Giới hạn của dãy số Olympic Toán

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1. Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực
1. 1.1. Định nghĩa dãy số:
1.1.1.1. Định nghĩa: Hàm số u : N* → R
n → u ( n)

Gọi là dãy số thực
1.1.1.2. Ví dụ
1.1.2. Dãy số bị chặn: Cho dãy số thực { un } , được gọi là
1.1.2.1. Bị chặn trên: Nếu tồn tại số thực M sao cho un ≤ M , ∀n
1.1.2.2. Bị chặn dưới: Nếu tồn tại số thực N sao cho un ≥ N , ∀n
1.1.2.3. Bị chặn: Nếu dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
1.1.2.4. Ví dụ:
1
2
n 
n
1.1.2.4.2. { 3 }

1.1.2.4.1. 

1.1.2.4.3. { (−1) .n}
1.1.3. Dãy số đơn điệu
Dãy số thực { un } , được gọi là
1.1.3.1. Tăng nếu un ≤ un +1 , ∀n
1.1.3.2. Tăng nghiêm ngặt nếu un < un +1 , ∀n
1.1.3.4. Giảm nếu un ≥ un +1 , ∀n
1.1.3.5. Giảm nghiêm ngặt nếu un > un +1 , ∀n
1.1.4. Dãy con
1.1.4.1. Định nghĩa: Từ một dãy số thực lấy ra một dãy có một số số hạng nằm
trong đó gọi là một dãy con.

n
1.1.4.2. Ví dụ: dãy { (−1) } ta lập được hai dãy con là:
1,1,1,1,1,……. và -1,-1,-1,…….
1.1.5. Định nghĩa giới hạn của dãy số: Tham khảo các sách
* Chú ý: Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không có giới hạn được
gọi là dãy phân kì
6. Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn dãy nếu có là duy nhất.
1.2. Một số tính chất đơn giản của giới hạn.
1.2.1. Định lý 1: Dãy số thực { un } hội tụ thì bị chặn
n

n
* Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Xét dãy { (−1) }

1.2.2. Định lý 2: Nếu dãy số thực { un } hội tụ và có giới hạn l thì mọi dãy con của
nó đều hội tụ và có giới hạn l.

1


un = l và a là một số thực
1.2.3. Định lý 3: Giả sử lim
n →∞

a. Nếu l > a thì tồn tại một số nguyên dương N sao cho: n ≥ N ⇒ un > a
b. Nếu l< a thì tồn tại một số nguyên dương N sao cho: n ≥ N ⇒ un < a
un = l và lim vn = m và un ≤ vn , ∀n thì l ≤ m
1.2.4. Định lý 4: Nếu lim
n →∞
n →∞

* Chú ý:
a. Định lý 4 vẫn đúng nếu thay điều kiện “ un ≤ vn , ∀n ” bởi điều kiện
“ un ≤ vn kể từ một chỉ số n0 nào đó trở đi ”.
b. Nếu un < vn , ∀n thì vẫn có thể xảy ra l = m. (phân tích cho sinh viên)
un = l và a là một số thực
* Hệ quả: Giả sử lim
n →∞

a. Nếu un ≤ a, ∀n thì l ≤ a
b. Nếu un ≥ a, ∀n thì l ≥ a
un =
1.2.5. Định lý 5: Cho ba dãy: { un } , { vn } , { w n } thỏa mãn un ≤ vn ≤ w n , ∀n và lim
n →∞
lim vn = l thì lim w n = l
n →∞
n →∞
un =
* Chú ý: Cho ba dãy: { un } , { vn } , { w n } thỏa mãn un < vn n →∞
lim vn = l thì lim w n = l
n →∞
n →∞
un = l thì lim un = l
1.2.6. Định lý 6: Nếu lim
n →∞
n →∞
1.2.3. Một số phép toán trên giới hạn dãy
un = l , lim vn = m và a là số thực không đổi thì:
Giả sử lim
n →∞

n →∞
un + vn ) = l + m
1.2.3.1. lim(
n →∞
u n − vn ) = l − m
1.2.3.2. lim(
n →∞
un .vn ) = l.m
1.2.3.3. lim(
n →∞
.un ) = a.l
1.2.3.4. lim(a
n →∞
 un

1.2.3.5. lim
n →∞ v
 n

un ) l
 lim(
n →∞
=
= , m≠0
÷
vn ) m
 lim(
n →∞

un = l và un ≥ 0, ∀n thì dãy số

1.2.7. Định lý 7: Nếu { un } là dãy số thực hội tụ lim
n →∞

{ }

un = lim(un ) = l
thực un cũng hội tụ và lim
n →∞
n →∞
* Chú ý:
un = l và
+ Nếu k là một số nguyên dương, { un } là dãy số thực hội tụ lim
n →∞
un ≥ 0, ∀n thì dãy số thực

{ u}
k

n

cũng hội tụ và lim
n →∞

(

k

)

un = k lim(un ) = k l

n →∞

+ Nếu k là một số nguyên dương lẻ thì có thể bỏ đi giả thiết un ≥ 0, ∀n .
1.2.4. Giới hạn vô cực. Vô cùng lớn và vô cùng bé
1.2.4.1. Giới hạn +∞

2


1.2.4.2. Giới hạn −∞
1.2.4.3. Các tính chất giới hạn vô cực
1.2.4.4. Vô cùng lớn
un = +∞
+ Định nghĩa: Dãy số thực { un } được gọi là một vô cùng lớn nếu lim
n →∞
+ Phân tích ví dụ.
1.2.4.5. Vô cùng bé
un = 0
+ Định nghĩa: Dãy số thực { un } được gọi là một vô cùng lớn nếu lim
n →∞
+ Phân tích ví dụ.
Chú ý: Phân tích và cách tìm các dạng vô định
1.2.5. Giới hạn e

0 ∞
, , 0.∞
0 ∞

n

n

 1
 1
Cho dãy số thực { un } , trong đó un = 1 + ÷ thì lim 1 + ÷ = e ≈ 2, 718281828459...
n
→∞
n
n








1.2.6. Một số giới hạn thường gặp
0 khi a < 1
+∞ khi a > 1

an = 
1.2.6.1. lim
n →∞

1.2.6.2. Khi a là một số thực dương thì lim
n →∞
1.2.6.3. lim
n →∞

( n) =1

( a ) =1
n

n

1.2.6.4. Nếu dãy { xn } hội tụ và thỏa mãn xn > 0, ∀n ≥ 1 và giả thiết tồn tại lim
n →∞
x1.x2 ...xn = lim xn
thì: lim
n →∞
n →∞

1.2.6.5. Nếu dãy { xn } thỏa mãn xn > 0, ∀n ≥ 1 và giả thiết tồn tại lim
n →∞
xn +1
n →∞ x
n

lim n xn = lim
n →∞

1.2.8. Cấp số cộng
1.2.8.1. Định nghĩa
1.2.8.2. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
1.2.8.3. Các tính chất của cấp số cộng.
1.2.9. Cấp số nhân
1.2.9.1. Định nghĩa
1.2.9.2. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.

1.2.9.3. Các tính chất của cấp số nhân.
1.2.9.4. Tổng vô hạn của một cấp số nhân lùi

3

xn +1
thì:
xn

xn +1
xn


BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ BÌNH LUẬN
Bài1. Cho dãy số {an} với an =

a + a + ..... + a , với n căn

a. Chứng minh rằng dãy {an} đơn điệu tăng và bị chặn trên
an
b. Tìm lim
n →∞
Bình luận
a.
+ Chỉ ra a2 > a1. Thật vậy a2 = a + a1 > a = a1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ak > ak-1. Ta phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k +1, nghĩa là ta phải chứng minh ak+1 > ak. Thật vậy:
ak+1 = a + ak > a + ak −1 = ak
+ {an} là dãy đơn điệu tăng
+ a1 = a < a+1

+ Giả sử ak < a+1. Ta phải chứng minh ak+1< a+1. Thật vậy:
ak+1 = a + ak < 2a + 1 < a 2 + 2a + 1 = a+1
b. Dãy {an} tăng, bị chặn trên nên có giới hạn
+ Giả sử….
+g=

1 + 1 + 4a
2

Bài2. Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau:
1
1 
 1
+
+ ... +
÷
2
n
 1
1
1 
 1
+ ... +
b. bn = -2 n + 1 +  +
÷
2
n
 1

a. an = -2 n + 

Bình luận
1
1 
 1
+
+ ... +
÷< 2 n
2
n
 1
+ {an} là dãy giảm và bị chặn dưới ( an > 2( n + 1 − n − 1 ) > -2

+ Ta có bất đẳng thức 2( n + 1 − 1) < 
+ Câu b tương tự

Bài 3. Cho c > 2, xét {an} được xác định theo công thức truy hồi
a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1
Chứng minh {an} là dãy tăng nghiêm ngặt
Bình luận:
+ Với c > 2 và từ giả thiết a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1, ta chứng minh được ak > 4
với ∀k ≥ 1, k ∈ N . Thật vậy
-Với n = 1, a1 = c 2 > 4 , mệnh đề đúng với n = 1.

4


- Giả sử mệnh đề đúng với n = k , k ≥ 1, k ∈ N , nghĩa là ak > 4 , ta chứng minh mệnh
2
đề đúng với n = k +1, thật vậy ak +1 = (ak − c) > 4 ⇔ ak − c > 2

* Trường hợp 1: ak − c > 2 ⇔ ak > 4 (luôn đúng- đpcm)
* Trường hợp 2: ak − c < −2 ⇔ ak < c − 2 < 0 (vô lí). Ta có điều phải chứng minh
+ Ta sẽ chứng minh dãy tăng nghiêm ngặt. Thật vậy
- Với n = 2, ta có a2 = (c 2 − c) 2 = c 2 (c − 1) 2 > c 2 = a1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 2 , k ∈ N , nghĩa là ak +1 = (ak − c) 2 > ak , ta phải
chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , k ∈ N , nghĩa là ta phải chứng minh
ak + 2 = (ak +1 − c) 2 > ak +1 . Thật vậy
ak + 2 − ak +1 = (ak +1 − c) 2 − (ak − c) 2 = (ak +1 − ak )(a k +1 + ak − 2c ) > 0 ( do ak +1 > ak > c 2 > c )
Bài4. Giả sử {an} là dãy thỏa mãn điều kiện
0 < an < 1, an(1-an+1) >

1
, với n∈N
4

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy đó.
Bình luận:

( an ) =
+ Dãy bị chặn, chuyển qua giới hạn ta được lim
n →∞

1
2

Bài5. Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy được xác định bởi biểu thức
a1 = 0, an+1 = 6 + an , n ≥ 1
Bình luận:
+ Dãy tăng, chỉ ra bị chặn trên bởi 3.
( an ) = 3

+ Chuyển qua giới hạn ta được lim
n →∞
Bài6. Cho ( an ) xác định: a1 = 0, a2 =

1
1
2
, an+1 = ( 1 + an + an −1 ) , n > 1
2
3

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài7. Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau
1 1
1
+ 2 + ... + 2
với n∈N
2
2 3
n
1 1
1
b. yn = 1 + 2 + 3 + ... + n
với n∈N
2 3
n
1
1
1

+
+ ... +
c. zn =
n(n + 1)
(n + 1)( n + 2)
(2n − 1)2n

a. xn = 1 +

với n∈N

Bình luận
Bài8. Cho p∈N, a > 0, a1 > 0. định nghĩa dãy{an} như sau
an+1=

1
a 
 ( p − 1)an + p −1 
p
an 

an
Tìm lim
n →∞

5

với n∈N

Bình luận
Bài9. Dãy {an} được cho theo công thức truy hồi
a1=

2 , an+1 =

2 + an

với n∈N

Chứng minh rằng dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài10. Dãy {an} được cho theo công thức truy hồi
a1= 1, an+1 =

2(2a n + 1)
an + 3

với n∈N

Chứng minh rằng dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài11. Tìm các hàng số c > 0 sao cho dãy {an} được xác định bởi công thức truy
hồi
c
c + an2
, an+1 =
2
2
lim

an
là hội tụ. Trong trường hợp đó hãy tìm

a1 =

với n∈N

n →∞

Bình luận
Bài12. Cho a > 0 cố định, xét dãy {an} được xác định
an2 + 3a
a1 > 0, an+1 = an 2
3an + a

với n∈N

Tìm tất cả các giá trị của a 1 sao cho dãy trên hội tụ và trong trường hợp đó
hãy tìm giới hạn của dãy.
Bình luận
Bài13. Cho dãy {an} được xác định
an+1 =

1
4 − 3a n

với n ≥1

Tìm các giá trị của a1 để dãy trên hội tụ và trong trường hợp đó hãy tìm giới
hạn của dãy.

Bình luận
Bài14. Cho a > 0, b > 0, dãy {an} được xác định bởi
0 < a1 < b, an+1 =

ab 2 + an2
a +1

với n ≥ 1

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận
Bài15. Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} được cho bởi công thức truy hồi

a1 = 2, an+1 =

2+

1

3+

và tìm giới hạn của dãy.

6

1
an

với n ≥ 1


Bình luận
Bài16. Dãy {an} được cho bởi công thức truy hồi
a1 = 1, a2 = 2, an+1 = an + an−1 với n ≥ 2
Chứng minh dãy trên tăng nghiêm ngặt, bị chặn. Tìm giới hạn của dãy
Bình luận
Bài17. Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} với
n + 1  2 2 2 23
2n 
+
+
+
...
+
an = n +1 
÷ với n ≥ 1
2 1 2 3
n 

Bình luận
Bài18. Giả sử có dãy bị chặn {an} thỏa mãn
1
3

2
3

an+2 ≤ an +1 + an với n ≥ 1

Chứng minh rằng dãy trên hội tụ
Bình luận
Bài19. Tính
n 2
1 + 22 + ... + n 2
a. lim
n →∞

b. lim
n →∞

(

2−32

)(

) (

2 − 5 2 ...

2 − 2 n +1 2

)

1 
1
1
1


+
+ ... +

÷
n  1+ 3
3+ 5
2n − 1 + 2n + 1 
2
n 
 1
+ 2
+ ... + 2
d. lim

÷
2
n →∞ n + 1
n +2
n +n

2n
nn 
 n
+ 3
+ ... + 3
e. lim

÷
3
n →∞ n + 1

n +2
n +n


c. lim
n →∞

Bình luận
Bài20. Tính
1 
1 
2
n −1 

a + ÷ +  a + ÷ + .... +  a +
a. lim


÷
n →∞ n
n 
n
n 


2

2

2


 với a∈R


an + an2 + ... + ank − k
b. lim
n →∞
an − 1
với an ≠1 với mọi n và lim an = 1, k là số nguyên dương
n →∞

 1

1

1



+
+ ... +
c. lim

÷
n →∞ 1.2.3
2.3.4
n(n + 1)(n + 1) 

k 3 −1

3
k =0 k + 1

2 
2  
2

1−
1−
... 1 −
e. lim
÷

÷
÷
n →∞
 2.3  3.4   (n + 1)(n + 2) 
n

d. lim
∏
n →∞

7


k 3 + 6k 2 + 11k + 5
(k + 3)!
k =1
n

g. lim
∑
n →∞

Bình luận
Bài21. Cho a > 0, b > 0, xét dãy {an} cho bởi
ab

a1 =

a 2 + b2

aan −1

, an =

a 2 + an2−1

, với n ≥ 2

an
Tìm số hạng thứ n của dãy và tính lim
n →∞
Bình luận
Bài22. Cho dãy truy hồi được định nghĩa bởi

an −1 + 3
, với n ≥ 2
4

Tìm số hạng thứ n của dãy và tính lim an

a1 = 0, an =

n →∞

Bình luận
Bài23. Xét sự hội tụ của dãy cho bởi công thức
a1 = a, an = 1 +ban-1, với n ≥ 2
Bình luận
Bài24. Cho a∈{1,2,3,...,9}, hãy tính
lim

n →∞

a + aa + ..... + aa....a
( n số hạng)
10n

Bình luận
Bài25. Cho p1, p2, ...,pk và a1, a2, .....,ak là các số dương, tính
lim

n →∞

p1a1n +1 + p2 a2n +1 + ..... + pk akn +1
p1a1n + p2 a2n + .... + pk akn

Bình luận
Bài26. Cho a1, a2, ....., ap là các số dương, tính lim

n →∞

n

a1n + a2n + ... + a np
p

Bình luận
p

1 p

Bài27. Cho a1, a2, ....., ap là các số dương, tính lim  ∑ n ak ÷
n →∞ p
 k =1


Bình luận
k

n −1

1

Bài28. Cho a∈(0;1). Hãy tính: lim
∑
a + ÷
n →∞
n

k =0 

Bình luận
Bài29. Tính
a. lim n 2sin 2
n →∞

n 2014
n 2014
+ cos 2
n +1
n +1
1

b. lim ( n + 1 + n cos n ) 2 n + n cos n
n →∞

8


n 

k
lim
c. n→∞ ∑  1 + 2 − 1÷
÷
n
k =0 

2

n 

k
 3 1 + 3 − 1÷
d. lim
∑
n →∞

÷
n
k =0 


Bình luận
Bài30. Cho một cấp số cộng {an} với các số hạng khác không, hãy tính
 1
1
1 
lim 
+
+ ... +
÷
n →∞ a a
an an +1 
 1 2 a2 a3

Bình luận
Bài31. Cho một cấp số cộng {an} với các số hạng dương, hãy tính
1 
1

1
1
+
+ ... +

n  a1 + a2
a2 + a3
an + an +1

lim

n →∞

Bình luận
Bài32. Tính
n
a. lim
n →∞

(

n

)

e −1

1
n

2
n

b. lim e + e + ..... + e
n →∞

n
n

n

Bình luận
Bài33. Tính
1 
1
1
1 
+
+ ... +
1 +
÷
n
2
3
n
n 
a2
an 
lim
a

+
+
...
+
b. n→∞ n +1 
÷
a 
2
n 

a. lim
n →∞

1 
(k + 1)!
(k + n)! 
k !+
+ ... +
÷
k +1 
n 
1!
n! 
1  1
1
1 
+
+ ... +
d. lim


÷
n →∞
n n
n +1
2n 

c. lim
n →∞

1k + 2k + ... + n k
n →∞
n k +1
1 + 1.a + 2.a 2 + ... + n.a n
g. lim
n →∞
n.a k +1
n 
1 k
1 + 2k + ... + n k ) −
(
h. lim
n →∞  n k
k + 1 


e. lim

Bình luận
an = a. Tìm lim 1  a1 + a2 + a3 + ... + an ÷
Bài34. Giả sử lim

n →∞
n →∞
n

2

9

3

n


÷
÷



Bình luận
an = a. Tìm lim  an + an −1 + ... + an1−1 ÷
Bài35. Giả sử lim
n →∞
n →∞
2
2 
 1
Bình luận
an = a. Tìm
Bài36. Giả sử lim
n →∞

a

a

a

a

a



n
1
+ n −1 + ... +
a. lim

÷
n →∞ 1.2
2.3
n.( n + 1) 


a 

n −1
n
n −1
1
b. lim

 − 1 + ... + (−1)
n −1 ÷
n →∞
1
2
2


Bình luận
Bài37. Tìm giới hạn của dãy {an}, trong đó




an =  1 +

1 
2 
n
1 + 2 ÷.... 1 + 2 ÷
2 ÷
n  n   n 

Bình luận
Bài38. Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 =1, an= n(an-1 +1), n ≥ 2. Tính
n

1
lim ∏  1 + ÷

n →∞
ak 
k =1 

Bình luận
Bài39. Cho các số thực a và b, dãy {an} được xác định như sau
a1= a, a2 = b, an+1 =

n −1
1
an + an-1, ), n ≥ 2
n
n

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận
Bài40. Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 =1, a2 =2, an+1 = n(an + an-1), n ≥ 2.
Tìm an
Bình luận
Bài41. Cho các số thực a và b, dãy {an} được xác định như sau

a1= a, a2 = b, an+1 =

1
2n − 1
an-1 +
an,

2n
2n

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận
Bài42. Cho {an} được xác định như sau
a1= 2, an+1= 3an + 8a 2n + 1
Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận

10

n ≥ 2.


1
2

Bài43. Cho {an} được xác định như sau: a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an-1 - an,
Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận
Bài44. Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 =1, a2 =2, an+1- an + an-1 – 1 = 0, n ≥ 3.
Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận
Bài45. Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 = 2, a2 = 3, an+1= 3an - 2an-1 , n ≥ 1.
Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó

Bình luận
1

Bài46. Cho dãy {an} được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an+2 = a + an , n ≥ 1.
n +1
Tính a2014
Bình luận
Bài47. Cho dãy {an} được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an+2 =

3
1
an +1 − an , n ≥ 1.
2
2

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận
a

n
Bài48. Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 0, an+1 = a 2 + 1 , n ≥ 1.
n

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận

Bài49. Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 =

1
1 2
, ak = ak-1+ ak −1 , k ≥ 1.
2
n

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận

Bài50. Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 0, an =

an −1
+ (−1) n , n ≥ 1.
2014

2

an
Tìm lim
n →∞
Bình luận
Bài51. Cho dãy {an} được xác định như sau
 a1 a2
a 
+ + ... + n ÷
an +1 

 a2 a3

a1 = 1, 2014an+1 = an2 +2014an , n ≥ 1. Tìm lim

n →∞
Bình luận
Bài52. Cho dãy số thực { un } với số hạng tổng quát:
un =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)

11


un
Tìm lim
n →∞
Bình luận:
u1 = 10

Bài53. Cho dãy số thực { un } xác định bởi: 
5un

un +1 = n + 1
un +1 1
< , ∀n ≥ 10
1/ Chứng minh rằng
un
2

2/ Từ đó suy ra dãy { un } hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài54. Cho dãy số thực { un }

u1 = 10

thỏa mãn 
un
un +1 = 5 + 3

1/ Chứng minh rằng dãy số { vn } xác định bởi vn = un −

15
là một cấp số nhân lùi vô
4

hạn.
2/ Từ đó suy ra rằng dãy { un } hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Bình luận
u1
un +1 = (1 − a)un + b

Bài55. Cho dãy số thực { un } xác định bởi: 

Trong đó a,b là hai số cho trước, 0 < a < 1.
un =
Chứng minh rằng lim
n →∞

b
a

Bình luận:
+ Đặt vn = un −

b
vn = 0.
và chứng minh rằng vn +1 = (1 − a)vn . Từ đó suy ra lim
n →∞
a

Bài56. Tìm giới hạn các dãy cho bởi các công thức truy hồi sau:
1/ xn = a + xn −1 , n > 1 với x1 = a , a ≥ 0
Bình luận:
+ Bằng quy nạp chứng minh được: xn < xn +1 .
+ Chứng minh bằng quy nạp xn < a + 1
xn = b ⇒ b ≥ a .
+ Đặt lim
n →∞
2
+ Từ xn = a + xn −1 chuyển qua giới hạn hai vế ta được b 2 = a + b .

+ Lý luận để tìm được b =
2/ xn +1 =

1 + 1 + 4a
2

xn + xn −1
, trong đó x1 = 0, x2 = 1.
2

Bình luận:

12


+ Ta có x2 =

x1 + x0
x +x
, x3 = 2 1
2
2

x2 − x1
,k≥2
2k − 2
 1 1
(−1) n − 2 
+ Cộng vế với vế ta có: xn − x1 = ( x2 − x1 ) 1 − + 2 − .... + n − 2 
2
 2 2


2 x2 − x1
x
−
x
− (−1) n − 2 . 2 n − 21
+ xn =
3
3.2
2
xn =
+ Kết luận: lim
n →∞
3
1
1 x2
Bài57. Cho dãy số thực ( xn ) xác định: xn = + n −1 , trong đó x1 = .
2
2
2
k −2
+ Từ đó ta chứng minh được bằng quy nạp: xk − xk −1 = (−1) .

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn.
Bình luận:
+ Chỉ ra xn > 0, ∀n
+ Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn < xn +1 và xn < 1, ∀n
xn = a .
+ Đặt lim
n →∞
1 xn2−1

1 a2
+
a
=
+ .
chuyển qua giới hạn hai vế ta được
2
2
2 2
+ Lý luận để tìm được a = 1
xn −1
xo
Bài 58. Cho dãy số thực ( xn ) xác định: xn =
, trong đó x1 =
, x0 > 0
2 + xn −1
2 + x0

+ Từ xn =

tùy ý.
Bình luận:
+ Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy { xn } giảm và bị chặn dưới bởi 0, do đó
xn = a , a ≥ 0.
tồn tại giới hạn lim
n →∞
xn −1
a
chuyển qua giới hạn hai vế ta được a =
.

2 + xn −1
2+a
+ Kết luận a = 0.
5 + xn2−1
x
x
=
(
)
Bài 59. Cho dãy số thực n xác định: n
, trong đó x0 > 5 tùy ý.
2 xn −1

+ Từ xn =

Bình luận:
+ Chứng minh bằng quy nạp các số hạng của dãy { xn } đều là các số dương.

1 5
+ xn −1 ÷ ≥ 5, ∀n
2  xn −1


+ Ta có xn = 

+ Xét ( xn − xn −1 ) với chứng minh trên xn ≥ 5, ∀n ta được dãy { xn } giảm
+ Mặt khác dãy { xn } bị chặn dưới bởi 5 nên có giới hạn.

13

xn = a .
+ Đặt lim
n →∞

+ Từ xn =

5 + xn2−1
15

chuyển qua giới hạn hai vế ta được a =  + a ÷
2 xn −1
2a


+ Kết luận a = 5.
Bài60. Cho hai dãy { xn } và

{ yn } với

x1 = a, y1 = b, xn +1 = xn yn , yn+1 =

xn + yn
, ∀n ≥ 1
2

Chứng tỏ rằng hai dãy trên có cùng giới hạn
Bình luận:
+ Từ giả thiết xn +1 = xn yn suy ra xn ≥ 0, yn ≥ 0, n = 1, 2,...
xn + yn

x + yn
≥ xn yn = xn +1 , mà xn +1 = xn yn ≥ xn2 = xn , yn +1 = n
≤ yn .
2
2
+ Như vậy: xn ≤ yn ≤ y1 = b, yn ≥ xn ≥ x1 = a
+ Do đó tồn tại lim xn = A , lim xn = B

+ yn +1 =

n →∞

n →∞

+ Chuyển qua giới hạn của đẳng thức yn +1 =

xn + yn
ta được A = B.
2

1 + 22 + 33 + ... + n n
n →∞
nn

Bài61. Tìm lim
Bình luận:

1 + 22 + 33 + .... + n n
nn
nn

n1 + n 2 + n3 + ... + n n
n n +1 − n n n − 1 n
n
=
= n .
<
+ Ta có: 1 = n ≤ an ≤
n
n
n
n
(n − 1).n
n
n −1 n −1
1 + 22 + 33 + ... + n n
=1
+ Dùng giới hạn kẹp ta được lim
n →∞
nn
Bài62: Cho hai số thực dương a và a1 . Định nghĩa ( an ) n≥1 như sau:

+ Đặt an =

an +1 = an . ( 2 − a.an ) , n ∈ N *

Xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy (nếu có) của ( an ) n≥1
Bình luận:
2
2
+ Đặt an +1 = f (an ) = 2a n − a.an . Hàm số f ( x) = 2x-a.x ⇒ Maxf(x)=

1
(*)
a
≥ 0 ⇒ an +1 ≥ an (**)

+ Từ a và a1 dương nên 0 < an ≤
+ Mà an +1 − an = an ( 1 − a.an )

+ Từ (*) và (**) ta có ( an ) n≥1 hội tụ

1
a

( an ) = x ⇒ x = x ( 2x-ax ) ⇔ x =
+ Giả sử lim
n →∞

14

1
a


Bài62: Cho ( xn ) n≥1


n

Tìm lim

∑
n →∞
 i =1

xn3 + 3x n + 16
thỏa mãn x1 = 2016; xn +1 = 2
xn − xn + 11

1 
÷
x +7
2
n

Bình luận:
+ Áp dụng:

1
1
1
−
= 2
xn − 4 xn +1 − 4 xn + 7

15