Dãy số dành cho đội tuyển Olympic

PHẦN I: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Các khái niệm:
1. Các định nghĩa
1.1. Định ngĩa 1: Hàm số f(x) xác định trên (a,b) và

∀x0 ∈ (a , b )

. Ta nói rằng

lim f ( x ) = f ( x0 )

x → x0

hàm số f liên tục tại điểm x0 nếu
.
Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Các hàm số sơ cấp xác định trên toàn miền xác định.
1
 ;x≠0
f ( x) =  x
0; x = 0

* Ví dụ 2: Xét hàm số
Hàm số gián đoạn tại x = 0, vì không có giới hạn tại x = 0, tức là không tồn
lim f ( x)

tại

x →0

1; x ∈ Q

D( x) = 
0; x ∈ I

* Ví dụ 3: Hàm số Điriclê:

Hàm số gián đoạn tại mọi điểm
một điểm x0 nào thuộc R.

* Ví dụ 4: Hàm số

x0 ∈ R

, vì hàm số không có giới hạn tại bất kì

 sin x
; x≠0

f ( x) =  x
0; x = 0
sin x
= 1 ≠ 0 = f (0)
x →0
x

lim f ( x) = lim
x →0

Hàm số gián đoạn tại x = 0 vì
1.2. Định nghĩa 2: Hàm số liên tục một phía.
lim f ( x ) = f ( x0 )

1.2.1. Hàm số liên tục phải:

x → x0+

f ( x) = 1 − x

2

.
lim + f ( x) = lim + 1 − x 2 = 0 = f ( −1)

x →( −1)

Ví dụ: Xét hàm số
, ta có
Vậy hàm số liên tục phải tại điểm x = -1

x → ( −1)

lim f ( x ) = f ( x0 )

1.2.2. Hàm số liên tục trái:

x → x0−

f ( x) = 1 − x 2

Ví dụ: Xét hàm số
, ta có

Vậy hàm số liên tục trái x = 1.

.
lim− f ( x) = lim− 1 − x 2 = 0 = f (1)

x →(1)

x →(1)


1.3. Các loại điểm gián đoạn:
1.3.1. Điểm gián đoạn loại 1(hay còn gọi là gián đoạn bỏ được): Nếu f có
giới hạn phải và giới hạn trái hữu hạn tại điểm x0.
f ( x0 + 0) = lim+ f ( x) ∈ R
x → x0

f ( x0 − 0) = lim− f ( x ) ∈ R
x → x0

Nghĩa là:
và
1.3.2. Điểm gián đoạn loại 2: Điểm gián đoạn không là loại 1 thì là điểm
gián đoạn loại 2.
Ví dụ:
* Ví dụ 1: Xét hàm số

 x; x < 1
f ( x) = 
2; x ≥ 2

f (1 + 0) = lim+ f ( x) = lim+ 2 = 2 = f (1)
x →1

x →1

f (1 − 0) = lim− f ( x) = lim− x = 1 ≠ f (1)
x →1

x →1

Ta có
,
Hàm số liên tục phải tại điểm x = 1, nhưng không liên tục trái tại x = 1, tuy
nhiên do f(1+0) và f(1-0) đều hữu hạn nên x = 1 là điểm giới hạn loại 1 của
hàm số f.

* Ví dụ 2: Xét hàm số

1
 ; x≠0
f ( x) =  x 2
0; x = 0
lim = +∞

Hàm số gián đoạn tại x = 0, mặt khác
đoạn loại 2 của hàm số đã cho.
* Ví dụ 3: Xét hàm số Điriclê:

x →0+

nên x = 0 là điểm gián

1; x ∈ Q
D( x ) = 
0; x ∈ I
x0 ∈ R

Hàm số gián đoạn tại mọi điểm
, vì hàm số không có giới hạn tại bất kì
một điểm x0 nào thuộc R, nên mọi điểm x thuộc R đều là điểm gián đoạn loại
2 của hàm số
1

 x sin ; x ≠ 0
f ( x) = 
x
1; x = 0

* Ví dụ 4: Hàm số
Tại x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số
 x 2 − 1; x ≤ 2
f ( x) = 
5 x − 7; x > 2

* Ví dụ 5: Hàm số
Hàm số liên tục trên R.


1.4. Hàm số liên tục trên khoảng (a;b): Nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng đó

1.5. Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]: Nếu liện tục trên (a;b) và liên tục phải
tại a và liên tục trái tại b.
1.6. Liên tục đều:
1.6.1. Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục đều trên D nếu với mỗi số
ε >0

nhỏ tùy ý cho trước tồn tại số

x1 − x2 < δ ⇒ f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε

δ >0

∀x1 , x2 ∈ D

sao cho

sao cho

.

1.6.2. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = 4x +2017
Ta có D = R.

∀x1 , x2 ∈ R, ∀ε > 0

δ=

nhỏ tùy ý, tồn tại

ε
2

sao cho

x1 − x2 < δ

thì
f ( x1 ) − f ( x2 ) = 2 x1 + 2017 − (2 x2 − 2017) = 2 x1 − x2 < 2δ = ε

* Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = x2. Hàm số này liên tục trên R? Nhưng không
liên tục đều trên R
Thật vậy ta chỉ ra rằng: Tồn tại
∀x1 , x2 ∈ D

sao cho

x1 =

Ta chọn

ε >0

cho trước với mọi số

x1 − x2 < δ ⇒ f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ ε

1
1 δ
; x2 = +

δ
δ 2

x1 − x2 =

, khi đó

f ( x1 ) − f ( x2 ) = x12 − x22 = 1 +

δ
>1
4

δ
<δ
2

δ >0

sao cho

.
, nhưng

2

.

II. Các định lí:
2.1. Định lí Vâyơxtrat

Nếu Hàm số f liên tục trên [a,b] thì:
a) f bị chặn trên đoạn [a.b].
b) f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a,b]
Ví dụ:
f ( x) =

1
x

(0; +∞)

Ví dụ 1: Hàm số
liên tục trên khoảng
bị chặn dưới bởi 0,
nhưng không bị chặn trên. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên
khoảng

(0; +∞)


Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục trên (-1;1) nhưng không bị chặn trên
khoảng này nên không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng đó.
2.2. Định lí Bônsano- Côsi
Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và

α

c ∈ [a; b]

là số thực giữa f(a) và f(b) thì tồn

α

tại ít nhất một điểm
sao cho f(c) = .
2.3. Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một
c ∈ [a; b]

điểm
sao cho f(c) = 0.
Ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = -x2 -2x +3 liên tục trên [-1;4] và f(-1) = 4 > 0;
f(3) = -12 < 0, khi đó tồn tại
III. Bài tập:

c ∈ [-1;3]

sao cho f(c) = 0. Tìm được c = 1.

Bài1: Tìm các số thực a, b sao cho hàm số
điểm x = 1, nhưng gián đoạn tại x = 2.
Bình luận:
ĐS: a – b = 3;

ax − b, x ≤ 1

f ( x ) = 3 x , 1 < x < 2
bx 2 − a, x ≥ 2


liên tục tại

b≠3

Bài 2: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên [0;1]. Chứng minh rằng

∀n ∈ N

tồn tại

1

f (c ) ≥ f  c + ÷
n


c ∈ [0;1]

một điểm
sao cho
Bình luận:
+ Do f(x) liên tục trên [0;1] nên tồn tại giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ
nhất m sao cho

m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [0;1]

.

+ Vì M là giá trị lớn nhất của f(x) trên [0;1] nên tồn tại
M, do đó

f (c ) ≥ f ( x )

x =c+

1
n

với

c ∈ [0;1]

sao cho f(c) =

∀x ∈ [0;1]

1
x = c + ∈ [0;1]
n

1

f (c ) ≥ f  c + ÷
n


+ Đặt

sao cho
, ta có
Bài3: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = f(1). Chúng
minh rằng phương trình

1 

f ( x) = f  x +
÷
2017 


có nghiệm trên [0;1]


Bình luận:
+ Xét hàm số

1 

g ( x) = f  x +
÷− f ( x )
2017 


trên

 2016 
0; 2017 

. Ta có:

 1 
g (0) = f 
÷− f (0)
 2017 
 1 
 2 
 1 
g
÷= f 
÷− f 
÷
 2017 
 2017 
 2017 
...................................................
 2016 
 2017 
g
÷= f 
÷−
 2017 
 2017 

 2016 
f
÷
 2017 

+ Cộng vế với vế ta được:
 1 
 2016 
g (0) + g 
÷+ ... + g 
÷ = f (1) − f (0) = 0
 2017 
 2017 

+ Do đó tồn tại ít nhất 2 điểm

.

i, j ∈ { 0,1, 2,....., 2016}

sao cho

 i 
g
÷≤ 0
 2017 

và

 j 
g
÷≥ 0
 2017 

+ Nếu

+ Nếu

 i 
g
÷= 0
 2017 
 i 
g
÷< 0
 2017 

hoặc
và

 j 
g
÷= 0
 2017 

 j 
g
÷> 0
 2017 

thì ta có điều phải chứng minh

. Do hàm g(x) liên tục trên [0;1] nên tồn tại

j 
 i

x0 ∈ 
;
÷
 2017 2017 

sao cho g(x0) = 0
+ Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1

1

∫ f ( x)dx < 2017
0

Bài4: Cho f(x) là hàm liên tục trên [0;1], f(0) > 0 và
. Chứng
minh rằng phương trình x2016 = f(x) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[0;1]
Bình luận:
+ Xét hàm số g(x) = x2016 – f(x) trên [0;1]. Khi đó g(x) cũng liên tục trên
[0;1]
+ Ta có g(0) = 0 – f(0) < 0(d0 f(0) > 0)


1

1

∫ g ( x)dx = ∫ ( x
+ Mặt khác

x1 ∈ (0;1)

0

1

2016

0

1
− f ( x ) ) dx =
− f ( x )dx > 0
2017 ∫0

. Nên tồn tại ít nhất

để g(x1) > 0
x0 ∈ (0; x1 ) ⊂ (0;1)

+ Vì g(0). g(x1) < 0, do đó tồn tại
để g(x0) = 0
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm là x0
lim f ( x) = +∞
x →+∞

Bài5: Cho f là hàm liên tục trên R và
. Giả sử tồn tại 2017 số a1,
a2, ........ , a2017 sao cho f(a1) + f(a2) + .......+f(a2017) = 2017. Chứng minh rằng
tồn tại 2017 số b1, b2, ....., b2017 sao cho bi > ai,

+f(b2017) = 2018.
Bình luận:

i = 1, 2017

và f(b1) + f(b2) + .......
x∈R

+ Đặt g(x) = f(a1 +x) + f(a2 + x) + .......+f(a2017 + x) – 2018,
. Khi đó g(x)
là hàm liên tục trên R.
+ Ta có g(0) = f(a1) + f(a2) + .......+f(a2017) – 2018 = 2017 – 2018 = - 1 < 0.
(1)
lim f ( x) = +∞

+ Mặt khác

x →+∞

+ Từ (1) và (2) tồn tại

lim g ( x) = +∞
x →+∞

nên
x0 ∈ (0; x1 )

suy ra

∃x1 > 0

để g(x1) > 0

(2)

để g(x0) = 0

⇔ f (a1 + x0 ) + f ( a2 + x0 ) + ... + f (a2017 + x0 ) − 2018 = 0

+ Đặt

bi = ai + x0 > ai , ∀i = 1, 2017

. Khi đó

f (b1 ) + f (b2 ) + ... + f (b2017 ) − 2018 = 0 ⇔ f (b1 ) + f (b2 ) + ... + f (b2017 ) = 2018


Bài tập tuần 03
Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy
Bài 1: Cho dãy số
lim ( un )
n →+∞
Tìm
.
Bình luận:
Bài 2: Cho dãy số
lim ( un )
n →+∞
Tìm

.
Bình luận:
Bài 3: Cho dãy số

{ un }

{ un }

{ un }

lim ( un2 )

được xác định bởi:

3
1
u1 = u2 = 1; un + 2 = un +1 − u n , n = 1, 2,...
2
2

u0 = 1; un +1 =

được xác định bởi:

u0 = 0; un =

được xác định bởi:

un
, n = 1, 2,...

u +1
2
n

un −1
+ (−1) n , n ≥ 1
2016

n →+∞

Tìm
.
Bình luận:
Bài 4: Cho dãy số
lim ( un )
n →+∞
Tìm
.
Bình luận:
Bài 5: Cho dãy số
 u 
lim  n n ÷
 n.2 

{ un }

{ un }

được xác định bởi:

được xác định bởi:

1
u1 = ; ( n + 2) 2 un +1 = n2 .un − n − 1, n ≥ 1
4

u0 = 1, u1 = 3; un + 2 = 4un +1 − 4un , n ≥ 2

n →+∞

Tìm
Bình luận:

.

Bài 6: Cho dãy số
lim ( un )
n →+∞
Tìm
.
Bình luận:
Bài 7: Cho dãy số

{ un }

{ un }

được xác định bởi:

được xác định bởi:

1
2016 
u1 = 2017; un =  un −1 +
÷, n ≥ 2
2
un −1 

un2
1
u1 = ; un +1 = − 1, n ≥ 1
3
2


lim ( un ) = 1 − 3

Chứng minh rằng
Bình luận:

n →+∞

Bài 8: Cho hai dãy số
un +1 = un +

1
1
, vn +1 = vn +
vn
un

 2017 
lim 
÷=
n →+∞ u + v
 n n

Tìm
Bình luận:

.

.
{ un }

và

{ vn }

u1 =

được xác định bởi:

2015
2017
; v1 =
2016
2016

và

Bài tập tuần 04 và bình luận
Dạng 3: Tìm giới hạn của biểu thức được xây dựng từ dãy số cho trước
{ un }
u1 = 1; 2017un +1 = un2 + 2017 u n , n = 1, 2,...
Bài 1: Cho dãy số
được xác định bởi:
u u
u 
lim  1 + 2 + ... + n ÷
un +1 
 u2 u3

n →+∞

Tìm
Bình luận:

+ Từ Giả thiết ta có

uk2
u −u
uk
uk +1 − uk =
⇔ k +1 k =
2017
uk +1.uk
2017uk +1

 1
uk
1 
= 2017  −
÷
uk +1
 uk u k +1 

+ Hay
+ Chỉ ra dãy đơn điệu tăng
lim ( un ) = a ≥ 1
n →∞
+ Giả sử
, khi đó ta lại tìm được a = 0, nên mâu thuẫn với giả
thiết
lim ( un ) = +∞
n →∞
+ Vậy
+ Kết quả

u u
u 
lim  1 + 2 + ... + n ÷ = 2017
n →+∞ u
un +1 
 2 u3

Bài 2: Cho dãy số
 un +1 
lim 

÷
n →+∞ u .u ....u
n 
 1 2

Tìm
Bình luận:

{ un }

được xác định bởi:

u1 = 5; un +1 = un2 − 2, n = 1, 2,...

.

un2+1 = ( un2 − 2 ) ⇒ un2+1 − 4 = un2 (un2 − 4), n = 1, 2,...
2

+ Từ giả thiết
+ Vậy

un2+1 − 4 = un2 (un2 − 4) = un2 .un2−1 (un2−1 − 4) = ... = un2 .un2−1...u12 (u12 − 4)
2

+ Ta tìm được

 un +1 
4


÷ = 21 +
2
( u1u2 ...un )
 u1.u2 ....un 

, mà

u1 = 5


 un +1 
lim 
÷ = 21
 u1.u2 ....un 

n →+∞

+ Kết quả:

Bài 3: Cho dãy số

{ un }

được xác định bởi:

u1 = 1; un +1 = un ( 1 + un2017 ) , n = 1, 2,...

 u 2017 u 2017
u 2017 
lim  1 + 2 + ... + n ÷

n →+∞
u3
un+1 
 u2

Tìm
Bình luận:

+ Từ giả thiết ta tìm được:

uk2017 1
1
= −
uk +1 uk uk +1

 u12017 u22017
u 2017  1
1
+
+ ... + n ÷ = −

u3
un+1  u1 un +1
 u2

+ Tính được tổng
+ Chỉ ra dãy số dương, đơn điệu tăng

lim ( un ) = +∞

+ Giả sử có giới hạn hữu hạn, dẫn tới vô lý, nên
+ Kết luận:

 u 2017 u 2017
u 2017
lim  1 + 2 + ... + n
n →+∞
u3
un +1
 u2

Bài 4: Cho dãy số

{ un }

n →∞


÷= 1


được xác định bởi:

u1 = 1; un = nun −1 + n, n ≥ 2,...


1
lim ∏ 1 + ÷
n →+∞
uk 

k =1 
n

Tìm
Bình luận:
+ Ta có:

u1 = 1 u2 = 2u1 + 2 = 2.1 + 2

,

u3 = 3u2 + 3 = 3.2.1 + 3.2 + 3 = 3!+ 3!+

3!
2!

u4 = 4u3 + 4 = 4.3.2.1 + 4.3.2 + 4.3 + 4 = 4!+ 4!+

4! 4!
+
2! 3!

.....................................................
un = nun −1 + n = n !+ n !+


n! n!
n!
1
1 

+ + ... +
= n !1 + 1 + + ... +
÷
2! 3!
( n − 1)!
2!
( n − 1)! 




1
1 +
∏
uk
k =1 
n

+ Mặt khác ta có:
n



k =1



 n  uk + 1  n  uk + 1
÷= ∏ 
÷ = ∏ 

 k =1  uk  k =1  k ( uk −1 + 1)


un + 1
un + 1
=
=
÷
÷ 1.2.3...n
n!


1
1 1
1
÷ = 1 + + + ... +
1! 2!
n!
k 

∏ 1 + u
+ Vậy

+ Kết luận:

n

1
lim ∏ 1 +
n →∞

uk
k =1 

Bài 5: Cho dãy số

{ un }


1
 1 1
1 + + + ... + ÷ = e
÷ = lim

n! 
 n →∞  1! 2!

được xác định bởi:

un2 + 2016un
u1 = 2; un+1 =
, n ≥ 1,...
2017

 n uk 
lim  ∑
÷
n →+∞
 k =1 uk +1 − 1 

Tìm

Bình luận:

 1
1 
= 2017 
−
÷
uk +1 − 1
 uk − 1 uk +1 − 1 
uk

+ Từ giả thiết ta rút ra được:
+ Cho k thay đổi, ta được:
+ Chỉ ra dãy tăng

 n uk 

1 
∑
÷ = 2017  1 −
÷
 k =1 uk +1 − 1 
 un+1 − 1 

lim ( un ) = +∞

+ Giả sử dãy un có giới hạn chỉ ra vô lý , nên
+ Kết luận:

 n uk 

lim  ∑
÷ = 2017
n →+∞
 k =1 uk +1 − 1 

Bài 6: Cho dãy số
lim ( ln un )
n →+∞
Tìm
Bình luận:

{ un }

được xác định bởi:

x−

+ Ta chứng minh được:
+ Từ giả thiết ta có
+ Xét với

n →∞

i
x= 2
n

x2
< ln(1 + x ) < x, x > 0
2

1 
2


ln un = ln 1 + 2 ÷+ ln 1 + 2
 n 
 n

ta được:

1 
2 
n 

un =  1 + 2 ÷ 1 + 2 ÷... 1 + 2 ÷
 n  n   n 

n


÷+ ... + ln 1 + 2 ÷

 n 

i
i2
i  i

−

< ln 1 + 2 ÷ < 2
2
4
n 2n
 n  n


+ Vậy

1
1
1
1 + 2 + ... + n ) − 4 ( 12 + 2 2 + ... + n 2 ) < ln ( un ) < 2 ( 1 + 2 + ... + n )
2 (
n
2n
n

lim ( ln un ) =

n →+∞

+ Kết quả

Bài 7: Cho

a>0

1
2

và dãy số

{ un }

u1 = a; un +1 =

được xác định bởi:


u 
lim  ∑ k ÷
n →+∞
 k =1 uk +1 
n

Tìm
Bình luận:

+ Từ giả thiết ta rút ra được:
+ Cho k thay đổi, ta được:
+ Chỉ ra dãy tăng

 1
uk
1 
= 2017  −
÷
uk +1
 uk uk +1 

 n uk 
1
1 
∑
÷ = 2017  −
÷
 k =1 uk +1 
 u1 un +1 

+ Giả sử dãy un có giới hạn chỉ ra vô lý , nên
+ Kết luận:

 n uk  2017
lim  ∑
÷=
n →+∞
a
 k =1 uk +1 

lim ( un ) = +∞
n →∞

un2
+ u n , n ≥ 1,...
2017