Mô hình hóa số trị quá trình lan truyền tạp chất vùng ven biển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự N H IÊ N

TÊN ĐỂ TÀI
M Ô

IIÌM I H O Â

T R ÌN H

S Ố

LAST I R t r r Ể V

T R Ị
T Ạ P

C H A I

v r à ; ÍE V ' l ỉ i Ể i v

MÃ s ố : QT-05-05

CHỦ ĐỂ TÀI: TS. TRẨN VÃN c ú c

’ OẠI H Ọ C Q U Ỏ C GlA HÀ NỘI

T R U N C - - ! À M r i i Ọ _ r ! ị ? TlN THƯ V i Ệ N

HÀ

NÔI - 2 0 0 6


Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G ỈA H À N Ộ I

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
-----C5Ĩ - £ □ - BO------

TẺN ĐẺ TẢI
MÔ HÌNH HOÁ SỐ TRỊ
Q U Á TRÌNH LAN TRUYÈN TẠP CHẤT
VÙNG VEN BIẾN

MÃ SỐ: QT-05- 05

CHỦ TRÌ ĐÈ TÀI: TS. TRẦN VĂN

cúc

Những người tham gia chính:
TS. TRẦN VĂN TRẢN
NCS. LƯU Q UANG HƯNG
CN. HOÀNG Đ Ò N G PHƯỢNG
SVCNTN. NG U Y ẺN T HỊ XUẲN

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

HÀ NỘI - 2006

2

TÓ M TẮT ĐẺ TÀI
1- Tên đề tài: M ô hình hoá số trị quá trình lan truyền tạp chất vùng ven biển.
2- Mã số: QT05- 05
3- Chủ trì đè tài: TS.Trần Vãn Cúc
4- Những người tham gia chính: TS. Trần Văn Trản, NCS Lưu Quang Hưnơ, CN.
Hoàng Đ ồng Phượng, SV (CN TN )N guyễn thị Xuân.
5- Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
- Tìm hiểu các quá trình lan truyền tạp chất trong nước
- Thiết lập mô hình toán học.
- Tìm lời giải giải tích một số trường hợp đặc biệt
- Xây dựng mô toán học cho bài toán lan truyền tạp chất vùng ven bờ.
- Thiết lập đúng đắn các điều kiện đầu và điều kiện biên cho bài toán.
- Giải sổ bài toán với một nhóm các điều kiện biên và điều kiện đầu .
6- Các kết quả đã đạt được:
- Tìm được lời giải giải tích một số bài toán cụ thể và mở rộng một số lời giải
tích đã có
- Đã xây dựng được mô hình toán học cho bài toán lan truyền tạp chất vùng
ven bờ và đã có lời giải sô bài toán đó.
- Các kết quả nghiên cứu được thể hiện qua một bài báo gửi đãng ở Tạp chí
Cơ học: “The diffusion problem o f com pound in w eak turbulent region” - “Bài
toán khuếch tán tạp chất trong miền rối y ếu ”
- M ột báo cáo K hoa học tại Hội nghị Cơ học chất lỏng toàn quốc ‘'Mô hình số
trị hai chiều bài toán khuếch tản tạp chất vừng ven biến” tháng 7- 2006 sap tới
- Hai tiểu luận tốt nghiệp của sinh viên.

3

7- Kinh phí đề tài:
a) Được cấp:

20.000.000đ

b) Chi tiêu:
- Thuê khoán chuyên môn :

12.000.000đ

- Hội nghị,hội thảo khoa học :

3.000.000đ

- Chi khác:

5.000.000đ

Tổng cộng:

20.000.000đ

KHOA Q U ÁN LÝ

CHỦ TRÌ ĐÈ TÀI

(Ký và ghi rõ họ tên)

(Ký và ghi rõ họ tên)
;

A

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
PHÓ HIỆU I KUỎNG

GS.T3.^4«m/ ctlU p/u

4


SU M M A R Y
1- T itle o f th e p ro je c t: Num erical M odelling the Pollutant Dispersion Process at
Coastal Zones.
2- Code o f the project: QT-05- 05
3- Head of the research group: Tran Van Cue, PhD
4- P a rtic ip a n ts: Tran V an Tran, PhD; Lưu Q uans Hưnơ, PhD Student; Hoang Donơ
Phuong, BSc; N guyen Thi Xuan, Honors Student;
5- Aims and contents o f the project:
- U nderstanding the pollutant dispersion process in waters
- R econstructring the mathematical model
- Finding the analytical solution in some special cases
- Establishing the m athem atical model for the process o f pollutant dispersion in
coastal zones.
- N um erical m odelling for some cases with selected boundary condition and
initial condition.
6- Obtained result:
- Finding analytical solutions for some w ell-know n problems; extending the
result for m ore som e generic case.
- Establishing the m athem atical model for the process o f pollutant dispersion in
coastal zones; and bluiding programs for these results.

- The result is to be appeared in the Vietnam Journal o f M echanics “The
problem o f p o llutant dispersion in weak-turblulent region ”
- A paper in the proceedings o f the national conferences on fluid mechanics
“N um erical m odelling the pollutant dispersion in areas"
- Two student’s essays

5


7- Fiancials:
20.000.000d

a) Receiving:
b) Spending:

12.000.000d

- For research works :

- For conferences and seminars : 3.000.000d
5.000.000d

- For other works:
Total:

20.000.000d

6

M Ụ C LỤC
Trang

M ở đầu

9

Chương 1. Hiện tượng khuếch tán tạp chất: Cơ sở lý thuyết

10

1.1. M ột số khái niệm

10

1.2. Hiện tượng lan truyền tạp chất

10

1.3. Thiết lập phương trình lan truyền tạp

chât

11

1.3.1. K huếch tán phân tử

11

1.3.2. K huếch tán rối

12

1.4. Phương trình lan truyền tạp chất một chiều, hai chiều và ba chiều

13

1.4.1. Phương trình lan truyền tạp chất ba chiều

13

1.4.2. Phương trình lan truyền tạp chất hai chiều

13

1.4.3. Phương trình lan truyền tạp chất một chiều

13

Chương 2. M ột số nghiệm giải tích

ỉ4

2.1. Bài toán ba chiều khuếch tán tạp chất của một điểm nguồn

14

2.1.1. Đ ặt bài toán

14

2.1.2. Phương pháp giải

15

2.1.3. Áp dụng

16

2.1.4. N hận xét

23

2.2. Bài toán khuếch tán tạp chất trong miền rối yếu

23

2.2.1. Xây dựng mô hình

23

2.2.2. Đ iều kiện đầu và các điều kiện biên của bài

toán

24

2.2.3. M ột số phép biến đổi

25

2.2.4. T rường hợp riêng

28

2.2.5. K ết luận

31

C hương 3. Mô hình số trị hai chiều khuếch tán tạp chất vùng ven biển
3.1. M ô hình toán học

32
32

7


3.1.1. Hệ phương trình

32

3.1.2. Các tham số cùa mô hình

33

3.1.3. Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu

33

3.2. Phương pháp số

34

3.2.1. Hệ phương trình dòng chảy

34

3.2.2. Phương trình khuếch tán tạp chất

35

3.3. Kết quả tính toán

36

3.3.1. Bài toán 1

36

3.3.2. Bài toán 2

38

3.4. Nhận xét

40

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

Phụ lục

44

8


M Ở ĐẦU
V ùng ven biển nước ta, đặc biệt là những nơi có cửa sông, vịnh, hàng ngày
có một số lượng lớn tạp chất đổ ra biển. Bài toán tìm quy luật phân bố tạp chất cho
những miền đỏ rất có ý nghĩa thực tiễn,vì thế đã có nhiều công trình nghiên cứu bài
toán này .Trong các hướng tiếp cận để giải bài toán, hướng nghiên cứu bàng phương
pháp mô hình hoá số trị cỏ nhiều ưu thế hơn, do dựa trên cơ sở toán học chặt chẽ và
kết quả nghiên cứu có khả năng triển khai ứng dụng. Cho đến nay,một số tác giả đã sử
dụng mô hình số trị sẵn có của nước ngoài [4], hoặc tự xây dựng nhưng sử dụns
phương pháp sai phân hiện đơn eiản [18] trong việc giải bài toán tìm phân bố tạp chất
trons chất lỏng nói chuns và trong vùng ven biển nói riêng.
Khi nghiên cứu bài toán trên, nhiều tác giả cho rằng các mô hình số trị hai
chiều(2D) cho kết đáng tin cậy và vì thế chủng vẫn đang được áp dụng rộng rãi không
nhữna ở nước ta mà cả trên thế giới.Khi sử dụng mô hình 2D,ta có thể tiếp cận bằng
sai phân lưới tam siác [12], bằng phương pháp đặc trưng cải tiến [17], hoặc bằng
phương pháp hệ thông tin địa lý GIS [12 ]..
Trong đề tài này, ta sử dụng mô hình hai chiều (2D) đầy đủ, gồm một hệ
phưcmg trình động lực học có tính đến ảnh hưởng của gió, ma sát đáy và nhớt rối, kết

hợp đồng thời với việc giải phương trình khuếch tán tạp chất. Hệ phương trình thuỷ
động lực học trons trường hợp hai chiều được chứng minh là khá tốt cho các vùng
ven biển nước ta [18], Phương trình khuếch tán tạp chất trong mô hình có tính đến
yếu tố phân huỷ hoặc tạo thành tạp chất.
Đề tài đã tự xây dựng phần mềm trên cơ sở một sổ chương trình đã có.

9


Chương I.
H IỆN TƯỢNG KHUÉCH TÁN TẠP CHÁT
CỞ SỞ LÝ THUYÉT

1.1. Các khái niệm
Trước khi đi sâu vào tìm hiểu bản chất toán học của quá trình lan truyền tạp
chất, chúng ta hãy cùng làm quen với một số khái niêm sau đây:
Tải (advection): là quá trình vận chuyển vật chất do dòng chảy.
Đ ối lint (convection): là quá trình vận chuyển vật chất theo chiều thẳng đứng
sinh ra bởi sự mất ổn định thuỷ tĩnh.
Khuếch tán p h â n tử (molecular diffusion)', là quá trình sắp xếp vị trí phân tử do
chuyển độns ngẫu nhiên nội tại của các phân tử, được miêu tả bằng định luật Fick.
Khuếch tán rối (turbulent diffusionj: là quá trình sắp xếp ngẫu nhiên vị trí phân
tử vật chất do chuyển động rối.
Trượt (shear)-, là quá trình vận chuyển phần tử vật chất với vận tốc khác nhau
tại các ỉớp vị trí khác nhau.
Phân tán (dispersion)', là quá trình suy giảm mật độ phân tử hoặc đám mây vật
chất dưới tác dụng kết hợp cùa sự trượt và khuếch tán ngang.
Xáo trộn (mixing): là quá trình khuêeh tán hoặc phân tán vật chất; hoặc quá
trình trộn lẫn hay làm loãng các khối chất lỏne này với các khối chất lòng khác.
Bốc hơi (evapolation)'. là quá trình vận chuyển hơi nước từ bề mặt chất lỏng

hoặc chất ran vào không khí.
Lẳng (settling)-, là quá trình chìm xuống của các phần tử vật chất khác nhau về
khối lượng riêng.
Lan truyền (spread)-, là quá trình phân bố theo không gian.
Chất tan (solute)-, là chất phân rã được trong dune môi.
Chất ô nhiễm (pollutant)-, là chất gây hại cho môi trường khi nó được hoà trộn
với không khí, nước, và đất.
Chất bắn (contaminant)', là chất gây hại cho môi trường khi nó được hoà trộn
với không khí, nước, và đất; nó không tự nhiên xuất hiện trong môi trường.
Tạp chất (impurity)', là những chất có mặt trong chất khác, làm cho chất lượng
của chất đó giảm xuống.
1.2. Hiện tượng ian truyền tạp chất
Nếu trong chất lỏng có xuất hiện sự chênh lệch về mật độ vật chất, hoặc có
chuyển độns trona, chẩt lỏna. thì hiện tượng lan truyền xảy ra, Hiện tượng lan truyền

10


có thể do khuếch tán phân tử, khuếch tán rối, hay do tải. Đối với những chất tan, hiện
tượng khuếch tán phân tử liên quan mật thiết với định luật Fick. Trong nghiên cứu
này, chỉ xét đến những tạp chất tan được trong nuớc.
1.3. Thiết lập phưong trình lan truyền tạp chất
1.3.1. Khuếch tán phân tử
Phân tán phân tử của tạp chất (impurity dispersion) liên hệ với mật thiết với hai
quá trình: khuếch tán (diffusion) và tải (ađvection). Ảnh hưởng của khuếch tán và tải
được đặc trưng bởi số Peclet Pe = UL / D : nếu Pe > 1 thì quá trình tải chiếm ưu thế,và
ngược lại khi Pe < 1 quá trình khuếch tán chiếm ưu thế.
Xét một thể tích chất lỏng V giới hạn bởi một mặt kín s . Tạpchất chuyển qua
mặt kín s trong m ột khoảng thời gian A/ = f2 — được tính qua các quá trình sau:
1- Thay đổi nồng độ tạp chất do khuếch tán phân tử thoả mãn định luật Fick:

2- Thay đổi nồng độ tạp chất do tài:
/2

ft = J ịịv„cdsdt

( 1.2)

/I s

trong đó n là véc tơ pháp tuyến ngoài của mặt

s, F = (« ,v ,w )là

vectơ vận tốc dòne

chảy,C=C(x,y,z,t) là nồng độ tạp chất trong chất lỏng, D là hệ số khuếch tán phân từ.
. 3- Thay đổi nồng độ tạp chất do các quá trình tạo thành tạp chất, hoặc là quá trình
biến đổi nồng độ tạp chất đó do các tác động sinh hoá, vật lý khác:

a = jjfpw™ (1.3)
trong đó F(x,y,z,t) gọi là m ật đô. của tạp chất được tạo thành trong m ột đơn vị thể
tích,trongm ột đơn vị thời gian.
Do các quá trình trên,trong thể tích V sẽ diễn ra quá trình biến thiên nồng độ
tạp chất tại mỗi điểm của nó.Trong khoảng thời gian A t,trong V lượng tạp chất biến
thiên sẽ là:

Theo định luật bảo toàn khối lượng :
(? 4

-

Q ì ~ ( Q

Từ đó ta có:

11

ì+

Q

ĩ)


]|| JV J UJl f'dvá‘ = 1I1 \\\Fdvdl
- V( - ]Ms
V

+)<1 \\V
-Cdsd1
s

uri

Sử dụng công thức Ostrogradsky- Gauss và biến đổi toán tử g r a d :
j ị ị ị ^ - d V d t = I ịị\F d V d t (I

V

(|

dt

- Ị \ị\d iv(D g ra d C )d V d t + j ị\ịd ìv { v c ) d v d t

ị,-

_

,1

(

,1

V

Do thể tích V và khoảng thời gian Aí được chọn một cách tuỳ ý nên ta thu
được phương trình mô tả quá trình thay đổi nồng độ tạp chất:

Ẽ£Ẽỵ£. dvvC _ d fDdC'
õt

õx

õy õy

õx V

õx J

D

õy

5C
õy

+■
õz D õ-õzê

+ F (1.6)

1.3.2. Khuếch tản rối
Thực nghiệm cho thấy ràng ảnh hường của khuếch tán phân tử là không đáng
kể so với khuếch tán rối. Do đó trong các lý thuyết bán thực nghiệm, người ta thường
bỏ qua khuếch tán phân tử, chi xét đến khuếch tán rối.
Phương trình khuếch tán trong trường hợp bỏ qua hệ số khuếch tán phân tử và
không tính đến ảnh hường của nguồn có dang:
dC

õuC

õt

õx

õvC

õwC

------1--------- 1--------- 1--------

õy

0 (1.7)

õy

Sử dụng biểu diễn các đặc trưng trong dòng rối theo Reynolds:
u - ũ + u ’ ,v = V + v' ,w - W + w’,

c

= c + C' (1.8)

trong đó các đặc trưng có gạch đầu biểu thị các đặc trưng trung bình còn các đại
lương có dấu phẩy biểu thị các các đặc trưng biến đổi mạch độnơ.
Thay (1.8) vào (1.7) và lấy trung bình theo Reynolds,ta thu được:
ôvC
ÕC õuC
------ 1------- +
Ôt
õx
õy

õw C

d u 'C

õv'C '

õw'C'

dy

õx

ôy

õz

(1-9)

Nếu chất lỏng là đẳng hưởng và không nén được, nhiều tác giả is
thiết Bousinessq để đưa đến già thiết tỷ lệ g ra d nồng độ trung bình:
u'C' - - K

ÕC
XX

ri
ộ
II
1

v'C' - - K yy

ôx

ÕC
õy
ÕC
GZ

12

„ iựng giả


trong đó K ^ K ^ tK.. được gọi là các hệ số khuếch tán rối theo các phương x,y,z.
Với các giả thiết đó phương trình (1.9) trở thành:
ÕC ^ d C
^ÕC ^ Õ C
õ
------h u ——+ V— + w ——= —
dt
õx
õy
õz
õx V

+

õx

-

õy

K.

ÕC

ô_

ày

õz

K.

ÕC

( 1. 10)

dz

Trong trường hợp có xét đến nguồn và ảnh hưởng của quá trình láng, sau khi bò qua
ký hiệu trung bình,phương trình (1.10) có dang:
ÔCÕC _ÕC

ÕC

------|_M------ h v - ----- h w ----

dt

dx

dy

õz

õ ( „ ÕC\ õ ( „ a c ì
ÕC\ ôcủC
— K „ — + — K m— + — K = — + — — + F (1.11)
Sxl.
d x ) cỊylõ y ) ô z \
õz)
õz

trong đó co là vận tốc lắng theo phương thẳng đứng z.
1.4. Phương trình lan truyền tạp chất một chiều, hai chiều và ba chiều
1.4.1. Phương trình lan truyền tạp chất ba chiểu
ÕC
ÔC ÕC
ÕC
-----Vu ———h V———h w ---ôt

õx

õy

ôz

K ễ£
+dy
” ẽy.

OX

8 (
õz

ạ ?
dz

+ — + / ’(1.12)
ôz

1.4.2. Phương trình lan truyền tạp chất hai chiểu
Phương trình lan truyên tạp chất hai chiều có chứa phương thẳng đứna:
ÔC
ÕC õ (
õ (
ỔCÌ õcữC
. _
acì
+ u- ---- 1- w ----- ------ KXX—— + — K :. ---- + ^ - + F (1.13)
õx
C1 õx V
õx , õz \
õz ,
Õz
dt

ÔC

Phương trình lan truyền tạp chất hai chiều lấy trung bình theo phương ngang:

ÕC
dC
+ U- — +
õt
dx

- —

ÕC
õy

V - —

d_ { v ỔCÌ õ
ÔC^
Kxx — +
+ F (1.14)
K>
n.v
õx
õy J
dx , õ y V
—

V

ỉ.4.3. Phương trình lan truyền tạp chẩí một chiểu:
ÕC
õt

ÕC
dx

õ
õx

ÕC
+ F (1.15)
õx

Trong mô hình chính tới phương trình lan truyền tạp chất trung bình hai chiều theo
phương ngang (1.14).và phương trình lan íruyền tạp chất ba chiều

13


Chưcmg II.
M ỘT SỐ NGHIỆM GIẢI TÍCH

N ghiệm giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc bước đẩu đánh giá tính
chính xác của mô hình.
Dưới đây chúng tôi nghiên cứu hai trường hợp có nghiệm giải tích bàne hai
phương pháp khác nhau.

2.1. Bài toán ba chiều khuếch tán tạp chất của một điểm nguồn
Phương trình khuếch tán tạp chất có thể tìm được nghiệm eiải tích trong một số
trường hợp đơn giản.N ghiệm giải tích đóng vai trò quan trọng trons kiểm nghiệm mô
hình số, trong so sánh tính chính xác của thuật toán, cũn® như trong xây đựns các
thiết bị thí nghiệm phục vụ nghiên cứu lan truyền chất tan.
Có nhiều phương pháp đã được đưa ra để tìm nghiệm giải tích của phương

trình lan truyền tạp chất . Tuy nhiên, đa phần các phương pháp này hoặc tươna đối
phức tạp trong tỉnh toán, và đòi hỏi nhiều tài nguyên trong lập trình, hoặc chỉ áp dụng
được cho trường hợp 1- 2 chiều.
Trong phần này ta đề cập đến một phương pháp tìm nehiệm giải tích cho
phương trình khuếch tán 3 chiều. Phương pháp này có ưu điểm là nghiệm thu được
ngắn gọn, hiệu quả lập trình cao, có thể mở rộng cho trường hợp đa nguồn hoặc phân
bổ ban đầu liên tục bất kỳ.
2.1.1. Đ ặí bài toán
Một mô hình đơn giản cho địa hình được thiết lập dưới dạng nửa không gian,
chiều sâu của đáy là H . D òng chảy chủ yếu theo hướng dọc theo trục X, vận tốc là
hằng số (u,v,w ) = 0 ,0 ,0 ) . Trong miền tính, phân bố nồng độ tạp chất là liên tục và giả
thiết các hệ số khuếch tán không đổi.Với các giả thiết đó,phươne trình 3 chiều mô tả
quá trình khuếhc tán tạp chất có dạng:

ÕC
ÔC
d7C
— + U— = ẢT — f
õt
õx
“ õx2

d2C
Ổ2C /T,
f + / C — f (I)
w õy2
= ôz2

Tại các biên của nửa khôns gian gồm đáy, bờ và m ặt thoáng, phân bố tạp
chất thoả mãn điều kiện không thấm (điều kiện Neum ann):

— = 0 tại z = 0,
õy
— = 0 tại z = 0,H
dz
N ồno độ chất tan sẽ giảm bans không khi rất xa nguôn:

14


—— - » 0

khi

X ->

±00

õx
Điều kiện đầu được cho tại một điểm trong không gian qua hàm Dirac:
C(x,y,z,t0) = MS(xs , y s , z s )
2.1.2. Phương pháp giả i
Fischer et al (1979) đã sử dụng phương pháp nguồn ào để tìm nghiệm giải
tích của phương trình lan truyền tạp chất một chiều. Phương pháp này dựa trên ý
tưởng: nếu tồn tại m ột nguồn ảo đối xứng gương qua biên, thì lượng chất tan chuyển
qua biên sẽ cân bàng. Lúc này, gradient nồng độ chất tan sẽ bằng không trên biên.
Ông đã áp dụng nó cho trường hợp với một biên, và trường hợp hai biên với nguồn
đối xứng. Ở đây, xét trường hợp hàm c có dạng bất kỳ:

Giả sử f ( x ) là nghiệm của bài toán đầu Cauchy. K hi đó hai nguồn ảo đối
xứng gương với f ( x ) qua biên là / ( 2 X 0 - x ) và f ( 2 X 0 -

X

+ 2 X) tác động đến phân

bố chất tan trong miền tính. Tuy nhiên, tại các biên của nguồn ảo, điều kiện biên
gradient cũng phải thoả mãn, nghĩa là ta thêm vào các nguồn ảo của chúng đại lượng
f ( x - 2X) và f { x + 2 X ) . Cứ như vậy chúng có dạng tuần hoàn với các nguồn ảo đan
xen nhau:
f m ( x )= f ( x ~ 2 n X )
f ĩ n +Ả x ) ~ f { x 0 - x + 2(n + i ) X )

Nghiệm thoả mãn các điều kiện biên trên là:
c (.v )- lim V { f { x - 2 n X ) + f ( X ữ - x + 2(n + ỉ)x)}
v-* 'rr:
N ếu chọn

x 0= - L ; X

= 2Z,;/(x) = e x p (-x 2) thì ta thu được nghiệm của Fischer

H
,
\
c (x )= lim y 'e x p ( - ( x - 2 n l ) 2)

15


2.1.3. Á p dụng

Á p dụng cho bài toán 3 chiều trong kênh. N ếu coi f ( x , y , z , t ) là hàm mô tả
phân bố trong toàn không gian theo phương X. Nồng độ tạp chất trong miền được cho
bời hệ thức:
c ( x ,y ,z ,t) = lim lim V Y { /(x ,y - 2 i W , z - 2jH ,t)+ f { x , ~ y + 2(i + l ) W , z - 2j H, t )
I -*5C J —>00

Á

J

+ f ( x , y - 2 i W - z + 20' +1 ) H , t ) + f ( x , - y + 2(i +1 )W , - z + 2( j +1 )H,t)}
Trở lại phương trình (I), chọn hàm 9 [ x , y , z , t ) sao cho:
c ( x , y , z , t ) = ớ( x, y , z , t ) e x p

u(2x-ut)
(II)
4 K.

Từ đây thu được các biến đổi:
(
u2 A
ÔC 09
í \ a
( \
a
a exp( ) + 0 t x p { ) V 4 Ka J
(
\
ÕC õỡ
t \ a

í \ u
^dx = dx
^ exp( ) + ớexPl )

Õ2C _ ô 2e

, ,

.09

( >

i ^ =i ? exp( )+2i exp(>
d2c

õ2e

í

+ 6lexp( )

u \2

, ,

ỡ c a2ớ , S
i í =i í exp()
N hân lần lượt 4 phương trình cuối các hệ số u, Ka , K ,K„ tương ứng rồi cân
bàng theo phương trình lan truyền chất tan, rồi chia cả hai phương trình cho expO, ta
co:

ôt

4 AT

XX

+u
/

õx

2Kr

= K.

d29

í
„ ôd u
■+ 2
+0
ỏx 2K.

u Ỹ

Sau khi rút gọn :
Õ 2Ỡ
dỡ
=K

+ K„
ởi
“ ờx'
ôx2 ' “ "” ÔV2
ôy + K ^ õz

Nghiệm của bài toán Cauchy này với điều kiện đau Dirac sẽlà:

16

qv

/


M

0{x,y,z,t) =

{ X- Xs)2
4K j

rexp

K„K„KS

{ y - y s)2
AKt

4Kjt

(III)

Thay (III) vào (II), ta thu được:
M

c(x,y,z,t) =

rexp

K « K„ K=

{x-Xsf _

u(2x-ut)

4K j

4K r

( y - ^ ) 2 { z-zsf
4K t

4K j

{ y - y 5)2

( z ~ zs ) 2
4K J

Hay:
i x ~ x s - u i ) 2 - 2 xsut

M

c(x,y,z,t) =

4 KJ

V (4 « )J K „ K „ K = " r

4K j

Sử dụng tính toán ở trẽn ta dẫn đến:
M

c(x,y,zj) =

exp

(JC- xs - u í Ỵ - 2xsuí
AK .J

Ậ A m ) ' K „K „K =
I

lim lim

7

J

V

•i—1 i —J

exp

( y - 2 i ỉ V - y s )2

exp

exp

4K j

4V

/ = - / J=-J

exp

(z -2 jH -z sf

(~y + 2W - y s )2 (z - 2 ( j + Ỉ)H - zs )2
4 K yyl

4K j

( - ^ + 2(/ + l ) ^ - X s ) '

( - y + 2(/ + l)Fr 4V

{z - 2j H ~ zs f
4K j

+

+

+

)2 ( z - 2 ( ý + 1 )// - z5 y
4Kj

Kết quả này đúng cho trường hợp hai chiều. Các hình học hai chiều được chúng tôi sử
dụng để m inh hoạ cho kết quả tính toán

I OAI HOC Q U Ố C GIA
I ỈPƯNS íAM t H O n G fjNỊ

HÀ MO, '
ỉ V-‘FNj


HdmeUCM ỉ 23NƠV/2005 I LQH?0

Solute Dispersion Smitlatron

18

F r a n e o m I 2 3 N Ơ V 2006 I LOH2D -S o lu te D is p e r s io n S m ija io n

19


20


F ra m e 001 I 01 D ec 2 0 0 5 I LQ H 2D - SoltrtBDispersionSfnm adon


f rame 001 I 01 Dec 2005 I LQH2D
2 0

o

Solute Dèsperstcn SfTiulalion

r

10 -

Frame 001 I 2 3 N o r 2 005 I L Q H 2D - Solute Dispersion Srnulatĩon

z


2.1.4. N hận x ét

Ta nhận thấy ràng hàm phân bố nồng độ tạp chất là hàm e mũ. Phân bố tạp
chất trong miền phụ thuộc vào chiều rộng và độ sâu của miền; vị trí của nguồn trong
miền, cũng như tốc độ dòng chảy. Công thức này cho ta biết nồng độ cùa tạp chất một
cách chính xác tại bất kỳ điểm nào thuộc miền tính.
N eu cố định từng điểm x , y , z , có thể viết gọn công thức trên dưới dạng như
sau:
Ả,

c i ( 0 = ^ r f exP

4K

Rõ ràng giới hạn này tiến đến khôns khi thời gian tiến đến vô cùng. Điều đó
có nghĩa là nồng độ chất tan sẽ giảm đến không sau một khoảng thời gian đù lớn.
Tương tự, nếu như cố định thời gian t và vị trí y , z , công thức trên có thể được viết
lại như sau:
2 ■

exp
V

1

K

c2

^ 5

J

Đây là hàm phân phối chuẩn. Điều đó có nghĩa là dọc theo miền, phân bố tạp
chất vẫn giữ được hình dáng phân phối chuẩn. Bên cạnh đó, giới hạn C2 trona công
thức cũng giảm đến không tại các giá trị đủ lớn. N hư vậy càng xa nguồn về phía hai
đầu chiều dài của m iền, nồng độ chất tan càng nhỏ.

2.2. Bài toán khuếch tán tạp chất trong miền rối yếu
Trong phần này giới thiệu một mô hình xác định quy luật phân bố tạp chất trong miền
dòng chảy hai chiều có sự xáo trộn rôi yêu .Dòng chày sao cho thành phần vận tôc
theo chiều thẳng đứng biến đổi bé và gradien củathành phần vận tốc theo phưcmg
dòng chảy là rất bé được gọi ỉà miền rối yếu.
2.2.L X â y dự n g m ô h ìn h
Phương trình khuếch tán rối tạp chất írone không gian hai chiều,có chứa chiều íhẳne;
đứng theo (1.13) có dạng:
ÔC
ÕC
——+U-—
õt
Õx

ÕC_
ôz -Õxí '

+
õx )

ÕŨ)C
n ,
'
k - £ \ +^ L +F ạ )

ịõz( ,
ôz J
õz

Để đơn giản, ta xét bài toán với một sổ giả thiết sau:
1.

M iền chất lỏng có phân bố tạp chất là một hình chữ nhật

£>= {0trong đó l,h hoàn toàn xác định.

23


2.
Trong miền D phân bổ vận tốc dòng chảy thay đổi yếu theo hiềo sâu hay còn
gọi là miền có xáo trộn rối yếu [1],[3]
Nói cách khác trong miền D ta có thể giả thiết phân bố vận tốc của chất lỏng thoả
.

du

1

du

mãn điêu kiện u » w, — » —
dz
dx

Với già thiêt đó, ta có thê bỏ qua thành phân vân tôc w và giả thiêt — = £ trong đó £
õx
là hàng số bé khác O.Neu tích phân theo biến X hệ thức đó,ta có:
u( x, z , t ) = € x + u0( z , t ) (2)

với w0( z ,t) * 0 là phân bố vận tốc tại mặt cắt x=0.
3.

Thành phần vận tốc lắng co không đổi.

4.
Các thành phần cùa Tenxơ hệ số khuếch tán thoả
K:: = K = cosnt và theo [1],[2] có giả thiết
5.

K„=au2

mãn điều kiện

(3)

trong đó a là hệ số tỷ lệ, xác định từ những điều kiện cụ thể của bài toán còn
u (x , z, t ) xác định theo (1.2)
ó.Trong miền đang xét không có phân bố nguồn.
Tóm lại ta cần xác định quy luật phân bố tạp chất thoả mãn phương trình:
(
ÕC^ + K õ2c ) + ú) ÔC

ÔCÕC ô
—— I-u -— = — ( r

õt
õx õx V

(4)

—

õx )

V

õz2 ]

õz

trong miền dòng chảy hai chiều D = { 0 < x < /,0 < 2 < /j} và u(x, /. , t), Kx thoả mãn các
giả thiết (A2), (A 3).
2.2.2. Đ iều kiện đầu và các điều kiện biên của bài toán
1. Phân bố tạp chất ban đầu trona miền D, giả sử ta đã biết

4-0 =c°(*’z)
2.Tại mặt cắt đầu x=0 và m ặt cắt cuối x=l, giả sử xác định được quy luật phán bố của
tạp chất:
cL = ci( z’0 (6)
c\x=l=c: (z,t)

(7)

3.Tại đáy và m ặt thoáng phân bổ tạp chất thoả mãn điều kiện
cL

( 8)

= c3(*»0

24


cL

(9)

= c4 (* ,0

Hoặc
õc
Õx

( 10)

=0
2

=

0

(K ^-+ coc)
õx

z =h

=0

( 11)

trong đỏ các hàm c0, c,, c2, c3, c4 thoả mãn cá điều kiện đòi hỏi của bài toán

2.2.3. M ột số ph ép biến đổi
Đe giải bài toán đặt ra trên đây, ta thực hiện phép đổi biến về dạna không thứ nauyên
sau đây:
X.

= ■

K
2
~ = l n [ l + g(z,t)x], z. ==-,t.■•=TĨ> (12)
n
h
£ h'Ja

trong đó
g(z,0 =

(13)
u 0( z , t )

Phép đổi biến (A 1 2 ) là đơn trị vì Jacobien cùa phép biến đổi trên có
E ỉ n ỉ n h 2 t 0 (M)

D(x ,x,t..)
Với phép đổi biến (3.1) phương trình (1.4) trở thành:
õc
Ô7C
d 2c
õc
õc
— = — ^ + -r^ - - 2 a — + 2b—õ t.

õx.

õz.

õx.

, .
(15)

õz.

írong đó:
ị \ Jr a e ) h
2W

Củh

(1 6 )

' b = ĩẺ

M iền D trở thành m iền D, = {0/0(z.,/.) = ^ = ln [ l + lg(z.,r.)] (17)
shyja

25