Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy ràng buộc cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỊCH XUÂN LUYẾN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH
QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỊCH XUÂN LUYẾN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH
QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN - 2015

iii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch toán
học với ràng buộc cân bằng của J.J. Ye
3
1.1. Điều kiện điểm dừng và điều kiện điểm chính quy . . . . . 3
1.1.1. Điểm dừng và điều kiện chính quy . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Điều kiện dừng đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Điều kiện cần và đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy cho bài toán quy
hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của C. Kanzow
và A. Schwartz
20
2.1. Các khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Điều kiện Fritz John . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


1

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Các bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng (hay còn gọi
là ràng buộc bù) là một lớp bài toán tối ưu khó. Các điều kiện KuhnTucker cho các bài toán này phải được thiết lập với các điều kiện chính
quy thích hợp với kiểu ràng buộc này. Nhiều công trình đã nghiên cứu
về các điều kiện Fritz John, các điều kiện chính quy và các điều kiện
Kuhn-Tucker cho lớp bài toán này. J.J. Ye ([11], 2005) đã thiết lập các
điều kiện Fritz John cho bài toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân bằng.
Các điều kiện chính quy thích hợp được đưa vào [11] để dẫn điều kiện
Kuhn-Tucker. C. Kanzow và A. Schwartz ([4], 2010) đã sử dụng cách
tiếp cận Fritz John để dẫn các điều kiện tối ưu cần và đủ cho bài toán
quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân bằng. Đây là đề tài đã
và đang được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Chính vì vậy tác giả đã chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu và điều kiện chính
quy ràng buộc cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng".
2. Mục đích của đề tài
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu và các
điều kiện chính quy cho bài toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân bằng
của Ye [11] và Kanzow - Schwartz [4] đăng trên tạp chí J. Math. Anal.
Appl. vol 307 (2005) và SIAM J. Optim. vol 20 (2010).
3. Nội dung của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1: Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch toán


2

học với ràng buộc cân bằng của J.J. Ye
Trình bày các kết quả của J.J. Ye ([11],2005) về các loại điểm dừng
thích hợp cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng. Chương 1 trình
bày định lý về điều kiện M-dừng kiểu Fritz John, định lý về điều kiện
M-dừng Kuhn-Tucker cho bài toán quy hoạch toán học khả vi với ràng
buộc cân bằng. Điều kiện M-dừng đủ với các giả thiết về tính lồi suy
rộng cũng được trình bày trong chương 1.
Chương 2: Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy cho bài toán quy
hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của C. Kanzow và Schwartz
Trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và các điều kiện chính quy
thích hợp cho bài toán quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân
bằng MPEC của Kanzow - Schwartz ([4],2010). Chương 2 trình bày điều
kiện cần Fritz John của Kanzow- Schwartz và các điều kiện chính quy
cho MPEC. Điều kiện đủ để MPEC là M-dừng được trình bày với các
điều kiện chính quy thích hợp.
Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy
cô giáo đã truyền đạt những tri thức quý giá trong thời gian tác giả
học tập tại trường. Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối
với thầy giáo PGS.TS. Đỗ Văn Lưu đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình
và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tác
giả xin được cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, trường
THPT Yên Ninh, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ và
tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015.
Học viên

Địch Xuân Luyến


3

Chương 1

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài
toán quy hoạch toán học với ràng
buộc cân bằng của J.J. Ye
Chương 1 trình bày các kết quả của J.J. Ye ([11],2005) về các loại điểm
dừng, điều kiện M-dừng Fritz John, điều kiện M-dừng Kuhn-Tucker cho
bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng khả vi. Với các giả
thiết về tính suy rộng, điều kiện M- dừng Kuhn-Tucker trở thành điều
kiện M-dừng đủ.

1.1.

Điều kiện điểm dừng và điều kiện điểm chính quy

Xét bài toán với ràng buộc cân bằng (MPEC):
(MPEC) min f (z)
g(z) ≤ 0,

h(z) = 0,

G(z) ≥ 0,

H(z) = 0,

(1.1)
G(z)T H(z) = 0,

trong đó f : Rn → R, G : Rn → Rm , H : Rn → Rm , g : Rn → Rp ,

h : Rn → Rq kí hiệu phép chuyển vị. Để nghiên cứu bài toán (MPEC)
người ta nghiên cứu dạng không đối xứng của bài toán tối ưu với ràng


4

buộc cân bằng(OPCC):
(OPPC) min f (x, y)
g(x, y) ≤ 0,

h(x, y) = 0,

G(x, y) ≥ 0,

y ≥ 0,

(1.2)

G(x, y)T y = 0.

Bài toán này là trường hợp đặc biệt quan trọng nhất (trong đó Ω =
Rm
+ ) của bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (OPVIC):
(OPVIC) min f (x, y)
g(x, y) ≤ 0,
y ∈ Ω,

(1.3)

h(x, y) = 0,

G(x, y), y − y ≤ 0,

∀y ∈ Ω,

trong đó
f : Rn+m → R, G : Rn+m → Rm , g : Rn+m → Rp , h : Rn+m → Rq
và Ω là tập con lồi đóng của Rm . Với một vectơ d ∈ Rn và tập chỉ số
I ⊆ {1, 2, ..., n}, di là thành phần thứ i của d và dI là vectơ con gồm các
thành phần di với i ∈ I. a, b hoặc aT b là tích vô hướng của vectơ a và
b.
1.1.1.

Điểm dừng và điều kiện chính quy

Với vectơ chấp nhận được z ∗ của MPEC, ta định nghĩa các tập sau
đây:
Ig := {i : gi (z ∗ ) = 0}
α := α(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) > 0},
β := β(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) = 0},
γ := γ(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) > 0, Hi (z ∗ ) = 0}.
Tập β là một tập suy biến. Nếu β là tập rỗng, thì vectơ z ∗ được gọi
là thỏa mãn điều kiện bù chặt. Ở đây ta xét trường hợp β = ∅. Ta xác
định tập các phân hoạch của β bởi
P (β) := {(β1 , β2 ) : β1 ∪ β2 = β, β1 ∩ β2 = ∅}.


5

Mỗi phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) được ghép với bài toán MPEC:

(MPEC)(β1 , β2 ) min f (z)
g(z) ≤ 0, h(z) = 0,
Gi (z) = 0, i ∈ α ∪ β2 , Hi (z) = 0, i ∈ γ ∪ β1 ,
Gi (z) ≥ 0, i ∈ β1 , Hi (z) ≥ 0, i ∈ β2 .
(1.4)
Rõ ràng z ∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC nếu và chỉ nếu nó là
nghiệm tối ưu của M P EC(β1 , β2 ) với mọi phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β).
Trước hết ta nhắc lại khái niệm nón tiếp tuyến.
Định nghĩa 1.1 (Nón tuyến tính)
Giả sử Z là tập chấp nhận được của MPEC và z ∗ ∈ Z. Nón tiếp tuyến
của Z tại z ∗ là nón đóng được xác định bởi
T (z ∗ ) := {d ∈ Rn : ∃tn ↓ 0, dn → d sao cho z ∗ + tn dn ∈ Z, ∀n}. (1.5)
Khái niệm sau đây về điều kiện điểm dừng của MPEC được đựa vào
trong [8]. Nó khác với điều kiện B-dừng [9] được xác định bởi
lin
∗
∇f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ TM
P EC (z )

(1.6)

lin
∗
trong đó TM
P EC (z ) là nón tuyến tính hóa MPEC được định nghĩa
dưới đây.

Định nghĩa 1.2 (Điểm B-dừng)
Một điểm chấp nhận được z ∗ của MPEC được gọi là điểm dừng Boligand
(B-dừng) nếu

∇f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ T (z ∗ ).
1.1.2.

(1.7)

Điều kiện dừng đối ngẫu

Không giống với quy hoạch phi tuyến thông thường chỉ có một điều
kiện dừng đối ngẫu, tức là điều kiện Karush-Kuhn-Tucker MPEC, có
một số khái niệm dừng. Bây giờ ra tóm tắt và trình bày mối liên hệ giữa
các khái niệm đó.


6

Định nghĩa 1.3 (Điểm W-dừng).
Một điểm chấp nhận được z ∗ của MPEC được gọi là dừng yếu nếu tồn
tại λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m sao cho điều kiện sau đúng:
q

∇λgi gi (z ∗ )

∗

0 = ∇f (z ) +

λhi ∇hi (z ∗ )

+
i=1

i∈Ig
m

(1.8)

∗
H
∗
[λG
i ∇Gi (z ) + λi ∇Hi (z )],

−
i=1

λgIg ≥ 0,

λG
γ = 0,

λH
α = 0.

(1.9)

Dễ thấy rằng điều kiện W-dừng là điều kiện KKT cho bài toán MPEC
chặt sau:
(TMPEC) min f (z)
g(z) ≤ 0, h(z) = 0,
Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ,

Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, i ∈ β.
Định nghĩa 1.4 (Điểm C-dừng)
Điểm chấp nhận được z ∗ của MPEC được gọi là điểm dừng Clarke nếu
tồn tại λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) và điều kiện
sau đúng:
∀i ∈ β,

H
λG
i λi ≥ 0.

(1.10)

Theo [9. Bổ đề 1] điều kiện C-dừng là điều kiện KKT không trơn khi sử
dụng grandient suy rộng Clarke [4] bằng cách phát biểu lại MPEC như
một bài toán quy hoạch phi tuyến không trơn:
min f (z)
g(z) ≤ 0, h(z) = 0,
Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ,

(1.11)

min{Gi (z), Hi (z)} = 0, i ∈ β.
Định nghĩa 1.5 (Điểm A-dừng).
Một điểm chấp nhận được z ∗ của MPEC được gọi là điểm dừng luân


7

phiên nếu tồn tại λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) và

điều kiện sau đúng:
∀i ∈ β,

λG
i ≥ 0,

hoặc λH
i ≥ 0.

(1.12)

Khái niệm điểm A-dừng được đưa vào bởi Flegel và Kanzow. Thực ra
điều kiện A-dừng là điều kiện KKT cho M P EC(β1 , β2 ) với một phân
hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β).
Định nghĩa 1.6 (Điểm M-dừng)
Điểm chấp nhận được z∗ của MPEC được gọi là Mordukhovich-dừng
nếu tồn tại λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) và điều
kiện sau đây đúng:
∀i ∈ β,

H
G H
hoặc λG
i > 0, λi > 0 hoặc λi λi = 0.

(1.13)

Định nghĩa 1.7 (Điểm S-dừng).
Một điểm chấp nhận được z ∗ của MPEC được gọi là dừng mạnh nếu
tồn tại λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) và điều kiện

sau đúng:
∀i ∈ β,

λG
i ≥ 0,

λH
i ≥ 0.

Điều kiện S-dừng là điều kiện KKT cho MPEC nới lỏng:
(RMPEC) min f (z)
g(z) ≤ 0, h(z) = 0,
Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ,
Gi (z) ≥ 0, Hi (z) ≥ 0, i ∈ β.

(1.14)


8

Biểu đồ sau đây tóm tắt mối quan hệ giữa các khái niệm điểm dừng
đối ngẫu trên:
Điểm S -dừng
⇓
Điểm M-dừng
⇓

⇓

Điểm C-dừng

Điểm A-dừng

⇓

⇓

Điểm W-dừng
Định nghĩa 1.8 (MPEC LICQ).
Giả sử z ∗ là điểm chấp nhận được của MPEC, trong đó tất cả các hàm
khả vi liên tục tại z ∗ . Ta nói rằng điều kiện chính quy độc lập tuyến
tính MPEC thỏa mãn tại z ∗ nếu các vectơ gradient của các ràng buộc
của R MPEC:

∇gi (z ∗ ),

∀i ∈ Ig ,

∇hi (z ∗ ),

∀i = 1, 2, 3, . . . , q,

∇Gi (z ∗ ),

∀i ∈ α ∪ β,

∇Hi (z ∗ ),

∀i ∈ γ ∪ β

là độc lập tuyến tính.
MPEC LICQ là điều kiện rất mạnh. Đó là điều kiện chính quy độc lập
tuyến tính cho MPEC nới lỏng. Vì vậy, nó là điều kiện chính quy để
điều kiện S-dừng, đúng tại một nghiệm tối ưu địa phương.
Định nghĩa 1.9 ( MPEC LICQ bộ phận).
Giả sử z ∗ là điểm chấp nhận được của MPEC. Điều kiện chính quy độc
lập tuyến tính MPEC bộ phận đúng tại z ∗ nếu với mọi vectơ


9

λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m
q

λgi ∇gi (z ∗ )

0=

m

λhi ∇hi (z ∗ )

+
i=1

i∈Ig

∗
[λG
i ∇Gi (z )

−
i=1

∗
+ λH
i ∇Hi (z )],
H
λG
γ = 0, λα = 0,

kéo theo
H
λG
β = 0, λβ = 0,

1.2.

Điều kiện cần và đủ tối ưu

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức về nón và dưới vi phân giới
hạn của Mordukhovich:
Định nghĩa 1.10
(i) Giả sử C ⊆ Rn là tập khác rỗng. Nón cực của C được định nghĩa
như sau:
C 0 := {s ∈ Rn | sT d ≤ 0, ∀d ∈ C}.
(ii) Giả sử C ⊆ Rn là tập đóng khác rỗng. Nón tiếp tuyến Bouligand
của C tại x∗ được định nghĩa bởi
xk − x∗
→ d}

tk
= {d ∈ Rn | ∃{xk } → d, {tk } ↓ 0 : x∗ + tk dk ∈ C ∀k ∈ N}.

TC (x∗ ) := {d ∈ Rn | ∃{xk } →C x∗ , {tk } ↓ 0 :

trong đó
{xk } →C x∗
kí hiệu dãy {xk } hội tụ đến x∗ và x∗ ∈ C,
∀k ∈ N.
(iii) Giả sử C ⊆ Rn là tập đóng khác rỗng và x∗ ∈ C. Nón pháp tuyến
Fr’echet của C tại x∗ được định nghĩa bởi
NCF (x∗ ) := TC (x∗ )0 .


10

(iv) Giả sử C ⊆ Rn là tập đóng khác rỗng và x∗ ∈ C. Nón pháp tuyến
giới hạn C tại x∗ được định nghĩa bởi
NC (x∗ ) := {d ∈ Rn | ∃{xk } →C x∗ , dk ∈ NCF (xk ) : dk → d}.
Các dưới vi phân sau đây có quan hệ với các nón đã định nghĩa trên.
Định nghĩa 1.11
Giả sử f : Rn → R liên tục
(i) Dưới vi phân của f tại x∗ được định nghĩa như sau:
∂ F f (x∗ ) := {s ∈ Rn | lim∗ inf
x→x

f (x) − f (x∗ ) − sT (x − x∗ )
≥ 0}.
x − x∗

(ii) Dưới vi phân giới hạn của f tại x∗ được định nghĩa như sau:
∂f (x∗ ) := {s ∈ Rn | ∃{xk } → x∗ , sk ∈ ∂ F f (xK ) : sk → s}.
Ta trình bày điều kiện M-dừng, kiểu Fritz John cho MPEC, bằng cách
phát biểu lại MPEC dạng OPVIC như sau:
(P) min f (z)
g(z) ≤ 0, (x, u, w) ∈ Ω,
(H(z), G(z) − x, h(z)), (x, y, w) − (x , y , w ) ≤ 0,
∀(x , y , z) ∈ Ω,
m
q
trong đó Ω = Rm
+ ×R ×R .

Một điều kiện M-dừng kiểu Fritz John có thể phát biểu như sau:
Định lý 1.1 (Điều kiện M-dừng kiểu Fritz John).
Giả sử z ∗ là nghiệm địa phương của MPEC trong đó tất cả các hàm khả
vi liên tục tại z ∗ . Khi đó, tồn tạị r ≥ 0, λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m ,


11

không đồng thời bằng 0, sao cho
q

λgi ∇gi (z ∗ )

∗

0 = r∇f (z ) +

λhi ∇hi (z ∗ )

+
i=1

i∈Ig
m

∗
H
∗
[λG
i ∇Gi (z ) + λi ∇Hi (z )],

−

(1.15)

i=1
H
λgIg ≥ 0, λG
γ = 0, λα ≥ 0,
G H
hoặc λgi > 0, λH
i > 0, hoặc λi λi = 0, ∀i ∈ β.

Chứng minh.
Bằng cách đưa vào một biến phụ, ta phát biểu lại MPEC dưới dạng
tương đương sau đây:
(EMPEC) min f (z)

g(z) ≤ 0, h(z) = 0,
G(z) − x = 0, H(z) − y = 0,
(x, y) ∈ Ω,
trong đó Ω := {x, y ∈ R2m : x ≥ 0, y ≥ 0, xT y = 0}. Đây là một bài toán
tối ưu với các ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và một ràng buộc tập
không lồi (x, y) ∈ Ω với (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (G(z ∗ ), H(z ∗ ), z ∗ ) là một nghiệm
địa phương. Áp dụng quy tắc giới hạn của quy tắc nhân tử Lagrange
của Mordukhovich [7, Định lý 1(b)] ta suy ra tồn tại r ≥ 0, λ không
đồng thời bằng 0 và (ξ, γ) ∈ NΩ (x∗ , y ∗ ) (Nón pháp tuyến giới hạn của
Ω tại (x∗ , y ∗ )), sao cho
 






0
0
0
0
q
 






λgi  0  +

λhi  0 
0 = r  0  +
i=1
i∈Ig
0
∇f (z ∗ )
∇gi (z ∗ )
∇hi (z ∗ )



  
−ei
0
ξ
m
m

  
G
H
−
λi 
λi  −ei  + γ  ,
0
−
i=1

λgIg ≥ 0,

∇Gi (z ∗ )

i=1

∇Hi (z ∗ )

0


12

trong đó ei kí hiệu vectơ đơn vị có thành phần thứ i = 1. Từ đó suy ra
0 = λG + ξ, 0 = λH + γ,
p

λgi ∇gi (z ∗ ) +

∗

0 = r∇f (z ) +
i=1

λhi ∇hi (z ∗ )
i∈Ig

m
∗
H
∗
[λG

i ∇Gi (z ) + λi ∇Hi (z )],

−
i=1

λgIg

≥ 0.

Bởi vì (ξ, γ) ∈ NΩ (x∗ , y ∗ ) và

NΩ (x∗, y∗) =











nếu x∗i > 0
nếu yi∗ > 0

ξi = 0
(ξ, γ) : γi = 0

hoặc ξi < 0, γi < 0 hoặc ξi γi < 0, nếu x∗ = y ∗ = 0

(xem [10], Mệnh đề 3.7) ta suy ra kết luận của định lí.
✷
Do điều kiện M-dừng kiểu Fritz John, nếu r trong điều kiện khác 0, thì
có thể lấy bằng 1. Vì vậy, điều kiện M-dừng kiểu KKT được suy ra.
Định nghĩa 1.12 (NNAMCQ)
Giả sử z ∗ là điểm chấp nhận được của MPEC, trong đó tất cả các hàm
khả vi liên tục tại z ∗ . Ta nói rằng điều kiện chính quy NNAMCQ (No
Nonzero Abnormal Multiplier Constraint Qualitification) đúng tại z ∗
nếu không tồn tại vectơ khác 0
λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m
sao cho
p

λgi ∇gi (z ∗ )

0=
i∈Ig

m

λhi ∇hi (z ∗ )

+
i=1

∗
H
∗
[λG

i ∇Gi (z ) + λi ∇Hi (z )],

−
i=1

H
λgIg ≥ 0, λG
γ = 0, λα = 0,
H
G H
hoặc λG
i > 0, λi > 0, hoặc λi λi = 0, ∀i ∈ β.





13

Hệ quả 1.1
Giả sử z ∗ là nghiệm địa phương của MPEC, trong đó tất cả các hàm
khả vi liên tục tại z ∗ . Giả sử điều kiện NNAMCQ thỏa mãn tại z ∗ . Khi
đó, r trong Định lí 1.1 có thể lấy bằng một, tức là z ∗ là M-dừng.
Định nghĩa 1.13 (MPEC GMFCQ)
Giả sử z ∗ là điểm chấp nhận được của MPEC, trong đó tập tất cả
các điểm là khả vi liên tục tại z ∗ . Ta nói rằng điều kiện chính quy
Mangasarian -Fromovitz MPEC suy rộng thỏa mãn tại z ∗ nếu
(i) Với mọi phân hoạch của β thành P, Q, R với R = ∅ tồn tại d sao
cho
∇gi (z ∗ )T d ≤ 0, ∀i ∈ Ig ,

∇hi (z ∗ )T d = 0,

∀i = 1, 2, . . . , q,

∇Gi (z ∗ )T d = 0,

∀i ∈ α ∪ Q,

∇Hi (z ∗ )T d = 0,

∀i ∈ γ ∪ P,

∇Gi (z ∗ )T d ≥ 0,

∇Hi (z ∗ )T d ≥ 0,

i ∈ R,

và với i nào đó thuộc R hoặc ∇Gi (z ∗ )T d > 0 hay ∇Hi (z ∗ )T d > 0;
(ii) Với mọi phân hoạch β thành P,Q, các vectơ gradient
∇hi (z ∗ ),

∀i = 1, 2, . . . , q,

∇Gi (z ∗ ),

∀i ∈ α ∪ Q,

∇Hi (z ∗ ),

∀i ∈ γ ∪ P,

là độc lập tuyến tính và tồn tại d ∈ Rn sao cho :
∇gi (z ∗ )T d < 0,

∀i ∈ Ig ,

∇hi (z ∗ )T d = 0,

∀i = 1, 2, . . . , q,

∇Gi (z ∗ )T d = 0,

∀i ∈ α ∪ Q,

∇Hi (z ∗ )T d = 0,

∀i ∈ γ ∪ P,

Mệnh đề 1.1
NNAMCQ tương đương với MPEC GMFCQ.


14

Chứng minh.
Chú ý rằng β được chia thành các tập:
P = {i ∈ β : λG
i = 0},

Q = {i ∈ β : λH
i = 0},

H
R = {i ∈ β : λG
i > 0, λi > 0}

Vì vậy điều kiện NNAMCQ tương đương với hai điều kiện sau:
(1) Với mọi phân hoạch β thành các tập P, Q, R với R = ∅ không tồn
H
tại các vectơ λgIg , λh , λG
α∪Q∪R và λγ∪P ∪R thỏa mãn hệ :
∗ T H
0 = ∇g(z ∗ )T λgIg + ∇h(z ∗ )T λh − ∇G(z ∗ )T λG
α∪Q∪R − ∇H(z ) λγ∪P ∪R ,
H
λgIg ≥ 0, λG
R > 0, λR > 0.

(2) Với mọi phân hoạch của β thành các tập P, Q, không tồn tại các
H
vectơ λgIg , λh , λG
α∪Q và λγ∪P thỏa mãn các hệ sau:
∗ T H
0 = ∇g(z ∗ )T λgIg + ∇h(z ∗ )T λh − ∇G(z ∗ )T λG
α∪Q − ∇H(z ) λγ∪P ,

λgIg ≥ 0.
Các kết quả này được suy ra bằng cách áp dụng các định lí luân phiên
của Tucker và Motzkin (xem [6]) áp dụng đối với (i) và (ii).

✷
Trong quy hoạch toán học ta biết rằng nếu tất cả các ràng buộc là
affine thì điều kiện tối ưu KKT đúng không cần điều kiện chính quy
nào.
Định nghĩa 1.14 (Điều kiện chính quy tuyến tính MPEC)
Ta nói rằng điều kiện chính quy tuyến tính MPEC thỏa mãn nếu tất cả
các ánh xạ g,h,G,H là affine.
Kết quả sau đây nhận được bằng cách phát biểu lại MPEC thành (P)
và áp dụng các kết quả tương ứng cho OPVIC [(10), Hệ quả 4.8].
Định lý 1.2 (Điều kiện cần M-dừng kiểu KKT)
Giả sử z ∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC, trong đó tất cả các
hàm khả vi liên tục tại z ∗ . Nếu hoặc là MPEC GMCQ, hoặc là điều kiện
chính quy tuyến tính MPEC thỏa mãn tại z ∗ thì z ∗ là M-dừng.


15

Chứng minh.
Kết luận z ∗ là M-dừng với điều kiện MPEC GMFCQ được suy ra từ
Hệ quả 1.1 và Mệnh đề 1.1. Để chứng minh z ∗ là M-dừng với điều kiện
chính quy tuyến tính MPEC, ta xét các nghiệm của hệ ràng buộc nhiễu
của EMPEC sau đây:
(p, q, r, s) := {(x, y, z) ∈ Ω × Rn :g(z) + p ≤ 0, h(z) + q = 0,
G(z) − x + r = 0, H(z) − y + s = 0}.
Dễ thấy rằng đồ thị của ánh xạ Σ là hợp của các tập lồi đa diện. Vì
vậy, Σ là hàm đa trị đa diện. Theo [(8), Mệnh đề 1], Σ là Lipschitz trên
tại điểm (0, 0, 0, 0) ∈ Rp+q+2m , tức là tồn tại lân cận U của (0, 0, 0, 0) và
α ≥ 0 sao cho
(p, q, r, s) ⊂

(0, 0, 0, 0) + α (p, q, r, s) clB, ∀(p, q, r, s) ∈ U

Trong đó cl B là kí hiệu hình cầu đơn vị đóng. Một cách tương đương,
hệ ràng buộc của EMPEC có một cận chặn địa phương tức là
d((x, y, z),

(0, 0, 0, 0)) ≤ α (p, q, r, s) ,

∀(p, q, r, s) ∈ U, (x, y, z) ∈

(p, q, r, s),

trong đó d(a,C) là khoảng cách từ điểm a tới tập C. Theo nguyên lí
Clarke về hàm phạt chính xác [(3), Mệnh đề 2.4.3], (x∗ , y ∗ , z ∗ ) cũng là
nghiệm tối ưu địa phương của bài toán không có ràng buộc sau:
min

f (z) + µf d((x, y, z),

(0, 0, 0, 0)),

trong đó µf là hằng số Lipschitz của f. Vì vậy, theo tính chất của cận
chặn địa phương ta có (z, p, q, r, s) = (z ∗ , 0, 0, 0, 0) là nghiệm tối ưu địa
phương của bài toán sau:
min f (z) + µf α (p, q, r, s) ,
g(z) + p ≤ 0, h(z) + q = 0,
G(z) + r ≥ 0, H(z) + s ≥ 0, (G(z) + r)T (H(z) + s) = 0.
Điều kiện NNAMCQ thỏa mãn tại (z ∗ , 0, 0, 0, 0) cho bài toán trên.
Chú ý rằng mặc dù hàm mục tiêu có một số hạng không trơn khác

16

(p, q, r, s) , sử dụng kỹ thuật như ta đã chứng minh Định lí 1.1 cho
gradients giới hạn và đẳng thức (1.15) được thay bởi bao hàm thức. Áp
dụng Hệ quả 1.1 cho MPEC, ta nhận được điều kiện M-dừng, bởi vì z
là thành phần của (1.15) cho bài toán trên cũng đúng như cho (1.15)
MPEC.
✷
Trong định lý sau đây, ta chỉ ra điều kiện M-dừng trở thành điều kiện
đủ tối ưu hoặc điều kiện đủ tối ưu địa phương với điều kiện lồi suy rộng
MPEC thích hợp.
Định lý 1.3 (Điều kiện M-dừng đủ)
Giả sử z ∗ là điểm chấp nhận được của MPEC và điều kiện M-dừng đúng
tại z ∗ , tức là tồn tại λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m sao cho
q

0=

λgi

∗

f (z ) +

∗

hi (z ∗ )

i=1

i∈Ig
m

[λG
i

−

λhi

gi (z ) +

Gi (z ∗ ) + λH
i

(1.16)
Hi (z ∗ )],

i=1
H
λgIg ≥ 0, λG
γ = 0, λα = 0,
H
G H
∀i ∈ β, hoặc là λG
i > 0, λi > 0, hoặc là λi λi = 0.

Đặt
J + := {i : λhi > 0},

J − := {i; λhi < 0},

H
λβ + := {i ∈ β : λG
i > 0, λi > 0}
H
λβG+ := {i ∈ β : λG
i = 0, λi > 0},

H
βG− := {i ∈ β : λG
i = 0, λi < 0}

+
H
λβH
:= {i ∈ β : λG
i > 0, λi = 0},

−
H
βH
:= {i ∈ β : λG
i < 0, λi = 0}

α+ := {i ∈ αiG > 0},

α− := {i ∈ α; λG
i < 0},

γ + := {i ∈ γiH > 0},

γ − := {i ∈ γ; λH
i < 0},

Hơn nữa, giả sử f là giả lồi tại z ∗ , gi (i ∈ Ig ), hi (i ∈ J + ),
−
+
− hi (i ∈ J − ), Gi (i ∈ α− ∪ βH
), −Gi (i ∈ α+ ∪ βH
∪ β + ), Hi (i ∈ γ − ∪ βG− ),
− Hi (i ∈ γ + ∪ βG+ ∪ β + ) là tựa lồi.
−
Khi đó, trong trường hợp α− ∪ γ − ∪ βG− ∪ βH
= ∅, z ∗ là nghiệm tối ưu


17
−
= ∅ hoặc khi z ∗ là điểm
toàn cục của MPEC; trong trường hợp βG− ∪ βH
−
trong tương đối của tập Z ∩ {z : Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, i ∈ βG− ∪ βH
}, tức

là với mọi điểm chấp nhận được z gần z ∗ , ta có:
Gi (z) = 0,

−

Hi (z) = 0, ∀i ∈ βG− ∪ βH
,

z ∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC, trong đó Z là tập chấp nhận
được của MPEC.
Chứng minh.
Giả sử z là điểm chấp nhận được bất kỳ của MPEC. Khi đó, với bất kỳ
i ∈ Ig ,
gi (z) ≤ 0 = gi (z ∗ )
Do tính tựa lồi của gi tại z ∗ , ta suy ra
gi (z ∗ + t(z − z ∗ )) = gi (tz + (1 − t)z ∗ ) ≤ g(z ∗ )
với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó suy ra
gi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ Ig .

(1.17)

hi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ J + ,

(1.18)

Tương tự, ta có

−

hi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0,

∀i ∈ J − .

(1.19)

Bởi vì với bất kỳ điểm chấp nhận z ta có −G(z) ≤ 0, −H(z) ≤ 0, cho
nên
−

+
∪ β +.
Gi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ α+ ∪ βH

(1.20)

−

Hi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ γ + ∪ βG+ ∪ β + .

(1.21)

Trong trường hợp
−
α− ∪ γ − ∪ βG− ∪ βH
= ∅,

nhân (1.17)-(1.21) với
λgi ≥ 0 (i ∈ Ig ), λhi > 0 (i ∈ J + ), −λhi > 0 (i ∈ J − ),
+
+
+
H
+
+
+

λG
i > 0 (i ∈ α ∪ βH ∪ β ), λi > 0 (i ∈ γ ∪ βG ∪ β )


18

và cộng lại ta nhận được
q

iλgi

m

∗

iλhi

gi (z )+

∗

i=1

i∈Ig

iλG
Gi (z ∗ )+λH
H(z ∗ ), z−z ∗ ≤ 0
i
i

hi (z )−
i=1

Do (1.16), bất đẳng thức trên kéo theo
f (z ∗ ), z − z ∗ ≥ 0.
Do tính giả lồi của f tại z ∗ , ta có f (z) ≥ f (z ∗ ) cho mọi điểm z chấp
nhận được. Vì vậy z ∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của MPEC nếu
−
α− ∪ γ − ∪ βG− ∪ βH
= ∅.
−
= ∅. Với bất kỳ
Bây giờ ta xét trường hợp α− ∪ γ − = ∅ và βG− ∪ βH

i ∈ α, do Hi (z ∗ ) > 0, Hi (z) > 0 với z đủ gần z ∗ . Vì vậy, do điều kiện bù,
ta có Gi (z) = 0 với những z như vậy. Do đó, với z đủ gần z ∗ ta có
Gi (z) = Gi (z ∗ ), ∀i ∈ α.
Do tính tựa lồi của tập Gi (i ∈ α− ) tại z ∗ , ta suy ra z đủ gần z ∗ .
Gi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ α− .

(1.22)

Tương tự, với z đủ gần z ∗ ta có
Hi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ γ − .

(1.23)

Nhân (1.17)-(1.23) với
+

+
+
λgi ≥ 0 (i ∈ Ig ), λhi > 0 (i ∈ J + ), −λhi > 0, (i ∈ J − ), λG
i > 0 (i ∈ α ∪βH ∪β ),
+
+
+
G
−
H
−
λH
i > 0 (i ∈ γ ∪ βG ∪ β ), −λi > 0 (i ∈ α ), −λ > 0(i ∈ γ )

(tương ứng) và cộng lại, ta suy ra với z đủ gần z ∗ ,
q

iλgi
i∈Ig

∗

m

iλhi

gi (z )+
i=1

∗

[iλG
Gi (z ∗ )+λH
H(z ∗ )], z−z ∗ ≤ 0
i
i

hi (z )−
i=1

Do (1.16), bất đẳng thức trên kéo theo: với z đủ gần z ∗ , ta có
f (z ∗ ), z − z ∗ ≥ 0.


19

Do tính giả lồi của f tại z ∗ , ta có f (z) ≥ f (z ∗ ) với z đủ gần z ∗ . Như
vậy z ∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC nếu α− ∪ γ − = ∅ và
−
βG− ∪ βH
= ∅.
Bây giờ ta giả sử z ∗ là một điểm trong tương đối của
−
Z ∩ {z : Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, i ∈ βG− ∪ βH
}. Khi đó, với điểm chấp nhận
được z bất kỳ đủ gần z ∗ , ta có
Gi (z) = 0,

−
Hi (z) = 0, ∀βG− ∪ βH

.

−
) và Hi (i ∈ βG− ), ta suy ra
Vì vậy, do tính tựa lồi của Gi (i ∈ βH
−
Gi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0, ∀i ∈ βH
,

(1.24)

Hi (z ∗ ), z − z ∗ ≤ 0,

(1.25)

∀i ∈ βG− .

Nhân (1.17)-(1.25) tương ứng với
λgi ≥ 0 (i ∈ Ig ), λhi > 0 (i ∈ J + ), −λhi > 0, (i ∈ J − ),
+
+
H
+
+
+
+
λG
i > 0 (i ∈ α ∪ βH ∪ β ), λi > 0 (i ∈ γ ∪ βG ∪ β ),
H
−

−
−
−
−λG
i > 0 (i ∈ α ∪ βH ), −λi > 0 (i ∈ γ ∪ βG )

rồi cộng lại, ta suy ra với z đủ gần z ∗ ,
q

iλgi
i∈Ig

∗

m

iλhi

gi (z )+
i=1

∗

iλG
Gi (z ∗ )+λH
H(z ∗ ), z−z ∗ ≤ 0
i
i

hi (z )−

i=1

Do (1.16), bất đẳng thức trên ta suy ra với z đủ gần z ∗ , ta có
f (z ∗ ), z − z ∗ ≥ 0.
Do tính giả lồi của f tại z ∗ , ta có f (z) ≥ f (z ∗ ) với z đủ gần z ∗ . Như vậy
z ∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC nếu z ∗ là điểm trong tương
−
đối của tậpZ ∩ {z : Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, ∀βG− ∪ βH
}. Định lý được
chứng minh đầy đủ.
✷


20

Chương 2

Điều kiện tối ưu và điều kiện
chính quy cho bài toán quy hoạch
toán học với ràng buộc cân bằng
của C. Kanzow và A. Schwartz
Chương 2: Trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và điều kiện
chính quy cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng khả
vi MPEC của C.Kanzow và A.Schwartz ([4],2010).
Điều kiện cần Fritz John được trình bày cùng với các điều kiện chính
quy thích hợp với MPEC. Với các điều kiện chính quy, điều kiện đủ để
một nghiệm của MPEC là M-dừng cũng được trình bày trong chương
này.

2.1.

Các khái niệm và định nghĩa

Xét bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng (MPEC):
min f (x)
g(x) ≤ 0,
h(x) = 0,
Gi (x) ≥ 0, Hi (x) ≥ 0, Gi (x)Hi (x) = 0, ∀i = 1, . . . , q,

(2.1)


21

với các hàm khả vi liên tục f : Rn → R, g : Rn → Rm , h : Rn → Rp
và G, H : Rn → Rq . Kí hiệu
lp -chuẩn, l1 -chuẩn

là chuẩn trong Rn . Ta cũng sử dụng

.

n

x

1

|xi |,

=
i=1

. 2, .

∞

trongl2 , l∞ (tương ứng).

Tập chấp nhận được của bài toán MPEC được kí hiệu bởi
X := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, h(x) = 0, Gi (x) ≥ 0, Hi (x) ≥ 0,
Gi (x)Hi (x) = 0, ∀i = 1, . . . , q}.
Ta định nghĩa các tập sau đây tại x∗ ∈ X
Ig (x∗ ) := {i | gi (x∗ ) = 0},
I00 (x∗ ) := {i | Gi (x∗ ) = 0, Hi (x∗ ) = 0},
I0+ (x∗ ) := {i | Gi (x∗ ) = 0, Hi (x∗ ) > 0},

(2.2)

I+0 (x∗ ) := {i | Gi (x∗ ) > 0, Hi (x∗ ) = 0}.
Định nghĩa 2.1
Giả sử x∗ là điểm chấp nhận được của (2.1). Khi đó x∗ được gọi là
M-dừng nếu tồn tại các nhân tử (λ, µ, γ, ν) sao cho
p

m
∗

∗

∇f (x ) +

λi ∇gi (x ) +
i=1

q
∗

γi ∇Gi (x∗ )

µi ∇hi (x ) −
i=1
q

i=1

νi ∇Hi (x∗ ) = 0,

−
i=1

và λ ≥ 0, λi = 0 ∀i ∈ Ig (x∗ ), γi = 0 ∀i ∈ I+0 (x∗ ), νi = 0 ∀i ∈ I0+ (x∗ ),
hoặc γi νI = 0 hoặc γi > 0, νi > 0 ∀i ∈ I00 (x∗ ).
Ta nhắc lại các điều kiện chính quy được sử dụng dưới đây.
Định nghĩa 2.2
Giả sử x∗ là điểm chấp nhận được của bài toán (2.1). Khi đó ta nói x∗
thỏa mãn


22

(1) MPEC -MFCQ nếu các vectơ
∇hi (x∗ ),

∀i = 1, . . . , p,

∇Gi (x∗ ),

∀i ∈ I0+ (x∗ ) ∪ I00 (x∗ ),

∇Hi (x∗ ),

∀i ∈ I+0 (x∗ ) ∪ I00 (x∗ ),

(2.3)

là độc lập tuyến tính và tồn tại các vectơ d ∈ Rn sao cho
∇hi (x∗ )T d = 0,

∀i = 1, . . . , p,

∇Gi (x∗ )T d = 0,

∀i ∈ I0+ (x∗ ) ∪ I00 (x∗ ),

∗ T

∗

∇Hi (x ) d = 0,

∇gi (x∗ )T d < 0,

∗

∀i ∈ I+0 (x ) ∪ I00 (x ),

(2.4)

∀i ∈ Ig (x∗ );

(2) Điều kiện chính quy MPEC-Abadie CQ (MPEC-ACQ) nếu
TX (x∗ ) = LM P EC (x∗ ),
trong đó nón tiếp tuyến MPEC tuyến tính hóa được định nghĩa bởi
LM P EC (x∗ ) := {d ∈ Rn |∇gi (x∗ )T d ≤ 0,

∀i ∈ Ig (x∗ ).

∇hi (x∗ )T d = 0,

∀i = 1, . . . , p,

∇Gi (x∗ )T d = 0,

∀i ∈ I0+ (x∗ ),

∇Hi (x∗ )T d = 0,

∀i ∈ I+0 (x∗ ),

∇Gi (x∗ )T d ≥ 0, ∇Hi (x∗ )T d ≥ 0, ∀i ∈ I00 (x∗ ),

(∇Gi (x∗ )T d)(∇Hi (x∗ )T d) = 0, ∀i ∈ I00 (x∗ )}.
(2.5)

2.2.

Điều kiện Fritz John

Định lý 2.1
Giả sử x∗ là điểm cực tiểu địa phương của MPEC. Khi đó tồn tại các
nhân tử (α, λ, γ, υ) sao cho