Vậy dãy số đã cho hội tụ.
2.2.1.2 Dùng dãy con để khảo sát sự hội tụ của dãy số
Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thƣờng sử dụng các định lý về tính
đơn điệu và bị chặn. Tuy nhiên có những dãy số phức tạp, tăng giảm bất
thƣờng, trong trƣờng hợp nhƣ thể ta thƣờng xây dựng các dãy số phụ đơn
điệu, chứng minh các dãy số phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban
đầu có cùng giới hạn, các dãy số phụ phải đƣợc xây dựng từ dãy số chính
Ta đã biết: Nếu lim u2 n  lim u2 n1  a thì lim un  a.
Một cách tổng quát ta có
Cho số nguyên m  2 nếu lim umni  a, i  0,1,2,..., m  1 thì lim un  a.
Ví dụ 1 Dãy số (u n ) đƣợc xác định bởi công thức:
u0  u1  1

5un2  un  2un1.

Chứng minh rằng dãy (u n ) hội tụ.
Chứng minh Xét dãy số  an  đƣợc xác định bởi a0  1, an1 

2 an
.
3

Ta thấy  an  giảm dần về 0.
Ta chứng tỏ max u2n , u2n1  an , n

(*)

Thật vậy, (*) đúng với n  0 và n  1.
Giả sử (*) đúng với n và do  an  là dãy giảm nên
5u2 n 2  u2 n  2u2 n1  3an  u2 n 2  an1

và 5u2 n2  u2 n1  2u2 n2  an  2an1  3an  u2 n3  an1.
16

Footer Page 16 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 17 of 166.

Nhƣ vậy (*) đúng với n  1 hay (*) đúng n  0,1,2,3,...
Dễ thấy un  0, n và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có lim u2 n  lim u2 n1  0
suy ra lim un  0.
Nhận xét: Việc đƣa vào dãy phụ  an  có tác dụng chặn cả hai dãy con u2n 
và  u2 n1  và làm chúng cùng hội tụ về một điểm.
Ví dụ 2 Dãy (u n ) đƣợc xác định bởi:
u0 , u1 , u2   0;1

2
2

3un 2  un  un 2 .

Chứng minh rằng dãy (u n ) hội tụ.
Chứng minh
Ta xét dãy số  an  xác định bởi:
2an2
a0  max u0 , u1, u2  , an1 
.
3

Dễ thấy dãy số  an  giảm dần về 0.
Ta chứng tỏ max u3n , u3n1, u3n2  an , với mọi số tự nhiên n

(*)

Thật vậy, (*) đúng với n  0,1,2,...
Giả sử (1) đúng với n và do  an  là dãy giảm nên ta có:

3u3n3  u32n  u32n2  2an2 suy ra u3n3  an1.
3un4  u32n1  u32n3  an2  an21  2an2 suy ra u3n 4  an1
3un5  u32n2  u32n4  an2  an21  2an2 suy ra u3n5  an1.
Nhƣ vậy, (*) đúng với n  1, theo nguyên lý quy nạp, (*) đƣợc chứng minh.
Dễ thấy un  0 Từ đó theo nguyên lý kẹp giữa ta có

lim u3ni  0,  i  0,1,2 do đó lim un  0.
17

Footer Page 17 of 166.

Header Page 18 of 166.

Từ các cách chọn dãy số phụ nhƣ trên ta có các dãy số sau đều hội tụ về 0
với u0 , u1 , u2 , u3 đều thuộc  0;1.

3un3  un2  un1un2 , 3un3  un2  unun1
un2  un22
3un3 
 un21, 6un4  un1un2  un2  2unun1 …
2
Ví dụ 3 Dãy (u n ) đƣợc xác định bởi:
u0 , u1 , u2  0

un3  un  un 2 .

Chứng minh rằng dãy (un) hội tụ.
Chứng minh
Ta xây dựng hai dãy (an) và (bn) nhƣ sau:
a0  max{u0 , u1 , u2 ,2}

an1  2an .

b0  min{u0 , u1 , u2 ,2}

bn1  2bn .

Dãy  an  là dãy giảm dần về 2, dãy  bn  tăng dần về 2.
Bằng quy nạp dễ chứng minh đƣợc
bn1  min{u3n , u3n1 , u3n2 }  max{u3n , u3n1 , u3n2 }  an , với mọi n.

Từ đó, dẫn đến lim u3n  lim u3n1  lim u3n2  2 suy ra lim un  2.
Ví dụ 4 Cho dãy (u n ) đƣợc xác định nhƣ sau:
u0, u1, u2 là các số dƣơng cho trƣớc
un2  un1  u n  un1 với mọi n  

Chứng minh rằng dãy  un  hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Chứng minh
Ta xây dựng hai dãy  an  và  bn  nhƣ sau:
18

Footer Page 18 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 19 of 166.

a0  max{u0 , u1 , u2 ,9}

n  0,1,2,...
an1  3 an ,
b0  min{u0 , u1 , u2 ,9}

n  0,1,2,...
bn1  3 bn ,

Dãy

 an 

là dãy giảm dần về 9, dãy

 bn  tăng

dần về 9 suy ra

lim an  lim bn  9.
Ta chứng minh bn1  min{u3n , u3n1 , u3n 2 }  max{u3n , u3n1 , u3n2 }  an , n

(1)

Thật vậy, với n  0 thì (1) hiển nhiên đúng.
Giả sử (1) đúng với n  k , khi đó với n  k  1 ta có
bn  bn1  3 bn  u3k 3  u3k 2  u3k 1  u3k  3 an  an1  an .
bn  bn1  3 bn  u3k 4  u3k 3  u3k 2  u3k 1  3 an  an1  an .
bn  bn1  3 bn  u3k 5  u3k 4  u3k 3  u3k 2  3 an  an1.

Vậy (1) cũng đúng với n  k  1.
Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng với mọi số tự nhiên n.
Từ đó theo định lý kẹp ta có lim u3n  lim u3n1  lim u3n2  lim an  lim bn  9.
Nên lim un  9.
Dƣới đây là một số bài toán tìm giới hạn dãy số dạng un1  f (un ) (dãy
số xác định nhƣ vậy gọi là cho dƣới dạng lặp). Đây là dạng toán thƣờng gặp
nhất trong các bài toán về tìm giới hạn dãy số, dãy số hoàn toàn đƣợc xác
định khi biết f và giá trị ban đầu u0 . Do vậy sự hội tụ của dãy số phụ thuộc
vào tính chất của f  u n  và u0 . Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số
dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a là nghiệm của phƣơng trình

u  f  u .
19

Footer Page 19 of 166.


Header Page 20 of 166.

Ví dụ 5 Cho dãy số  un  đƣợc xác định nhƣ sau:
u

n
 1 
u1  0, un1    , n  *.
 27 

Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Chứng minh
Nhận xét rằng un  0, n *.
x

 1 
Xét hàm số f  x     nghịch biến trong khoảng 0;  .
 27 

Khi đó un1  f (un ), n  * và f  u   f  0 nên 0  un  1
Ta có u1  0, u2  1, u3 

1
nên u1  u3 và u4  f u3   f u1   u2
27

Bây giờ ta chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp u2 n1  u2 n1 và u2 n 2  u2 n ,
với n  *.
Thật vậy, giả sử có u2 n1  u2 n1 thì f u2n1   f u2n1  nên u2 n  u2 n2 vì vậy

f u2n   f u2n2  suy ra u2 n1  u2 n3 .
Tƣơng tự, giả sử có u2 n  u2 n2 thì f u2n   f u2n2  suy ra u2 n1  u2 n3 vì
vậy f  u2n1   f  u2n3  suy ra u2 n 2  u2 n 4 .
Vậy dãy  u2n1  là dãy tăng và dãy u2n  là dãy giảm và đều thuộc 0;1 nên
có giới hạn hữu hạn: lim u2 n  a, lim f u2n1   b.
Và a  lim u2 n2  lim f (u2 n1 )  lim f ( f (u2 n ))  f ( f (a)) .

 1 
Nên a   
 27 

 1 
 
 27 

a

suy ra a 

1
3

1
Tƣơng tự ta cũng tìm đƣợc b  .
3

20

Footer Page 20 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 21 of 166.

Vậy a  b 

1
1
nên lim un  .
3
3

Ví dụ 6 (VMO 2008) Cho dãy số thực  un  xác định nhƣ sau:
u1  0, u2  2, un2  2un 

1
với mọi n  1,2,3,...
2

Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Chứng minh
Xét hàm số f  x   2 x 

1
xác định trên .

2

Với mỗi n   , ta có un4  f  un2   f  f  un   hay un4  g un  , trong đó

g là hàm số xác định trên  và g  x   f  f  x   , x   (1).
Dễ thấy hàm số f giảm trên  , do đó hàm số g tăng trên . Vì thế từ (1)
suy ra với mỗi k 1;2;3;4, dãy  u4nk  , n  là dãy đơn điệu, Hơn nữa, từ
cách xác định dãy  un .
Ta thấy 0  un  2, n   * . Do đó với mỗi k 1;2;3;4, dãy  u4nk  là dãy
hội tụ. Với mỗi k 1;2;3;4, đặt lim u4 nk  ak ta có 0  ak  2 . Hơn nữa, do
hàm số g liên tục trên  nên từ (1) suy ra g  ak   ak (2).
2
 f  x  x 
. ln 2   1  0,
Xét hàm số h  x   g  x   x trên 0;2. Ta có h '  x   2 

x [0;2] (do f  x   x  0, x [0;2] ) Suy ra, hàm số h giảm trên 0;2. Vì

thế có nhiều nhất một điểm x [0;2] sao cho h  x   0 hay g  x   x. Mà

g 1  1 nên từ (2) ta đƣợc ak  1 với mọi k 1;2;3;4. Từ đây, vì dãy  un 
là hợp của bốn dãy con  u4nk  nên dãy  un  hội tụ và lim un  1.

21

Footer Page 21 of 166.


Header Page 22 of 166.

Ví dụ 7 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dƣơng n cho trƣớc thì phƣơng
trình x 2 n1  x  1 có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm đó là xn . Tính
lim xn .

Lời giải
Nếu x  1 thì x 2 n1  x  x  1.





Nếu 1  x  0 thì x 2 n1  x    x  1  x 2 n  1 suy ra x 2 n1  x  1.
Nếu 0  x  1 thì x 2 n1  x  x  1.
Vậy nếu x là nghiệm của phƣơng trình x 2 n1  x  1 thì ta phải có x  1.
Đặt f n  x   x2n1  x  1. Ta có f n'  x    2n  1 x 2n  1  0 trên 1,  suy ra
hàm f tăng trên nửa khoảng này.
Vì f 1  1  0 và f  2  22n1  3  0 nên phƣơng trình này có nghiệm xn
thuộc 1,2 . Theo lý luận trên, nghiệm này là duy nhất.
Xét f n  x   x 2n3  x  1.
Ta có

fn1 1  1  0 và

f n1  xn   xn2n3  xn2n1  0. Từ đó ta suy ra

1  xn1  xn . Dãy  xn  giảm và bị chặn dƣới bởi 1, suy ra dãy  xn  có giới

hạn hữu hạn a, hơn nữa a  1. Ta chứng minh a  1.
Thật vậy, giả sử a  1. Khi đó xn  a với mọi n và ta tìm đƣợc n đủ lớn sao
cho: xn2n1  a2n1  3. Trong khi đó ta có xn  1  x1  1  3.

Mâu thuẫn vì fn  xn   0.
2.2.2 Tìm giới hạn của dãy số
2.2.2.1 Giới hạn của dãy số un 

P (n)
, với P  n  , Q  n  là các đa thức
Q(n)

Ví dụ 1 Tìm giới hạn dãy số
22

Footer Page 22 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 23 of 166.

13  2n  1  3n  1
3

2n 3  n 2  7
a) lim 3
.
9n  3n2  n  1

b) lim

 3n  2   2n  3
5

3

5

.

Lời giải
a) Chia cả tử và mẫu cho n 3 ta có:
1 7
 3
2n  n  7
2
n
n
lim 3
 lim
 .
2
3 1
1
9n  3n  n  1
9  2  3 9
n n
n
3

2

2

b) Chia cả tử và mẫu cho n 8 ta có
3

5

1 
1

13  2    3  
3
5
3 5
13  2n  1  3n  1
n 
n  13.2 .3

lim

lim

 13.
5
3
5
3
5 3
3
.2
2 

3
 3n  2   2n  3

3   2  
n 
n


2.2.2.2 Giới hạn của dãy số un 

P (n)
, với P  n  , Q  n  là các biểu thức
Q(n)

chứa căn thức
Ví dụ 2 Tìm giới hạn dãy số
a) lim



3



n3  3n 2  n 2  2n .

b) lim n





n 2  2n  2 n 2  n  n .

Lời giải
a) lim



3



n3  3n 2  n 2  2n  lim



3

3n 2

 lim
3

n

3

 3n 2   n 3  n3  3n 2   n 2
2

3

 lim

2

3

 3
 3
1    3 1    1
 n
 n

 lim

 lim



2n
n  n 2  2n

2
2
1 1
n

23

Footer Page 23 of 166.



n3  3n 2  n  lim n  n 2  2n

 1  1  2.




Header Page 24 of 166.



n 2  2n  2 n 2  n  n

2n 2



b) lim n

 lim
 lim

 lim





n 2  2n  n  1

n 2  2n  n  2 n 2  n



2n 2
n 2  2n  n  2 n 2  n





n 2  2n  n  1

2

2
1 
2
1
 1   1  2 1   1   1  
n
n 
n
n


Ví dụ 3 Tìm giới hạn lim



1
.
4

1 
1
1
1



...


.
n  1 3
3 5
2n  1  2n  1 

Lời giải
Ta có

1
2n  1  2n  1
2n  1

2n  1



2
2
2n  1  2n  1  2n  1   2n  1

Suy ra un 

1 
1
1
1


 ... 


n  1 3
3 5
2n  1  2n  1 



 2n  1
1  3 1   5
3
2n  1  





...



 



2 
2  
n  2 2   2
 2



1
2n  1  1
.
.
2
n

Do đó lim un  lim

1
2n  1  1
2

.

.
2
2
n

2.2.2.3 Dùng định lí giới hạn kẹp giữa
Nhận xét: Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn 

vn  un  wn , n  
thỏa mãn : 
lim vn  lim wn  A.

24

Footer Page 24 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 25 of 166.

Thì lim un  A.
Ví dụ 4 Chứng minh rằng nếu q  1 thì lim qn  0.
Chứng minh

1
 1, ta có:
q

Đặt a 

an  1   a  1  Cn0  Cn1  a  1  Cn1  a  1  ...Cnn  a  1  1  n  a  1  0.
1
1
1

.
Suy ra 0  n 
a 1  n  a  1 n  a  1
n

2

Mà lim0  0 và lim

n

1
1
n
 0 nên lim n  0 hay lim q  0.
a
n  a  1

Do đó lim qn  0.
Ví dụ 5 Tìm lim n n.
Lời giải
n  1 



suy ra



n

n



n

n 1   1 n


n 1 



n



n 1 

n(n  1)
2



n



2

n  1  ... 

n(n  1)
2



n



n 1

2

2
2
, mà lim
= 0 nên lim n n  1.
n 1
n 1

Ví dụ 6 Chứng minh lim n a  1 (với a  0 ).
Chứng minh
Nếu a  1, ta có: 1  n a  n n , n  a mà lim n n  1 theo định lí về dãy bị
kẹp thì lim n a  1.
Nếu 0  a  1, đặt b 

1
1
 1. Khi đó lim n b  1 nên lim n a  lim n  1.
a
b

25

Footer Page 25 of 166.