Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 bắc ninh năm học 2016 2017(có đáp án)

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1. (3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức B = 13 + 30 2 +

9+ 4 2

2) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0, a 2 + b2 ¹ c 2, b2 + c 2 ¹ a 2 , c 2 + a 2 ¹ b2 .
a2
b2
c2
Tính giá trị biểu thức P = 2
+
+
.
a - b 2 - c 2 b 2 - c 2 - a 2 c 2 - a 2 - b2
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Trong hệ trục tọa độ Oxy , tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M ( x ; y ) sao
cho y 2 - 5y x + 6x = 0 .
a b c
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn + + = 0 . Chứng minh rằng phương trình
6 5 4

2
ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
8
8
8
8
8
8
2
2
2
+
+
+
a
+
b
+
c
³
+
+
.
a + 3 b+ 3 c+ 3
(a + b)2 + 4abc (b + c )2 + 4abc (a + c )2 + 4abc
2) Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình
a 2 + b2 + 16c 2 = 9k 2 + 1.
Câu 4. (6,0 điểm)

Cho đoạn thẳng A B = 2a có trung điểm là O . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ A B dựng nửa
đường tròn tâm O đường kính A B và nửa đường tròn tâm O ' đường kính A O . Điểm M thay đổi
trên nửa đường tròn ( O ') (M khác A và O ), tia OM cắt đường tròn ( O ) tại C . Gọi D là giao
điểm thứ hai của CA với đường tròn ( O ') .
1) Chứng minh rằng tam giác A DM cân.
2) Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( O ) cắt tia OD tại E , chứng minh EA là tiếp tuyến
chung của hai đường tròn ( O ) và ( O ') .
3) Đường thẳng A M cắt OD tại H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn
( O ) tại điểm thứ hai là N . Chứng minh rằng ba điểm A, M , N thẳng hàng.
4) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với A B .
Câu 5. (3,0 điểm)
1) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho
· N.
A M 2 = A P 2 + 2A N 2 . Tính góc PA
3
2
2
2) Cho các đa thức P ( x ) = x + ax + bx + c; Q ( x ) = x + 2016x + 2017 thỏa mãn

(

)

P ( x ) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và P Q ( x ) = 0 vô nghiệm.
6
Chứng minh rằng P ( 2017 ) > 1008 .
-------------HẾT-------------


UBND TNH BC NINH

S GIO DC V O TO

HNG DN CHM
THI CHN HC SINH GII CP TNH
NM HC 2016 - 2017
Mụn: Toỏn - Lp 9
ỏp ỏn

Cõu
1.1. (1.5 im)
B = 13 + 30 2 +

9 + 4 2 = 13 + 30 2 +
2

= 13 + 30 2 +

( 8 + 1) = 13 + 30 2 +

8+ 2 8+ 1

im

0.75

8+1

= 13 + 30 2 + 2 2 + 1 = 13 + 30 ( 2 + 1)2 = 18 + 2 18.5 + 25

0.75

2

= ( 18 + 5) = 3 2 + 5
1.2. (1.5 im)
P =

a2

(b + c)

2

2

- b2 - c 2
2

2

+

b2

(c + a)
3

3

2

- c2 - a2

+

c2

( a + b)

2

- a 2 - b2

0.75

3

a
b
c
a +b +c
+
+
=
2bc 2ca 2ab
2abc
3
3
3
2

2
2
Ta cú a + b + c - 3abc = ( a + b + c ) a + b + c - ab - bc - ca = 0
=

(

)

ị a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
3
Do vy, P =
2
2.1. (2.0 im)

0.75

ộy = 2 x
ờ
Ta cú y - 5y x + 6x = 0 ờ
ờy = 3 x
ở
2

Vi y = 2 x ị 2x + 1 = 2 x x +

(

1.0

)

2

x - 1 = 0 , khụng cú x tha món.

ộx =1
ờ
Vi y = 3 x ị 2x + 1 = 3 x ờ
ờx = 1
ờ
2
ở

ộx = 1
ờ
ờ
ờx = 1
ờ
4
ở
ổ
1 3ử
ữ
; ữ
.
ỗ
T ú tỡm c cỏc im tha món l M ( 1; 3) hoc M ỗ
ữ
ỗ

ữ
ố4 2 ứ

1.0

2.2. (2.0 im)

5
5
c ta c cx = c .
4
4
c
=
0,
Nu
phng trỡnh nghim ỳng vi mi x ẻ Ă .
4
Nu c ạ 0, phng trỡnh cú nghim x = .
5
a
ạ
0,
Vi
ổ4
4 ử 2 16
8
16
64 2
8 2

ữ
D = b2 - 4ac = b2 - 4a ỗ
=b +
ab + a 2 = b2 +
ab +
a +
a
ỗ- a - bữ
ữ
ữ
ỗ
5 ứ
5
3
5
25
75
ố 6
Vi a = 0 ị b = -

2

ổ 8 ữ
ử
8 2
=ỗ
+
a > 0, " a ạ 0, " b. Suy ra, phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit.
ỗb + a ữ
ữ

ữ
ỗ
ố 5 ứ 75
Vy phng trỡnh luụn cú nghim.
3.1. (2.0 im)

1.0

1.0


Ta có
8
8
8
(a + b)2
2
2
³
=
;
a
+
b
³
nên
2
(a + b)2 + 4abc (a + b)2 + c(a + b)2
(c + 1) (a + b)2
8

a 2 + b2
8
(a + b)2
+
³
+
³
2
4
(a + b)2 + 4abc
(c + 1)(a + b)2
2 2
c+1

=

8
2. 2 ( c + 1)

³

2 2
c+1

8
c+ 3

0.5

0.5

0.5

8
a 2 + b2
8
+
³
Do đó,
2
2
c+ 3
(a + b) + 4abc
8
b2 + c 2
8
8
a 2 + c2
8
+
³
+
³
,
.
2
2
2
a + 3 (a + c ) + 4abc
2

b+ 3
(b + c ) + 4abc
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
3.2. (2.0 điểm)
Vì VP chia 3 dư 1 nên VT chia 3 dư 1. Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1
hoặc 0 nên hai trong ba số a, b, c phải bằng 3.
TH1: a = b = 3 ta có 18 + 16c 2 = 9k 2 + 1 Þ 17 = 9k 2 - 16c 2 = (3k - 4c )(3k + 4c )
Tương tự

ìï 3k - 4c = 1
ìï k = 3
(thỏa mãn)
Þ ïí
Þ ïí
ïï 3k + 4c = 17
ïï c = 2
î
î

0.5

0.5

0.5

Vậy ta được ( a ;b; c; k ) = ( 3; 3;2; 3) .
TH2: Nếu c = 3 ; a = 3 hoặc b = 3.
Với a = 3 ta có
32 + b2 + 16 ×32 = 9k 2 + 1 Þ 152 = 9k 2 - b2 = (3k - b)(3k + b) = 23 ×19.

Vì 3k - b, 3k + b cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn.
Ta được các trường hợp:
ìï 3k - b = 2
ìï k = 13
ï
ï
Û
(thỏa mãn)
í
í
ïï 3k + b = 76
ïïî b = 37
î
Ta được các bộ ( a ;b; c; k ) thỏa mãn là (a, b, c, k ) = (3, 37, 3,13).

1.0

ìï 3k - b = 4
ìï k = 7
ï
ï
Û
(thỏa mãn)
í
í
ïï 3k + b = 38
ïï b = 17
î
î
Ta được các bộ ( a ;b; c; k ) thỏa mãn là (a, b, c, k ) = (3, 17, 3, 7)

Tương tự ta có các bộ (a, b, c, k ) = (37, 3, 3,13),(17, 3, 3, 7).
4.1. (1.0 điểm)
Tam giác A OC cân tại O , có OD là
đường cao nên là phân giác trong góc
·
A· OC , do đó A· OD = COD
0.5


¼
nên DA = DM .
Þ A¼ D = DM
Vậy tam giác A MD cân tại D .

0.5

4.2. (1.0 điểm)
· E = OCE
·
D OEA = D OEC ( c.g.c ) Þ OA
= 900.

0.5

Do đó, A E ^ A B . Vậy A E là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( O ') .

0.5

4.3. (2.0 điểm)
Giả sử A M cắt ( O ) tại N ' . D OA N ' cân tại O , có OM ^ A N ' nên OM là đường trung

trực của A N ' Þ CA = CN '.
· M = DOM
·
· ' A = CA
· M mà CA
· ' H = COH
·
Ta có CN
, do đó CN
. Bốn điểm C , N ',O , H
thuộc một đường tròn.
Suy ra, N ' thuộc đường tròn ngoại tiếp D CHO . Do vậy, N ' trùng với N . Vậy ba điểm
A, M , N thẳng hàng.
4.4. (2.0 điểm)
Vì ME / / A B và A B ^ A E nên ME ^ A E .
Ta có hai tam giác MA O , EMA đồng dạng nên

MO
MA
AO
=
=
Þ MA 2 = A O .EM (*)
EA
EM
MA
Dễ thấy D MEO cân tại M nên ME = MO . Thay vào (*) ta được MA 2 = OA .MO (**)
Đặt MO = x > 0 ta có MA 2 = OA 2 - MO 2 = a 2 - x 2 .
Từ (**) suy ra a 2 - x 2 = ax Û x 2 + ax - a 2 = 0 .
Từ đó tìm được OM =

(

1.0

1.0

1.0

1.0

)

5- 1a
2

5.1. (1.5 điểm)
Dựng tam giác A NB vuông cân tại N (
A, B nằm khác phía đối với NP ).
· N = 450 và
Ta có A B 2 = 2A N 2 , BA
D A MN = D BNP ( c.g.c ) Þ A M = BP .

1.0

Do đó, A P 2 + A B 2 = A P 2 + 2A N 2 = A M 2 = BP 2 ÞD A BP vuông tại A .
· N = PA
· B + BA
· N = 900 + 450 = 1350
Nên PA

5.2. (1.5 điểm)
Gọi x 1, x 2, x 3 là ba nghiệm của P ( x ) ta có P ( x ) = ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 )

(

) (

)(

)(

Suy ra, P Q ( x ) = Q ( x ) - x 1 Q ( x ) - x 2 Q ( x ) - x 3

(

)

)

Do P Q ( x ) = 0 vô nghiệm nên các phương trình Q ( x ) - x i = 0 ( i = 1, 2, 3) vô nghiệm.
2
Hay các phương trình x + 2016x + 2017 - x i = 0 ( i = 1, 2, 3) vô nghiệm

0.5

0.5


2
2

Do đó, các biệt thức tương ứng D i ' = 1008 - ( 2017 - x i ) < 0 Û 2017 - x i > 1008
6
Suy ra, P ( 2017 ) = ( 2017 - x 1 ) ( 2017 - x 2 ) ( 2017 - x 3 ) > 1008 .

1.0

Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong
trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với
tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------