Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit thông qua việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có phân bậc (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ GIANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ GIANG

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI THỊ HẠNH LÂM

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ một công trình
nghiên cứu nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Giang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

i




LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thị Hạnh Lâm, ngƣời đã
tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Trƣờng Đại học sƣ phạm Thái
Nguyên, khoa Toán và khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên và học sinh các lớp
12A2, 12A3 trƣờng THPT Hoàng Văn Thụ - Vụ Bản - Nam Định đã tạo mọi
điều kiện giúp đỡ trong suốt quá trình thực nghiệm sƣ phạm.
Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè và đồng nghiệp, những ngƣời
luôn động viên, khích lệ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Giang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii




MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ..................... iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
................................................................. 3
6. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3
7. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................... 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 4
1.1. Về hoạt động ................................................................................................. 4
1.1.1. Sơ lƣợc về quan điểm hoạt động ............................................................... 4
1.1.2. Vai trò của hoạt động trong học tập .......................................................... 4
1.2. Phân bậc hoạt động ....................................................................................... 6
1.3. Những căn cứ để phân bậc hoạt động........................................................... 6
1.3.1. Căn cứ vào độ phức tạp của PT và BPT mũ, lôgarit ................................. 6
1.3.2. Căn cứ vào sự phức hợp của hoạt động ..................................................... 8

1.3.3. Căn cứ vào bình diện của nhận thức........................................................ 11
1.3.4. Căn cứ vào tính độc lập và độ thành thạo của hoạt động giải PT và
BPT mũ, lôgarit ..................................................................................... 12
1.4. Vai trò của phân bậc hoạt động trong rèn luyện kỹ năng giải toán ............ 14
1.5. Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán ................................... 17
1.5.1. Kỹ năng .................................................................................................... 17
1.5.2. Đặc điểm của kỹ năng ............................................................................. 18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iii




1.5.3. Sự hình thành kỹ năng ............................................................................. 18
1.5.4. Các yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành kỹ năng................................... 19
1.5.5. Kỹ năng giải toán ..................................................................................... 19
1.5.6. Con đƣờng hình thành kỹ năng giải toán cho HS THPT ........................ 21
1.5.7. Một số kỹ năng thƣờng rèn luyện cho HS trong dạy học nội dung
chƣơng “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” ........................ 22
1.6. Thực trạng dạy học nội dung “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số lôgarit” ở trƣờng THPT .................................................................... 30
1.6.1. Mục tiêu của chƣơng “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số
lôgarit” ở trƣờng phổ thông ................................................................... 30
1.6.2. Nội dung dạy học chƣơng “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số lôgarit” ở trƣờng phổ thông .............................................................. 31
1.6.3. Những khó khăn thuận lợi của GV và HS khi học nội dung “ Hàm
số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” ........................................... 31
1.7. Kết luận chƣơng 1....................................................................................... 32
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT THÔNG QUA VIỆC XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
CÓ PHÂN BẬC....................................................................................... 33

2.1. Trang bị cho HS những kiến thức, KN cơ bản về phƣơng trình và bất
phƣơng trình mũ, lôgarit........................................................................ 33
2.1.1. Rèn luyện KN tìm điều kiện xác định của PT và BPT mũ, lôgarit ......... 33
2.1.2. Rèn luyện KN biến đổi, rút gọn biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit ......... 40
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập có phân bậc để rèn luyện cho HS KN giải
PT và BPT mũ, lôgarit ........................................................................... 48
2.2.1. Rèn luyện KN giải PT mũ và PT lôgarit ................................................. 49
2.2.2. Rèn luyện KN giải BPT mũ và BPT lôgarit ............................................ 64
2.3. Giúp học sinh phát hiện và sửa chữa các sai lầm thƣờng gặp trong
giải PT và BPT mũ, lôgarit .................................................................... 75
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv




2.4. Kết luận chƣơng 2....................................................................................... 89
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM....................................................... 90
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 90
3.2. Đối tƣợng thực nghiệm ............................................................................... 90
3.3. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 90
3.4. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................. 91
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm ..................................................... 91
3.5.1. Đánh giá định tính ................................................................................... 91
3.5.2. Đánh giá về mặt định lƣợng .................................................................... 92

3.6. Kết luận chƣơng 3....................................................................................... 93
KẾT LUẬN CHUNG....................................................................................... 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 95
PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

v




DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ

BPT

Bất phƣơng trình

DH

Dạy học

ĐKXĐ

Điều kiện xác định

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

KN

Kỹ năng

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

PT

Phƣơng trình

TXĐ

Tập xác định

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nghị quyết TW 2 khoá VIII khẳng định: "Phải đổi mới phƣơng pháp
giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ
duy sáng tạo của ngƣời học. Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và
phƣơng pháp hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho HS... Định hƣớng trên đã đƣợc pháp chế hoá trong Luật
Giáo dục, điều 24 chƣơng 2 Luật Giáo dục 2005 ghi rõ "Phƣơng pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học,
rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS".
Nghị quyết X của Đảng khẳng định: "Đổi mới tƣ duy giáo dục một cách
nhất quán, từ mục tiêu, chƣơng trình, nội dung, phƣơng pháp đến cơ cấu và hệ
thống tổ chức, cơ chế quản lý để tạo đƣợc sự chuyển biến cơ bản và toàn diện
nền giáo dục nƣớc nhà, tiếp cận với trình độ giáo dục của khu vực và thế giới;
khắc phục một cách chắp vá, thiếu tầm nhìn tổng quát, thiếu kế hoạch đồng
bộ. Xây dựng một nền giáo dục của dân, do dân, vì dân; bảo đảm công bằng
về cơ hội học tập cho mọi ngƣời, tạo điều kiện để toàn xã hội học tập và học
tập suốt đời.
Ƣu tiên hàng đầu cho việc nâng cao chất lƣợng dạy và học. Đổi mới
phƣơng pháp dạy và học, nâng cao chất lƣợng đội ngũ giáo viên và tăng cƣờng
cơ sở vật chất của nhà trƣờng, phát huy khả năng sáng tạo và độc lập suy nghĩ
của học sinh, sinh viên. Coi trọng bồi dƣỡng cho học sinh, sinh viên khát vọng
mãnh liệt xây dựng đất nƣớc giàu mạnh,...".
Môn Toán là một trong những môn học quan trọng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

1




, trong h

.
:
, lôga
.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ
định hƣ
luyện kĩ KN giải PT và BPT mũ, lôgarit cho HS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

.

- Nghiên cứu nội dung PT và BPT mũ, lôgarit trong chƣơ
12 THPT.
- Đ
rèn luyện KN giải PT và BPT mũ, lôgarit cho HS.
ƣ phạm đã đề xuất.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

2




4. Phƣơng pháp nghiên cứu
-

.
- Phương pháp quan sát, điều tra: Tìm hiểu thực tế dạy học nội dung PT
và BPT

.

, GV
.
-

:
ƣ

5

.

u
-

.

-

PT và BPT
.

6. Giả thuyết khoa học
đề xuất đƣợc một số

PT và BPT

PT và BPT
KN

HS

.

7. Cấu trúc của đề tài

:
Chương 1:
Chương 2: Một số biện pháp sƣ phạm rèn luyện kĩ nă
, lôgarit thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập có
phân bậc.
Chương 3:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

.

3

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Về hoạt động
1.1.1. Sơ lược về quan điểm hoạt động
Jean Piaget (1896 - 1980) - nhà tâm lí học, nhà sinh học, ngƣời Thụy Sĩ
đã nghiên cứu và đi đến kết luận: tri thức không phải truyền thụ từ ngƣời biết
tới ngƣời không biết, mà tri thức đƣợc chính cá thể xây dựng, thông qua HĐ.
Những năm 1925 - 1940, LS. Vygotsky (1896 - 1934) - nhà tâm lí học
Xô Viết, đã đề ra những luận điểm cơ bản để xây dựng nền tâm lí học kiểu mới
- tâm lí học macxit, phủ nhận tâm lí học duy tâm thần bí. Xuất phát từ những
luận điểm của Vygotsky, A.N Leonchiev (1893 - 1979) - nhà tâm lí học macxit
kiệt xuất cùng các cộng sự, đã nghiên cứu đi đến kết luận quan trọng là “HĐ là
bản thể của tâm lí”, nghĩa là HĐ có đối tƣợng của con ngƣời chính là nơi sản
sinh ra tâm lí con ngƣời. Bằng HĐ và thông qua HĐ, mỗi ngƣời tự sinh thành
ra mình, tạo dựng và phát triển ý thức của mình. Cống hiến to lớn của
Leonchiev là chỉ ra bản chất của tâm lí, với các luận điểm sau:
- HĐ là bản thể của tâm lí.
- Tâm lí, ý thức là sản phẩm của HĐ và làm khâu trung gian để con
ngƣời tác động vào đối tƣợng; các hiện tƣợng tâm lí đều có bản chất HĐ.
- Quan hệ giữa tâm lí và HĐ là quan hệ giữa một bên là điều kiện, mục
đích, động cơ và một bên là thao tác, hành động, HĐ [8].
1.1.2. Vai trò của hoạt động trong học tập
Về vai trò của HĐ trong học tập trong quá trình nhận thức, tâm lí học
hiện đại cho rằng nhân cách của HS đƣợc hình thành và phát triển thông qua
các HĐ chủ động, có ý thức. Ngay từ xa xƣa, trong dân gian đã có câu “Trăm
hay không bằng tay quen”. Nhiều danh nhân cũng đã từng nói những câu bất hủ

nhƣ: “Suy nghĩ tức là hành động” (Jean Piaget), “Cách tốt nhất để hiểu là làm”
(Kant), “Học để hành, học và hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh),... Trong xã hội
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

4




có những biến đổi nhanh chóng nhƣ ngày nay thì khả năng hành động càng
đƣợc đánh giá cao hơn.
Theo Nguyễn Bá Kim [7], có thể nói vắn tắt về quan điểm HĐ trong dạy
học là: tổ chức cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng
tạo. Các thành tố cơ sở của PPDH là động cơ HĐ, các HĐ và HĐ thành phần,
tri thức trong HĐ, phân bậc HĐ.
Định hƣớng HĐ hoá ngƣời học thực chất là làm tốt mối quan hệ giữa ba
thành phần: mục đích, nội dung và PPDH. Bởi vì:
- HĐ của HS vừa thể hiện mục đích dạy học, vừa thể hiện con đƣờng để
đạt mục đích và cách thức kiểm tra việc đạt mục đích.
- HĐ của HS thể hiện sự thống nhất của những mục đích thành phần (4
phƣơng diện: tri thức bộ môn, KN bộ môn, năng lực trí tuệ chung và phẩm chất,
tƣ tƣởng, đạo đức, thẩm mĩ, theo ba mặt: tri thức, KN, thái độ).
Định hƣớng HĐ hoá ngƣời học bao hàm một loạt những ý tƣởng lớn đặc
trƣng cho các PPDH hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể của ngƣời học.
- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
- Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo.
- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của ngƣời học.
Trong dạy học, mỗi HĐ có thể có một hay nhiều chức năng, có thể là tạo
tiền đề xuất phát, có thể là làm việc với nội dung mới, có thể là củng cố...

Những HĐ nhƣ: phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS, vận dụng toán học vào
thực tiễn là những HĐ rất đáng lƣu ý.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định, đó là các HĐ
đƣợc thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng các nội dung đó.
Nội dung dạy học môn Toán thƣờng liên quan đến các dạng HĐ sau:
- Nhận dạng và thể hiện một khái niệm, một phƣơng pháp, một quy tắc,
một định lí.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5




- Những HĐ toán học phức hợp: chứng minh, định nghĩa, giải bài toán
bằng cách lập PT, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích...
- Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học: lật ngƣợc vấn đề; xét tính
giải đƣợc (có nghiệm, nghiệm duy nhất), phân chia trƣờng hợp...
- Những HĐ trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tƣơng tự,
trừu tƣợng hoá, khái quát hoá...
- Những HĐ ngôn ngữ: khi yêu cầu HS phát biểu, giải thích một định
nghĩa, trình bày lời giải một bài toán...
1.2. Phân bậc hoạt động
Phân bậc HĐ có thể hiểu là việc tách các HĐ thành các mức độ theo các
tiêu chí riêng đặt ra.
Việc phân bậc HĐ có thể giúp HS hình thành kiến thức, rèn luyện KN,
phát triển tƣ duy hay bồi dƣỡng phẩm chất đạo đức.
Tùy đối tƣợng HS và tùy từng mục đích dạy học mà khoảng cách giữa
các bậc và tiêu chí phân bậc có thể khác nhau. Nếu HS càng kém thì việc phân
bậc càng phải “mịn”.

1.3. Những căn cứ để phân bậc hoạt động
Đối với PT và BPT mũ, lôgarit chúng tôi phân bậc dựa vào các căn cứ
sau đây:
1.3.1. Căn cứ vào độ phức tạp của PT và BPT mũ, lôgarit
Đối tƣợng càng phức tạp thì HĐ đó càng khó thực hiện. Vì vậy, có thể
dựa vào sự phức tạp của đối tƣợng để phân bậc HĐ.
Ví dụ 1.1: Giải các PT sau:
a) 2log32 x 5log3 x 7

0 (1)

c) x.log32 x 2( x 1)log3 x 4

b) log32 x 5log3 5x 7

0 (2)

0 (3)

Trong ví dụ này ta thấy, cả ba PT đều là PT lôgarit và có chung phƣơng
pháp giải là đặt ẩn phụ t

log3 x , tuy nhiên mức độ khó của các PT tăng dần

do độ phức tạp nội tại của chính PT đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

6

+ Ở PT (1), HS dễ dàng phát hiện ra cách đặt ẩn phụ và sau khi đặt ẩn
phụ sẽ dẫn đến PT bậc hai đối với ẩn phụ, hệ số nguyên..
+ Ở PT (2), HS chỉ nhìn thấy việc đặt ẩn phụ nếu biết tách

log 3 5 x log 3 5 log 3 x . Sau khi đặt ẩn phụ sẽ dẫn đến PT bậc hai đối với ẩn
phụ, các hệ số của PT bậc hai lúc này lại chứa biểu thức lôgarit, tinh toán sẽ
phức tạp hơn.
+ Ở PT (3) HS phải sử dụng cách đặt ẩn phụ nhƣng vẫn còn ẩn x ở hệ
số. Mặc dù sau khi đặt ẩn phụ dẫn đến PT bậc hai đối với ẩn phụ nhƣng hệ số
chứa x nên HS phải biến đổi về PT tích mới có thể giải đƣợc hoặc giải PT bậc
hai đối với ẩn phụ theo tham số x .
Ví dụ 1.2: Giải các PT sau:
a) 27 x 12 x

2.8 x

b) 3(3 2 2) x

0 (4)

2) 2 x

(3

2(1 2 2) x

0 (5)

Cũng nhƣ ví dụ 1.1 trong ví dụ này ta thấy:

amf ( x)

+ Với PT (4), đây là PT dạng

(ab) f ( x)

bmf ( x)

0. Để

giải PT này HS đã có cách giải cụ thể chỉ việc áp dụng thuật giải đó mà không
cần sự nỗ lực về kiến thức.
+ Với PT (5), nếu nhƣ không có sự phân tích tìm hiểu thì chắc chắn đây
là một bài toán khó đối với HS. Nhƣng qua một số bƣớc biến đổi chẳng hạn:

3 2 2
3(1

2 2 2 1 ( 2 1) 2 ; 1 2 2

2) 2 x

PT dạng

(3

amf ( x)

2) 2 x

2(1

2) x (3

(ab) f ( x)

bmf ( x)

2) x

(3

2)(1

2) ta đƣợc PT

0 , khi đó PT (4) trở thành

0. Tƣơng tự nhƣ PT (3) ta cũng có

thuật giải.
Nhƣ vậy, việc giải PT (5) đòi hỏi HS phải có sự nỗ lực nhất định so với
PT (4). Do vậy PT (5) ở mức độ cao hơn so với PT (4).
Tóm lại, độ phức tạp của các PT và BPT mũ, lôgarit là một căn cứ quan
trọng để phân bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào căn cứ này GV có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7

thể cho HS tiến hành giải những PT và BPT mũ, lôgarit từ đơn giản đến phức
tạp nhằm đảm bảo vừa sức HS tạo cho các em sự hào hứng và tích cực trong
HĐ học tập, khi đó HĐ học tập của HS mới đạt hiệu quả cao.
1.3.2. Căn cứ vào sự phức hợp của hoạt động
Sự phức hợp của HĐ ta có thể hiểu đơn giản là gồm nhiều HĐ kết hợp
với nhau. Do đó, nói đến sự phức hợp của HĐ là nói đến sự phức tạp, khó khăn
khi tiến hành thực hiện HĐ. Ngay cả khi HS đã định hƣớng đƣợc hƣớng giải
quyết và nắm đƣợc những kiến thức cần thiết để tiến hành thực hiện HĐ đó.
Trong quá trình giải PT và BPT mũ, lôgarit, HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit
nào có độ phức hợp càng cao thì càng khó. Do đó, căn cứ vào độ phức hợp của
HĐ ta có thể phân bậc HĐ.
Ví dụ 1.3: Giải các PT sau:
a)

1
2

c) 9 x

x2 2

24 3 x (1)

2( x 2).3x

b) 4 x

2 x 1 8 0 (2)

2 x 5 0 (3)

Trong ví dụ này ta thấy PT (3) ở mức độ cao hơn PT (2) và PT (2) ở mức
độ cao hơn PT (1) vì:
- PT (1) HS có thể dễ dàng giải đƣợc bằng cách đƣa cả hai vế của PT về
cùng cơ số 2:

1
2

x2 2

24 3x

2
22 x

2
x2
x
x

24 3x

x 2 4 3x
3x 2 0
1

2

- Đối với PT (2) HS cần phải sử dụng ẩn phụ và tìm nghiệm của PT ẩn
phụ nhƣ sau:
Đặt t

2 x , t 0 PT trở thành: t 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

8

2t 8 0

t
t

2
4




Sau khi tìm đƣợc nghiệm của PT với ẩn phụ, ứng với mỗi nghiệm đó tìm
đƣợc các nghiệm tƣơng ứng của PT ban đầu.
+ Với t
+ Với t

4 0 nên không thỏa mãn.
2 , ta có 2x

2

x 1.

- Đối với PT (3), HS vẫn sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải nhƣng
sau khi đƣa về PT với ẩn phụ thì PT này vẫn chứa ẩn x .

3x , t

Đặt t

0 , PT (3) trở thành: t 2

2( x 2).t 2 x 5 0

Ta coi x nhƣ một tham số của PT, khi đó tìm đƣợc các nghiệm của PT
ẩn phụ là:

t
t

+ Với t

1 0 nên không thỏa mãn.

+ Với t

1
5 2x

5 2x , suy ra 3x

5 2 x . Để tìm nghiệm x của PT này HS phải có

KN giải PT bằng phƣơng pháp xét sự biến thiên của các hàm số.
Nhƣ vậy, để giải PT (3) HS phải có KN giải PT mũ và lôgarit bằng các
phƣơng pháp, trong khi đó để giải PT (2) HS chỉ cần có KN giải PT mũ bằng
cách đặt ẩn phụ đơn giản, mà việc giải PT bậc hai đối với HS là rất đơn giản
(thậm chí có thể dùng máy tính). Do đó, HĐ giải PT ở câu c phức tạp hơn HĐ
giải PT ở câu b và HĐ giải PT ở câu b phức tạp hơn HĐ giải PT ở câu a. Vậy,
PT (3) ở mức độ cao hơn PT (2) và PT (2) ở mức độ cao hơn PT (1).
Ví dụ 1.4: a) Giải BPT sau: log 21 x 6log 2 x 8 0
2

b) Tìm các nghiệm nguyên trong khoảng

11 21
;
2 2

thỏa mãn BPT:

log3 (27 x 2 ).log 2x 3 1
Trong ví dụ này, câu b ở mức độ cao hơn câu a, thật vậy:
- Đối với câu a, ta có lời giải nhƣ sau:

log 21 x 6log 2 x 8 0
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9




log 22 1 x 6log 2 x 8 0
log 22 x 6log 2 x 8 0
Đặt t

(1)

log 2 x , khi đó BPT (1) trở thành: t 2 6t 8 0

Với 2 t

4 suy ra, 2 log 2 x 4

Vậy nghiệm của BPT là 4

4

2 t

4

x 16 .

x 16 .

- Đối với câu b, ta có lời giải nhƣ sau:
Điều kiện: 1

x 0 . Ta có,
log3 (27 x 2 ).log 2x 3 1
1
(log3 27 log3 x )
log3 x

2

2

1

log32 x 2log3 x 3 0
Đặt t

log3 x , BPT trở thành: t 2 2t 3 0

Với 1 t

3, suy ra: 1 log3 x 3

1
3

1 t

3

x 27 .

Tập các nghiệm nguyên của BPT nằm trong khoảng

11 21
;
2 2

là:

S {6,7,8,9,10}
Nhƣ vậy, câu a và b HS đều phải đặt ẩn phụ, đƣa về PT và BPT đối với
ẩn phụ, ngoài ra ở câu b việc giải xong PT ẩn x chƣa phải là mục đích cuối
cùng, HS còn phải tìm những nghiệm nguyên thuộc một khoảng đã cho (tích
hợp cả kiến thức về số học), nên HĐ ở câu b là phức hợp hơn HĐ trong câu a,
do đó câu b ở mức độ cao hơn câu a.
Tóm lại, sự phức hợp của HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit là một căn cứ
quan trọng để phân bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào căn cứ phân
bậc này GV có thể đƣa ra những bài tập phù hợp với từng đối tƣợng HS trong
từng giai đoạn của quá trình dạy học, tránh trƣờng hợp mà GV đƣa ra những
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10




bài tập mà HĐ giải các bài tập đó quá phức tạp dễ làm cho HS thấy lúng túng,

dễ gây cảm giác hoang mang trong học tập.
1.3.3. Căn cứ vào bình diện của nhận thức
HĐ nhận thức của HS bao gồm hai quá trình: Nhận thức cảm tính và
nhận thức lý tính. Nhận thức cảm tính là quá trình nhận thức cái bên ngoài của
sự vật hiện tƣợng, đây chính là bậc thấp của quá trình tƣ duy, ở bậc này HS chỉ
có khả năng nhận thức đƣợc chính sự vật hiện tƣợng đó, chƣa có cái nhìn sâu
sắc về bản chất, nguồn gốc của sự vật, hiện tƣợng và mối quan hệ của nó với
thế giới xung quanh. Nhận thức lý tính là bậc cao của quá trình tƣ duy, ở bậc
này HS có thể nhận thức đƣợc cái bên trong, cái bản chất của sự vật hiện tƣợng,
từ việc nhận thức đƣợc cái bên trong của sự vật hiện tƣợng HS mới có thể khái
quát hóa và sáng tạo. Do đó, bình diện nhận thức là một căn cứ để tiến hành
phân bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit.
Ví dụ 1.5: Cho PT log 2 (4 x

m)

x 1

a) Giải PT với m 3 .
b) Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt.
Trong ví dụ này, câu b ở mức độ cao hơn câu a vì: đối với câu b ta phải
tiến hành HĐ có mức độ khái quát hơn PT trong câu a (câu b có chứa tham số).
Do vậy, nếu ta tiến hành đƣợc các HĐ trong câu b ta có thể tiến hành HĐ đó
cho mọi trƣờng hợp cụ thể của câu a, tức là ta dễ dàng thực hiện đƣợc câu a.
Ngƣợc lại, nếu làm câu b mà HS gặp khó khăn thì ta có thể quay lại tiến hành
HĐ giải PT trong câu a, từ đó có định hƣớng giải cho câu b.
Ví dụ 1.6: Cho BPT ( m 1)4 x
a) Giải BPT với m

2x

1

m 1 0

2.

b) Tìm m để BPT nghiệm đúng với mọi x .
Ví dụ này tƣơng tự nhƣ ví dụ 1.5, câu b cũng ở mức độ cao hơn câu a vì:
trong câu b HS phải là tiến hành giải một BPT không phải với giá trị cụ thể của
tham số m (nhƣ ở câu a), tức là HĐ ở mức độ khái quát hơn, đòi hỏi sử dụng
tích hợp nhiều kiến thức để giải.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11




Nhƣ vậy, câu a trong cả hai ví dụ 1.5 và 1.6 HS chỉ đơn giản là thay giá
trị cụ thể của tham số m để giải PT và BPT nhƣng trong câu b đối với cả hai ví
dụ HS phải giải cho trƣờng hợp tổng quát với m là một tham số bất kỳ, nên
HĐ trong câu b đòi hỏi HS phải có năng lực giải toán tốt, do đó câu b có mức
độ cao hơn câu a.
Tóm lại, bình diện của nhận thức cũng là một căn cứ quan trọng để phân
bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào căn cứ này GV cũng có thể xây
dựng đƣợc những bài tập mang tính khái quát vừa sức đối với HS để đảm bảo
tính lôgic của nhận thức, đảm bảo phù hợp với sự phát triển tƣ duy của HS,
tránh tình trạng đƣa ra những bài tập mang tính khái quát quá cao (thiếu yếu tố
dẫn dắt), làm cho HS cảm thấy khó khăn trong nhận thức, do vậy sẽ có những

ảnh hƣởng tiêu cực đến quá trình học tập của HS.
1.3.4. Căn cứ vào tính độc lập và độ thành thạo của hoạt động giải PT và
BPT mũ, lôgarit
Trong dạy học giải PT và BPT mũ, lôgarit thì tính độc lập và độ thành
thạo cũng là một căn cứ quan trọng để tiến hành phân bậc HĐ. Tính độc lập tức
là khả năng độc lập khi tiến hành giải những PT và BPT mũ, lôgarit của HS.
Do vậy, với một HĐ nào đó, nếu việc thực hiện HĐ đó mà có sự hƣớng dẫn,
gợi ý thì bao giờ cũng có bậc thấp hơn so với việc thực hiện HĐ mà không có
sự hƣớng dẫn, gợi ý.
Ví dụ 1.7: Cho PT log 32 x

log 32 x 1 2m 1 0

a) Giải PT với m 0 .
b) Biện luận theo m số nghiệm của PT.
c) Xác định m để PT có nghiệm.
Trong ví dụ này ta có thể phân thành các bậc nhƣ sau:
- Bậc thấp: Ta cho HS làm lần lƣợt cả ba câu. Với câu a khi thay m 0
vào PT ta đƣợc PT log 32 x

log 32 x 1 1 0 . Đây là PT quen thuộc HS có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

12




thể áp dụng ngay phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải PT này. Chuyển sang câu b,

HĐ giải PT ở câu b là phức tạp hơn, tuy nhiên nếu HS đã giải đƣợc câu a thì có
thể định hƣớng đƣợc ngay hƣớng giải câu b và khi giải câu b HS sẽ định hƣớng
đƣợc lời giải cho câu c, đảm bảo lời giải câu c sẽ đầy đủ vì sau khi giải và biện
luận số nghiệm của PT HS sẽ biết đƣợc trƣờng hợp nào PT có nghiệm, trƣờng
hợp nào PT vô nghiệm.
- Bậc cao: Ta yêu cầu HS tiến hành HĐ giải một câu c mà không thông
qua hai câu a và câu b sẽ làm cho HS thấy lúng túng, có thể gặp khó khăn khi
thực hiện HĐ giải.
Ví dụ 1.8: Giải các PT sau:
a) log 2

x

log3 (3 2 x) (1)

c) log2 log3 log4 x

b) log2 log3 x

log3 log2 x (2)

log4 log3 log2 x (3)

Trong ví dụ này, phƣơng pháp giải các PT là nhƣ nhau, tuy nhiên với PT
(1) việc định hƣớng giải cũng nhƣ quá trình tiến hành HĐ giải PT này là đơn
giản nhất, nếu HS giải đƣợc PT (1) thì dễ dàng giải đƣợc các PT tiếp theo. Đối
với ví dụ này ta phân thành các bậc nhƣ sau:
- Bậc thấp: Bài có đầy đủ cả ba câu a, b, c.
- Bậc cao: Bài toán gồm hai câu b và câu c.
- Bậc cao hơn: bài toán gồm một câu c.

Việc phân chia bài tập thành các ý nhỏ có ý nghĩa rất lớn trong dạy học
giải PT và BPT mũ, lôgarit, những bài tập có tính dẫn dắt này luôn đảm bảo
cho các HĐ đề ra là phù hợp với trình độ của các đối tƣợng HS trong mỗi giai
đoạn của quá trình dạy học, những bài tập này còn tạo điều kiện cho HS phát
huy tối đa đƣợc tính độc lập của bản thân khi tiến hành HĐ giải PT và BPT
mũ, lôgarit.
Ta có thể phân bậc dựa vào độ thành thạo của HS khi tiến hành HĐ giải
PT và BPT mũ, lôgarit. Trong dạy học giải PT và BPT mũ, lôgarit, nếu ta xác
định yêu cầu HS phải đạt tới KN điêu luyện khi giải một PT và BPT mũ, lôgarit
tức là ta đã phân bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit thành các bậc.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

13




- Bậc thấp: Là HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit tƣơng tự dạng cơ bản hoặc
có thể dễ dàng suy ra từ dạng cơ bản.
- Bậc cao hơn: Là HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit đòi hỏi HS phải nắm
chắc, thành thạo dạng cơ bản và phải dựa vào dạng cơ bản để suy luận ra
phƣơng pháp giải. Việc suy luận càng qua nhiều tầng có nghĩa là độ khó càng
cao và yêu cầu HS càng thành thạo hơn.
Tóm lại, tính độc lập và độ thành thạo là một căn cứ quan trọng để phân
bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào sự phân bậc này GV có thể xây
dựng những bài tập giải PT và BPT mũ, lôgarit phù hợp với các đối tƣợng HS
(phù hợp cả về mức độ yêu cầu và số lƣợng các bài tập) trong từng giai đoạn của
quá trình dạy học PT và BPT mũ, lôgarit giúp các em phát huy tối đa tính độc
lập, sáng tạo của mình làm cho hiệu quả của quá trình dạy học ngày càng cao.
1.4. Vai trò của phân bậc hoạt động trong rèn luyện kỹ năng giải toán

Phân bậc HĐ trong rèn luyện KN giải toán có một số vai trò sau:
- Phân bậc HĐ để giúp HS hình thành, củng cố kiến thức: Chẳng hạn
sau khi học song các quy tắc biến đổi của lôgarit GV có thể cho HS thực hiện
ví dụ sau:
Ví dụ 1.9: Cho a, b là các số dƣơng. Tìm x biết: log3 x
Ta có, log3 x

4log3 a 7log3 b

4log3 a 7log3 b

log3 x log3 a 4 log3 b7
log3 x log3 (a 4 .b7 )

x a 4 .b7

Nhƣ vậy, để thực hiện đƣợc ví dụ trên HS cần nhớ đƣợc các quy tắc biến
đổi nhƣ: log a b

log a b và loga bc loga b loga c , vận dụng để giải

quyết bài toán.
Ví dụ 1.10: Cho a, b là các số dƣơng. Tìm x biết:

log5

1
x

log

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

a
5
14

1
.log3 b
log3 25



Ta có,

log5

1
x

log

log5 x 1
log5 x

1
.log3 b
log3 25

a

5
log

5

1

a log 25 b

2

1
log 5 b
2

2log 5 a

log5 x log5 a

log5 x log5

2

log 5

1
b2

1
(a 2 .b 2 )

1
a 2 .b 2

x

HS thực hiện đƣợc bài toán trên thì cần phải vận dụng đƣợc các quy tắc
biến đổi sau: log a b

1

log a b , log a b

log a b , log a b

log c b
và
log c a

loga bc loga b loga c .
Nhƣ vậy, với cùng một mục đích là tìm giá trị của x nhƣng với sự phân
bậc giữa hai ví dụ (ví dụ 1.10 có bậc cao hơn ví dụ 1.9) thì HS đã dần khắc sâu
và vận dụng đƣợc các quy tắc biến đổi lôgarit.
- Phân bậc HĐ giúp HS rèn luyện KN.
Ví dụ 1.11: Giải các PT sau:
a) 2

3

b) 3

5

x
x

2

x

3

16 3

5

14 (1)
x

2x

- Với PT (1), HS nhận thấy (2
đƣợc về cùng cơ số là (2

3

(2)

3)(2

3) hoặc (2

3) 1 nên PT (1) có thể đƣa

3) . Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn

phụ HS dễ dàng giải đƣợc PT (1) nhƣ sau:
Ta có, (2

1

3) x
(2

Đặt t

(2

3)

x

nên:

3) x , khi đó PT trở thành:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

15

t
+ Với t

1
14
t

t 2 14t 1 0

t

7 4 3

t

7 4 3

7 4 3 , suy ra:
3) x

(2
+ Tƣơng tự với t

7 4 3

3) x

(2

7 4 3 , suy ra x

3) 2

5)

4 1 nên không thể biểu

x 2

2.

- Với PT (2), HS nhận thấy (3
diễn (3

(2

5)(3

5) hoặc ngƣợc lại. Nhƣng mặt khác vế phải của PT

5) qua (3

(2) không giống nhƣ vế phải của PT (1) là một số cụ thể mà vẫn chứa lũy thừa
với số mũ chứa x , do đó ta thực hiện chia cả hai vế của PT cho 2 x ta đƣợc PT
tƣơng đƣơng nhƣ sau:

3

5

x

16

2

3

Lúc này ta thấy,

5
2

3

3

5

x

23

2

5
2

1 khi đó sử dụng phƣơng pháp

đặt ẩn phụ nhƣ đối với PT (1) để tìm nghiệm của PT.
Nhƣ vậy, cả hai PT đều sử dụng cùng một phƣơng pháp giải nhƣng đối
với PT (1) HS có thể dễ dàng thực hiện còn đối với PT (2) HS cần phải đƣợc
hƣớng dẫn, rèn luyện KN thì mới có thể thực hiện đƣợc.
- Phân bậc HĐ để bồi dƣỡng tƣ duy (sáng tạo, trừu tƣợng, biện chứng,
logic...) và hình thành các phẩm chất tƣ duy (tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo,...).
Ví dụ 1.12: Giải các PT sau:
a) 3x

2

b) 3x

2

1
6 x 10

x3 3
x2 6 x 6

(1)
(2)

+ Đối với PT (1), HS đoán nhận đƣợc một nghiệm của PT là x

0 và

nhận thấy vế trái của PT là một hàm số luôn đồng biến với mọi x  , vế phải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16




của PT là hàm số luôn nghịch biến với mọi x  . Do đó, x

0 là nghiệm duy

nhất của PT.
+ Đối với PT (2), mặc dù về mặt hình thức thì hoàn toàn giống với PT
(1) nhƣng HS không thể giải theo cách thông thƣờng là sử dụng tính đơn điệu
của hàm số mà HS cần nhận thấy đƣợc rằng:

x 2 6 x 10 ( x 3) 2 1 1 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 3 , khi
đó 3x

2

6 x 10

3 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 3 .

x2 6 x 6

( x 3)2 3 3 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 3 .

Do đó, PT trên chỉ có nghiệm duy nhất x

3.

Nhƣ vậy, phân bậc HĐ giúp HS có sự sáng tạo nhất định để phát hiện ra
cách giải của bài toán.
Ngoài ra, bài tập có phân bậc còn có vai trò gợi động cơ, kiểm tra, đánh
giá. Khi gợi động cơ GV có thể đƣa ra các vấn đề với độ khó tăng dần để HS
thấy rõ đƣợc sự bức thiết của vấn đề cần giải quyết. Bài tập có phân bậc có vai
trò rất quan trọng trong đánh giá và tự đánh giá, nó giúp GV và bản thân HS
biết đƣợc mức độ đạt đƣợc mục tiêu, là cơ sở định hƣớng cho việc điều chỉnh
HĐ học tập.
1.5. Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán
1.5.1. Kỹ năng
Theo [13], "KN là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có
đƣợc ở bạn để đạt đƣợc mục đích của mình, KN còn có thể đặc trƣng nhƣ toàn
bộ thói quen nhất định, KN là khả năng làm việc có phƣơng pháp".
Theo [2], " KN là khả năng vận dụng những kiến thức đƣợc thu nhận
trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế".
Theo [12], "Trong toán học KN là khả năng giải các bài toán, thực hiện
các chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận đƣợc".
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

17