SKKN: Phương pháp giải bài toán về đa thức

SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

I . Một số kiến thức cơ bản
Xét đa thức ẩn x với các hệ số : a0 , a1, a2,., an .
f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0)
f(c) = a0cn + a1cn-1 ++ an -1c + an là giá trị của đa thức tại c
Nếu f(c) = 0 thì c là một nghiệm của đa thức f(x) .
nh lý Bdu:
Phn d ca phép chia a thc f(x) cho nh thc x-a bng giá tr ca a
thc ti x= a tc l: f(x)=(x-a).g(x)+f(a)
Chng minh:
Gi g(x) l a thc thng v r l s d thì : f(x)=(x-a).g(x)+r

(*)

khi x = a thì (*) f(a)=(a-a).g(a)+r hay r = f(a) (pcm)
+ Hệ quả 1: Nếu x=a là nghiệm của đa thức thì f(x) (x-a)
Thật vậy nếu a là một nghiệm của f(x) thì f(a) = 0 hay r=0
f(x)

= g(x) .(x-a) hay f(x) (x-a) .

+ Hệ quả 2: Phn d ca phép chia a thc f(x) cho nh thc ax+b bng giá
tr ca a thc ti x=

b
.
a

Tức là f(x) = (ax+b)h(x) + f(

b
)
a

. Phơng pháp hệ số bất định :
Gi s:

f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0) và
g(x) = b0xn + b1xn-1 ++ bn-1x + b n

Nu f(x) = g(x) vi ít nht n+1 giá tr phân bit ca x thì: an = bn ; an-1 = bn-1 ,,
a 1 = b1 ; a 0 = b 0
Chú ý : Bậc của đa thức d nhỏ hơn bậc của đa thức chia
. Công thức truy hồi horner .
Khi chia đa thức bậc n f(x)=a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0) cho x-c ta sẽ đợc
một thơng là một đa thức bậc (n-1)
q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-2x + b n-1 (b0# 0) và số d là r .
Ta có :
1
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

a0x + a1x
n

n-1

++ an-1x + a n= (x-c) . (b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-2x + b n-1) +r

a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n= b0xn + b1xn-1 ++ bn-2x2 + b n-1x - cb0xn-1 -

cb1xn-2 -- cbn-2x - cb n-1+r
= b0xn + (b1 -b0c) xn-1 ++(bn-2 bn-3c) x2 +(bn-1 bn-2c) x+(r bn-1c)
Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta tìm đợc các hệ số của đa thức thơng g(x)
là :
b0 = a0 , b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,,bk= bk-1c+ak . với k=1, n

II . một số dạng toán thờng gặp

1 . Xác định đa thức .
1.1. Dạng 1: Xác định đa thứcbậc n ( n= 2,3, ) khi biết (n+1) các giá trị của
đa thức :
Phơng pháp giải :
a) Phơng pháp 1 : Lập và giải hệ phơng trình
Gọi đa thức bậc n cần tìm là f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x
+ a n. với f(x1), f(x2),, f(xn+1) là các giá trị của f(x) tại x 1, x2,, xn+1 . Khi đó
lập và giải hệ sau ta sẽ tìm đợc các hệ số a0, a1, ., an . Thay vào ta đợc đa thức
f(x) cần tìm :
Ví dụ 1:Tìm đa thức f(x) biết rằng khi chia cho x-2 thì d 5,chia cho x-3 thì d 7
còn khi chia cho(x-2)(x-3) thì đợc thơng là x2-1 và còn d.
Giải:Gọi thơng của phép chia đa thức f(x) cho x-2;x-3 lần lợt là đa thức A(x) và
B(x),ta có:

2
Li Quang Tu-GV Trng

THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

f(x)=(x-2).A(x)+5 (1); f(x)=(x-3).B(x)+7 (2). Gọi thơng của phép chia đa thức
f(x) cho (x-2)(x-3) là đa thức C(x),phần d là đa thức R(x).Vì (x-2)(x-3) là đa thức
bậc hai nên đa thức đa thức d là đa thức bậc nhất do đó:
R(x)=ax+b,ta có:
f(x)=(x-2)(x-3).(1-x2)+ax+b đúng với mọi giá trị x (3)
Vì (1);(2);(3) đúng với mọi giá trị của x nên f(2)=5 hay 2a+b=5;f(3)=7 hay
3a+b=7 ta có hệ phơng trình

2a +b =5

3b +b =7
Từ đây ta tìm đợc a=2;b=1.Do đó đa thức phải tìm là:
f(x)=(x-2)(x-3)(1-x2)+2x+1=-x4+5x3-5x2-5x+6

Ví dụ 2: Tìm a thc bc 3 bit f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1
Gii:
Gi a thc cn tìm l: f(x) = ax3 + bx3 + cx +d . Theo bi ra ta có:
f(0) = 10

d

= 10

f(1) = 12

a

f(2) = 4

4a

+ 2b + c = -3

(2)

f(3) = 1

9a

+ 3b + c = -3

(3)

+b+c=2

(1)

T (1), (2), (3) ta có h phng trình:

b+
c =2
a+

4a +2b +
c =

3


9a +
3b +
c =
3

Gii ra ta c: a =

5
25
;b=
; c = 12
2
2

Vậy đa thức cần tìm là : f(x) =

5 3 25 2
x - x + 12 x + 10
2
2

3
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng

SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Chú ý:
Trng hp ch bit n giá tr thì a thc tìm c có h s ph thuc mt

tham s nếu nh không cho thêm một điều kiện nào khác .
b) Phơng pháp 2 : Dùng đa thức phụ
Xin đợc lấy bài toán ở ví dụ 2 làm minh họa : Giả sử đa thức cần tìm là f(x)
Bc 1:
t g(x) = f(x) + h(x)
ở ây g(x) là một đa thức có bậc bằng bậc của đa thức f(x) còn h(x) l mt
a thc có bc nh hn bc ca f(x) ng thi bc ca h(x) nh hn hoặc
bằng s giá tr ã bit ca f(x) . Đây là là chú ý rất quan trọng khi ta chọn
h(x) .
Nh vậy chúng ta tìm f(x) thông qua việc tìm đa thức g(x) và h(x)
Trong đề bài trên bậc của f(x) là 3 nên h(x) = ax2+bx+c ta có : g(x) = f(x) +
ax2+bx+c.
Bc 2
Tìm a,b,c để g(x1)=g(x2)=g(x3)= 0 hay g(0)=g(1)=g(2)= 0

0 = 10 + c


Tức là : a, b, c l nghim ca h 0 = 12 + a + b + c
0 = 4 + 4a + +2b + 2

Giải h ta c: a = 5, b = -7, c = -10
Theo phơng pháp hệ số bất định ta có h(x) = 5x2 7x 10
Hay g(x) = f(x) + 5x2 7x 10, vi g(0) = g(1) = g(2) = 0

Bc 3 Xác nh f(x) .
Dựa vào một điều kiện mà chúng ta cha sử dụng đó là f(3) = 1 để tìm hệ số
của hạng tử có bậc cao nhất của f(x) . (cũng chính là của g(x))
Do bc f(x) bằng 3 nên bc g(x) cũng bằng 3 .

4
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Mặt khác g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia ht cho (x0), (x 1) và (x 2) .
Gi k l h s ca hạng tử x3 ca a thc f(x) khi đó :
g(x) = k.x(x 1)(x 2)
f ( x ) = kx( x 1)( x 2) 5 x 2 + 7 x + 10

Mt khác f(3) = 1 k .3.2.1 5.9 + 7.3 +10 = 1
6k

= 15 k=

5
2

Vy a thc cn tìm l: f ( x) =
hay f(x) =

5
x( x 1)( x 2) 5 x 2 + 7 x + 10

2

5 3 25 2
x +12 x +10
x 2
2

Vậy ta có thể giải bài toán trên một cách ngắn gọn sau :
Đặt g(x) = f(x) + 5x2 7x 10 .
Theo bài ra ta có : g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia ht
cho (x-0), (x 1) và(x 2) .
Do bc f(x) bằng 3 nên bc g(x) cũng bằng 3 .
Gi k l h s ca hạng tử x3 ca a thc f(x)
khi đó

g(x) = k.x(x 1)(x 2)

f ( x ) = kx( x 1)( x 2) 5 x 2 + 7 x + 10
Mt khác f(3) = 1
k .3.2.1 5.9 + 7.3 +10 = 1
6k

= 15 k=

f ( x) =

5
2

5

x ( x 1)( x 2) 5 x 2 + 7 x + 10
2

Vy a thc cn tìm l:f(x) =

5 3 25 2
x +12 x +10
x 2
2

5
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Nhận xét : - ở cách thứ 2 có nhiều tài liệu viết nhng không giải thích một
cách rõ ràng nên nhiều bạn đọc còn có phần lúng túng và khó hiểu ở chỗ
đặt g(x) = f(x) + 5x2 7x 10 . Hy vọng qua bài viết này bạn đọc sẽ khắc
phục đợc tồn tại đó .
Ví dụ 3:
Tìm a thc bc 3 bit rng khi chia đa thức f(x) cho x 1, x 2,x 3
u cùng d 6 v f(-1) =-18.
Gii:
Theo bài ra chia đa thức f(x) cho x 1, x 2,x 3 u cùng d 6
Theo nh lý Bdu ta có f(1) = f(2) = f(3) =6
t g(x) = f(x) + ax2 + bx + c.
Tìm a, b, c g(1) = g(2) = g(3) = 0
a, b, c l nghim ca h

0 = 6 +a +b +c

0 = 6 +4a +2b +c
0 +6 +9a +3b +c




6
a +b +c =

4a +2b +c =
6

9a +3b +c =
6


Gii ra ta c: a = b = 0; c = -6
nên ta t g(x) = f(x) 6 vi g(1) = g(2) = g(3) = 0
Gọi n l h s ca hạng tử x3 trong a thc f(x)
Do bc f(x) = 3 nên bc g(x) = 3 v g(x) chia ht cho(x1), (x2) và (x3) .

g ( x) = n( x 1)( x 2)( x 3)
f ( x ) = n( x 1)( x 2)( x 3) + 6
Mt khác f(-1) = -18

-18 = n.(-2).(-3).(-4) +6 n = 1



f(x) = 1.( x 1)( x 2)( x 3) +6

Vậy f(x) = x3 6x2 + 11x
* Bi tp áp dng:
6
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

1. Tỡm a thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d bit P(1945) =1945; P(1954) = 1954;
P(1975) = 1975
2. Tỡm a thức f(x), có bc 2 bit f(0) = 7, f(1) = 15; f(2) = 2008
3. Tỡm a thức f (x), có bc 3 bi t f(0) =12; f(1)=54; f(2) =119; f(3) =2009
4. Tìm đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.Biết P(1) = -15; P(2) = -12; P(3) = -9.
5.( Thi HSG Hải Phòng năm 2004)
Tìm đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = 25; P(2) = 21; P(3) = 41
1.2 . Dng 2: Xác định đa thức khi biết điều kiện của hệ số
Phơng pháp: Dựa vào điều kiện đề bài cho về các hệ số để xác định đa thức.
Ví dụ 4:
Tìm đa thc f(x) có tt c các h s l s nguyên không âm nh hn 8 v
tho mãn: f(8) = 2009
Chú ý: Giả sử A gồm n +1 (n N * ) chữ số an, an-1, ,a0
Ta biết rằng một số A trong hệ ghi cơ số x đợc đổi sang trong hệ thập phân
theo công thức:

A =(

)X= anxn + an 1xn-1 + ...+ a1x + a0 .

an an1...a0

Ví dụ: Ta xét số 1234 . trong hệ thập phân đợc viết dới dạng tờng minh là:
123410 = 1.103+2.102+3.10+4 = 1234
trong hệ bát phân 12348=1.83+2.82+3.8+4=668
Và cách đổi 668 sang hệ bát phân đợc thực hiện nh sau :
Lấy 668 chia cho 8 đợc thơng là 83 và d là 4 . (ghi chữ số 4 ở hàng đơn vị )
Tiếp tục lấy 83 chia cho 8 ta đợc thơng là 10 và d 3 (ghi chữ số 3 ở hàng chục)
Tiếp tục lấy 10 chia cho 8 ta đợc thơng là 1 và d 2 (ghi chữ số 2 ở hàng trăm)
ta đợc thơng cuối cùng là 1 không chia hết cho 8 (ghi chữ số 1 ở hàng ngàn)
Với chú ý đó ta giải bài toán này nh sau :
Gii:
Xét a thc
7
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

f(x) = anx + an 1xn-1 + ...+ a1x + a0 với a0, a1 ... an-1, an u l các s nguyên
n

không âm v nh hn 8.
Theo bài ra f(8) = 2009 nên an.8n + an-1.8n-1 + ...+a1.8 + a0 = 2009 cho nên ở
đây a0, a1, ..., an-1, an l các ch s ca 2009 c vit trong h ghi s c s 8.

Thc hin vic chia 2009 cho 8 c 251 d 1 ta có a0 = 1
li ly 251 chia cho 8 c 31 d 3 ta có a1 = 3
li ly 31 chia cho 8 c 3 d 7 ta có a2 = 7
Ta đợc thơng cuối cùng là 3 không chia hết cho 8 ta có a3=3
Vậy đa thức cần tìm là :

f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau :
Tìm a thc f(x) sao cho tt c các h s u l s nguyên không âm nh
hn a v bit f(a) = b. Trong ó a ,b l các s đã cho.
Vấn đề mấu chốt của bài toán này là các h s u l số nguyên không âm
nhỏ hơn a.
Phơng pháp chung :
Gọi đa thức cần tìm là :
f(x) = anxn + an 1xn-1 + ...+ a1x + a0 với a0, a1 ... an-1, an đều l các số
nguyên không âm v nhỏ hơn a.
Ta đa bài toán về việc tìm a0, a1, ..., an-1, an là các chữ số của b đợc viết
trong hệ ghi số cơ số a .
Bi tập vận dụng :
1. Tìm đa thức f(x) các hệ số đều l số nguyên không âm nhỏ hơn 6 v f(6) =
503
2. Tìm đa thức f(x) các hệ số đều l số nguyên không âm nhỏ hơn 15 v f(15) =
200809
1.3. Dạng 3 : Xác định đa thức f(x) thoả mãn một hệ thức đối với f(x)
Ví dụ 5: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị
của x đó là : 3.f(x) f(1-x) = x2+1
8
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng

SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Giải
Gọi đa thức cần tìm là : f(x) = a3x3+ a2x2+ a1x+a0 .
Theo bài ra ta có :

[

]

3. (a3x3+ a2x2+ a1x+a0)- a 3 (1 - x) 3 + a 2 (1 - x) 2 + a 1 (1 - x) + a 0 = x2+1
3.a3x3+3.a2x2+3.a1x+3.a0-a3(1-3.x+3.x2-x3)-a2(1-2.x+x2)-a1+a1x-a0=
4.a3x3+(-3a3+2a2)x2+(3a3+2a2+4a1)x+(-a3-a2-a1+2a0)=

x2+1

x2

áp dụng phơng pháp hệ số bất định ta có :
Giải hệ trên ta có : a3= 0 ; a2 =
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) =

1
1
5
; a1 = , a0 =
2
4

8

1 2 1
5
x x+
2
4
8

Bi tập vận dụng :
Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 v thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4
giá trị phân biệt của x :
x.P(x 3) = (x 1).P(x)
1. 4. Dạng 4 : Xác định đa thức f(x) khi biết đa thức thơng khi chia nó cho một
đa thức khác và một số điều kiện khác .
Ví dụ 6: Tỡm a thc P(x) bit rng P(x) chia cho (x + 2) d 1, chia cho (x 2) d
5. Chia cho (x + 2)(x 2) thỡ c thng 3x v cũn d.
Giải :
Gọi đa thức d của phép chia đa thức P(x) cho (x + 2)(x 2) là r(x) .
Ta có : P(x) = (x + 2)(x 2) . 3x+r(x) . Do bậc của đa thức thơng (x + 2)(x
2) là 2 nên r(x) có dạng ax+b hay P (x) = (x + 2)(x 2) . 4x + ax + b .(*)
Ta lại có P(x) chia cho (x + 2) d 1, chia cho (x 2) d 5 nên theo định lí Bơdu
ta có :
2a + b =1
P(-2)= 1; P(2)=5 thay vào (*) ta có hệ
2a + b =5
9
Li Quang Tu-GV Trng
THCS Cm Nhng

SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

a =1



b =3

Vậy ta có P (x) = (x + 2)(x 2) . 4x+ x + 3
Hay P(x) = 4x3- 15x +3
Bài tập vận dụng :
1. Tỡm a thc f(x) bit rng f(x) chia cho x2-3x+2 thỡ c thng là x - 4 v
cũn d. Và khi chia f(x) cho (x-1) d 5, chia cho x-2 thì d 7.
2. Tìm đa thức f(x) biết khi chia f(x) cho x 3-2x2+2x-1 thì đợc thơng là 2x và
còn d. Và chia f(x) cho x-1 d , f(2)=7, f(3) = 9.
2 .Xác định đa thức thơng khi chia đa thức cho đa thức .
Phơng pháp 1. Thực hiện phép chia trực tiếp.
Phơng pháp 2 : Sử dụng công truy hồi horner
Ví dụ 7: Tìm thơng của phép chia đa thức x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5
Cách 1: Thực hiện phép chia trực tiếp ta đợc thơng là:
x6 5x5 + 23x4 118x3 + 590x2 2590x + 14751
Cách 2:
Gọi đa thức thơng của phép chia x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5
q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-2x + b n-1 (b0# 0)
Ta có : c = - 5; a0 =1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1;
Dùng công thức truy hồ horner
Ta có b0 = a0= 1,b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,,bk= bk-1c+ak . với k=1, n và cùng với
sự hộ trợ của máy tính điện tử ta tính đợc các hệ số của đa thức thơng là 1; -5;
23; -118; 590; -2590; 14751

x6 5x5 + 23x4 118x3 + 590x2 2590x + 14751
Bài tập vận dụng:
10 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

1.Tìm thơng của phép chia đa thức 3x5-x4-2x3+x2+4x+5 cho đa thức x2-2x+2
2. Tìm thơng của phép chia đa thức x55 +x5+1 cho đa thức x10+x5+1

3.

Xác định đa thức d

Chú ý 1: Để tìm d của phép chia đa thức f(x) cho một nhị thức ta có thể dùng
lợc đồ Horner hoặc dùng định lí Bedu để giải.
Ví dụ 8: Tìm thơng và d của phép chia đa thức
2x4-3x2 +4x -5 cho x+2
Với bài này ta có thể chia trực tiếp để tìm ra kết quả hoặc có thể dùng sơ đồ
Horner để tìm.
Kết quả:Thơng là:2x3-4x2+5x-6 và d là 7
Ví dụ 8: Tìm d của phép chia đa thức
x2004+x9+x2 cho x-1.
Ta có phần d của phép chia đa thức trên cho x-1 chính là f(1)=1 2+19+12004=3.
Chú ý 2: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta đợc đa thức thơng q(x) và
đa thức d r(x) hay f(x) = q(x) . g(x) +r(x) .
Với chú ý bậc của đa thức d r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia g(x). Đây là
chú ý rất quan trọng để giải dạng toán này.
Ví dụ 9: Tìm đa thức của phép chia f(x) cho (x 1)(x 3). Biết rằng nếu

chia đa thức f(x) cho x 1 đợc số d bằng 4, nếu chia cho x-3 đợc số d bằng 14.
Giải:
Cách 1:
Gọi thơng của phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) l q(x) v d l r(x).Vì
bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên bậc của nó nhỏ hơn 2 nên r(x)
có dạng ax + b
Ta có: f(x) = (x 1)(x 3).q(x) +ax + b với mọi x

11 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Theo bài ra chia đa thức f(x) cho x 1 đợc số d bằng 4, chia cho x-3 đợc số
d bằng 14
áp dụng định lí Bơzu ta có f(1)=4 , f(3)=14 .
a +b = 4
a =5

Hay
b = 1
3a + b = 14

Vậy đa thức d của phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) l r(x) = 5x 1
Cách 2:
f(x) chia cho (x-1) d 4 nên f(x) = (x 1).A(x) + 4
Nhân 2 vế của đẳng thức trên với (x-3) ta có :
(x 3).f(x) = (x 3)(x 1).A(x) + 4(x 3)

(1)

f(x) chia cho (x-3) d 14 nên f(x) = (x 3).B(x) + 14
Nhân 2 vế của đẳng thức trên với (x-1) ta có :
(x 1).f(x) = (x 3)(x 1).B(x) + 14(x 1)

(2)

Lấy (2) (1) ta đợc :
[(x 1) (x 3) ].f(x) = (x 1)(x 3) [A(x) B(x)] + 14(x 1)
4(x 3)
Nên 2.f(x) = (x 1)(x 3)[A(x) B(x)] + 10x 2
f(x)

= (x 1)(x 3).

A( x) B ( x )
+ 5 x 1
2

Ta thấy 5x 1 có bậc bé hơn bậc của đa thức chia . Vậy đa thức d cần tìm là
5x 1.
Ví dụ 10: Tìm đa thức d của phép chia đa thức f(x) cho
(x +1).(x2 + 1) . Biết rằng khi chia đa thức f(x) cho x+1 đợc số d là 4, khi chia f(x)
cho x2 + 1 đợc đa thức d là 2x+3 .
Giải :
Do bậc của đa thức chia (x + 1)(x2 +1) l 3
Nên đa thức d có dạng ax2 + bx + c . gọi q(x) là đa thức thơng của phép chia
f(x) cho (x + 1)(x2 +1) ta có :
12 THCS Cm Nhng

Li Quang Tu-GV Trng


f(x)=(x+1)(x

SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc
2

+ 1).q(x)+ax2+bx+c

(*)

= (x+1).q(x) (x2+1)+a(x2+1)+ bx + c a
=[(x +1). q(x) + a](x2 +1) + bx + c a
m f(x) chia cho x2 + 1 d 2x + 3



bx + c a=2x+3

theo phơng pháp hệ số bất định ta có : b = 2 (1);
c a = 3 (2)
Mặt khác f(x) chia cho x+1 đợc số d là 4 nên theo định lý Bơ du ta có
f(-1) = 4 thay vào (*) ta có : a b + c = 4 (3)

b = 2 (1)

Từ(1),(2),(3)tacóhệphơngtrình c -a = 3 (2)
a- b + c = 4 (3)

Giải hệ phơng trình trên ta tìm đợc : a =
Vậy đa thức d cần tìm là :

3
9
, b = 2, c =
2
2

3 2
9
x + 2x +
2
2

Ví dụ 11:
Tìm d của phép chia x7 + x5 +x3 +1 cho x2 1
Cách 1:
Chia trực tiếp đa thức x7 + x5 +x3 +1 cho x2 1 ta đợc ta đợc đa thức d là:3x+1
Cách 2:
Sử dụng phơng pháp giá trị riêng
Gọi thơng của phép chia x7 + x5 +x3 +1 cho x2 1 là q(x), đa thức d là r(x).
Do đa thức chia là x2 1 nên r(x) có dạng ax + b
Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x 1).q(x) + ax + b với mọi x
Đẳng thức trên đúng

x

nên với x = 1 ta có 4 = a + b

với x = - 1 ta có 2 = - a + b
Từ (1), (2)

(1)

(2)
a = 3; b = 1

Vậy d của phép chia l: 3x + 1
13 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Cách 3:
Tỏch a thc b chia thnh nhng a thc chia ht cho a thc chia.
Ta thy x n 1 chia ht cho x 1 vi mi s t nhiờn n nờn x 2n 1 chia ht cho
x2 1; x6 1, ... chia ht cho x2 1.
Ta cú:

x7 + x5 + x3 + 1 = x7 x + x5 x + x3 x + 3x + 1

= x(x6 1) + x(x4 1) + x(x2 1) + 3x + 1
D

ca phộp chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 1l3x + 1

Bi tp:
1. Tỡm a thc d ca phộp chia: x99 + x55x11 + x +7 cho x2 + 1

2. Tìm đa thức của phép chia f(x) cho (x 2)(x 4) . Biết rằng nếu chia đa
thức f(x) cho x 2 đợc số d bằng 1, nếu chia cho x- 4 đợc số d bằng 7.
3 . Tìm đa thức d của phép chia đa thức f(x) cho (x -1).(x2 +2) . Biết rằng khi
chia đa thức f(x) cho x-1 đợc số d là 8, khi chia f(x) cho x2 + 2 đợc đa thức d là
7x-2 .
4 . Các bài toán về giá trị của đa thức
Phơng pháp hiệu quả nhất để giải dạng toán này là sử dụng đa thức phụ:
4.1 . Tính giá trị của một đa thức:
Ví dụ 12: Cho P(x) = x4+mx3+nx2+qx+e . Biết P(1)=5, P(2)=7,P(3) = 9,
P(4)=11. Tính P(10), P(11), P(12) .
Giải:
Đặt đa thức phụ:Q(x)=P(x)(2x+3)Khi đó Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4) = 0
Hay Q(x) chia hết cho (x-1),(x-2), (x-3), (x-4) . Mặt khác do bậc của P(x) là 4
nên bậc của Q(x) cũng là 4 cho nên :
Q(x) = (x-1)(x-2) (x-3) (x-4)


P(x) = (x-1)(x-2) (x-3) (x-4) +(2x+3)

Vậy tay vào ta có : P(10) = 3047 ; P(11) =5065 ; P(12) = 7947;
Bài tập:
14 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

1. Cho a thc(x) bc 3 bit f(1) = 3; f(2)=5; f(3) = 7; f(4) = 9 . Tính f(11),
f(12), f(13)
2. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3+bx2 + cx + d . Biết P(1) = 6; P(2) = 9; P(3) =

12 ; P(4) = 16 . Tính P(14), P(15), P(16)
3. Cho đa thức P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+e . Biết P(1)=3, P(2) = 9, P(3) = 19,
P(4) = 33, P(5) = 51 . Tính P(10), P(11), P(12), P(13) .
4.2 . Tính giá trị của một biểu thức
Ví dụ 13 : Cho a thc f(x) bc 4 cú h s của hạng tử có bc cao nht l 1 v
tho món: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27
Tớnh giỏ tr ca f(-2) + 7.f(6)
Gii:
t g(x) = f(x) + ax2 + bx +c. Tỡm a, b, c g(1) = g(3) = g(4) = 0
a,

b, c l nghim ca h phng trỡnh
0 = 3 + a +b +c

0 = 11 + 9a + 3b + c
0 = 27 + 25a + 5b + c


Gii h ta c: a= - 1; b = 0; c = -2 nờn t g(x) = f(x) (x2 + 2)
Bc f(x) l bc 4 nờn bc g(x)l bc 4 v g(x) chia ht cho (x 1); (x 3); (x
5).
Mặt khác f(x) có hệ số của hạng tử có bâc cao nhất bằng 1 nờn :
g(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x x0)
f ( x) = ( x 1)( x 3)( x 5)( x x0 ) + x 2 + 2

Ta có : f(-2) = (-3).(-5).(-7).(-2-x0)+6 = 3.5.7.x0+216
7.f(6) =7. (5.3.(6-x0)+38) = -3.5.7.x0 + 896
Vậy f(-2) + 7f(6) =216+896=1112
Nhận xét : Có thể nói rằng phơng pháp dùng đa thức phụ rất hiệu quả cho việc
tính toán giá trị của một đa thức hay một biểu thức liên quan giữa các đa thức .

15 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Bởi vì nếu chỉ tính toán bằng phơng pháp đơn thuần là thay vào rồi bấm máy
thì chúng ta sẽ không thực hiện đợc với những số lớn
Ví dụ 14: Cho a thc bc 4 f(x) vi h s bc cao nht l 1 v tho mãn f(1)
= 10, f(2) = 20, f(3) =30
Tính giá trị của biểu thức: A=

f (12) + f (8)
+ 25
10

Gii:
t a thc ph: g(x) = f(x) 10x
g(x)

g(1)

= g(2) = g(3) = 0

chia hết cho x 1; x 2; x 3, do bc f(x) l bc 4 nờn bậc ca g(x)

cũng l 4, t đó suy ra: g(x) =(x 1)(x 2)(x 3)(x x0)
Ta có f(x) =(x 1)(x 2)(x 3)(x x0) +10x
Thay vào ta có : f(12) = 11.10.9.(12-x0)+120 =12.11.10.9 990.x0 + 120
f(-8) = (-9).(-10).(-11).(-8-x0) - 80 = 8.11.10.9 + 990.x0 -80

vậy

A=

f (12) + f (8)
+ 25 = 1984 + 25 = 2009
10

Nhận xét : Thông thờng khi gặp bài toán này mới đầu đa số học sinh nghĩ
ngay đến việc tìm đa thức f(x) sau đó thay vào tính giá trị của biểu thức . Nhng
nếu làm nh vậy thì khó đi đến kết quả bởi vì một đa thức bậc 4 vi h s bc
cao nht l 1 thì có đến 4 hệ số còn lại ta phải xác định trong khi chỉ có điều
kiện là biết đợc 3 giá trị của f(x) . Vấn đề cơ bản ở đây là biểu thức cần tính
phải có mối liên hệ thế nào để khi tính toán có thể triệt tiêu đợc x0
Bài tập vận dụng.
1. Cho đa thức P(x) = x4-a.x3+b.x2+cx+d có P(1) = 7, P(2) = 28, P(3) = 63 .
Tính A =

P (100) + P ( 96)
8

2. Cho đa thức Q(x) = x4+ax3 +bx2+cx-12035 . Biết rằng Q(1) = 2 ; Q(2) = 5 ;
Q(30=10, hãy tính gần đúng giá trị của biểu thức Q(9,99) Q(9,9)

16 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

3. Cho đa thức P(x) = x4+a.x3+bx2+cx+d . Biết P(1) = 5; P(2)=8; P(3)=11;
P(4)=14 .
Tính B =

1
(( P (8) P (6)) 2007
2008

5 . Các bài toán về chứng minh của đa thức
5.1

Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức.

Phơng pháp 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử.
Phơng pháp 2: Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho
đa thức chia.
Phơngpháp3: Biến đổitơngđơng f(x)g(x)<=>f(x)g(x)g(x)
Phơng pháp 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức
bị chia.
Ví dụ 15: Chứng minh đa thức x2001+x2000+........+x+1 chia hết cho đa thức
x181+x180+........+x+1
Giải:
Ta có x2001+x2000+........+x+1 =(x2001+x2000+........+x1820)+(x1819+x1818+........+x1638)
+..........+(x181+x180+........+x+1)
=x1820(x181+x180+........+x+1)+x1638(x181+x180+........+x+1)+....+(x181+x180+........
+x+1)
=(x181+x180+........+x+1)(x1820+x1638+x1456+....+x182+1)
Vậy đa thức x2001+x2000+........+x+1 chia hết cho đa thức B=x181+x180+........+x+1
Ví dụ 16: Chứng minh đa thức A= x9999+x8888+........+x1111+1 chia hết cho đa thức
x9+x8+........+x+1

Giải:
A= x9999-x9+x8888-x8+........+x1111-x+ (x9+x8+........+x+1)
Xét x9999-x9=x9(x9990-1)=x9[(x10)999-1]=x9(x10-1)[(x10)998+(x10)997+.......+x10+1]
Mà x10-1==(x-1)(x9+x8+......+x+1)
17 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

chia hết chox +x8+........+x+1
9

Vậy A chia hết cho x9+x8+........+x+1
Ví dụ 17: Chứng minh C(x)=(x+1)2n-x2n-2x-1 chia hết cho D(x)=x(x+1)(x+2).
Ta có đa thức D(x)=x(x+1)(x+2) có ba nghiệm x=0;x=-1;
x=-1/2 mà:C(0)=(0+1)2n-02n-2.0-1=0 tơng tự
C(-1)=0;C(-1/2)=0=>x=0;x=-1;
x=-1/2 là nghiệm của đa thức C(x)=>C(x)D(x)
Ví dụ 18: Chứng minh rằng A(x)=x2-x9-x1945 chia hết cho D(x)= x2-x+1
Giải:
Ta có A(x)=(x2-x+1)-(x9+1)-(x1945-x) mà
x2-x+1x2-x+1;x9+1chia hết cho x3+1;x1945-x=x(x1944-1) chia hết cho x3+1(cùng
có nghiệm x=-1) nên x1945-xx2-x+1 từ đó ta suy ra A(x)D(x)
Bài tập vận dụng:
1.Chứng minh đa thức x95+x94+........+x+1 chia hết cho đa thức x31+x30+........
+x+1
2.Chứng minh: x55+x5+1 chia hết cho x10+x5+1
3.Chứng minh x1999+x27-2 chia hết cho x2-x+1
5.2 . Chứng minh biểu thức thoả mãn điều kiện cho trớc

Ví dụ 18 : Cho a thc f(x) l bc 3 vi h s ca x3 l mt s nguyờn, tho
món f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009. Chng minh rng f(2009) f(2006) l
hp s.
Gii:
t g(x) = f(x) +ax + b.
Theo bài ra ta có : f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009
Tỡm a,b g(2007) = g(2008) = 0


0 = 2008 +2007.a +b

0 = 2009 +2008.a +b
Gii h ta c : a = b = - 1
18 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

Nờn ta có g(x) = f(x) x 1
Gi s k Z l h s ca x3 ca a thc f(x). Do bc ca f(x) bng 3 nờn bc
g(x) bng 3 v g(x) chia ht cho (x 2007); (x 2008) nờn:
g(x) = k(x 2007)(x 2008)(x x0)
f(x)

= k(x 2007)(x 2008)(x x0)+x+1

Ta có : f(2009)=k.2.1.(2009-x0)+2010=2.2009.k-2k. x0+2010
f(2006)=k.(-2).(-1).(2006-x0)+2007=2.2006.k-.k.x0+2007

f(2009) f(2006) = 3(2k + 1) l hp s.

Bài tập :
1 . Cho a thc f(x) = a.x3+ bx2+cx+d a l mt s nguyờn
Biết f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009
Tính A = f(2009) f(2006) theo a . Tìm a để A chia hết cho 9
5.3: Một số bài toán chứng minh khác.
Vídụ 19: Cho Q(x)=ax2+bx+c (a,b,c R) biết Q(0);Q(1);Q(2) là các số
nguyên
a, Chứng minh c,a+b,2a là các số nguyên.
b, Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì Q(x) luôn là một số nguyên.
Giải:
a,Theo gt ta có Q(0) Z => c Z, Q(1) Z=>a+b+c Z mà c Z=>a+b
Z. Q(2) Z=>4a+2b+c Z mà

2(a+b+c) Z
=>(4a+2b+c)-2(a+b+c) Z =>2a-c Z mà c Z=>2a Z
b ,Với x Z thì x -x Z mà a Z nên a(x -x) Z;a+b Z nên x(a+b)
Z.Do đó Q(x)=a(x -x)+x(a+b)+c Z hay
Q(x)=ax +bx+c Z
2

2

2

2

Ví dụ 20: Cho f(x)= ax2+bx+c có tính chất f(1);f(4);f(9) là các số hữu tỷ.

Chứng minh rằng a,b,c là các số hửu tỷ.
Giải: Theo bài ra ta có.
19 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc

a+b+c=m

(1)

16a+4b+c=n

(2)

81a+9b+c=k

(3)

(m,n,k là các số hửu tỷ)

Trừ theo từng vế hai pt (2)và (1);(3)và (1) rồi suy ra
15a+3b=n-m
80a+8b=k-m

<=> a=(m-n):24,b=(5k+8n-13m):24

=>a,b là các số hửu tỷ ;khi đó c=m-b-a củng là số hửu tỷ.
Ví dụ 21: Cho đa thức f(x)=x2+px+q với p,q Z chứng minh rằng tồn tại số

nguyên k để

f(k)=f(2008).f(2009).

Giải:Ta có f[f(x)+x]=[f(x)+x]2+p[f(x)+x]+q=
f(x)2+2xf(x)+x2+p.f(x)+p(x)+q=f(x)[f(x)+2x+q]+(x2+px+q)=
f(x)[x2+px+q+2x+p+1]=f(x)[(x+1)2+p(x+1)+q]=f(x).f(x+1)
Với x=2008 chọn k=f(2008)+2008 =>f(x)=f(2008).f(2009).
Vídụ 22: Cho p(x)=x3+x2+bx+c; Q(x)=x2+x+2005 biết p(x)=0
Có 3 nghiệm phân biệt còn P(Q(x))=0 vô nghiệm.Chứng minh p(2005)>1/64.
Gọi x1,x2,x3 là 3 nghiệm phân biệt của phơng trình:
P(x)=0=>p(x)(x-x1)(x-x2)(x-x3) mà hệ số của x3 bằng 1nên p(x)=(x-x1)(x-x2)
(x-x3) do P(Q(x))=0 vô nghiệm nên P(Q(x))=[Q(x)-x 1][Q(x)-x2][Q(x)-x3]=0 vô
nghiệm nên
Q(x)-x10, Q(x)-x20,Q(x)-x30 với mọi x.Xét Q(x)-x10
<=>x2+x+2005 x1=0 vô nghiệm => =1+4x1-4.2005<0
=>2005-x1>1/4 tơng tự ta có 2005-x2>1/4 ;2005-x3>1/4
=>P(2005)=(2005-x1)( 2005-x2)( 2005-x3) >1/64.
Cẩm Xuyên, ngày 12 tháng 4 năm 2012
Ngời viết
Li Quang Tu

20 THCS Cm Nhng
Li Quang Tu-GV Trng


SKKN-Phương pháp giải bài toán về đa thức

21 THCS Cẩm Nhượng
Lại Quang Tuệ-GV Trường