Bài tập tọa độ phẳng

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1.(1) Cho hình chữ nhật ABCD có D  1; 1 , diện tích bằng 6, phân giác trong của góc A là
đường thẳng  : x  y  2  0 . Tìm tọa độ đỉnh B của hình chữ nhật, biết A có tung độ âm.
Lấy E đối xứng với D qua  ,  ED : x  y  2  0  ED    H  2; 0   E  3;1  AB


Giả sử AB nhận n  a; b  là VTPT, do  AB,    450 

a b
a  0
1
 cos 450 

2
b  0
2  a2  b2 

* Với a  0  AB : y  1  0  AB    A  1;1  L 
* Với b  0  AB : x  3  0  0  AB    A  3; 1  AD  2
2

 B  3; 2 

Do S ABCD  6  AB  3 , giả sử B  3; b   9  AB 2   b  1  

 B  3; 4 

2. Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, N thuộc đoạn AC sao cho AN  3NC .
Biết N  0;1 , điểm H  2;5  thuộc đường thẳng chứa cạnh MN, điểm D thuộc đường thẳng
x  2 y  6  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
(Cách 1. Đặt AB  2a  AM  a, AC  2a 2  AN 

3a
2

, DM 2  AM 2  AD 2  5a 2

2

 MN 2  AM 2  AN 2  2 AM . AN cos 450 
 DMN vuông cân tại N



5a
5a 2
, DN 2  AD 2  AN 2  2 AD. AN cos 450 
2
2

   3  1 
3  3  
AC  AB  AD  DN  AN  AD  AB  AD
4
4
4
4
   1  3  
1  3 
NM  AM  AN  AB  AB  AD   AB  AD
2

4
4
4

 2  2

 DN NM  0, DN  NM  DN NH  0, DN  NM )


Chung: D  x  2 y  6  0  D  6  2d ; d   DN  2d  6;1  d  , NH   2; 4 



Cách 2. Từ giả thiết ta có: AN 







 2  2d  6   4 1  d   0  d  2  D  2; 2  .Lại có MN 2  DN 2  5

và MN : 2 x  y  1  0  M  m;1  2m   5  5m 2  m  1  M 1; 1 hoac M  1;3 
* Với M 1; 1  DM  10, DM : 3x  y  4  0  AM  2

 


 AM . AD  0

 12 4 
Giả sử A  a; b   AM 1  a; 1  b  , AD  2  a; 2  b  ; 
 A  0;0  hoac A  ;  
2
5
 5
 AM  2
 12 4 
 2 6
 4 8
Do A, N nằm về 2 phía đối với DM  A  ;    B   ;    C   ; 
5
 5
 5 5
 5 5

* Với M  1;3  DM  10, DM : x  3 y  8  0  AM  2

 


 AM . AD  0
 4 8
 A  0; 4  hoac A   ; 
Giả sử A  a; b   AM  1  a;3  b  , AD  2  a; 2  b  ; 
2
 5 5
 AM  2
Do A, N nằm về 2 phía đối với DM  A  0; 4   B  2; 2   C  0;0 

3. Cho hình bình hành ABCD có giao điểm hai đường chéo là I  1 ; 1  . Điểm A thuộc
2 2
đường thẳng 2x  3y  4  0 . Điểm M   1 ;3  thuộc đường thẳng AD. Biết AD  13, S ABCD  15 .
 3 
Tìm tọa độ đỉnh B.
Đường thẳng AD đi qua M   1 ;3   AD : a  x  1   b  y  3  0
3
 3 

1


5 a  3b

 a  18b

6 a2  b2
 2a  3b
 1 3
* Với a  18b  AD :18x  y  3  0  A   ; 
 4 2
325
1
21
9 51
2
Giả sử D  d ; 18d  3   13  AD 2 
 4d  1  D   ;   hoac D   ; 
16
 20 10 

 20 10 
 21 31 
 29 41 
 B  ;  hoac B  ;  
 20 10 
 20 10 
7 2
* Với 2a  3b  AD : 3x  2 y  5  0  A  ; 
5 5
13
3 17
17 13
2
 5  3d 
2
Giả sử D  d ;
 5d  7   D   ;  hoac D  ;  
  13  AD 
2 
100
5

 5 5
 5
 8 12 
 22 8 
 B  ;   hoac B  ;  
5
5
5



 5
  900 , biết BC  CD  2 AB , trung điểm của
4. (23) Cho hình thang vuông ABCD có A  D
BC là M 1; 0  , phương trình đường thẳng AD là: x  2 y  0 . Tìm tọa độ điểm A biết A có

Ta có S ABCD  2 AD.d  I , AD   15  2 13

hoành độ lớn hơn 2/3.
Từ giả thiết dễ thấy BCD đều  BD  BC  2 AB  AD  3 AB
Gọi H là hình chiếu của M trên AD thì H là trung điểm AD
2

Dễ xác định được H  ;
3

2
1
2
2 3
2
1
 AB  MH 
 AD   AH 
 , MH 
3 
3
9
3

3
3
2

2
2  a
2 1
2
6
 a  
.
Giả sử A  a;

a


   ...  a  
  
 
3  2
3  9
3 9
2 

2
6 2
3
;

Do gt  A  


9 
3 9 3
  900 , biết CD  2 AB , H là hình chiếu vuông
5. (24) Cho hình thang vuông ABCD có A  D

22 14

góc của D lên đường chéo AC, M  ;  là trung điểm của HC, đỉnh D  2;2 , đỉnh B thuộc
 5 5
đường thẳng: x  2 y  4  0 và đường thẳng BC đi qua điểm E  5;3 . Tìm tọa độ A, B, C.
  900 , mà IBA
  IDA
  900
Gọi I là trung điểm CD  IM  AC  IMA
 ABMID nội tiếp đường tròn đường kính AI
  900
Mà đường tròn đường kính AI cũng là đường tròn đường kính BD  BMD






Do B thuộc đường thẳng: x  2 y  4  0  B  2b  4; b   MB   2b 

42
14 
;b   ;
5

5

  12 4 
DM   ;   b  4  B  4; 4   Phương trình BC: x  y  8  0  C  c;8  c 
 5 5
Vì BC  BD  C  2; 6  hoac C  6; 2  , lại do M nằm trong tam giác BCD  C  6; 2 


Ta có CD  2 BA  A  2; 4 

6. Cho hình vuông ABCD. Gọi P, Q là hai điểm tùy ý thuộc miền trong hình vuông, thỏa
mãn điều kiện: BP // DQ và BP 2  DQ 2  PQ 2 . Biết Q 1; 2  và đường thẳng AP có phương
trình: 3x  4 y  1  0 . Hãy tính tọa độ điểm A.
Lấy điểm E (thuộc nửa mp bờ AD không chứa Q) sao cho DE  DQ, DE  PB
Nên BP 2  DQ 2  PQ 2  EQ 2  DE 2  DQ 2  PQ 2  QE  QP
2


  DAE
  PAE
  900
Do BP // DQ  
ABP  
ADE  ABP  ADE  AP  AE , BAP
 AEP cân tại A có AQ là đường trung trực của EP
  900  PAQ
  450
 AQ là phân giác góc PAE



Giả sử AQ có VTPT là n  a; b  , AP có VTPT n1  3; 4 



3a  4b
 a  7b
1


2
2
2
a  b .5
b  7 a

7 4


8
9

* Với b  7 a  AQ : x  7 y  13  0  A   ;  
 5 5

* Với a  7b  AQ : 7 x  y  9  0  A  ; 
5 5

7.(42) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn  C  : x 2  y 2  25 . Đường thẳng
AC đi qua K  2;1 , hai đường cao BM và CN. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết A có hoành
độ âm và đường thẳng MN có phương trình: 4 x  3 y  10  0 .

C  : x 2  y 2  25 có tâm O  0; 0  , bán kính R  5
1  
AF  FC 1
2
1 
  2
Giả sử MN cắt cung nhỏ AB, AC lần lượt tại E, F  
AME  CMF
AE  FC
2



Từ (1) và (2)  AE  AF  A là trung điểm EF  OA  EF
Ta có OA : 3 x  4 y  0  A  4; 3  hoac A  4;3   A  4;3  do O, A nằm về 2 phía của MN
  NBC
  ABC

Dễ thấy BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC  EMA









AC đi qua K  AC : x  3 y  5  0  C  5;0  , M  1; 2 
 BM : 3 x  y  5  0  B1  0;5  hoac B2  3; 4  , MB1  10  2 10  MB2

Do B nằm trên cung lớn AC  B  3; 4 
8.(3-Dễ) Cho hình thoi ABCD có đường chéo AC thuộc đường thẳng d : x  y  1  0 . Điểm
E  9; 4  thuộc đường thẳng AB, F  2; 5  thuộc đường thẳng AD, AC  2 2 . Xác định tọa
độ các đỉnh A, B, C, D biết C có hoành độ âm.
A, C  d : x  y  1  0  A  a;1  a  , C  c;1  c   c  0  .
Mà AC  2 2  a  c  2  A  c  2; c  1 hoac A  c  2;3  c 




* Với A  c  2; c  1  AE  7  c; c  5 , AF  c  4; c  4
Do  AE , AC    AF , AC  

2  2c
2  2c 2  4c  74 

2c



2  2c 2  32 

 C  2;3 , A  0;1

 I  1; 2   BD : x  y  3  0, AB : x  3 y  3  0  B  3;0   D 1; 4 


* Với A  c  2;3  c   AE 11  c; c  1 , AF  c; c  8

Do  AE , AC    AF , AC  

2c  10
2  2c  20c  122 
2



2c  8

 22 
 c   2;   L 
 5
2  2c  16c  64 
2

9. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD, điểm B thuộc đường thẳng: x  3 y  3  0 . Đường
 cắt BD tại E. Kẻ BH  AD (H thuộc cạnh AD). Biết E  11 ; 1  ,
phân giác trong của BAD


 2 2

đường thẳng AD có phương trình là: 2 x  y  3  0 . Tính tọa độ A, B, D.
10.(31) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm P sao cho 
ABP  600 . Gọi
K, M 1; 2  , N 1;1 lần lượt là trung điểm của BP, CP, KD. Tìm tọa độ điểm D.
3

Giả sử AB  a  AP  a 3, BP  2a  DP 









3  1 a, CP 2  5  2 3 a 2

a
1
a2
2 3 2
 KM  , DM 2  PC2  5  2 3
, DK 2  DP2  PK 2  2DP.PK cos300  2  3 a2  DN 2 
a
2
4
4
4
1
Lại có MD 2  MK 2  2MN 2  DK 2  ....  a  2  DM 2  5  2 3, DN 2  2  3
2
2
 x  1   y  12  2  3
1 3
1

3
Giả sử D  x; y   
x ,y 
 D  ;

2
2
2
2
2 2 
 x  1   y  2   5  2 3
  900 , AB  BC  AD , 
11.(25) Cho hình thang vuông ABCD có A  B
ABD  300 . Gọi M 1;0









là trung điểm của CD, N 1; 2  thuộc đoạn BD sao cho BN  3 ND . Tìm tọa độ điểm D.
  IDA
  450
Dễ CM được AHID nội tiếp đường tròn đường kính AD  KHI
  BDA
  450  BK // HI
Lại có ABKCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BD  BKA

1 5
 Phương trình BK: 3x  y  4  0  B  ; 
2 2



1

9

I thuộc đường thẳng: 3 x  y  1  0  I  a; 3a  1  D  2a  ; 6a  
2
2


3
 3 5
DK  BK  a    D  2; 0  , I   ; 
4
 4 4
1
1

 Phương trình AC: x  y   0  A  b; b  
2
2

IA  ID  b 

 5  21 3  21 

5  21
;
 A, C 

4
4
4 


12.(26) Cho hình vuông ABCD có điểm B thuộc đường thẳng d : 5 x  3 y  10  0 . Gọi M là
điểm đối xứng của D qua C, H và K 1;1 là hình chiếu của D và C lên AM. Xác định tọa độ
các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng đi qua H và tâm I của hình vuông là 3x  y  1  0 .
Từ gt suy ra BCD đều, gọi I là trung điểm BD
 CI  BD, CI // MN  MN  BD, DM  2 DN

Đường thẳng DN có phương trình là: y  2  D  d ; 2 
 d  1  D  1; 2 

DM  2 DN  
d  3
 D  3; 2 

13. Tam giác ABC có AC  2 AB . Điểm M 1;1 là trung điểm của BC, N thuộc cạnh AC sao
cho 3AN  NC , điểm D thuộc BC sao cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác trong của
 . Đường thẳng DN có phương trình: 3x  2 y  8  0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam
BAC
giác ABC, biết C thuộc đường thẳng: x  y  7  0 .
C  d : x  y  7  0  C  t ;7  t   B  2  t; t  5  do M 1;1 là trung điểm BC
Gọi I là trung điểm AC  AI  IC  AB .


Dựng hình thoi ABFI  AF là phân giác của góc BAC
Gọi P là trung điểm BF  AP, AM đối xứng nhau qua AF  A, D, P thẳng hàng


BD BP AN 1
BD 1
BD 2
 8  3t 3t  13 


 
 
  5 BD  2 BM  D 
;

CD AC AC 4
BC 5
BM 5
5 
 5
D  DN : 3 x  2 y  8  0  t  6  C  6;1 , B  4;1
 
 8n  6

; 4n  5 
N  DN : 3 x  2 y  8  0  N  2n;3n  4  . Vì CN  3NA  A 
 3


Theo Talét ta có:

4


34 

 350 71 
AC  2 AB  13n 2  34n  0  n  0;    A  2;5  hoac A  
; 
13 

 39 13 
14.(28) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, cạnh 2 AB  2 AD  DC . Gọi E  3; 4  nằm

trên cạnh AB, đường thẳng d vuông góc với DE tại E cắt BC tại F  6;3  . Tìm tọa độ điểm
D, biết D có tung độ nhỏ hơn 2.
  450 , ABC
  1350 , BDC
  450  DBF
  900
Dễ CM được BCD
  450  EDF vuông cân tại E
 DEBF là tứ giác nội tiếp  EDF

Đường thẳng DE đi qua E và nhận EF  3; 1 là VTPT có PT: 3x  y  5  0  D  t ;3t  5
t  4  D  4;7   L 

t  2  D  2;1

2

Ta có: DE  EF   t  3  1  

15.(27) Cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng
BC có phương trình lần lượt là: 3x  5 y  8  0, x  y  4  0 . Đường thẳng qua A vuông góc
với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai D  4; 2  . Viết phương
trình đường thẳng AB, AC biết hoành độ điểm B không lớn hơn 3.
Gọi H là trực tâm ABC  H đối xứng với D qua BC
Đường thẳng AH có PT là: x  y  2  0  A 1;1 , H  2;0 
7


1

Trung điểm của BC là: M  ;   . Gọi B  b; b  4   C  7  b;3  b 
2 2


b  2
BH  AC  
 B, C  2; 2  hoac  5;1 .
b  5
Vậy phương trình AB, AC là: y  1  0, 3x  y  4  0

16. Cho hình chữ nhật ABCD có D  4;5  , điểm M là trung điểm AD, đường thẳng CM có
phương trình là: x  8 y  10  0 ; điểm B nằm trên đường thẳng: 2 x  y  1  0 . Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC, biết C có tung độ nhỏ hơn 2.
B  2 x  y  1  0  B  b; 2b  1 , C  x  8 y  10  0  C  8c  10; c 
Dễ CM: d  B, CM   2d  D, CM  

b  16b  8  10

2

26
70 

 b   2;  
17 
65


65
11


* Với B  2; 5  do BC  DC  c  1;   C  2;1 do C có tung độ nhỏ hơn 2
5


70
123


* Với B   ;
 do BC  DC   c
17
17



17.(4) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D  7;0  . Một điểm P nằm trong hình bình hành
  PCB
 . Phương trình đường thẳng chứa PB và PC lần lượt là: x  y  2  0 ,
sao cho PAB

2 x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh A biết A thuộc đường thẳng y  3x và A có hoành độ nguyên.

P  PB  PC  P 1;1  PD : x  8 y  7  0 . Giả sử PA có VTPT là n  a; b 

Dựng hình bình hành ABPQ  CDQP là hình bình hành
  PCB
  PAB

 QDA
APQ  APDQ là tứ giác nội tiếp
  cos  PA, PD   cos  PB, PC 
 1800  
APD  
AQD  
APD  BPC
 a  5b
1

2. 5
a 2  b 2 . 65
11a  23b
* Với a  5b  PA : 5 x  y  4  0  A  2;6 

Ta có:

a  8b



5


 17 51 
; 
 28 28 

* Với 11a  23b  PA : 23x  11y  34  0  A 

 L
5
 2

18.(32) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2BC . Gọi K   ; 1 là trung điểm AD. Trên


cạnh CD lấy hai điểm E, F sao cho 4DF  4CE  CD . Đường thẳng vuông góc với EK tại E
cắt BC tại M. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Biết đường thẳng đi qua M, F là:
10 x  6 y  15  0 .
Giả sử AD  2a  AB  CD  4a, KD  DF  EC  a, DE  3a
Dễ thấy KDE  ECM  CM  DE  3a  MF  a 18, MK  a 20  KFM vuông ở F
5




Ta có: KF : 6 x  10 y  25  0  F  0;  
2


 D  2; 3
 
5
5 
  
Giả sử D  x; y   KD  x  ; y  1 , FD  x; y      1 1  do KDF vuông cân ở D
2
2
D  ;



  2 2 
 

K là trung điểm AD, AB  DC  4 DF
* Với D  2; 3   A  3;1 , C  6; 1 , B  5;3 

 1

1

 9

3

3

17 

 5

19 

* Với D   ;    A   ;   , C  ;   , B   ;  
2  2 2
 2 2
 2 2  2
19.(33) Cho hình vuông ABCD có I, K tương ứng là trung điểm của AC, BC. Điểm M nằm
 1

3

trên cạnh CD sao cho MD  MC . Biết G  1;  là trọng tâm tam giác BKD và đường thẳng
5
 3
IM có phương trình là: x  4 y  3  0 . Viết phương trình đường thẳng BD.
4
3

Giả sử AB  8 x  DM  3 x, CM  5 x, IK  4 x, IG  x, IC  4 x 2, IM  x 17
 cos  IG, IM  

1

, cos  IM , ID  

5



. Giả sử đường thẳng IG có VTPT n  a; b 

17
34
a  4b
b  0
1



2
2
17
17 a  b
15b  8a  0
* Với b  0  IG : x  1  I 1; 1

BD đi qua I và có VTPT n1  c; d  tạo với IG góc 45 0

c  d
5
 c  d  BD : x  y  0

34
c2  d 2

17 c 2  d 2
 23c  7 d  0
 19 43 
* Với 15b  8a  0  IG : 45 x  24 y  37  0  I  ;  
 51 51 

BD đi qua I và có VTPT n1  c; d  tạo với IG góc 45 0




c



1
 c   d và
2

15c  8d
2

289 c  d

2



c  4d

 7c  23d  0
1
và

2
 23c  7 d  0



c  4d
2

17 c  d

2



c  d
5

34
 23c  7 d  0

20.(45) Cho hình vuông ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng: x  y  5  0 .
Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN  BM .
Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt
nhau tại F  0; 3 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết M nằm trên trục hoành.
  NAD
  MAD

  MAB
  MAD
  900
Ta có DNA  BMA  AN  AM , NAM
 AMFN là hình vuông  A, N, F, M, C cùng nằm trên đường tròn đường kính MN, FA
 AC  CF  CF : x  y  3  0  C  4;1

6




Giả sử BC có VTPT là n  a; b  ,  AC , BC   450 

ab
a  0
1


2
b  0
2  a 2  b2 

* Với a  0  BC : y  1  0  M  BC  L 
* Với b  0  BC : x  4  0  BC  Ox  M  4; 0 
 AM  MF
5 5
A  AC : x  y  5  0  A  a;5  a  . Vì 
 a  1  A 1; 4   I  ;  là tâm hình vg
2 2

 AM  MF
 BD : x  y  0  B 1;1 hoac B  4; 4  .

Do B, M nằm về 2 phía đối với AC  D 1;1 , B  4; 4 
2

2

5 
1  325

. Đường phân
21. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn  C  :  x     y   
2 
4
16

 cắt (C) tại E  0;  7  . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết BC
giác trong BAC


2

đi qua N  5; 2  , AB đi qua P  3; 2  .
2
2
5 
1  326
 5 1    5 15 


có tâm I  ;   EI  ; 
C
:
x


y

  
 
 
2 
4
16
2 4
2 4 

Ta có E là trung điểm cung BC  IE  BC  BC : 2 x  3 y  4  0  B, C   2; 0  ,  4; 4 

* Với B  2; 0  , C  4; 4   PB 1; 2   AB : 2 x  y  4  0  A  0; 4 

 54 136 
* Với C  2;0  , B  4; 4   PB  7; 2   AB : 2 x  7 y  20  0  A   ; 

 53 53 
25
2
22.(Dễ) Cho đường tròn  C  :  x  1  y 2  , đường thẳng d : x  2 y  0 và điểm A 1;0  .
4

Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d sao cho B là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc với
(C).
Dễ thấy A nằm trong (C), nên đường tròn (B) tiếp xúc trong với (C)

 C  :  x  1

2

 y2 

25
5
có tâm I  1; 0  , bán kính R 
4
2

Giả sử (B) có tâm B  2t ; t   bán kính là: r  AB  t 2   2t  1
2

Ta có: IB  R  r   2t  1  t 2 

2

25 2
15
2
2
 t   2t  1  5 t 2   2t  1  t  
.
4

4 61

15
15 
;

 2 61 4 61 


Vậy B  

23. (A-14) Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, N thuộc đoạn AC sao cho AN =
3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết M 1; 2  , N  2; 1 .
Dễ CM DMN vuông cân tại N.
 


 ND.MN  0
 a  5, b  0

Giả sử D  a; b   ND  a  2; b  1 , MN 1; 3  ; 
 a  1, b  2
 DN  MN


* Với D  5; 0   DM : x  2 y  5  0 , giả sử A  x; y   DA  x  5; y  , MA  x  1; y  2  .
 
 x  5  x  1  y  y  2   0
 DA.MA  0



 13 16  
Ta có 

; 
2
2
2   x; y   1; 0  , 
2
 5 5 

 DA  2 AM
 x  5   y  4  x  1   y  2  
A, N nằm về 2 phía đối với DM  A 1; 0   CD : x  5  0


* Với D  1; 2   DM : 2 x  y  0 , giả sử A  x; y   DA  x  1; y  2  , MA  x  1; y  2  .
7


 
 x 2  1   y 2  4   0
 DA.MA  0


 11 2  
Ta có 

  x; y    1; 2  ,  ;  
2

2
2
2
 5 5 
 DA  2 AM

 x  1   y  2   4  x  1   y  2  

A, N nằm về 2 phía đối với DM không thỏa mãn
24.(34) (B - 14)Cho hình bình hành ABCD, M  3; 0  là trung điểm AB, H  0; 1 là hình
4



chiếu vuông góc của B trên AD, G  ;3  là trọng tâm tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm
3 
B, D.
Giả sử A  a; b   B  a  6; b  do M  3; 0  là trung điểm AB


Dễ thấy AC 

3 
4 
 4 a 9b 
 3a  16 3b  9 
AG  C 
;
;
 D

 do G  ;3  là trọng tâm BCD
2
2 
2 
 2
 2
3 

H  0; 1 là hình chiếu vuông góc của B trên AD
2
2
b  2a  11
 BH  AH
 a  4, b  3
a  b  6a  1  0

 2




2
2
 BH  DH
3a  3b  34 a  8b  85  0  a  10a  24  0  a  6, b  1
Vậy B  2;3 , D  2; 0  hoặc B  0; 1 , D  1; 6 

25.(35) (D-14) Cho tam giác ABC có D 1; 1 là chân đường phân giác trong góc A, đường
thẳng AB có phương trình: 3x  2 y  9  0 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC có phương trình: x  2 y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng BC.

A  AB  d  A 1;3  AD : x  1 .


Giả sử đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I và AD cắt (I) tại E, IE có VTPT n  a; b  a  2b 
a
2

 a  2b
5
a 2  b2
BC đi qua D và vuông góc với IE nên có PT là: x  2 y  3  0

Ta có:  AI , AE    AE , IE  

26.(37) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp
7 5

 13 5 

tam giác ABC tại M 1; 5  , N  ;  , P   ;  . Tìm tọa độ A, B, C biết đường thẳng AB
2 2  2 2
đi qua Q  1;1 và điểm A có hoành độ dương.
3
2

Giả sử đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm K  a; b  ; KM  KN  KP  a   ; b  0
Dễ thấy đường thẳng KP là trung trực của AB
đường thẳng AB đi qua Q và vuông góc với PK, có PT là: 2 x  y  3  0  A  a; 2a  3
2
a  1

3
125
2

KM  KA   a     2a  3  

 A 1;5  , B  4; 5 
2
4

 a  4
đường thẳng CB đi qua B và vuông góc với MK, có PT là: x  2 y  6  0  C  2c  6; c 

2

 c  1
15 
125


 C  4; 1
KM  KC   2c    c 2 
2
4

 c  5
27. Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn  C  : x 2  y 2  10 y  25  0 . I là tâm của
 17

6

(C), đường thẳng BI cắt (C) tại M  5;0  . Đường cao kẻ từ C cắt (C) tại N   ;   . Tìm
5
 5
tọa độ các điểm A, B, C biết điểm A có hoành độ dương.
C  có tâm I  0;5  B  5;10  , bán kính R  5 2
Do ABC cân tại B  M là trung điểm cung AC. Ta có: MN : x  7 y  5  0
8


  A là trung điểm cung MN  IA  MN
Vì CN  AB, AM  AB  AM // CN  
AN  CM
 IA : x  7 y  35  0  A 1; 2  do A, I nằm về 2 phía đối với MN
 AC : x  y  3  0  C  7;4 

28.(39) Cho hình thang cân ABCD, đáy CD  3 AB . Biết AC có phương trình: 2 x  y  8  0 ,
DB có phương trình: x  2 y  6  0 . Chu vi hình thang bằng 10 2  4 10 . Tìm tọa độ A, B,
C, D biết xD  0, xC  0 .
Gọi I là giao điểm của AC và BD  I  2; 4  . Dễ thấy AC  BD
Do hình thang cân  IA  IB, IC  ID, BC  AD
x
3x
, IC  ID 
 BC  AD  x 5 .
2
2
 Chu vi hình thang là: AB  CD  AD  BC  4 x  2 x 5  10 2  4 10  x  10



C  AC : IC  3 5  C  5; 2  do xC  0 , IC  3IA  A  1;6 


D  BD : ID  3 5  D  4;1 do xD  0 , ID  3IB  B  4;5 

Giả sử AB  x  CD  3 x, IA  IB 

 82 6 

29.(Dễ) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết B  8; 4  , M  ;  thuộc đường
 13 13 
thẳng AC, CD  3 AB và phương trình AD là: x  y  2  0 . Tìm tọa độ A, C, D.
Ta có: AB  AD  AB : x  y  12  0  A  5; 7   AC : 5 x  y  32  0  C  c;32  5c 

D  AD : x  y  2  0  D  t ; t  2   CD  t  c; t  5c  30 

C  8; 8  , D  1;1
CD  AD
 t  c    t  5c  30   0


2
2
CD  3 AB  t  c    t  5c  30   2.81 C  2; 22  , D 11;13
Vì B, C nằm về cùng phía đối với AD  C  8; 8  , D  1;1

Ta có: 

30.(Dễ) Hình chữ nhật ABCD có tâm E  3; 4  , đường thẳng AB đi qua M  20; 15  và
trung điểm N của CD thuộc đường thẳng d : 4 x  y  10  0 . Viết phương trình đường thẳng

AB.

N  d : 4 x  y  10  0  N  t ;10  4t   EN  t  3;14  4t  ,


gọi I là trung điểm AB  E là trung điểm IN  I  6  t ; 4t  18   IM  t  14;3  4t 
 57 

 17 

Ta có: IM  EN   t  3  t  14   14  4t  3  4t   0  t  0;
* Với t  0  I  6; 18  AB : 3 x  14 y  270  0

  295 167 
57
 IM 
;
  AB :167 x  295 y  1085  0
17
17 
 17
31.(Dễ) Cho hình vuông ABCD có A  2; 2  , M  6;3  thuộc cạnh BC, N  4; 6  thuộc cạnh

* Với t 

CD. Tìm tọa độ điểm C. 
Giả sử VTPT của CD là: n  a; b   CD : a  x  4   b  y  6   0, BC : b  x  6   a  y  3  0
a  0

Vì d  A; CD   d  A, BC   2a  4b  4b  a  

 a  8b
* Với a  0  CD : y  6  0, BC : x  6  0  C  6; 6   AC  4 2  AB  4
 937 154 
;
  AC 
 65 65 
Do M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD  AM , AN  AC ; CM , CN  AB

* Với a  8b  CD : 8 x  y  26  0, BC : x  8 y  30  0  C  
Vậy C  6; 6 
9


32.(43) Cho tam giác ABC, gọi A' , B ' , C ' là các điểm sao cho ABA'C , BCB ' A, CAC ' B là hình
bình hành. Biết H1  0; 2  , H 2  2; 1 , H 3  0;1 là trực tâm các tam giác BCA' , CAB ' , ABC ' . Tìm
tọa độ các điểm A, B, C.
Gọi M, N, K, I là trung điểm BC, AC, AB, AH1  IK // BH1
Do ABA'C là hình bình hành  M là trung điểm AA'  IM // A' H1
'
Mà A' H1  BC  IM  BC , BH1  AC
 BH 1  AB  IK  AB
 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hoàn toàn tương tự  I là trung điểm BH 2 , CH 3  I là tâm đường tròn ngoại tiếp H1H 2 H 3
2

2

2

1

2

1

1

1

Gọi I  a; b   a 2   b  2    a  2    b  1  a 2   b  1  a  , b    I  ;  
2
2
2 2
 A 1;1 , B  1; 0  , C 1; 2 

33.(40) Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, N trên AD sao cho AN  2ND . Giả
5 1



sử đường thẳng CN có phương trình: x  2 y  11  0 và M  ;  . Tìm tọa độ điểm C.
2 2
   , NCD
    tan   MB  1 , tan   ND  1  tan      1      450
Đặt MCB
BC 2
DC 3


0


 MCN  45 . Giả sử đường thẳng CM nhận n  a; b  là VTPT, ta có nCN 1; 2 



a  2b
 a  3b
1
 cos 450 

2
b  3a
5  a 2  b2 

* Với a  3b  CN : 3 x  y  8  0  C 1;5 
* Với b  3a  CN : x  3 y  1  0  C  2; 7 
2

2

34. Cho đường tròn  C  :  x  1   y  1  25 và các điểm A  7;9  , B  0;8  . Tìm M thuộc (C)
sao cho P  MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
C  có tâm I 1;1 , bán kính R  5 ; A, B nằm ngoài (C) và IAB là tam giác vuông cân tại B
35.(49) Tam giác ABC có trung điểm BC là M  3; 1 , đường cao kẻ từ B đi qua E  1; 3 
và đường thẳng AC đi qua F 1;3  . Điểm đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại tiếp là
D  4; 2  . Tìm tọa độ điểm A và phương trình đường thẳng BC.

Gọi H là trực tâm tam giác ABC  BHCD là hình bình hành

 M là trung điểm HD  H  2; 0   EH  3;3  BH : x  y  2  0, AC : x  y  4  0

B  BH : x  y  2  0  B  b; b  2   C  6  b; b   AC  b  1  B 1; 1 , C  5; 1  BC : y  1

Gọi I  a; c  . Do IB  IC  ID  I  3; 0   A  2; 2 
36.(Dễ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3) và AC  2.BD .
 4
 13 
Điểm M  2;  thuộc đường thẳng AB, điểm N  3;  thuộc đường thẳng CD. Viết
 3
 3
phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
 5

Lấy E đối xứng với N qua I  E  3;   AB  AB : x  3 y  2  0
 3
1
1
AC  2.BD  AI  2 BI  cos 
ABI 
 cos  AB, BD  
5
5


Giả sử BD có VTPT n  a; b  

a  3b
a  b
1

 a 2  6ab  7b 2  0  

5
 a  7b
10  a 2  b 2 

10


* Với a  b  BD : x  y  6  0  B  4; 2 

 L  do

 14 8 
; 
 5 5

* Với a  7b  BD : 7 x  y  18  0  B 

xB  3

TM  do

xB  3

Vậy BD : 7 x  y  18  0
37.(44) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm là I. Kẻ AH, BK vuông góc với BD và AC.
 3 4

Đường thẳng AH cắt BK tại E. Giả sử H   ;  , phương trình đường thẳng BK, IE lần
 5 5
lượt là: 3x  y  5  0 , x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

 3 1



Dễ CM: I là trực tâm tam giác cân EAB, cân tại E. BK  IE  E   ;   AE : x  3 y  3  0
2 2
 9 2
HK  IE  HK : 5 x  5 y  7  0  K   ;    AK : x  3 y  3  0, BH : 3 x  y  1  0
 5 5
 I  0; 1 , A  3; 0  , B  1; 2   C  3; 2  , D 1; 0 

38.(5) Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi E, F,
 17 29 

 17 9 

G lần lượt là trung điểm CH, BH, AD. Biết E  ;  , F  ;  , G 1;5 . Tìm tọa độ điểm
 5 5   5 5
A và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE.
1
2
Lại có BF  AE, EF  AB . Giả sử B  a; b   b  1, a  5  B  5;1

Ta có AG  BC  FE , AG // BC // FE  AGEF là hình bình hành  A 1;1

Tứ giác ABEG nội tiếp đường tròn đường kính BG
Gọi I  x; y  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE  I  3;3
39. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh B, C thuộc trục Oy, đường thẳng AC có phương
trình 3x  4 y  16  0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ACD bằng 1.

Từ giả thiết  C  0; 4  và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1
4
5
 16  4b 
; b   AB  b  4 , AC  b  4
3
3
 3


Gọi B  0; b   BC  b  4 , AB : y  b  A 

1
2
2
AB.BC   b  4  , 2 p  AB  BC  CA  4 b  4  p  2 b  4
2
3
b  7
 2 b4  0 b4 3 
b  1

Ta có S ABC 


2
2
b  4
3

* Với b  7  B  0; 7  , A  4; 7   D  4; 4 
* Với b  1  B  0;1 , A  4;1  D  4; 4 
40.(Dễ) Cho tam giác ABC có A  3;1 , đường thẳng BC có phương trình y  0 , đường phân
giác trong của góc A có phương trình d : y  x  2 , điểm M  6; 2  nằm trên đường thẳng
AB. Tính diện tích tam giác ABC.
Từ giả thiết ta có: AB : x  3 y  0  B  0;0 


Giả sử VTPT của AC là n  a; b   b  3a  do AB, AC cắt nhau

 AB, d    AC , d  
 S ABC 

a b
2  a2  b2 



 a  3b
4

20
b  3a

1
4
BC.d  A, BC  
2
3
11

8 
 AC : 3 x  y  8  0  C  ;0 
L
3 


41. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x tại
A, chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là điểm H  2; 0  . Tìm tọa độ điểm B, biết
tung độ điểm B dương và diện tích tam giác ABC bằng 2 3 .
 C  : x 2  y 2  2 x có tâm là I 1; 0  , bán kính R  1 và H   C 
ABC vuông tại A, AC là tiếp tuyến của (C) tại A  A, B, I thẳng hàng
AH  BC  AB là đường kính của (C)  AB  2  AC  2 3  AH  3, BH  1
a 2  b 2  2a
3
3
 a  ;b 
2
2
2
2
 a  2   b  1

Giả sử B  a; b  , b  0  

42. Cho hình thang ABCD có BC  2 AD  2CD , đỉnh C  3; 3 , đỉnh A nằm trên đường
thẳng d : 3x  y  2  0 , đường thẳng DM có phương trình: x  y  2  0 , với M là điểm thỏa


mãn BC  4CM . Xác định tọa độ các điểm A, D, B.

A  d : 3 x  y  2  0  A  a; 2  3a  , do A, C nằm về 2 phía đối với DM  4a  4  0  a  1
Dễ CM được d  A, DM   2 d  C , DM   a  1  1  a  0  A  0; 2 



D  DM : x  y  2  0  D  b; b  2   AD  b; b  4  , CD  b  3; b  1

3
 3 1  
Vì AD  CD  b   D  ;   , CB  2 DA  B  4; 2 
2
2 2
43. Cho hình bình hành ABCD có 5 BD  AC 10 . Gọi hình chiếu vuông góc của D lên AB,
BC lần lượt là M  2; 1 và N  2; 1 , biết AC nằm trên đường thẳng: x  7 y  0 . Xác định

tọa độ các điểm A, C.
Gọi I là tâm của hình bình hành  I  m;7 m 
Tứ giác BMDN nội tiếp đường tròn đường kính BD  IM  IN  IB  ID
5
2
 1 7   1 7  
1
A  AC : x  7 y  0  A  a;7 a   AI  5 2 a  a   A, C   ;  ,   ;   
2
 2 2   2 2  

 m  0  I  0; 0  , IM  5  BD  2 5  AC  5 2  AI 

44.(47) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, điểm I  0; 4  là giao điểm của hai
A  3;1 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AID có phương trình

đường chéo,
2

2

 x  1   y  2   5 , điểm M 1;5 thuộc đường thẳng BC. Xác định tọa độ điểm C.
2
2
 x  1   y  2   5 có tâm K 1; 2  , bán kính R  5 , gọi H là trung điểm AI
KH
10
10
3 5
 H  ;  . Ta có cos 
AKH 

 cos 
ADI  cos 
AKH 
2
2
KA
10
10






Giả sử BC có VTPT n  a; b  , AI  3;3  nAI 1;1  AI : x  y  4  0

Do hình thang là cân  
ADI  
ACI  cos  AI , BC  
 1 11 

3 3 
 1 13 
* Với b  2 a  BC : x  2 y  9  0  C   ; 
 3 3

* Với a  2b  BC : 2 x  y  3  0  C  ;

12

10

10

ab
2a  b
2

2





 a  2b
10

10
 b  2 a


45
, đáy lớn CD có phương trình: x  3 y  3  0 .
2
Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại điểm I  2;3 . Viết phương trình

45. Cho hình thang cân ABCD có diện tích

đường thẳng BC, biết C có hoành độ dương.
Gọi H, K là trung điểm AB, CD  HK  CD  HK : 3 x  y  9  0  K  3; 0 
AB
CD
3 10
10
, IK 
 S ABCD  HK 2  IH  IK 
 IH 
2
2
2
2
C  CD : x  3 y  3  0  C  3c  3; c   c  1 , CK  IK  10  c  1  C  6;1

IK  d  I , CD   10 và IH 

H  HK : 3x  y  9  0  H  t;9  3t  , t  2 
 AB : x  3 y  12  0  B  3b  12; b  

5
3
2
2
3 9
 IH 2   t  2    6  3t   t   H  ; 
2
2
2 2

2
2
b  4  B  0; 4 
5
27  
9

 BH 2   3b     b    

2
2  
2

b  5  B  3;5 

Vì B, C nằm cùng phía đối với HK  B  3;5   BC : 4 x  3 y  27  0

46.(Dễ) Cho đường thẳng  : 3x  2 y  4  0 và hai điểm A  1; 3 , G  3; 1 . Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nhận G là trọng tâm và đường thẳng  chứa
đường trung trực của đoạn AC.
AC   : 3 x  2 y  4  0  AC : 2 x  3 y  7  0    AC  I  2; 1 là trung điểm AC  C  5;1
G  3; 1 là trọng tâm ABC  B  5; 1

Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng: x 2  y 2  ax  by  c  0
8
38
8
38
 a   , b  0, c     ABC  : x 2  y 2  x 
0
3
3
3
3
2
2
2
2
47.(38) Cho hai đường tròn  C1  :  x  1   y  2   4 ,  C2  :  x  2    y  3  2 cắt nhau

tại A 1; 4  . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt  C1  ,  C2  lần lượt tại M, N sao
cho AM  2 AN .
Cách 1:  C1  có tâm I1 1; 2  , bán kính R1  2 .  C2  có tâm I 2  2;3 , bán kính R2  2 .
Xét phép vị tự VA2 :  C2    C2'  có tâm I 2'  1;6  , bán kính R2'  2 2
Như vậy VA2 : N  M   C2'  Tọa độ A, M thỏa mãn PT của  C1  ,  C2' 
 đường thẳng cần lập là: x  2 y  7  0





Cách 2: Giả sử N  a, b  , từ giả thiết ta có: AM  2 AN  M  3  2a;12  2b 
a  2b  7
 a  2 2   b  3 2  2
22
9


 9 22 


b

,
a


N
Do đó: 
22



 ; 
2
2
5

5
5 5 
 2  2a   10  2b   4
b   4; 5 

 

Đường thẳng cần lập x  2 y  7  0
48. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CD. Gọi điểm I thuộc đường thẳng
d : x  8 y  1  0 và có hoành độ âm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; CK và CP là
các đường phân giác trong của các góc ACD và BCD; E  3; 0  là giao điểm của BI và CK,
F  0;4  là giao điểm của AI và CP. Biết AB có phương trình: 3x  4 y  7  0 . Xác định tọa

độ các điểm A, B, C.
  900
1
  BCP

  900 , tương tự BEC
A  ACP
ACP  900  AFC
Ta có A  BCD

2

1

  900  EIF

  1350

A B
AIB  1800  A  B
2





13




I  d : x  8 y  1  0  I  8t  1; t  ,8t  1  0  IE  2  8t ; t  , IF  8t  1; 4  t 

  1350 
FIE

 8t  2 8t  1  t  t  4 
2
2
2
8t  2   t 2 .  8t  1   t  4 



1

2

49.(Dễ) Cho hình chữ nhật ABCD, phương trình các cạnh AB, AC lần lượt là: x  y  2  0 ,
x  3 y  6  0 . Trọng tâm G của tam giác ACD nằm trên đường thẳng d : 2 x  y  5  0 . Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

AB  AC  A  0; 2  , AD  AB : x  y  2  0  AD : x  y  2  0  D  d ; 2  d   AD  d ;  d 

C  AC : x  3 y  6  0  C  6  3c; c   CD  d  3c  6; 2  c  d 

d  0
AD  CD  d  4c  2d  8   0  
 d  4  2c
* Với d  0  D  0; 2   A  L 
 10  5c 
;c
 3

35
27
35
18
44 

 
 9 17 
G  d : 2x  y  5  0  c 
 C  ; , D ;   B ; 
13
 13 13   13 13 
 13 13 
50.(46) Cho hình vuông ABCD tâm I, K  0;2  thuộc đoạn IA; M, N là trung điểm của AB,

* Với d  4  2c  D  4  2c; 2c  2   G 

CD và cùng nằm trên đường thẳng d : x  1  0 , Q là giao điểm của KM và BC. Tính tọa độ
các điểm A, B, C, D biết H  4;8  thuộc đường thẳng NQ.
Hạ KE  AB , gọi P  BD  NQ , I  d : x  1  0  I 1; t 
PB BQ BQ EK
AE AK





 KP // AB  K, P đối xứng với nhau qua MN
PI
IN MB EM EM
KI
 P  2; 2   NQ : 3 x  y  4  0  N 1; 1  CD : y  1  D  d ; 1 , d  1 do K, D nằm cùng



phía đối với MN  AD : x  d , d  I , AD   1  d , d  I , CD   t  1 do I nằm giữa KP và CD
d  I , AD   d  I , CD   d  t  D  t ; 1  B  2  t; 2t  1 , C  2  t ; 1  A  t ; 2t  1





t  k  0
 t 1

1  2t  k  t  2 

Do K  0;2  thuộc đoạn IA  AK  k KI , k  0  

Vậy A  1;3  , B  3;3 , C  3; 1 , D  1; 1
51.(30) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC tại D, E. Gọi M, N là trung
điểm AB, AC. Biết S  0; 2  là giao điểm của MN và DE, A  2;6  và B nằm trên đường
thẳng x  y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng BC.
Nối SA cắt BC tại K  S là trung điểm AK  K  4; 10 
  FBE
  FEB
  1 ABC
  1800  DEC

Nối BI cắt DE tại F, ta có BFD




1
1  
1


 1

 BFD
 C   90  180  A 180  IAD
ABC 180   90  
ACB   90   B

2
2
2
2


2

0

0

0

0

0

0

 AIFD là tứ giác nội tiếp  
AFI  
ADI  900  BF  AF
Giả sử AF  BC  T  F là trung điểm AT  F  MN  F  S  BS  AS
 

B  x  y  8  0  B  b; b  8  , SA.SB  0  b  8  B  8;0   BK   4; 10  .

Vậy BC: 2 x  5 y  16  0
  450 .

52.(48) Cho tam giác ABC có đường cao AH và phân giác trong BD sao cho BDA
Biết đường thẳng HD có phương trình là: x  y  1  0 , điểm C  0; 2  và A thuộc đường
thẳng: 3x  5 y  2  0 . Tìm tọa độ các điểm A, B.
14


  450  ED  AC , ABD  EBD  BA  BE
Trên tia BC lấy điểm E sao cho BDE
và AHED là tứ giác nội tiếp

  450  BDH
  900  1 B
  BDH
1B
  450  DHC
  450

ADH  
AEH  BAE
2
2

a b
a  0
1
Giả sử BC có VTPT n  a; b  ,  BC , DH   450 


2
2

2
b  0
2a  b 

1 3



* Với a  0  BC : y  2  0  H 1; 2   AH : x  1  0  A 1;1  AC : x  y  2  0  D  ; 
2 2
B  BC : y  2  0  B  b; 2   BC  b , BA  b 2  2b  2
BA DA

 BA  BC  b  1  B 1; 2 
BC DC

1 3



* Với b  0  BC : x  0  H  0;1  AH : y  1  0  A 1;1  AC : x  y  2  0  D  ; 
2 2
B  BC : x  0  B  0; b   BC  b  2 , BA  b 2  2b  2
BA DA

 BA  BC  b  1  B 1; 2 
BC DC
53. Cho hình bình hành ABCD có AD  AC và B  2;9  , H là trung điểm DC, K là hình

chiếu vuông góc của H xuống AC, F là giao điểm của DK và BC. Gọi I  0; 2  và P  4;5  lần

lượt là trung điểm của HK và AF. Biết phương trình đường thẳng DF là: 2 x  y  7  0 . Hãy
tìm tọa độ các điểm A, C, D.
Lấy E là trung điểm CK  HE // DF , IE // HC  IE  AH
Mà theo giả thiết HI  AE  I là trực tâm tam giác AHE  AI  HE  AI  DF
F  DF : 2 x  y  7  0  F  t; 2t  7   A  8  t ;3  2t  do P  4;5  là trung điểm của FA

AI  t  8; 2t  1  DF  t  2  A  6; 1 , F  2;11
AD // BF  AD : x  2 y  8  0  D 



54. Hình chữ nhật ABCD có B  2;0  , đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC có
phương trình là: d : 7 x  y  14  0 , đường thẳng đi qua A và trung điểm BC có phương trình
là: x  2 y  7  0 . Tìm tọa độ điểm D biết A có hoành độ âm.
Giả sử M  7  2m; m  , A  7  2a; a   a  7 / 2   C 12  4 m; 2m 
m  1  a  3
 a  2m  1
 AB  BM
 am  2  a  m   5  0

 2

 AC  d
 2m  5m  3  0
 2m  a  1  0
 m  3/ 2  a  4  L 

Do 

 A 1;3  , C  8; 2   D  7;5 

55.(29) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  6 y  5  0 và AB  AC .

H là hình chiếu của A lên BC. Biết cos HAB

2
và M  2;3  thuộc đường thẳng AC. Tìm
5

tọa độ các điểm A, C biết A có hoành độ dương.
 C  : x 2  y 2  2 x  6 y  5  0 có tâm I 1;3 , bán kính R  5

  sin ABC
  cos BAH

Gọi K là trung điểm AC  IK  AC , AIK
ABC  sin AIK
AK
2


 AK  2  d  I , AC   IK  1
AI
5

15

2
5

PT đường thẳng AC có dạng: a  x  2   b  y  3  0  1 

3a
2

a b

2

 b 2  8 a 2  b  2 2 a

Do đó AC: x  2  2 2  y  3  0  x  2  2 2  y  3
* TH1: x  2  2 2  y  3 . Tọa độ A, C thỏa mãn:
2

 3  2 2  y  3    y  3 2  5  9  y  3 2  12 2  y  3  4  0


11  2 2 7  2 2 
 2  4 2 
 2  4 2 7  2 2   2  4 2 11  2 2 
 y
;
;
;
 , C 

 x
  A 

3
3 
3
3
3
3

 3 

 

* TH2: x  2  2 2  y  3 . Tọa độ A, C thỏa mãn:
2

 3  2 2  y  3     y  3 2  5  9  y  3 2  12 2  y  3  4  0


11  2 2 7  2 2 
 14  4 2 
 y
;
  x
 L
3
3 
3




56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Phương
trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ A đến
2
2
cạnh BC của tam giác ABC là  x  3   y  2   25. Viết phương trình đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
57. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A  1; 1 và đường tròn
2

 T  :  x  3   y  2 

2

 25 . Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn T  (B, C khác

A). Viết phương trình đường thẳng BC, biết I 1;1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
2
2
T  :  x  3   y  2   25 có tâm K  3; 2  , đường thẳng AI : x  y  0
Gọi D  6; 6   AI   T   D là trung điểm cung BC  BC  KD
58. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm
C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y  4  0 . Đường thẳng đi qua D và trung
điểm của đoạn AB có phương trình: d : 3x  4 y  23  0 . Tìm tọa độ của B và C , biết
điểm B có hoành độ dương.
C : x  y  4  0  C  c; c  4  , D  d : 3 x  4 y  23  0  D  4t  1;3t  5 
Dễ thấy d  C , d   2 d  A, d   c  39  40  c  1; 79  C 1;5  hoac C  79; 75 
Do A, C nằm về 2 phía đối với d  C 1;5 
 D  9;1
 B  3; 3 

 L
2 

Vì AD  CD  t  2;      3 31 
 33 21 
5
D  ;   B ; 

  5 5 
 5 5
59.(36) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB  AD  CD , điểm B(1;2) , đường

thẳng BD có phương trình y  2 . Biết rằng đường thẳng ( d ) : 7 x  y  25  0 lần lượt cắt
các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM  BC và tia BN là tia phân
giác của góc MBC. Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương).
Ta có MBCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC
  BDC
  450  BMC vuông cân tại B  BM  BC  BMN  BCN
 BMC
 d  B, MN   d  B, NC   d  B , CD  . Giả sử D  a; 2   a  0  .
x  y  a  2  0
x  y  a  2  0

Do CD tạo với BD góc 450  CD có VTPT là 1; 1  CD : 
16


d  B, MN   d  B, CD  

 a  3  L 

2 2
 D  5; 2 
2
a  5

1 a

60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm C  5;1 , trung tuyến AM,
điểm B thuộc đường thẳng x  y  6  0 . Điểm N  0;1 là trung điểm của đoạn AM, điểm
D  1;  7  không nằm trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC
đồng thời khoảng cách từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm
A, B.
BC đi qua C  5;1 nên BC : a  x  5   b  y  1  0
Từ giả thiết ta có: d  D, BC   d  A, BC   2d  N , BC   6a  8b  2 5a  a  2b hoac b  2a
* Với a  2b  BC : 2 x  y  11  0  L  do N, D nằm về 2 phía so với BC
* Với b  2a  BC : x  2 y  3  0 (TM)  B  3; 3   M 1; 1
Vì N là trung điểm AM  A  1;3
61.(41) Cho hình thang ABCD có đáy AD, BC AD  2 BC , đỉnh B(4;0), phương trình đường
chéo AC là 2 x  y  3  0 , trung điểm E của AD thuộc đường thẳng  : x  2 y  10  0 . Tìm
toạ độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng cot 
ADC  2 .
E  : x  2 y  10  0  E  2t  10; t  . Từ giả thiết ta có:

 28 
 26 28 
d  B, AC   d  E , AC   3t  23  5  t   ;6   E  2; 6  hoac E  ; 
3 
 3 3 
Vì E, B nằm về 2 phía đối với AC  E  2;6  .
 

A  2 x  y  3  0  A  a; 2a  3  D  4  a;15  2a  Do: BC  AE  C  6  a;9  2a 


  2  sin ADC
  1 , cos ADC
 2
 DA  2a  4; 4a  18  , DC  2; 6  . Mà cot ADC
5
5
2
2
4
6
4
18
a


a





2
 11


 a  1; 
2

2
5
 3
 2a  4    4a  18 . 40

* Với a  1  A 1; 1 , C  5; 7  , D  3;13
* Với a 

11
 11 13   7 5   1 23 
 A ; , C  ;  , D  ; 
3
 3 3   3 3 3 3 

62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, ngoại tiếp
2
2
đường tròn  C  :  x 1   y 1  20 và điểm B thuộc đường thẳng  d  : 2 x  y  5  0 . Viết
phương trình cạnh AB của hình thoi biết B có hoành độ dương.
2
2
63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C1  :  x  2    y  1  1 có tâm I1 , đường
tròn  C2  bán kính bằng 4, có tâm I 2 nằm trên đường thẳng  d  : x  y  4  0 và cắt  C1  tại
hai điểm A và B sao cho tứ giác I1 AI 2 B có diện tích bằng 2 3 . Viết phương trình đường
tròn  C2  biết I 2 có hoành độ dương.
64. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD.



1

Điểm M  0;  thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ
3


đỉnh B biết B có hoành độ dương.

17


65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A  2;6  , chân đường phân giác
3

trong kẻ từ A là D  2;   , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I   1 ;1 . Tìm tọa độ
2

 2 
đỉnh B và C.
66. Cho tam giác ABC vuông tại A  2; 4  , điểm D  2; 2  là chân đường phân giác trong
góc A. Trên tia DA lấy điểm M sao cho DM  DC . Biết điểm M nằm trên đường thẳng
d : 4 x  y  3  0 . Tìm tọa độ các điểm B, C.
67. Cho hình vuông ABCD có đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và M  5; 7  và cắt

đường chéo BD tại N  6; 2  . Đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2 x  y  7  0 . Xác định tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm C có hoành độ nguyên và điểm A có hoành độ
nhỏ hơn 2.
 7

68. Cho hình bình hành ABCD có B  3;  . Hai điểm M, N lần lượt thuộc CD và CB sao
 2

 23 9 

cho BM  DN . Gọi I là giao điểm của BM và DN, K  ;  là hình chiếu vuông góc của A
 5 5
lên DN. Xác định tọa độ đỉnh A biết đường thẳng AI có phương trình là: x  y  1  0 .
69. Cho hình chữ nhật ABCD có B 11;0  , H là hình chiếu của A lên BD, N là trung điểm
của AH. Đường thẳng DN cắt đường trung trực của AB tại K 13;6  . Biết điểm D, A lần
lượt thuộc các đường thẳng: d : 3x  y  13  0,  : x  2 y  15  0 . Tìm tọa độ A, D, C.
70. Cho hình thang ABCD có A  5;5  ; M , N  7;3  , P theo thứ tự là trung điểm AB, BD, AC


5

Đường thẳng vuông góc với MP tại P cắt đường trung trực của cạnh DC tại E  9;  . Biết
 2
điểm D thuộc đường thẳng x  2 y  6  0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD.
71. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C). Gọi M là trung điểm AB, đường
 10 1 
;  là trọng tâm tam giác ABC,
 3 3

thẳng CM cắt đường tròn (C) tại E  0; 2  . Biết G 

F  2; 4  thuộc đường tròn (C) và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ A, B, C, D.

72. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB  BC ). Điểm E  2;3  thuộc cạnh AD sao cho:
DE  2 AE . Trên CD lấy 2 điểm F  3; 0  và K sao cho: DF  CK (F nằm giữa D và K).

Đường thẳng vuông góc với EK tại K cắt BC tại M. Tìm tọa độ A, B, C, D biết điểm M
thuộc đường thẳng 4 x  y  10  0 , diện tích ABCD bằng 30 và điểm D có tung độ dương.

73. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, AD lấy các điểm E, F sao cho AE  AF . Gọi H
2

là hình chiếu của A trên BF. Giả sử C thuộc đường tròn T  :  x  7   y 2  10 , và E 1; 2  ,
H  0; 1 . Tìm tọa độ điểm C.

 1 

74. Cho tam giác ABC có I   ;1 , J  2;1 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
 2 
tam giác. Phương trình đường phân giác trong góc A là: x  2  0 . Phân giác ngoài góc B là:
x  y  7  0 . Tìm tọa độ điểm C.
75. Cho hình thang ABCD có đáy CD  2 AB . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D
xuống AC và M là trung điểm HC. Giả sử B  3;3 , DH có phương trình: 3x  2 y  3  0 , DM
có phương trình: 4 x  7 y  30  0 . Tìm tọa độ A, C.

18


76. Cho hình bình hành ABCD có C  7;5  , điểm A thuộc đường thẳng d : x  y  4  0 ,
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh D của tam giác BCD là: 4 x  3 y  23  0 . Tìm tọa độ A, B, D

biết điểm B có hoành độ dương và cos ABC

1
5

.

77. Cho tam giác ABC cân tại C và nội tiếp đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  27  0 . Tìm

tọa độ điểm C biết AB đi qua M 1; 2  đồng thời tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc
với nhau. A, B, C đều có tung độ âm.
78. Cho tam giác ABC vuông tại B có BC  2 BA . M  2; 2  là trung điểm AC. Lấy N trên
4 8



cạnh BC sao cho 4BN  BC . Điểm H  ;  là giao điểm của AN và BM. Xác định tọa độ
5
5


các đỉnh A, B, C biết điểm N thuộc đường thẳng: x  2 y  6  0 .
79. Cho tam giác ABC vuông tại A  2;3 , AB  2 AC , M là trung điểm AB, hình chiếu của

M lên BC là H  4;9  . Tìm tọa độ B, C.
80. Cho tam giác ABC có trung tuyến đi qua A có phương trình là: 5x  3 y  14  0 , đường
cao kẻ từ B có phương trình là: 5x  2 y  20  0 , đường cao kẻ từ C có phương trình là:
x  8 y  2  0 . Tìm tọa độ A, B, C.
81. Cho tam giác ABC cân ở B  1; 1 , đường thẳng đi qua C và vuông góc với BC cắt
đường cao kẻ từ B tại E. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AC và đường thẳng đi qua P cắt BC,
 8



AB tại M, N thỏa mãn: PM  PN là: 3x  9 y  28  0 . Tìm tọa độ A, C biết P   ; 4  và
 3 
điểm H  1; 5  thuộc đường thẳng BE, điểm C có hoành độ dương.
 8
 

tam giác và M  7; 2  nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, M  A . Tìm tọa
2

2

82. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  C  :  x  2    y  3   26 . G  1;  là trọng tâm
3
độ các điểm A, B, C biết yB  yC .



1

83. Cho hình thoi ABCD có tâm I  2;1 và AC  2 BD . Điểm M  0;  thuộc đường thẳng
3


CD. Tìm tọa độ điểm P biết BP  5 BI , với B có tung độ dương.



84. Cho tam giác ABC, đường thẳng chứa trung tuyến và phân giác trong đỉnh B có phương
trình lần lượt là d1 : 2 x  y  3  0, d 2 : x  y  2  0 . Điểm M  2;1 nằm trên đường thẳng AB,
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 5 . Biết A có hoành độ dương, xác
định tọa độ các điểm A, B, C.
 7 13 

85. Hình thang ABCD có đáy AD, BC. Đỉnh A  ;  và 4 AD  9 BC . Giao điểm của AC
4 2 
và BD là E  4; 2  . Đỉnh B thuộc đường thẳng: 3x  2 y  1  0 và trung điểm M của BC thuộc

đường thẳng x  2  0 . Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
86. Cho hai điểm A  1; 2  , B  3; 2  , đường thẳng d : x  2 y  3  0 và đường tròn
2

 C  :  x  3   y  1

2

 50 . Viết phương trình đường tròn T  có tâm trên d và cắt  C  tại

hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành.
 7

87. Cho hình bình hành ABCD có B  3;  . Hai điểm M, N nằm trên cạnh CD và BC sao
 2
 23 9 

cho BM  DN và I là giao điểm của BM và DN. Hình chiếu của A lên DN là K  ;  .
 5 5
19


Xác định tọa độ điểm A biết phương trình đường thẳng AI là: x  y  1  0 .
88. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  AC , B  2;1 , đường cao AH có phương trình:
x  2 y  10  0 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB  CD . Gọi M là hình chiếu của D lên
 cắt AH tại N. Xác định tọa độ điểm N.
AH, đường phân giác trong góc CBM
89. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC có C  5; 0  . Trên tia AB lấy điểm D
sao cho AD  3 AB (B nằm giữa A và D). Đường thẳng qua D vuông góc với CD cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E 1;8  . Xác định tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC biết điểm D thuộc đường thẳng d : 7 x  5 y  5  0 và có hoành độ dương.
90. Cho hình bình hành ABCD, trực tâm của tam giác BCD là H  4; 0  , tâm đường tròn




3

ngoại tiếp tam giác ABD là I  2;  , điểm B thuôc đường thẳng 3x  4 y  0 và BC đi qua
2


M  5; 0  . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành biết B có hoành độ dương.

91. Tam giác ABC có trực tâm H  5;5  , đường thẳng BC có phương trình x  y  8  0 .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua M  7;3 , N  4;2  . Xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC.

20