Bài tập tọa độ trong mặt phẳng Oxy cơ bản và nâng cao

NHĐ
1


Chương

4

1. VECTƠ PHÁP TUYẾN :
– Vectơ
n
0



là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu giá của nó vuông góc với d.
–
Nhận xét : –

Nếu
n

là một VTPT của d thì
kn

(k  0) cũng là một VTPT của d.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.

2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Phương trình :
ax by c
0
  
với
a b
2 2

0
 
là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét :
– Nếu d có phương trình
ax by c
0
  
thì d có: VTPT là
n a b
( ; )




–


 
0 0
.1 : ;
.1 : ;
ñie åmthuoäcd M x y d
d xaùc ñònh

VTPT n a b








.
Nếu  đi qua
M x y

0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b
( ; )


thì phương trình của d là :
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y
   

Ví dụ :
Viết phương trình tổng quát của d biết d đi qua M(2,1) và có vectơ pháp tuyến


2;3
n


.

Giải
Cách 1 :
( thay toàn bộ
n

và M vào phương trình )
Phương trình tổng quát của d: 1.(x-2) + 3.(y-1) = 0


x + 3y – 5 =0

Vậy d: x + 3y -5 = 0.
Cách 2 :
( thay lần lượt
n

, M vào phương trình )
Phương trình tổng quát của d : 1.x + 3.y + c = 0 ( thay
n

)
PHƯƠNG TR
ÌNH

T
ỔNG QUÁT
ĐƯ
ỜNG THẲNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
NHĐ
2
Do



2,1
M d
 
1.2 + 3.1 + c =0 (thay M tìm c)

5
c
  
. Vậy d: x + 3y -5 = 0.

3. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng


thì : k = tan, với  =

xAv
,  
0
90
.

Khi k =0 thì

là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox.

4.CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT :

Phương trình theo đoạn chắn :  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0):
 :
x y
a b
1
 

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc :
 đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )

và có hệ số góc k:
 :
y y k x x
0 0
( )
  


5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI ĐƯỜNG THẲNG :

Cho hai đường thẳng 
1

:
a x b y c
1 1 1
0
  
và 
2
:
a x b y c
2 2 2
0
  

.
Toạ độ giao điểm của 
1
và 
2
là nghiệm của hệ phương trình:

a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0

0

  

  

(1)
 
1
cắt 
2
 hệ (1) có một nghiệm 

a b
a b
1 1
2 2

(
nếu
a b c
2 2 2
, , 0

)

 
1
// 
2
 hệ (1) vô nghiệm 
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
 
(

nếu
a b c
2 2 2
, , 0

)
 
1
 
2
 hệ (1) có vô số nghiệm 
a b c

a b c
1 1 1
2 2 2
 
(
nếu
a b c
2 2 2
, , 0

)
Baøi 9.

Cho phương trình đường thẳng :
: 2 1 0
d x y
  

a) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng
b) M(2,1) có thuộc d không ?
Các hệ số
Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng 
c = 0
0
ax by

 


đi qua gốc toạ độ O
a = 0
0
by c
 


// Ox hoặc



Ox
b = 0
0
ax c
 


// Oy hoặc



Oy

NHĐ
3

Baøi 10.
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết :
a) d qua M(7,4) và có vectơ pháp tuyến


1; 2

n



b) d qua M(1,4) và có hệ số góc k = 2
c) d qua M(1,-3) và song song với
: 2 1 0
x y

  

d) d qua M(–1; 2) và d song song với Ox

e) d qua M(4; 3), d vuông góc với Ox.
Baøi 3.
Cho tam giác ABC có A(1,0); B(-2,1); C(1,4)
a) Viết phương trình tổng quát trung trực của AB
b) Viết phương trình tổng quát đường cao AH của tam giác ABC.
Baøi 4.
Cho hai điểm A(4,0) và B(0,-3). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua A(3,2)
và song song với AB.
Baøi 5.
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao
điểm của chúng:
a)

x y x y
2 3 1 0, 4 5 6 0
     
b)
x y x y
4 2 0, 8 2 1 0
      

c)
x x y
2, 2 4 0
   

Baøi 6.
Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường
cao của tam giác, với
AB x y BC x y CA x y
: 2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0
        
.
Baøi 7.
Cho tam giác ABC biết M(-1,1), N(1,9), P(9,1) lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Viết
phương trình tổng quát đường trung trực của AB.
Baøi 8.

Cho phương trình đường thẳng
: 2 1 0
d x y
  
và điểm A(2,1). Tìm tọa độ điểm M trên d
sao cho AM = 2.



I. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
– Vectơ
u

0



là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng
với d .



– Nếu
u


là một vectơ chỉ phương của d thì
ku

(k  0) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG :

–



 

0 0
.1 : ;
.1 : ;
ñie åmthuoäcd M x y d
d xaùc ñònh
VTCP u a b











– Cho đường thẳng d đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
( ; )
u a b



. Phương trình tham số của d:
2 2
0
0
: , 0
x x at
d a b
y y bt

 
 


 


( t là tham số)
.
–
Nhận xét : M(x; y)     t  R:
0
0
x x at
y y bt


 

 

.
Khi biết phương trình tham số ta có ngay vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng :
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
NHĐ
4
2
: ;

3
x t
d t R
y t

 


  


Ta có



1;1
u  

là vectơ chỉ phương của d và M(2; –3) thuộc d. Với mỗi giá trị cụ thể
của t ta có 1 điểm thuộc đường thẳng : M(2; -3) thuộc d ( t = 0); N(3; -4) thuộc d ( t = 1).

III. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Cho đường thẳng  đi qua
M x y
0 0 0

( ; )
và có vectơ chỉ phương
( ; )
u a b


.
Phương trình chính tắc của  :
0 0
x x y y
a b
 


(
a  0, b  0
).

Chú ý:
Trong trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.

IV. MỐI LIÊN HỆ GIỮA VECTƠ CHỈ PHƯƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN, HỆ SỐ GÓC :
Gọi
,

u n
 
lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của d


u n

 

– Nếu



;
u a b

thì ta có thể chọn


 
 
;
, " "
;
n b a

ñoåi v òtrí theâm vaø odaáu
n b a










– Nếu


;
n a b

thì ta có thể chọn


 
 
;

, " "
;
u b a
ñoåi vòtrí theâmvaøodaáu
u b a











   
 
" "
1,
; ;
b
a
Ñoåi vò trí
theâm daáu

k
n b a u a b k


 

 


Baøi 9.
Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d biết :
a) d đi qua M(–2; 3) và có vectơ chỉ phương

u
(5; 1)
 


b) d đi qua M(–1; 2) và N(3; –1)
c) d đi qua M(1; 2) và có vectơ pháp tuyến
n
(5; 1)
 


d) d đi qua M(–3; 1) và có hệ số góc
k
= –2
Baøi 10.
Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d biết :
a) d qua M(2; 3) và song song với
1 2
:
3 4
x t
y t



 

 


b) d qua
M(2; 3) và song song với
d
: 4 10 1 0
x y


  

c) d qua M(–1; 2) và song song với
Ox
Baøi 11.

Lập phương trình tham số của đường thẳng d qua M và d vuông góc với

biết :
a) M(2,3) và
: 2 1 0
x y


  

b) M(2; –3),

:
x t
y t
1 2
3 4

 


 


c) M(–1; 2),


Ox

Baøi 12.
Cho tam giác ABC có A(2,1); B(3,0); C(1,-4). Viết phương trình tham số trung tuyến AM của
tam giác ABC.

Baøi 13.
Xét vị trí tương đối các đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của chúng :
a)
x t x t
y t y t
5 4 2
,
3 2 7 3
 
   
 
     

 

NHĐ
5

b)
x t
x y
y
5
, 5 0
1


 
  

 


c)
4 7
1
,
2 2

2 3
x y
x t
y t
 

 


  


Baøi 14.
Cho đường thẳng
 
2 2
: ; 3,1
1 2
x t
d M
y t

  


 

. Tìm A trên d sao cho AM = 2.
Baøi 15.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
2
:
3
x t
d
y t


 

 


Baøi 16.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết : d: x -y +3 =0
Baøi 17.
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc :
: 0 : 0
d mx y q vaø x y m


     


VẤN ĐỀ 1 : LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Để lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d ta cần xác định
một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
 d và một VTCP
( ; )

u a b


của d.
Phương trình tham số :
d:
0
0
x x a t
y y bt

 


 


Phương trình chính tắc :
d:
0 0
x x y y
a b
 

(

a  0, b  0
).
Trong trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc
2. Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
 d
và một VTPT
n a b
( ; )



của d.

Phương trình tổng quát :
d:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
   

Chú ý: –Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một
đường thẳng.

– Hai đường thẳng song song nhau thì có cùng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến.
– Hai đường thẳng vuông góc nhau thì vectơ ch
ỉ phương của đường thẳng này là
vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.

Baøi 18.
Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao
của tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
Baøi 19.
Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường
cao của tam giác, với:

a)
AB x y BC x y CA x y
: 2 3 1 0, : 3 7 0, :5 2 1 0
        

b)
AB x y BC x y CA x y
: 2 2 0, : 4 5 8 0, :4 8 0
        

Baøi 20.
Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b)
M N P
3 5 5 7
; , ; , (2; 4)
2 2 2 2
   
  
   
   

Baøi 21.

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục tọa độ 2 đoạn bằng
nhau, với:
a) M(–4; 10) b) M(2; 1)
NHĐ
6
Baøi 22.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục tọa độ tạo thành một
tam giác có diện tích S, với:
a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4
Baøi 23.
Cho điểm A(-1,3) và đường thẳng d: x – 2y +2 = 0. Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh
B, C nằm trên d và các tọa độ đỉnh C đều dương

a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc BC
b) Tìm tọa độ đỉnh B, C, D
c) Tính chu vi và diện tích hình vuông ABCD.
Baøi 24.
Cho đường thẳng
:2 2 0, ': 3 0
d x y d x y
     
và M(3,0)
a) Tìm tọa độ giao điểm d và d’
b) Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt d, d’ lần lượt tại A và B sao cho M là trung
điểm AB.

Baøi 25.
Lập phương trình đường thẳng chứa 4 cạnh một hình vuông ABCD biết đỉnh A(-1,2) và
phương trình một đường chéo là
1 2
:
2
x t
d
y t

  


 

.
Baøi 26.
Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4,-1). Biết phương trình đường thẳng chứa hai
cạnh là x – 3y =0 và 2x +5y + 6 =0. Tìm tọa độ 3 đỉnh còn lại của hình bình hành đó.

VẤN ĐỀ 2 :
TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU, ĐỐI XỨNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI XỨNG

1.Để tìm tọa độ hình chiếu H của M xuống đường thẳng d ta làm như sau :
–Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc d.

– Xác định H = d  


2.

Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau :
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d.
– Xác định H = d   (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M sao cho H là trung điểm của MM.

NHĐ
7

Cách 2: – Gọi H là trung điểm của MM. Khi đó:

– M đối xứng của M qua d 
d
MM u
H d











(sử dụng toạ độ)

3.
Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , ta có
thể thực hiện như sau:
– Nếu d // : 3 đường thẳng sẽ song song nhau : d // //d’

+ Chọn 2 điểm tùy ý : A thuộc , B thuộc d. Xác định tọa độ C sao cho A là trung
điểm của BC.
+ Viết phương trình đường thẳng d qua C và song song với d.
– Nếu d   = I:
+ Lấy A  d (A  I). Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.

4.

Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ta có thể thực

hiện như sau :
– Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.


Baøi 27.
Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng
d
và điểm M đối xứng với M qua đường
thẳng
d
với:

a) M(2; 1),
d x y
:2 3 0
  
b) M(3; – 1),
1
:
2 2
x t
d
y t


 

  

c) M(4; 1),
2 4
:
2 3
x y
d
 


Baøi 28.
Lập phương trình đường thẳng
d
đối xứng với đường thẳng
d
qua đường thẳng , với:
a)
d x y x y
:2 1 0, : 3 4 2 0

     

b)
2
: , : 2 2 0
5 2
x t
d x y
y t


  
  


 


c)
1 3 3
: , :
1 2
x t x t
d
y t y t

 

   
 
    
 
d)
d x y x y
:2 3 1 0, : 2 3 1 0

     

Baøi 29.
Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua điểm I biết :

a)
: 2 1 0, (1,3)
d x y I
  
b)
: , (2, 3)
1
x t
d I
y t





  


NHĐ
8


I.KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG :

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

– Cho đường thẳng :
ax by c
0
  
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
, ( có vectơ pháp tuyến là


,

n a b

).




0 0
0
2 2
( , )
ax by c

d M
a b

 




– Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là đoạn thẳng ngắn nhất trong tất cả các đoạn
thẳng kẻ từ M đến d.

2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng :

Cho đường thẳng :
ax by c
0
  
và hai điểm
M M N N
M x y N x y
( ; ), ( ; )
 .
–
M, N
nằm cùng phía đối với  

M M N N
ax by c ax by c
( )( ) 0
    
.




–
M, N
nằm khác phía đối với  

M M N N
ax by c ax by c
( )( ) 0
    
.


3.Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng :
Cho hai đường thẳng 
1
:
a x b y c

1 1 1
0
  
và 
2
:
a x b y c
2 2 2
0
  
cắt nhau. Phương trình các
đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 

1
và 
2
là:

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
   
 

 

Baøi 30.
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
d
, với:
a)
M d x y
(4; 5), :3 4 8 0
   

b)

x t
M d
y t
2
(4; 5), :
2 3




 


c)
M d x y
(3;5), : 1 0
  

Baøi 31.
Cho đường thẳng :
x y
2 3 0
  
. Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với 

Baøi 32.
Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
:3 4 12 0 :12 5 20 0
d x y vaø x y

     

Baøi 33.
Cho đường thẳng d: x – y + 2 =0 và điểm O(0,0) A(2,0). Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm
cùng một phía đối với đường thẳng d.
3
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

NHĐ
9

Ii. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG :
– Cho hai đường thẳng 
1
:
a x b y c
1 1 1
0
  
(có VTPT

n a b
1 1 1
( ; )


)
và 
2
:
a x b y c
2 2 2
0

  
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )


).
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 4 góc, nếu hai đường thẳng không vuông góc nhau thì
góc nhọn trong số 4 góc gọi là góc giữa hai đường thẳng.


1 2 1 1 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.

cos( , )
.
.
n n a b a b
n n
a b a b
 

 
 
 
 

Góc giữa hai đường thẳng :

0 0
1 2
0 ( , ) 90
 
 
:


n n khi n n

n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
 






 


   
   


Baøi 34.
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao

điểm của chúng, tính góc giữa chúng:
a)
: 2 3 1 0, : 4 5 6 0
d x y x y

     

b)
5 4 2
; , :
3 2 7 3
x t x t

d
y t y t

 
   
 
     
 

c)
5
: , : 5 0

1
x t
d x y
y


 
  

 


d)
: 2, : 2 4 0
d x x y

   


VẤN ĐỀ 3 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.

Baøi 35.
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao
điểm của chúng:
a)
x y x y
2 3 1 0, 4 5 6 0
     
b)
x t x t
y t y t

5 4 2
,
3 2 7 3
 
   
 
     
 

c)
x t
x y

y
5
, 5 0
1

 
  

 


NHĐ

10
Baøi 36.
Cho hai đường thẳng
d
và . Tìm
m
để hai đường thẳng:
i) cắt nhau ii) song song iii) trùng nhau

d mx y x y
: 5 1 0, : 2 3 0


     

Baøi 37.
Tìm
m
để ba đường thẳng sau đồng qui:
a)
y x x y m x my m
2 1, 3 5 8, ( 8) 2 3
      

b)

y x m y x m mx m y m
2 , 2 , ( 1) 2 1
        

Baøi 38.
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua giao điểm của hai đường thẳng
d
1
và
d

2
và:
a)
d x y d x y d qua A
1 2
:3 2 10 0, : 4 3 7 0, (2;1)
     

b)
d x y d x y d song song d x y
1 2 3
:3 5 2 0, : 5 2 4 0, :2 4 0

        

Baøi 39.
Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình
3 0 2 5 6 0
x y vaø x y
    
, đỉnh
C(4; –1). Viết phương trình hai cạnh còn lại.

VẤN ĐỀ 4 : KHOẢNG CÁCH

Chú ý : Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta
có thể thực hiện như sau:
Cách 1:

– Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân
giác của góc trong tam giác).
Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E  BC)
ta có:
AB
DB DC
AC
.

 
 
,
AB
EB EC
AC
.

 
.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

Cách 2:
– Viết phương trình các đường phân giác d
1
, d
2
của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB,
AC.
– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d
1
(hoặc d
2
).

+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d
1
thì d
1
là đường phân giác trong.




+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d
1
thì d

1
là đường phân giác ngoài.








Baøi 41.
Cho đường thẳng

2 2
:
3
x t
d
y t

 

 


a) Tìm M trên d và cách điểm A(0,1) một khoảng là 5.
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và
: 1 0
x y

  

c) Tìm N trên d để NA ngắn nhất.
NHĐ
11

Baøi 41.

Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
d
, với:
a)
M d x y
(4; 5), :3 4 8 0
   
b)
x t
M d
y t
2

(4; 5), :
2 3




 


Baøi 42.

a) Cho đường thẳng :

x y
2 3 0
  
. Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với .
b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là:
x y x y
2 3 5 0, 3 2 7 0
     
và đỉnh
A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Baøi 43.
Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:

a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)
Baøi 44.
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng
d
, với:
a) A(–1; 2), B(3; 5),
d
= 3 b) A(–1; 3), B(4; 2),
d
= 5
Baøi 45.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với:

a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5)
Baøi 45'.
’Cho hai đường thẳng
1 2
: 5 2 7 0; : 5 2 9 0
d x y d x y
     
. Viết phương trình đường
thẳng d
3
song song và cách đều d
1

, d
2
.

VẤN ĐỀ 5 : GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Baøi 46.
Tính góc giữa hai đường thẳng:
a)
x y x y
2 1 0, 3 11 0
     

b)
x y x y
2 5 0, 3 6 0
     

Baøi 47.
Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với:
a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1)
b)
AB x y BC x y CA x y
: 2 3 21 0, :2 3 9 0, :3 2 6 0
        

Baøi 48.
Cho hai đường thẳng
d
và . Tìm
m
để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với:
a)
d mx m y m m x m y m
0
:2 ( 3) 4 1 0, :( 1) ( 2) 2 0, 45
 

           
.
b)
d m x m y m m x m y m
0
:( 3) ( 1) 3 0, :( 2) ( 1) 1 0, 90
 
            
.
Baøi 49.
Viết phương trình đường thẳng
d

đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với:
a)
A x y
0
(6;2), :3 2 6 0, 45
 
   
b)
A x y
0
( 2;0), : 3 3 0, 45
 

    

c)
A x y
0
(2;5), : 3 6 0, 60
 
   
d)
A x y
0
(1;3), : 0, 30

 
  


VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN DỰNG TAM GIÁC

Baøi 50.
Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai
cạnh và đường cao còn lại, với:
a)
AB x y BB x y CC x y
: 4 12 0, :5 4 15 0, : 2 2 9 0

 
        

b)
BC x y BB x y CC x y
: 5 3 2 0, : 4 3 1 0, : 7 2 22 0
 
        

Baøi 51.
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình
các cạnh của tam giác đó, với:

a)
A BB x y CC x y
(3;0), : 2 2 9 0, :3 12 1 0
 
     

b)
A BB x y CC x y
(1;0), : 2 1 0, : 3 1 0
 
     

Baøi 52.
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết
phương trình các cạnh của tam giác đó, với:
a)
A BM x y CN y
(1;3), : 2 1 0, : 1 0
    

b)
A BM x y CN y
(3;9), :3 4 9 0, : 6 0
    

NHĐ
12
Baøi 53.
Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương
trình các cạnh còn lại của tam giác đó, với:

AB x y AM x y BN x y
: 2 7 0, : 5 0, :2 11 0
        

HD: a)
AC x y BC x y
:16 13 68 0, :17 11 106 0
     

Baøi 54.
Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết
phương trình của cạnh thứ ba, với:
a)
AB x y AC x y M
: 2 2 0, : 3 3 0, ( 1;1)
      

b)
AB x y AC x y M
: 2 2 0, : 3 0, (3;0)
     

Baøi 55.
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến.
Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:
a)
A BH x y BM x y
(4; 1), : 2 3 12 0, :2 3 0

     

b)
A BH x y CN x y
(2; 7), :3 11 0, : 2 7 0
      

Baøi 56.
Một cạnh tam giác có trung điểm là M(-1,1). Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng
2x +6y + 3 = 0 và
2
x t

y t

 



. Lập phương trình cạnh thứ 3 của tam giác.
Baøi 57.
Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trung điểm ba cạnh có tọa độ là M(2,1)
N(5,3) và P(3,-4).

VẤN ĐỀ 7 : CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Baøi 58.
Tìm trên đường thẳng d: x +2y – 3 = 0 điểm M(x
M
,y
M
)sao cho
2 2
M M
x y

nhỏ nhất.

Baøi 60.
Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A và B là nhỏ nhất
trong các trường hợp :
a) A(1,1) và B(2,-4)
b) A(1,1) và B(3,3)
Baøi 60.
Cho điểm A(1,2) và B(0,-1) và đường thẳng
:
2 1
x t
d
y t




 

. Tìm M thuộc d sao cho :
a) MA + MB là nhỏ nhất
b)
MA MB

lớn nhất.

NHĐ
13



VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Cách 1:
-
Đưa phương trình về dạng :
2 2
( ) ( )
x a y b m
   
.
- Nếu m > 0 thì đó là phương trình đường tròncó tâm I(a; b) và bán kính
R m

.

Cách 2:
- Phương trình có dạng :
2 2
2 2 0
x y ax by c
    

- Xét dấu biểu thức :
2 2
m a b c
  

- Nếu m > 0 thì đó là phương trình đường tròn có tâm I(–a; –b), bán kính R =
a b c
2 2
 
.

Baøi 61.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và
bán kính của đường tròn đó:
a)
x y x y
2 2

2 2 2 0
    
b)
x y x y
2 2
6 4 12 0
    

c)
x y x y
2 2
16 16 16 8 11

   
d)
x y x
2 2
6 5 0
   

e)
x y x y
2 2
2 2 4 12 11 0
    

f)
x y x y
2 2
7 7 4 6 1 0
    

Baøi 62.
Tìm
m
để các phương trình sau là phương trình đường tròn:
a)
x y mx my m

2 2
4 2 2 3 0
     

b)
x y m x my m
2 2 2
2( 1) 2 3 2 0
      


VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Cách 1 :

- Tìm tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R của đường tròn.
- Viết phương trình đường tròn theo dạng :
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
   

Cách 2 :

- Gọi phương trình đường tròn là :
2 2
2 2 0
x y ax by c
    

- Từ điều kiện của đề bài đi dến hệ phương trình với các ẩn số a, b, c.
- Giải hệ tìm a, b, c ta lập được phương trình đường tròn.
Các dạng thường gặp :
Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.

– Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng .
– Bán kính R =
d I
( , )

.
Dạng 3: (C) có đường kính AB.
– Tâm I là trung điểm của AB.
– Bán kính R =
AB
2

.
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
ĐƯỜNG TRÒN
NHĐ
14
– Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
I d

d I IA
( , )






.
– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với .
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 
1
và 
2
.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
d I IA
1 2

1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
 







– Bán kính R = IA.

Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 
1
và 
2

hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 
1
và 
2
.
– Nếu 
1

// 
2
, ta tính R =
d
1 2
1
( , )
2
 
, và (2) được thay thế bới IA = R.
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 
1

, 
2
và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
I d
1 2
( , ) ( , )
 






.
– Bán kính R =
d I
1
( , )

.
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng:
x y ax by c

2 2
2 2 0
    
(*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).
Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:
IA IB
IA IC






.
– Bán kính R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.
– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác
– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.
– Bán kính R =
d I AB
( , )
.

Baøi 63.
Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với:
(dạng 1)

a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2)
Baøi 64.
Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với:
(dạng 2)

a)

I x y
(3;4), : 4 3 15 0

  
b)
I x y
(2;3), :5 12 7 0

  

c)
I Ox

( 3;2),

 
d)
I Oy
( 3; 5),

  

Baøi 65.
Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với:
(dạng 3)

a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
Baøi 66.
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ,
với:
(dạng 4)

NHĐ
15

a)
A B x y

(2;3), ( 1;1), : 3 11 0

   
b)
A B x y
(0;4), (2;6), : 2 5 0

  

c)
A B x y
(2;2), (8;6), : 5 3 6 0


  

Baøi 67.
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với:
(dạng 5)

a)
A B x y
(1;2), (3;4), :3 3 0

  

b)
A B x y
(6;3), (3;2), : 2 2 0

  

c)
A B x y
( 1; 2), (2;1), :2 2 0

    
d)

A B Oy
(2;0), (4;2),



Baøi 68.
Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với:
(dạng 6)

a)
A x y B
( 2;6), :3 4 15 0, (1; 3)


    
b)
A x y B
( 2;1), : 3 2 6 0, (4;3)

   

c)
A Ox B
(6; 2), , (6;0)


 
d)
A x y B
(4; 3), : 2 3 0, (3;0)

   

Baøi 69.
Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 
1
và 
2

, với:
(dạng 7)

a)
A x y x y
1 2
(2;3), :3 4 1 0, :4 3 7 0
 
     

b)
A x y x y

1 2
(1;3), : 2 2 0, : 2 9 0
 
     

c)
A O x y x y
1 2
(0;0), : 4 0, : 4 0
 
      

d)
A Ox Oy
1 2
(3; 6), ,
 
  

Baøi 70.
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 
1
, 
2

và có tâm nằm trên
đường thẳng d, với:
(dạng 8)

a)
x y x y d x y
1 2
:3 2 3 0, : 2 3 15 0, : 0
 
       

b)

x y x y d x y
1 2
: 4 0, :7 4 0, : 4 3 2 0
 
        

Baøi 71.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với:
(dạng 9)

a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1)
c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0)

e)
AB x y BC x y CA x y
: 2 0, : 2 3 1 0, : 4 17 0
        

Baøi 72.
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với:
(dạng 10)

a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
c)
AB x y BC x y CA x y

: 2 3 21 0, :3 2 6 0, : 2 3 9 0
        


VẤN ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM

1
. Tập hợp các tâm đường tròn :

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau:
a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.
b) Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I

x f m
y g m
( )
( )





.
c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0.
d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y.

e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cùng với phần giới hạn ở d).
2. Tập hợp điểm là đường tròn :
Thực hiện tương tự như trên.

Baøi 73.
Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (
m
là tham số):
a)
x y m x my m
2 2
2( 1) 4 3 11 0

      

b)
x y mx m y m
2 2
2 4( 1) 3 14 0
      

NHĐ
16
Baøi 74.
Cho đường cong (C

m
) có phương trình :




2 2
2 4 1 0
x y m x m y m
       

a) Chứng minh rằng (C

m
) luôn là phương trình đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C
m
)
c) Chứng minh (C
m
) luôn đi qua hai điểm cố định
d) Tìm những điểm mà họ đường tròn (C
m
) không đi qua.

VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN


Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d:
Ax By C
0
  
và đường tròn
(C):
2 2
2 2 0
x y ax by c

    
, ta có thể thực hiện như sau:.
Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+
d I d R
( , )

 d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+
d I d R

( , )

 d tiếp xúc với (C).
+
d I d R
( , )

 d và (C) không có điểm chung.
Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

Ax By C
x y ax by c

2 2
0
2 2 0

  

    

(*)
+ Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C).
+ Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung.

Baøi 75.
Biện luận theo
m
số giao điểm của đường thẳng
d
và đường tròn (C), với:
a)
d mx y m C x y x y
2 2
: 3 2 0, ( ): 4 2 0
       

b)
d x y m C x y x y
2 2
:2 0, ( ) : 6 2 5 0
       

Baøi 76.
Cho đường thẳng
d
và đường tròn (C):
i) Chứng tỏ

d
cắt (C). ii) Tìm toạ độ các giao điểm của
d
và (C).
a)
d
đi qua M(–1; 5) và có hệ số góc
k
=
1
3


,
C x y x y
2 2
( ): 6 4 8 0
    

b)
d x y C x y x y
2 2
:3 10 0, ( ): 4 2 20 0
       

VẤN ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
(C
1
):
x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2 0
    

, (C
2
):
x y a x b y c
2 2
2 2 2
2 2 0
    
.
ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1

: So sánh độ dài đoạn nối tâm I
1
I
2
với các bán kính R
1
, R
2
.
+
R R I I R R
1 2 1 2 1 2

   
 (C
1
) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+
I I R R
1 2 1 2
 
 (C
1

) tiếp xúc ngoài với (C
2
).
+
I I R R
1 2 1 2
 
 (C
1
) tiếp xúc trong với (C
2
).

+
I I R R
1 2 1 2
 
 (C
1
) và (C
2
) ở ngoài nhau.
NHĐ
17

+
I I R R
1 2 1 2
 
 (C
1
) và (C
2
) ở trong nhau.


Cách 2:

Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của hệ phương trình:

x y a x b y c
x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2

2 2 0
2 2 0

    


    


(*)
+ Hệ (*) có hai nghiệm  (C
1

) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+ Hệ (*) có một nghiệm  (C
1
) tiếp xúc với (C
2
).
+ Hệ (*) vô nghiệm  (C
1
) và (C
2

) không có điểm chung.



Baøi 77.
Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
), tìm toạ độ giao điểm, nếu có, với:
a)
C x y x y C x y x y

2 2 2 2
1 2
( ): 6 10 24 0, ( ): 6 4 12 0
         

b)
C x y x y C x y x y
2 2 2 2
1 2
( ): 4 6 4 0, ( ): 10 14 70 0
         

Baøi 78.
Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
), với:
a)
C x y x my m C x y mx m y m
2 2 2 2 2 2
1 2
( ): 6 2 4 0, ( ): 2 2( 1) 4 0
            

b)
C x y mx my m C x y m x my m
2 2 2 2
1 2
( ): 4 2 2 3 0, ( ): 4( 1) 2 6 1 0
            


VẤN ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
 tiếp xúc với (C) 
d I R
( , )



 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
 (C).

–  đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
IM
0

.
 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t).
– Dựa vào điều kiện:

d I R
( , )


, ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của .
 Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm
A A
A x y
( ; )
ở ngoài đường tròn (C).
– Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số).
– Dựa vào điều kiện:

d I R
( , )


, ta tìm được các tham số.Từ đó suy ra phương trình của .

Baøi 79.
Cho đường tròn (C) và đường thẳng
d
.
i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với

d
.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
d
.
a)
C x y x y d x y
2 2
( ): 6 2 5 0, : 2 3 0
       

b)

C x y x y d x y
2 2
( ): 4 6 0, :2 3 1 0
      

Baøi 80.
Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng
d
.
i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với

d
.
iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
d
.
a)
C x y x y A d x y
2 2
( ): 4 6 12 0, ( 7;7), : 3 4 6 0
        

b)

C x y x y A d x y
2 2
( ): 4 8 10 0, (2;2), : 2 6 0
       

NHĐ
18
Baøi 81.
Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng
d y x
: 3 3
  

.
a) Viết phương trình các đường tròn (C
1
) và (C
2
) qua A, B và tiếp xúc với
d
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác
d
) của hai đường tròn đó.
Baøi 82.

Cho đường tròn (C):
x y x my m
2 2 2
6 2 4 0
     
.
a) Tìm
m
để từ A(2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C).
b) Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi
m
= 6.

VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP

Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:
x y
a b
2 2
2 2
1

 
. Xác định a, b, c.
Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.
– Tiêu cự 2c.
– Toạ độ các tiêu điểm
F c F c
1 2
( ;0), ( ;0)

.
– Toạ độ các đỉnh
A a A a B b B b

1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
 
.
– Tâm sai
c
e
a

.

Baøi 83.

Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm
sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình:
a)
x y
2 2
1
9 4
 
b)
x y
2 2
1

16 9
 
c)
x y
2 2
1
25 9
 
d)
x y
2 2
1

4 1
 

e)
x y
2 2
16 25 400
 
f)
x y
2 2
4 1

 
g)
x y
2 2
4 9 5
 
h)
x y
2 2
9 25 1
 

VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP


Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E).
Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E):
+
b a c
2 2 2
 
+
c

e
a


+ Các tiêu điểm
F c F c
1 2
( ;0), ( ;0)


+ Các đỉnh:
A a A a B b B b

1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
 


Baøi 84.
Lập phương trình chính tắc của (E), biết:
a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4.
b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6.
c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự.
d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm



M
15; 1

.
e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm


M
2 5;2

.

e) Một tiêu điểm là
F
1
( 2;0)

và độ dài trục lớn bằng 10.
ĐƯỜNG ELIP
NHĐ
19

f) Một tiêu điểm là



F
1
3;0

và đi qua điểm
M
3
1;
2
 
 

 
.
g) Đi qua hai điểm
M N
3
(1;0), ;1
2
 
 
 
.
h) Đi qua hai điểm





M N
4; 3 , 2 2;3

.
Baøi 85.
Lập phương trình chính tắc của (E), biết:
a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng
3

5
.
b) Một tiêu điểm là
F
1
( 8;0)

và tâm sai bằng
4
5
.
c) Một đỉnh là

A
1
( 8;0)

, tâm sai bằng
3
4
.
d) Đi qua điểm
M
5
2;

3
 

 
 
và có tâm sai bằng
2
3
.

VẤN ĐỀ 3: TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E):
c c
MF a x MF a x
a a
1 2
,   


Baøi 86.
Cho elip (E) và đường thẳng
d

vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải
F
2
cắt (E) tại
hai điểm M, N.
i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính
MF MF MN
1 2
, ,
.
a)
x y

2 2
9 25 225
 
b)
x y
2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2
7 16 112

 

Baøi 87.
Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) sao cho:
i)
MF M F
1 2

ii)
MF M F
2 1
3

iii)
MF M F
1 2
4

a)
x y
2 2
9 25 225
 
b)
x y

2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2
7 16 112
 

Baøi 88.
Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với:
a)

x y
2 2
9 25 225
 
b)
x y
2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2

7 16 112
 

Baøi 89.
Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc
0
60
, với:
a)
x y
2 2
9 25 225

 
b)
x y
2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2
7 16 112
 

VẤN ĐỀ 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Baøi 90.
Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau:
a) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông.
c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc
0
60
.
d) Độ dài trục lớn bằng

k
lần độ dài trục nhỏ (
k
> 1).
e) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự.
Baøi 91.
Cho elip (E):
x y
a b
2 2
2 2
1

 
. Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần lượt
NHĐ
20
tại A và B.
a) Chứng minh rằng
OA OB
2 2
1 1

không đổi.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một

đường tròn (C) cố định. Tìm phương trình của (C).

HD: a)
a b
2 2
1 1

b)
OH OA OB a b
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
   


ab
OH
a b
2 2

