Vật lý thống kê Thống kê fermion

8

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

BÁO CÁO VẬT LÝ THỐNG KÊ
ĐỀ TÀI:

THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN VÀ ỨNG DỤNG
GVHD: TS.Vũ Thanh Trà
NỘI DUNG BÁO CÁO
1.

Định nghĩa các loại hạt Bose .
Trong cơ học lượng tử, một nhóm các hạt mà có "spin nguyên" (0,1,2...) được
gọi là Bose . Ví dụ: photon, gluon, Higgs Bose …
Bose gồm 4 loại tương ứng với 4 loại tương tác cơ bản là:
- Photon - hạt truyền tương tác điện từ
Photon là hạt phi khối lượng không có điện tích và không bị phân rã tự phát
trong chân không. Một photon có hai trạng thái phân cực và được miêu tả
chính xác bởi ba tham số liên tục là các thành phần của vectơ sóng của nó, xác
định lên bước sóng λ và hướng lan truyền của photon. Photon là một Bose
gauge của trường điện từ và do vậy mọi số lượng tử khác của photon (như số
lepton, số baryon, và số lượng tử hương) đều bằng 0.
- Graviton - tương tác hấp dẫn
Graviton là một hạt cơ bản giả thuyết có vai trò là hạt trao đổi của lực hấp
dẫn trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử. Nếu nó tồn tại, Graviton dự
kiến sẽ không có khối lượng (vì lực hấp dẫn xuất hiện với phạm vi không giới
hạn) và phải có spin là 2. Spin bằng 2 do nguồn gốc của tương tác hấp dẫn
là tenxơ ứng suất-năng lượng, một tenxơ đối xứng hạng hai (so với photon của

tương tác điện từ có spin 1, nguồn gốc của chúng là bốn dòng, một tenxơ hạng


nhất). Ngoài ra, người ta chứng minh rằng một trường spin 2 phi khối lượng
gây ra tương tác giống hệt với hành xử của trường hấp dẫn, bởi vì trường spin
2 phi khối lượng phải cặp với (tương tác với) tenxơ ứng suất-năng lượng của
trường hấp dẫn cổ điển[3] Kết quả này cho thấy rằng, nếu một hạt không có
khối lượng, spin-2 được phát hiện, nó phải là Graviton. Do vậy để xác minh
bằng thực nghiệm cho Graviton tồn tại chỉ đơn giản là phát hiện ra một hạt
không
có
khối
lượng,
spin
2.
- Gluon - tương tác mạnh
Gluon là một Bose vectơ; giống như photon nó có spin bằng 1. Trong khi các
hạt có spin 1 có ba trạng thái phân cực, những hạt Bose gauge phi khối lượng
như gluon chỉ có hai trạng thái phân cực do bất biến gauge đòi hỏi sự phân cực
phải là ngang. Tronglý thuyết trường lượng tử, sự không phá vỡ của bất biến
gauge đòi hỏi các Bose gauge phải có khối lượng bằng 0 (các kết quả thí
nghiệm cho thấy khối lượng của gluon có giới hạn trên chỉ vài MeV/c 2). Gluon
có tính chẵn lẻ nội tại âm.
Gluon là hạt cơ bản nằm trong gia đình Bose , nhóm Bose gauge. Gluon gồm 8
kiểu hạt khác nhau. Gluon là hạt mang tương tác mạnh.
- W Bose và Z Bose - tương tác yếu.
Bose W hay hạt W, là một hạt cơ bản có khối lượng bằng 160.000 lần khối
lượng của electron, hay khoảng 80 lần khối lượng của proton hay neutron,
tương đương với khối lượng của nguyên tử Brôm.Bose W là hạt mang điện
tích, hoặc -1 hoặc +1. Chúng làphản hạt của nhau, nhưng cả hai đều không

là hạt vật chất.Bose W là hạt truyền tương tác trong tương tác yếu, và tồn tại
ở một thời gian cực ngắn, chỉ khoảng 3 × 10 −25 giâysau đó phân rã sang các
dạng khác.
Bose W phân rã tạo thành hoặc là 1 quark, hoặc là một phản quark có điện
tích khác hoặc là một lepton điện tích hay phản neutrino.
MÔ HÌNH CHUẨN

2.

Các tính chất của hạt Bose .


-Là hệ hạt đồng nhất nghĩa là hệ các hạt có đặc trung vật lý giống nhau như
khối lượng, q, s,…mà ta không phân biệt được chúng.
-Bất cứ số Bose nào cũng có thể đi đến trạng thái lượng tử. Vì vậy, chúng tuân
theo thống kê Bose - Einstein và có tính đồng nhất như nhau.

ψ 1ψ ∞ = ψ ∞ψ 1
-Hàm sóng kết hợp với Bose là đối xứng:
Ví dụ với hệ 2 hạt bose với spin nguyên:

ψ =

ψ 1ψ 2 = ψ 2ψ 1

1 ψ 1 ( q1 ) ψ 1 ( q 2 )
1
=
[ψ 1 ( q1 ).ψ 1 ( q 2 ) + ψ 1 ( q2 ).ψ 2 ( q1 ) ]
2 ψ 2 ( q1 ) ψ 1 ( q 2 )

2

-Các hạt Bose không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli( vì theo nguyên lý Pauli
thì các hạt điện tích bất kỳ có spin bán nguyên không thể chiếm trạng thái
lượng tử, còn Bose có spin nguyên nên có thể chiếm trạng thái lượng tử) nghĩa
là số hạt trong 1 mức năng lượng từ 0 → ∞ .
Nguyên tắc loại trừ Pauli " một nguyên tử không thể có hai electron trong
trạng thái lượng tử. Nguyên tắc này làm cho rất nhiều các kiến thức sau đó
được biết đến cấu trúc nguyên tử trở nên trật tự ".
3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
a/ Thống kê lượng tử cho hệ hạt đồng nhất như nhau.
∞

Xét hệ có N hạt giống nhau, số hạt:
năng lượng thứ i.

N = ∑ ni
i =0

, n là số hạt chiếm đầy trên mức

∞

Năng lượng toàn phần của hệ:
số hạt chứa ở mức i.

Wn =

E n = ∑ ni ε i
i =0

, ε i là năng lượng tương ứng với

∞
1
ψ − E N 
exp N

ψ N = Ω + µN = Ω + µ ∑ ni
N!
θ

 với
i =0

Nếu hệ cân bằng:

µ = µ1 = µ 2 = ... = µ i

∞
∞

 Ω + µ ∑ ni − ∑ ni ε i
1
i =0
i =0
⇔ Wn = exp

N!
θ



chính tắc lớn lượng tử Gibbs.

Điều kiện chuẩn hóa:

∞



 Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni
i =0
 = 1 exp
 N!

θ










 , gọi là phân bố


∞

∑W
n =o

n

=1

∞

( µ − ε i ) ni
Ω
+

∑
∞
i =0

⇔ ∑ exp

θ
n =0





 =1





 ∞
 ∑ ( µ − ε i ) ni
Ω ∞
⇔ exp ∑ exp i =0

θ
 θ  n =0





 =1




 ∞
 ∑ ( µ − ε i ) ni
1
Z = exp i =0

N!
θ


Gọi








Trường hợp hệ có suy biến

g n ( En )

 ∞
 ∑ ( µ − ε i ) ni
1
Z=
exp i =0

N!
θ





∞
.g  n ε 
i i
 n∑
i =0





∞

 Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni
1
i =0
Wn = exp

N!
θ


Ta có:



∞
 g  n ε 
i i
 n ∑
i =0




 ∞

g n  ∑ ni ε i 


G ( n0 , n1 ,..., ni ) =  i =0
N!
Ta đặt:
∞

Ω
+
( µ − ε i ) ni 

∑
i =0
G ( n , n ,..., n )
⇒ Wn = exp
0
1
i


θ






ni = ∑ ... ∑ niWn
no

ni

∞

 Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni
i =0
⇔ ni = ∑ ... ∑ ni exp

θ
no
ni





G ( n , n ,..., n )
0
1
i




b/ Điều kiện chuẩn hóa Z của hệ Bose .
Đối với hệ bose:
∞

∞

n0 = 0

ni = 0

G ( n0 , n1 ,..., ni ) = 1

∑ ... ∑W ( n ,..., n ) = 1
0

i

∞


Ω
+
ni ( µ − ε i ) 

∑
∞
∞
i =0
 =1
⇔ ∑ ... ∑ exp


θ
n0 = 0 ni = 0






Tổng trạng thái
 ∞

 ∑ ni ( µ − ε i ) 
∞
∞

Z B = ∑ ... ∑ exp i =0


θ
n0 = 0 ni = 0





c/ Sự phân bố số hạt
Thế nhiệt động: Ω = −θ ln Z
∂Ω
∂
( ln Z ) = −θ . 1 . ∂Z
= −θ
∂µ i
∂µ i
Z ∂µ i
 ∞


 ∑ ni ( µ i − ε i ) 
∞
∞
∂
Ω
G ( n ,..., n )
= −θ exp  ∑ ... ∑
exp i =0
0
i


θ
 θ  no =0 ni =0 ∂µ i




 ∞

 ∑ ni ( µ i − ε i ) 
∞
∞
n
Ω
G ( n ,..., n )
= −θ exp  ∑ ... ∑ i exp i =0
0
i



θ
 θ  no =0 ni =0 θ




∞


 Ω + ∑ ni ( µ i − ε i ) 
∞
∞
i =0
G ( n ,..., n )
= ∑ ... ∑ ni exp
0
i


θ
no = 0 ni =0





⇔

∂Ω

∂µ i

⇔

∂Ω
∂µ i

⇔

∂Ω
∂µ i

⇔

∂Ω
= −ni
∂µ i


Vậy:

ni = −

∂Ω
∂µ i

c/ Hàm phân bố Bose - Einstein
Đối với hệ khí Bose các hạt đồng nhất như nhau khi hoán vị thì chỉ làm cho
hàm sóng của hệ là đối xứng → không cho trạng thái vật lí mới nào
G ( no , n1 ,..., ni ) = 1

Số trạng thái chứa đầy trên một mức năng lượng ni = 0 → ∞ nhận giá trị bất kì
Ta có được công thức của sự phân bố số hạt:

ni = −

∂Ω
= f (ε )
∂µ i

Thế nhiệt động lượng tử cho hệ các hạt Bose là
Ω = Ω B − E = −θ ln Z B − E

Tổng trạng thái cho khí Bose

Z B−E

 ∞

 ∑ ni ( µ i − ε i ) 
∞ ∞
∞

= ∑∑ ... ∑ exp i =0


θ
n0 =0 n1 =0 ni =0






∞ ∞
∞
  n (µ − ε )   n (µ − ε ) 
 n (µ − ε )  
Z B− E = ∑ ∑ ... ∑ exp  0 0 0  +  1 1 1  + ... +  i i i  
θ
θ
θ
 



n0 =0 n1 =0 ni =0

∞ ∞
∞
 n (µ − ε ) 
 n (µ − ε ) 
 n (µ − ε i ) 
Z B−E = ∑∑ ... ∑ exp 0 0 0 . exp 1 1 1 ... exp i i

θ
θ
θ







no =0 n1 =0 ni =0

Ta có:

∞

∞

i =0

i =0

ψ = ∑ψ 1iψ 2i ...ψ ni = ∏ψ ij

Nên:
Z B−E =

∞

∞

∞

 ni ( µi − ε i ) 

θ


∑ ... ∑∏ exp

n0 = 0

ni = 0 i = 0

∞
 n ( µ −εi ) 
ni = n0 → ∏ exp o i

θ


i =0
∞
 n (µ −εi ) 
ni = n1 → ∏ exp 1 i

θ


i =0

∞
 n ( µ − εi ) 
ni = ni → ∏ exp i i

θ



i =0

n0 = n1 = ... = ni
∞ ∞
 n( µ i − ε i ) 
Z B − E = ∏∑ exp

θ


i = 0 n =0


ni = −

∂Ω
∂µ i mà Ω = −θ ln Z B − E

⇔ ni = θ

∂ ln Z B − E
∂  ∞ ∞
 n( µ i − ε i )  
=θ
ln ∏∑ exp
 
∂µ i
∂µ i  i =0 n=o
θ




2
 n( µ i − ε i ) 
 n( µ i − ε i )  
 n( µ i − ε i )  
exp
 = 1 + exp
 +  exp
  + ....
∑
θ
θ
θ



 

 
n =0
∞

 µ −εi
q = exp i
 θ
Tổng này chứa một cấp số nhân vô hạn với cộng bội là
a
a =1→ s =

1− q
đầu tiên
∞

 n( µ i − ε i ) 
=
θ


∑ exp
n =0

1
 n( µ i − ε i ) 
1 − exp

θ



∞
∂
ln ∏
∂µ i i =0

1
 µ −εi 
1 − exp i

 θ 

∂
1
⇔ ni = θ
ln
∂µ i
 µ − εi 
1 − exp i

 θ 

⇒ ni = θ

∂ 
 µ − εi 
ln1 − exp i
 
∂µ i 
 θ 
1
∂ 
 µ −εi
 − exp i
⇔ ni = −θ
 µ − ε i  ∂µ i 
 θ
1 − exp i

 θ 
⇔ ni = −θ


 


 µ −εi  1
exp i

θ θ

⇔ ni = θ
 µ −εi 
1 − exp i

 θ 
 µ − εi 
exp i

 θ 
⇔ ni =
 µ −εi 
1 − exp i

 θ 
1
⇔ n1 =
 ε − µi 
exp i
 −1
 θ 

n1 ≡ f ( ε ) =

Vậy hàm phân bố Bose - Einstein:

1
 ε − µi
exp i
 θ


 −1




 , số hạng


f B− E ( ε ) =

Nếu có suy biến:
3.

1
 ε − µi
exp i
 θ


 −1



g(ε )

Ý nghĩa của hàm phân bố Bose - Einstein.
a/ Ý nghĩa
Thống kê Bose –Einstein miêu tả tập hợp các hạt không phân biệt được không
tương tác với nhau ở vào một lớp các trạng thái năng lượng rời rạc khác nhau
ở cân bằng nhiệt động.
Thống kê Bose –Einstein chỉ áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí
chiếm giữ trong một trạng thái, hay các hạt không tuân theo nguyên lý loại trừ
Pauli. Những hạt này được các nhà vật lý gọi chung là các Bose . Trong thống
kê này phần lớn tương tác giữa các hạt bị bỏ qua.
Ngược lại với thống kê này là thống kê Fermi-Dirac, áp dụng cho các hạt spin
bán nguyên và không phân biệt được, chúng tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli.
b/ So sánh các phân bố Maxwell-Boltzmann, Bose - Einstein và Fecmi –
Đirrac lượng tử.


Khác nhau:

Đối với hệ lượng tử với 3 hệ hạt khác nhau ta tìm được ba hàm phân bố khác
nhau theo năng lượng:
-Thống kê MAXWELL-BOLTZMANN
 µ −ε 
ni = f M − B (ε ) = exp

 θ 
 ε
exp − 

 θ  .g (ε )
ni = f M − B (ε ) =
Z
hay
(1)

 ε 
Z = ∑ exp − i .g (ε i )
 θ 
i =1
Với
(2)
∞

- Thống kê BOSE - EINSTEIN

ni = f B − E (ε ) =

1
ε −µ 
exp
 −1
 θ 


ni = f B − E (ε ) =

g (ε )
ε −µ 
exp

 −1
θ


(3)

- Thống kê FECMI – ĐIRRAC

f F − D (ε ) =

f F − D (ε ) =

1
ε − µ 
exp
 +1
 θ 

g (ε )
ε − µ 
exp
 +1
θ


(4)

g (ε ) là trọng số thống kê (hay độ suy biến) của các trạng thái lượng tử có
năng lượng khác nhau.
- Sự khác nhau trong các hàm phân bố là do bản chất và do các tính chất của

các đối tượng vi mô diễn tả bởi một trong ba thống kê đó.


Giống nhau:

ε −µ 
exp
 >> 1
θ


Khi thỏa điều kiện:
hay

ε − µ >> θ (5)

 µ
exp −  >> 1
 θ
Hay
thì thống kê Bose - Einstein và Fecmi – Đirắc chuyển thành thống kê MaxwellBoltzmann, nghĩa là ta có thể coi thống kê Maxwell-Boltzmann như trường
hợp giới hạn của hai thống kê lượng tử đó hay f B − E = f M − B = f F − D
f (ε )

f B−E = f M −B = f F −D
ε

Ngoài ra:

Khi tìm hàm phân bố Maxwell-Boltzmann ta đã giả thiết là các hạt khác nhau
về phương diện hoán vị tọa độ. Vì vậy, trong trường hợp tổng quát, sự phân bố
theo các mức năng lượng (1) không thể áp dụng cho các hạt thực, bởi các hạt
thực sự không khác biệt nhau (đồng nhất nhau).
Tuy nhiên, có tồn tại một loạt các hệ lượng tử mà ta gọi là các hệ lượng tử định
xứ, trong đó các đối tượng vi mô lượng tử có thể xem như là định xứ tại các
điểm không gian xác định.
Trong các trường hợp khác ta phải vận dụng hoặc là phân bố Bose - Einstein
đối với các hạt hay các hệ có spin nguyên (hạt bôzôn), phân bố Fecmi – Đirắc
đối với các hệ có spin bán nguyên (hệ fecmiôn hay hệ Fecmi)
Ba thống kê trùng nhau khi điều kiện (5) được thực hiện:
3

V  2πmkT  2

 >> 1
2
N
h


(5) 
(6)
(6) gọi là điều kiện tiêu chuẩn suy biến.
Ba thống kê trùng nhau thì thể tích của không gian pha là:
 V
Γ = ∏ pi qi =  p 3 
N

i =1

3N

Với p =

N

3 V


Γ = ( 2 µkTm ) 2 
2πkTm thì
N


N

Γ >> Γmin = h 3 N => điều kiện tiêu chuẩn suy biến (6).

Nhận xét:
Bởi vì phân bố Maxwell-Boltzmann được suy ra từ phân bố chính tắc lượng tử
cho nên các trường hợp mà phân bố Maxwell-Boltzmann có thể áp dụng được
cũng chính là các trường hợp mà phân bố chính tắc lượng tử có thể áp dụng
được.
Phân bố Bose - Einstein nhạy nhất đối với sự giảm năng lượng, đối với phân bố
này số các hạt tăng vọt khi năng lượng giảm.
So với trong phân bố Maxwell-Boltzmann, các hạt có các năng lượng nhỏ trong
phân bố Bose - Einstein gặp nhiều hơn. Do đó so với áp suất trong chất khí
tuân theo thống kê Maxwell, áp suất trong chất khí tuân theo thống kê Bose
nhỏ hơn.
Mối liên hệ giữa áp suất p, thể tích V và năng lượng toàn phần của khí lý

tưởng là như nhau không phụ thuộc vào chất khí tuân theo thống kê.


5.Ứng dụng
Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein
Ngưng tụ Bose - Einstein (bec - Bose - Einstein condensation) là một trạng
thái vật chất của khí Bose loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không
tuyệt đối ( hay rất gần giá trị 0K hay − 2730C ).
Dưới những điều kiện này, một tỷ lệ lớn các Bose tồn tại ở trạng thái lượng tử
thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô.
Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.
Hiện tượng này được einstein dự đoán vào năm 1925 cho các nguyên tử với
spin
nguyên.
Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được
đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của
các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật
chất. Những nỗ lực của Bose và einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose
trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose - Einstein, miêu tả phân bố thống kê
của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các
Bose .
Các hạt Bose bao gồm photon cũng như các nguyên tử heli-4 được phép tồn tại
ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi lành lạnh
các nguyên tử Bose đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ)
trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật
chất.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho
ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm
nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Ngưng tụ Bose - Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium các chất khí lượng tử

siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Việc chọn một
nguyên tố rất này, là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả
năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí
lượng tử "erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn
tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", phương pháp đơn
giản để làm lạnh nguyên tố phức tạp này là bằng phương tiện laser và kĩ thuật
làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây gồm
khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose einstein từ tính.
Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ hóa
thành trạng thái của chúng. " những thí nghiệm với erbiumvới kết quả thu
được mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với
những nguyên tử lạnh". Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học
mà các nhà vật lí (ở Innsbbruck) đã cho ngưng tụ thành công. Một đột phá
quan trọng đã được thực hiện bởi rudolf grimm và nhóm nghiên cứu của ông
năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số những kết
quả khoa học trong những năm sau đó.


Nhà vật lý florian schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của rudolf
grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium hồi năm
2009. Và nay francesca ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố erbium. Cho
đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng
tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên
cứu quốc tế khác nhau.
Năm 2001, eric corell, wolfgang ketterle và carl wieman đã giành giải nobel vật
lí cho việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein đầu tiên. Ngưng tụ erbium, lần đầu
tiên được tạo ra ở Innsbruck, là một hệ mẫu tuyệt vời đẻ bắt chước những hiệu
ứng phát sinh từ sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế
động lực học phức tạp có mặt trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy

địa vật lí, trong các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.
Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein của các
Bose , trong trường hợp này là các nguyên
tử rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển
động của các nguyên tử theo từng vị trí.
Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh,
màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện
ngưng tụ Bose - Einstein. Ở giữa là ngay
sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái
ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái
ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận
tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm
ở đỉnh màu trắng.
Ở nhiệt độ phòng, Bose và Fermion đều phản ứng rất giống nhau, giống
hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê mắcxoen- bônxơman (bởi cả thống kê
B-E và thống kê F-D đều tiệm cận đến thống kê M-B ở nhiệt độ phòng).
Vì các hạt Bose không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ
không tuyệt đối tất cả đều có năng lượng ε = 0 , do đó trang thái cơ bản của tất
cả chất khí là trạng thái có e = 0 . Còn đối với khí Fermion thì khác, ở nhiệt đột
= 0K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức
Fermion, do đó năng lượng của cả hệ khác không (e # 0). Nên có thể khẳng
định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion ( chẳng
hạn như khí điện tử tự do trong kim loại).
Đối với khí lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose - Einstein. Số hạt trung
bình có năng lượng trong khoảng từ ε → ε + dε bằng:

dn(ε ) =

dN (ε )

e

ε − µ 

−1
 θ 

(1)


Trong đó:

Tìm:

dN (ε ) là các mức năng lượng trong khoảng từ

ε → ε + dε.

dN (ε )

Theo quan điểm lượng tử, các hạt Bose chứa trong thể tích v có thể xem
như các sóng đứng debrolige. Áp dụng công thức:

k 2 dk
dN (k ) =
V
2π
(2)

u

r
Theo hệ thức debrolige giữa xung lượng p và các vecto sóng

ur
r
p = hk

r
k

p 2 dp
dN ( p ) =
V
2
2
π
h
Khi đó có thể được viết dưới dạng:
(3)
p2
ε=
2m
Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc v ~ c thì

=>

{

p 2 = 2 mε
p 2 dp = 2 m3ε

Khi đó (3) có dạng:

2 m3V
dN (ε ) =
. ε dε
2 3
2π h
Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ
ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g= 2s +1. Do đó số các mức năng
lượng trong khoảng ε → ε + dε là

2m3Vg
dN (ε ) =
. ε dε
2 3
2π h
Theo (3) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng ε → ε + dε
là

2m3Vg
dN (ε ) =
.
2π 2 h3

ε dε
e

ε −µ 



 θ 

−1

(4)


Vì số hạt toàn phần là n nên ta có phương trình sau:

∞

N = ∫ dn(ε ) =
0

∞

1
2

2m Vg
ε dε
.
2π 2 h3 ∫0  ε θ− µ 
e
−1
3

(5)

Nhận thấy nếu số hạt n là số cho trước thì phương trình (5) sẽ cho ta xác định
thế hóa học µ . Thật vậy, số hạt trung bình dn(ε ) chỉ có thể là một số dương, do
đó theo (4) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (4) luôn dương. Tức là

µ ≤ 0 để cho giá trị của e

ε −µ
θ

luôn luôn lớn hơn 1với mọi giá trị của ε .

∂µ
≤0
∂
T
Ta có thể chứng minh µ là hàm nghịch của tọa độ tức là
.Theo qui tắc
lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (5) ta có:
∂N
∂µ
= − ∂T
∂N
∂T
∂µ



∂ 
ε ÷
∫0 ε −µ  dε ∫0 ∂T  ε θ−µ  ÷÷dε

 e  − 1 
e θ  − 1
=−
=
−
∞


∂
ε
∞
∂
ε
d
ε

÷d ε
∂µ ∫0  ε θ− µ 
ε
−
µ
∫


∂µ   θ  ÷
÷
e
−1
0
−1 

e
∂
∂T

∞

ε

 ε − µ 


 k BT 

∞

1 (ε − µ) e
ε dε
∫0 kBT 2 ε −µ 
∂µ
1
e θ  − 1
<=>
=
=
−
 ε − µ 
∂T
T



∞
 k BT 
1
e
∫0 kBT  ε −µ  2 ε dε
 e  θ  − 1÷

÷


∞

∞

∫

( ε − µ) e

0

e

∞

∫
0

e



ε −µ 


 θ 

e

 ε − µ 


 k BT 

−1

 ε − µ 


 k BT 

ε −µ 


 θ 

ε dε

2



− 1÷
÷


ε dε

Vì ε ≥ 0 và µ ≤ 0 nên ε − µ ≥ 0 , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải (2)
∂µ
≤0
luôn luôn dương với mọi giá trị của ε, vì vậy ∂T
từ các tính chất µ ≤ 0 và
∂µ
≤0
∂T
của hàm µ ta thấy khi nhiệt độ giảm thì µ tăng (giá trị âm tăng đến giá
trị lớn hơn "nhưng vẫn là âm") và tới nhiệt độ T0 nào đó µ sẽ đạt giá trị cực đại
bằng không µmax = 0 .
Xét nhiệt độ T0:


Chọn µ = 0 và . Khi đó phương trình:
∞

N = ∫ dn(ε ) =
0

1
2

∞

2m Vg
ε dε
.
2π 2 h3 ∫0  ε θ− µ 
e
−1
3

Trở thành:
∞

N = ∫ dn(ε ) =
0

1
2

∞

2m Vg ε d ε
.∫ ε
2 3
2π h 0 θ
e −1
3

3

∞

2m 2Vg
x
<=> N =
θ
θ
dx
0
0∫ x
2 3
2π h
e −1
0
3

<=> N =

m Vg .θ 0
2

1
2

2 π h

2 3

3

2 ∞

x
∫0 ex − 1dx =

3

( mθ0 ) 2 Vg. ∞
1
2

2 π 2 h3

x
∫0 ex − 1dx

Mà ta biết:
∞

x
∫0 ex − 1dx = 2.31

T0 =

, nên

ur
r
p = hk và
2
3

θ 0 3,31h  N 
=
 ÷
k B g 2 3 mk  V 
B
2

= kbt0, ta được:

(6)

Đối với tất cả các khí Bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ.
Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học µ tăng tới giá trị µmax = 0 , mà
∂µ
≤0
∂T
nên µ không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0 < T < T0 thì
µ=0.
Với nhiệt độ T < T0 số hạt có năng lượng là:


(2m)3/ 2Vg
N (ε > 0) =
2π 2 h3

∞

ε

∫

dε

ε
k BT

0

e −1
∞
(2mk BT ) 3/ 2 Vg
x
<=> N (ε > 0) =
∫0 e x − 1 dx = N '
21/ 2 π 2 h3

(7)

So sánh (6) và (7) ta thấy:
2/3

2/3

T 
N' T 
N (ε > 0) = N  ÷
= ÷
T
N

 0  hay
 T0 

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, khi Thạt toàn phần n chỉ có một phần số hạt n' có thể phân bố theo các mức năng
lượng một cách tương ứng với công thức (1), tức là :

m3/ 2Vg
dN (ε ) = 1/ 2 2 3 .
2 π h

ε
e

ε 
 
θ 

−1

=

N'
(2,31)3/ 2

ε dε
e

ε 
 

θ 

−1

Còn các hạt còn lại N − N', cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi,
chẳng hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là
chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta gọi đó là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn t0 , một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm ở
mức năng lượng thấp nhất ( mức năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ

1
được phân bố trên các mức khác theo định luật e

ε 
 
θ 

−1 .

Hiện tượng mà ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí Bose sẽ chuyển
xuống mức năng lượng không và hai thành phần của khí Bose phân bố khác
nhau theo năng lượng được gọi là "sự ngưng tụ Bose ". Ở nhiệt độ không tuyệt
đối (t=0) tất cả các hạt Bose sẽ nằm trên mức không.


Tính chất Bose của photon
Các tính chất Bose của photon giải thích bức xạ vật đen và
hoạt động của laser. Tính chất Bose của heli-4 giải thích khả
năng tồn tại ở trạng thái siêu lỏng. Những Bose cũng có thể nằm
ở trạng thái đông đặc Bose - Einstein, một trạng thái vật chất

đặc biệt ở đó mọt hạt đều ở cùng một trạng thái lượng tử.
Các nguyên tử ở trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, thường gọi là giọt BEC, có những
tính chất cực kỳ mới, rất đặc biệt. Xét về mặt sóng, các nguyên tử của giọt đó có cùng
bước sóng, cùng pha, không phân biệt được với nhau. Cả giọt BEC như là một nguyên tử
khổng lồ có biên độ sóng là tổng cộng biên độ sóng của từng nguyên tử. Nếu giọt BEC đó
“chảy” theo một đường nào, đó là một chùm nguyên tử kết hợp tương tự như laze là một
chùm photon kết hợp. Vì vậy người ta thường nói từ giọt BEC có thể tạo ra laze nguyên tử.
Ta đã biết laze có những ưu việt, những ứng dụng to lớn trong khoa học và kỹ thuật như
thế nào. Ta cũng dễ hình dung giọt BEC cho những chùm nguyên tử kết hợp sẽ có những
ứng dụng đặc biệt to lớn hơn như thế nào.
Bẫy từ chứa giọt BEC
Nói là đặc biệt, to lớn hơn vì photon là hạt không có khối lượng (khối

lượng nghỉ bằng không), còn nguyên tử là hạt có khối lượng khá lớn, tất
nhiên phải chịu ảnh hưởng của trọng trường. Vì vậy khi đã tạo ra được
ngưng tụ Bose – Einstein người ta nghĩ ngay đến những ứng dụng mới
từ các giọt ngưng tụ này. Nhưng rõ ràng là phải với những thiết bị làm
lạnh to hơn và từ trường rất lớn mới có thể tạo ra được một giọt BEC
nhỏ xíu thì giọt đó cũng chỉ có ý nghĩa cho nghiên cứu cơ bản. Phải vi
tiểu hình hoá (miniaturisation) sao cho tạo ra được giọt BEC ở một thể
tích rất nhỏ, cho nó chảy theo đường dẫn li ti, đo được dễ dàng những
hiệu ứng do chùm nguyên tử kết hợp sinh ra, v.v..., tất cả đều làm theo
kiểu
công tử
nghệ vi điện tử đã làm đối với mạch điện. Làm được như vậy giọt BEC, chùm
Chip
nguyên
nguyên
làmlaze
chức

năng tử mới có ứng dụng rộng rãi được. Đó là xu hướng làm các chip nguyên tử
mới
phát
triển trong bốn năm năm gần đây. Tuy mới, nhưng kế thừa công nghệ vi điện tử,
máy
giao
thoa.
việc làm chip nguyên tử đã có những thành tựu và những hứa hẹn rất to lớn, được xếp
vào dạng công nghệ cao nhất ở đầu thế kỷ 21.
5.1 Trong thực nghiệm

5.1.2

Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm
màu.


Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật
chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein"
Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng thái của
vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein", nó từng được tạo ra vào năm
1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng các nhà khoa học từng
nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt photon (quang tử) - những đơn vị cơ bản của ánh
sáng.
Tuy nhiên, bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schimitt, Frank Vewinger và Martin Weitz
thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành "nhiệm vụ bất khả thi" trên.
Họ đặt tên cho các hạt mới là "các siêu photon".
Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein truyền thống được làm lạnh
tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên không phân biệt được,

tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho rằng, các photon sẽ không thể đạt
được trạng thái này vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như
là bất khả thi. Do photon là các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị
hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất - điều thường xảy ra khi chúng bị làm
lạnh
Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó đã đủ lạnh để các
photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein.
Trong bài viết mới đây trêm tạp trí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc trường đaih


học kỹ thuật Kaiserslautem (Đ ức) đánh giá thử nghiệm trên là "một thành tựu mang
tính bức ngoặt". Các tác giả của nghiên cứu này cho biết thêm rằng, công trình của họ có
thể giúp mạng tới những ứng dụng trong việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng
sinh ra ánh sáng có bước sóng vô cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím.
5.1.3

Khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polariton
Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một trạng thái
ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensaten-BEC) trong một hệ các giả hạt
được làm lạnh được gọi là "polariton". Mặc dù những khăng định tương tự đã từng được
công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng
sự kết hợp này là một hiệu ứng của trùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có
nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những
nghi ngờ bằng cách tích lũy polariton từ các chùm.
Lần đầu tiên được tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử rubidi, trạng thái ngưng tụ
Bose - Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó số lượng lớn các hạt Bose (các hạt có spin
nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản giống nhau. Điều này cho phép các Bose
biểu hiện các thuộc tính cổ điển ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển như một trạng thái
kết hợp, và rất có ý nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lượng tử ví dụ như siêu chảy
trong một hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thường chỉ xảy ra ở nhiệt

độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối.
Tuy nhiên, các polariton - các Bose bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và một photon
lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể tạo ra trạng thái BEC ở tại
nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngưng tụ này được côn bố vào năm
2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) cùng với
các đồng nghiệp Thụy Sĩ
và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các polariton trong
một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt đô khá cao 19 k.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu hiện thuộc
tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này lại nghi
nghờ rằng các polarition dù ở trạng thái BEC thật, nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể
quan sát thấy trong một vùng được kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp rồi.


Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007)

Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp Pittsburgh và
các cộng sự ở phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tượng tự mà trong đó các
polarition được tạo bởi các tia laser sau đó di chuyển khỏi vung kích thích của laser. Điều
này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều ngang 50 micron, để tạo ra một ứng suất bất
đồng trên vi cầu, có nghĩa là tạo ra như một cái bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ này,
trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K.
Mặc dù nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã
công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này nhóm
đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32 K: " Có hàng trăm, nguyên nhân để hi vọng
chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ cao hơn, cao hơn nữa.... Dù không thể giả thiết có thể đạt
tới nhiệt độ phòng nhưng trên 100 K không phải là không thể đạt được trong khả năng
của chúng tôi"
Hơn nữa, các vi cầu ( hay vi hốc-microcavity) được tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ
thông GaAs trong hệ bẫy tượng tự từng được dùng trong các khí nguyên tử mà có thể dễ

dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.


Hình 1.4: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007)
Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm Snoke là trạng
thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các polariton có thời gian sống
khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng thái chuẩn cân bằng. "Một số người
muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trong trạng thái cân bằng thực
sự" - Snoke nói - "Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa chung trong
một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật
ngữ thì đúng hơn"

-Năng lượng Bose .
-Nhiệt dung riêng của khí Bose .

Sự tập trung các hạt trong cùng trạng thái, một đặc trưng của các hạt tuân theo thống
kê Bose –Einstein(thống kê B-E), lý giải cho nguyên lý hoạt động của laser và sự chảy
không ma sát của heli siêu lỏng. Satyendra Nath Bose đã phát triển lý thuyết thống kê này
vào năm 1924-1925, người đã nhận ra tập hợp hạt photon có thể miêu tả theo cách này. Ý
tưởng này được Albert Einstein ủng hộ và mở rộng ra đối với các hạt có khối lượng và
spin nguyên. Sự mở rộng này đưa hai ông đi đến tiên đoán sự tồn tại của ngưng tụ Bose Einstein mà 70 năm sau thực nghiệm mới chứng minh được sự tồn tại của chúng.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Vũ Thanh Khiết, Giáo trình nhiệt động lực học và vật lý thống kê, nhà xuất bản đại học
quốc gia Hà Nội, năm 2002.
Trần Minh Quý, Giáo trình vật lý thống kê, nhà xuất bản trường đại học Cần Thơ, năm
2000.
/>