Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trung học phổ thông góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán (qua giảng dạy chương “Phương pháp tọa độ trong không gian (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN TRỌNG HẢI

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN
(Qua giảng dạy chƣơng "Phƣơng pháp tọa độ
trong không gian")

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN TRỌNG HẢI

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN
(Qua giảng dạy chƣơng "Phƣơng pháp tọa độ
trong không gian")
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN KIỀU

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Trọng Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

i




LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của PGS.TS
Trần Kiều. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy.

Trong quá trình làm luận văn tác giả còn được sự giúp đỡ của các thầy cô
giáo trong tổ PPGD Toán - Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên,
Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Nguyễn Tất Thành - Thành
phố Uông Bí - Tỉnh Quảng Ninh. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn
gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn động viên giúp đỡ để tác giả có
thêm nghị lực, tinh thần để hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, xin được cảm ơn mọi tấm lòng ưu ái đã dành cho tác giả.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii




MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Chữ viết tắt trong luận văn ................................................................................. iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu ................................................................. 2
4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
7. Đóng góp của luận văn .................................................................................... 4
8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 4

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 7
1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học................................. 7
1.1.1. Khái niệm tư duy ....................................................................................... 7
1.1.2. Đặc điểm của tư duy .................................................................................. 8
1.1.3. Các thao tác tư duy cơ bản ...................................................................... 10
1.2. Năng lực và năng lực giải toán ................................................................... 18
1.2.1. Năng lực................................................................................................... 18
1.2.2. Năng lực giải toán .................................................................................... 19
1.2.3. Mối liên quan giữa việc rèn luyện các thao tác tư duy và phát triển
năng lực giải toán............................................................................................... 20
1.3. Dạy học giải bài tập .................................................................................... 22
1.3.1. Vai trò và chức năng của bài tập toán ..................................................... 22
1.3.2. Đặc điểm của dạy học giải bài tập toán ................................................... 23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iii




1.3.3.Sơ đồ giải bài toán của G.Polya và sự liên quan tới việc thực hiện các
thao tác tư duy ................................................................................................... 24
1.4. Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh để phát triển năng lực giải toán
thông qua dạy giải bài tập .................................................................................. 26
1.4.1. Hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình giải bài tập toán ............. 26
1.4.2. Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải bài tập toán ....... 27
1.5. Thực trạng của việc rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy
học giải bài tập toán học ở một số trường trung học phổ thông hiện nay
(qua khảo sát thực tiễn)...................................................................................... 29
1.5.1. Mục đích khảo sát .................................................................................... 29

1.5.2. Nội dung, tổ chức điều tra khảo sát ......................................................... 29
1.5.3. Kết quả điều tra khảo sát ......................................................................... 30
1.6. Kết luận chương 1....................................................................................... 31
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ
DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN QUA GIẢNG DẠY
CHƢƠNG "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN"........... 33
2.1. Một số nguyên tắc cần quán triệt khi đề xuất các biện pháp. ..................... 33
2.2. Một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy, góp phần phát triển
năng lực giải toán............................................................................................... 33
2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán đã
cho để tìm hướng giải và tổng hợp để trình bày lời giải bài toán ..................... 33
2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh biết phân tích bài toán đã cho
thành nhiều bài toán nhỏ và giải quyết các bài toán đó để có được lời giải
bài toán ban đầu ................................................................................................. 41
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cách nhìn bài toán dưới nhiều góc độ để tìm
được nhiều cách giải .......................................................................................... 47
2.2.4. Biện pháp 4: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập thao tác tương tự hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv




trong quá trình giải toán..................................................................................... 57
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh thao tác khái quát hóa đề xuất
bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho ............................................. 64
2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 72
Chƣơng 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM ......................................................... 74

3.1. Mục đích thử nghiệm sư phạm ................................................................... 74
3.2. Nội dung thử nghiệm sư phạm ................................................................... 74
3.2.1. Nội dung .................................................................................................. 74
3.2.2. Giáo án thử nghiệm ................................................................................. 74
3.3. Tổ chức thử nghiệm sư phạm ..................................................................... 90
3.4. Kết quả thử nghiệm sư phạm ...................................................................... 91
3.4.1. Đánh giá định tính ................................................................................... 91
3.4.2. Đánh giá định lượng ................................................................................ 92
3.5. Kết luận chương 3....................................................................................... 96
KẾT LUẬN....................................................................................................... 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 99
PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

v




CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ

BT

Bài tập

đt

Đường thẳng

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

mp

Mặt phẳng

pt

Phương trình

PTTQ

Phương trình tổng quát

PTTS

Phương trình tham số

QTDH

Quá trình dạy học

VTCP

Véc tơ chỉ phương

VTPT

Véc tơ pháp tuyến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng giáo dục là một yêu cầu cấp bách đối với ngành
giáo dục nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu
cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí đặc biệt
quan trọng vì kiến thức môn Toán là công cụ cho nhiều môn học khác. Môn
Toán có khả năng giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, nó
góp phần to lớn vào việc đào tạo những thế hệ lao động mới thông minh, sáng
tạo. Môn Toán có nhiệm vụ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng, phương

pháp toán học cơ bản, góp phần tạo nên vốn văn hóa của mỗi người, đồng thời
có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và giáo dục những đức tính,
phẩm chất của người lao động. Một trong những quan điểm chủ đạo về đổi mới
phương pháp dạy học ngày nay là xem quá trình học tập của học sinh là quá
trình hoạt động. Mọi kiến thức, kỹ năng, thái độ học sinh có được đều là kết
quả của quá trình hoạt động của học sinh mà nội dung chủ yếu là quá trình tư
duy. Chính sự tích cực, tự giác của học sinh trong việc tham gia các hoạt động
nhận thức tạo nên hiệu quả học tập. Trong hoạt động dạy học theo phương pháp
tích cực, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói
quen chủ động. Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách
suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến
thức mới, nói cách khác cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa. Việc nắm vững
các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài
liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu những kiến thức cơ bản đồng
thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó có được niềm vui
trong học tập. Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh mới
được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

1




những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn
đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý một tình huống.
Trong các phân môn của Toán học thì hình học không gian là một phần
khá quan trọng và thiết thực, bởi thông qua hình học không gian mà phát triển
ở người học trí tưởng tượng cao, khả năng phân tích, quan sát tốt. "Phương

pháp tọa độ trong không gian" là một trong những nội dung quan trọng của
chương trình Toán phổ thông, phần này nằm gọn trong chương III, hình học 12
hiện hành. Những bài toán trong phần này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng
thực hiện và phối hợp các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, tương tự
hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa... thì mới có thể giải quyết được. Việc tiến
hành các thao tác tư duy để giải bài tập chương "Phương pháp tọa độ trong
không gian" sẽ mở cho học sinh một hướng giải bài tập linh hoạt hơn, (trên cơ
sở phân tích những giả thiết đề ra, sử dụng tương tự hóa, đặc biệt hóa... để tìm
ra hướng giải. Sau đó tổng hợp các dữ liệu và đưa ra lời giải phù hợp. Rồi từ đó
tiến hành khái quát hóa - nếu có thể).
Ở nước ta có nhiều đề tài nghiên cứu đến việc rèn luyện các thao tác tư
duy, tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu về việc rèn luyện các thao tác tư
duy góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT (thông qua dạy
học giải bài tập chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”).
Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài:
"Rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh trung học phổ thông góp
phần bồi dƣỡng năng lực giải toán (qua giảng dạy chƣơng “Phƣơng pháp
tọa độ trong không gian").
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu một số vấn đề về lý luận và thực tiễn mà đề xuất
các giải pháp rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy trong dạy học toán
nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

2

Quá trình dạy giải bài tập ở lớp 12 - Trung học phổ thông.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải
bài tập (qua chương "Phương pháp tọa độ trong không gian" ở lớp 12 - Trung
học phổ thông).
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Giới hạn ở vấn đề "Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trung học
phổ thông góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán (qua dạy học giải bài tập
chương “Phương pháp tọa độ trong không gian")
4. Giả thuyết khoa học
Nếu trong dạy học môn toán ở trung học phổ thông mà xác định được
một số biện pháp có cơ sở khoa học về rèn luyện tư duy thì sẽ góp phần phát
triển được năng lực giải toán cho học sinh trung học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến thao tác tư duy và năng
lực giải toán của học sinh THPT.
5.2. Khảo sát thực trạng về rèn luyện thao tác tư duy và phát triển năng
lực giải toán ở trường trung học phổ thông.
5.3. Đề xuất một số biện pháp về việc rèn luyện thao tác tư duy cho học
sinh nhằm nâng cao năng lực giải toán.
5.4. Thực nghiệm sư phạm để dánh giá tính khả thi và hiệu quả của biện
pháp mà đề tài đề xuất.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu lý thuyết, nghiên cứu sách giáo khoa,
sách tham khảo có liên quan.
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

3




Điều tra thực trạng tình hình rèn luyện các thao tác tư duy và phát triển
năng lực giải toán qua giảng dạy chương "Phương pháp tọa độ trong không
gian" (lớp 12 - Trung học phổ thông hiện nay).
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp đề xuất.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Góp phần làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các thao tác tư duy và phát
triển năng lực giải toán của học sinh.
7.2. Xây dựng được một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy nhằm
góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông trong
quá trình giải bài tập chương "Phương pháp tọa độ trong không gian" (lớp 12 Trung học phổ thông hiện nay).
7.3. Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học
phổ thông.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được trình bày
trong 3 chương:
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quát về tƣ duy và tƣ duy toán học
1.1.1. Khái niệm tư duy
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
1.1.3. Các thao tác tư duy

1.1.4. Tư duy toán học và một số đặc điểm
1.2. Năng lực và năng lực giải toán
1.2.1. Năng lực
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

4




1.2.2. Năng lực giải toán
1.2.3. Mối liên quan giữa việc rèn luyện các thao tác tư duy và phát triển năng
lực giải toán
1.3. Dạy học giải bài tập
1.3.1. Vai trò và chức năng của bài tập toán
1.3.2. Đặc điểm của dạy học giải bài tập toán
1.3.3.Sơ đồ giải bài toán của G.Polya và sự liên quan tới việc thực hiện các
thao tác tư duy
1.4. Rèn luyện thao tác tƣ duy cho học sinh để phát triển năng lực giải toán
thông qua dạy giải bài tập
1.4.1. Hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình giải bài tập toán
1.4.2. Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải bài tập toán
1.5. Thực trạng của việc rèn luyện thao tác tƣ duy cho học sinh trong dạy
học giải bài tập toán học ở một số trƣờng trung học phổ thông hiện nay
(qua khảo sát thực tiễn).
1.5.1 Mục đích khảo sát
1.5.2 Nội dung, tổ chức điều tra khảo sát
1.5.3 Kết quả diều tra khảo sát
1.6. Kết luận chƣơng 1
Chƣơng 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC GIẢI TOÁN QUA GIẢNG DẠY CHƢƠNG "PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN"
2.1. Một số nguyên tắc cần quán triệt khi đề xuất các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp rèn luyện các thao tác tƣ duy, góp phần phát triển
năng lực giải toán.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5




2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán đã cho
để tìm hướng giải và tổng hợp để trình bày lời giải bài toán
2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh biết phân tích bài toán đã cho
thành nhiều bài toán nhỏ và giải quyết các bài toán đó để có được lời giải bài
toán ban đầu.
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cách nhìn bài toán dưới nhiều góc độ để tìm được
nhiều cách giải.
2.2.4. Biện pháp 4: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập thao tác tương tự hóa
trong quá trình giải toán.
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh thao tác khái quát hóa đề xuất bài
toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho.
2.3. Kết luận chƣơng 2
Chƣơng 3
THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích thử nghiệm sư phạm

3.2. Nội dung thử nghiệm sư phạm
3.3. Tổ chức thử nghiệm sư phạm
3.4. Kết quả thử nghiệm sư phạm
3.5. Kết luận chương 3
Kết luận và khuyến nghị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

6




Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quát về tƣ duy và tƣ duy toán học
1.1.1. Khái niệm tư duy
Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá
trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật
bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý” [19].
Theo Triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt
động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”[1,tr.6].
Theo quan niệm của Tâm lý học: Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc
nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri
giác. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ
có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết [22], [26], [27].
Theo Nguyễn Văn Thuận đã chỉ ra: "Tư duy là một quá trình tâm lý liên

quan chặt chẽ với ngôn ngữ, quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình
phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng
hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và
vượt xa giới hạn của nó" [21,tr.8].
Phân tích và tổng hợp các ý kiến trên ta có thể hiểu: Tư duy là sản phẩm
của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan. Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
Tư duy có vai trò rất to lớn đối với đời sống và hoạt động nhận thức của
con người. Tư duy mở rộng giới hạn của nhận thức để đi sâu vào bản chất của
sự vật, hiện tượng và tìm ra những mối quan hệ có quy luật giữa chúng với
nhau. Tư duy giúp cho con người chinh phục và cải tạo tự nhiên, cải tạo xã hội
và cải tạo bản thân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7




1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [23, tr.121-125] thì tư duy có những đặc điểm sau:
- Tính có vấn đề:
Tư duy nảy sinh từ hiện thực khách quan, từ những tình huống có vấn
đề, đó là những bài toán đặt ra trong cuộc sống. Nhưng không phải mọi tác
động của thế giới khách quan đều làm nảy sinh tư duy mà chỉ những cái ta chưa
biết, đang thắc mắc và có nhu cầu giải quyết. Tình huống có vấn đề là các bài
toán đặt ra mâu thuẫn với vốn hiểu biết cũ. Khi ta có nhu cầu giải quyết chúng
thì quá trình tư duy bắt đầu. Tình huống có vấn đề mang tính chủ quan đối với
mỗi cá nhân, có nghĩa là cùng một tình huống, nhưng có vấn đề với người này
mà không có vấn đề với người khác. Không phải cứ có tình huống có vấn đề là

nảy sinh quá trình tư duy mà quá trình tư duy chỉ diễn ra khi cá nhân nhận thức
được tình huống có vấn đề và có nhu cầu giải quyết chúng. Đặc biệt hơn là cá
nhân đó phải có những tri thức cần thiết liên quan đến vấn đề, đủ để có thể giải
quyết được vấn đề sau những cố gắng nhất định.
- Tính khái quát:
Khái quát là phản ánh những đặc điểm chung nhất của một nhóm sự
vật hiện tượng. Phản ánh khái quát là phản ánh cái chung, cái bản chất của
hàng loạt sự vật hiện tượng cùng loại, là sự phản ánh bằng ngôn ngữ, bằng khái
niệm và quy luật. Cái khái quát là cái chung, cái bản chất của các sự vật hiện
tượng cùng loại và tư duy có khả năng phản ánh chúng. Nhưng không phải mọi
cái chung đều mang tính khái quát, bản chất. Đối tượng của tư duy là cái chung
nhưng nó cũng hướng tới cái riêng bởi vì cái chung bao giờ cũng được khái
quát từ những cái riêng, cụ thể và chúng được biểu hiện qua cái riêng. Cái riêng
tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, dựa vào cái chung và có tác dụng soi
sáng cái chung.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

8




- Tính gián tiếp:
Gián tiếp tức là phải qua các khâu trung gian. Tư duy phản ánh gián tiếp
thông qua nhận thức cảm tính, thông qua ngôn ngữ và thông qua kết quả tư duy
của người khác (kinh nghiệm xã hội). Tư duy không thể phản ánh được trực
tiếp bởi vì nó phản ánh cái bên trong, cái bản chất, những mối liên hệ, quan hệ
có tính quy luật. Những cái này không thể phản ánh trực tiếp được bằng các
giác quan. Quá trình tư duy phản ánh dựa vào nguyên liệu do nhận thức cảm

tính cung cấp, không có nguyên liệu này thì quá trình tư duy không thể tiến
hành được. Tư duy được vận hành trên nền ngôn ngữ và biểu đạt kết quả bằng
ngôn ngữ. Ngoài ra tư duy của mỗi cá nhân đều dựa vào kết quả tư duy của loài
người, của các cá nhân khác.
- Tư duy của con người có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ:
Tư duy và ngôn ngữ là hai quá trình có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, tư
duy bắt đầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề nhưng nhờ có ngôn ngữ mà con
người nhận thức được tình huống có vấn đề, nhờ có ngôn ngữ mà chủ thể tiến
hành được các thao tác tư duy, kết thúc quá trình tư duy đi đến những khái
niệm, phán đoán, suy lí phải được biểu đạt bằng ngôn ngữ, đó là các công thức,
từ, ngữ, mệnh đề, định lí …
- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính:
Nhận thức cảm tính là cơ sở, là nơi cung cấp nguyên liệu cho tư duy. Tư
duy dựa vào nhận thức cảm tính, không tách rời nhận thức cảm tính và thường
bắt đầu bằng nhận thức cảm tính. Dù tư duy có khái quát đến đâu, có trừu
tượng đến đâu thì trong nội dung của nó cũng chứa đựng thành phẩm của nhận
thức cảm tính. Ngược lại, tư duy và sản phẩm của nó cũng có ảnh hưởng mạnh
mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho nhận thức
cảm tính tinh vi, nhạy bén hơn, chính xác hơn, có sự lựa chọn và có ý nghĩa
hơn. Cả nhận thức cảm tính và tư duy đều nẩy sinh từ thực tiễn, lấy thực tiễn
làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9




Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình
bao gồm bốn bước cơ bản sau [9], [10], [13]:

+ Xác định vấn đề và diễn đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.
+ Huy động tri thức, liên tưởng và hình thành giả thuyết.
+ Xác định tính đúng đắn của giả thuyết.
+ Đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
1.1.3. Các thao tác tư duy cơ bản
Quá trình tư duy được thực hiện bởi những động tác trí tuệ nhất định, ta
gọi là những thao tác tư duy.
Theo M.N.Sácđacôp tư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái
quát hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối
liên hệ và quan hệ, hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa
chúng [17], [18].
Theo G.Polya thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa [8].
Trong [22], [26], [27] các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân
tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa.
Trong [12] các tác giả có đề cập đến trừu tượng hóa, khái quát hóa và đặc
biệt hóa.
Nguyễn Bá Kim trong không gọi là các thao tác tư duy mà gọi là các
hoạt động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa [15].
Cũng có tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái quát hóa trừu tượng hóa và cụ thể hóa [3].
Qua những ý kiến trên, ta có thể hiểu thao tác tư duy là một hành động tư
duy và việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh cũng chính là việc tập
luyện các hành động tư duy đó. Trong luận văn, chúng tôi chủ yếu tập trung
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10

nghiên cứu các thao tác tư duy sau: Phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái
quát hóa.
1.1.3.1. Phân tích, tổng hợp
Theo từ điển Tiếng Việt: "Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởng
tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp, tổng hợp
là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành
một chỉnh thể, trái với phân tích" [19, tr.746,979].
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều
bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao
quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ
phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh. Phân
tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân
tích tiếp theo [24, tr.122].
Theo Hoàng Chúng: "Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành
từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái
toàn thể đó". "Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc
kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể
đó" [3, tr.16].
Theo Nguyễn Bá Kim: "Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống
thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên
kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một
hệ thống" [15, tr.46].
Như vậy, "Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược
nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt
động cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều được diễn
ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp" [15, tr.46].
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, không bao giờ tồn tại tách

rời nhau. Chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: trong phân
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11




tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần
của nó vì phân tích một cài toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm
bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy, phân tích một cái toàn
thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá
trình phân tích và tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu, định
hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào. Kết quả của
phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn.
Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 3x y 2 z 1 0 và đường thẳng d :

x 5
1

y 2
3

z 1
. Lập phương trình
1

đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với đường thẳng d.
- Hoạt động phân tích:

Đây là bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian. Phương
pháp giải chung là ta tìm một điểm và một VTCP của đường thẳng đó. Bài toán
đã cho ta phương trình của mp (P), phương trình của đường thẳng d và mối
quan hệ giữa đường thẳng Δ cần lập với mp (P) và đường thẳng d.
Với giả thiết Δ nằm trong (P) và vuông góc với d, ta có thế xác định được
uur uur r
uur
r uur
uur r
n; ud nếu uΔ 0 trong đó u Δ , u d , n lần lượt là VTCP
VTCP của Δ là uΔ
của đường thẳng Δ , đường thẳng d và VTPT của mp (P) và vì Δ nằm trong (P) và
cắt đt d nên ta tìm một điểm nằm trên Δ chính là giao điểm của (P) và d.
- Hoạt động tổng hợp:

r
uur
Mp (P) có VTPT n 3; 1; 2 , đường thẳng d có VTCP ud 1;3; 1
r uur
5;5;10 .
Ta có n; ud
uur
uΔ
r
u

Do Δ
r uur
n; ud
1 uur

uΔ
5

nằm trong (P) và vuông góc với d nên
5;5;10

Δ

nhận

làm VTCP. Ta chọn một VTCP khác của Δ là

1;1;2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

12




Gọi A

P

d

tọa độ điểm A 15;28; 9

Do Δ nằm trong (P) và cắt đt d nên Δ đi qua A 15;28; 9

x 15 t

Từ đó ta lập được ptđt Δ : y 28 t
z

9 2t

Qua ví dụ trên ta nhận thấy rằng trong quá trình hướng dẫn HS giải
Toán, người GV cần chú trọng hướng dẫn HS phân tích, khai thác triệt để
những yếu tố đã cho trong giả thiết, tổng hợp động viên những kiến thức có
liên quan để từ đó HS có thể đề ra được đường lối giải đúng đắn.
1.1.3.2. So sánh, tương tự
Có nhiều định nghĩa về so sánh, chẳng hạn như:
"So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức" [26, tr.116].
Theo Hoàng Chúng: "So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau
giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải
phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính giữa chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các
thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì
giống và khác nhau" [2, tr.21].
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống
nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái
niệm. [15, tr.19]
Trong "logic học", Đ.P.Goocki viết: "Tương tự là phép suy luận trong đó
từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các
đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tượng A có dấu hiệu là
a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả
định rằng đối tượng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép
suy luận tương tự như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

13




A có tính chất a,b,c,d
B có tính chất a,b,c
-------------------------------------Kết luận B cũng có tính chất d". [4].
Ví dụ 1.2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 3 t
1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d và cách gốc tọa
z 2 t

d: y

độ một khoảng bằng

2.

Lời giải
r
u
Đường thẳng d có VTCP 1;0; 1
r

Vì (P) vuông góc với d nên (P) nhận u 1;0; 1 làm VTPT
ptmp (P) có dạng: x z D 0
Do d O;( P)

D

2
2

1
D
D

1

2

2

D

2

2
2

Vậy ptmp (P) cần lập: x z 2 0 và x z 2 0
Ví dụ 1.3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
α : 2x 2 y z 5 0

và mặt cầu

S : x2 y 2 z 2 2x 4 y 2 z 3 0 . Viết

phương trình mặt phẳng (P) song song với α và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Với bài tập này GV hướng dẫn HS chỉ ra được mặt cầu (S) có tâm
I 1; 2; 1 và bán kính R = 3.

Dựa vào giả thiết mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

d I ;( P)

R

3




Từ đây GV chỉ ra cho HS thấy được sự tương tự của bài toán với bài toán
đã có trong Ví dụ 1.2. Và bằng cách làm tương tự HS sẽ đưa ra được kết quả:
P : 2 x 2 y z 10 0 và P : 2 x 2 y z 8 0 .

Việc hướng dẫn HS giải bài toán theo một bài toán tương tự giúp HS giải
quyết bài toán dễ dàng hơn và tự nhiên hơn.
1.1.3.3. Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Theo G.Polya " Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu" [8, tr.18].
Theo Hoàng Chúng: "Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung

trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng. Muốn khái quát hóa thường phải
so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau" [2, tr.23].
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối
tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu
bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [15, tr.55].
Trong [12] các tác giả cho rằng khái quát hóa là thao tác chuyển từ khái
niệm có ngoại diên hẹp sang khái niệm có ngoại diên rộng, còn được gọi là mở
rộng khái niệm.
Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc chuyển một tập đối tượng vào một
tập đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm bản
chất của các phần tử trong tập hợp ban đầu [11].
Cũng theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982
thì những dạng khái quát thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng sơ
đồ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

15




Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ

Khái quát hóa từ cái tổng

đến cái tổng quát

quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa đi tới cái tổng

Khái quát hóa đi tới cái

quát đã biết

tổng quát chưa biết

Đặc biệt hóa là hoạt động tư duy trái ngược với khái quát hóa
Theo G.Polya "Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập hợp
đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp
đã cho" [8, tr.18].
Trong [12, tr.73] Đặc biệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng
sang khái niệm có ngoại diên hẹp.
Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu
diễn bằng sơ đồ sau:
Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ cái tổng quát

Đặc biệt hóa từ cái riêng

đến cái riêng lẻ

đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái cái riêng

Đặc biệt hóa đi tới cái

lẻ đã biết

riêng lẻ chưa biết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16




Ví dụ 1.4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
x 1
2

A 1; 1;2 , đường thẳng d :

y
1

Viết phương trình đường thẳng

z 2
và mặt phẳng (P): x
1

y 2z 5 0 .

cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là

trung điểm của đoạn MN.
Lời giải
x

1 2t

Ta có: d : y t
z

Gọi M

.

2 t

1 2t; t;2 t

d

Do A là trung điểm của MN, suy ra N 3 2t; 2 t;2 t .
Mặt khác:

N

P

3 2t 2 t 2 2 t
t

5 0

2

.

M 3;2;4
Đường thẳng
x 1
2

đi qua A và M có phương trình:
y 1
3

z 2
.
2

Với bài tập trên GV gợi ý để HS mở rộng bài toán:
- GV: Về bản chất, công thức trung điểm là xuất phát từ đẳng thức véctơ

  
AM AN 0 . Vậy trong bài toán trên em có thể thay điều kiện A là trung
điểm của đoạn MN bởi một điều kiện nào khác không ?




- HS: Có, chẳng hạn như: 2 AM 3 AN


0

- GV: Với tư tưởng đó em hãy khái quát hóa để đưa ra bài toán tổng quát.
- HS: Bài toán tổng quát:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d, mặt phẳng
(P) và điểm A. Viết phương trình đường thẳng cắt d và (P) lần lượt tại M và
  

k
N sao cho AM l AN a , trong đó a là véc tơ cho trước.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

17