Dạy học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá, giỏi THPT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CHU ĐỨC MINH

DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONG
LỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - NĂM 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CHU ĐỨC MINH

DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONG
LỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa sau đại học − Đại học giáo dục, Đại
học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy tại Khoa
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô tổ Toán − Tin
trường THPT Việt Đức đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình giảng
dạy thực nghiệm tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong luận văn chắc chắn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu
của thầy cô,và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà nội, Tháng 10 năm 2016

Chu Đức Minh

i


Danh sách bảng
1.1
1.2
1.3

Tần suất dạy nội suy đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cách học nội suy đa thức của học sinh . . . . . . . . . . . . .
Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức . . . .

14
17
17

4.1
4.2
4.3

Cách học nội suy đa thức của học sinh . . . . . . . . . . . . .
Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức . . . .
Điểm kiểm tra sau thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

72
72
73

ii


Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt
GV

Giáo viên

HS
Học sinh
THPT trung học phổ thông

GTLN giá trị lớn nhất
GTNN giá trị nhỏ nhất

iii


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt

ii

MỞ ĐẦU

5

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong trường
trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . .
1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở
trường THPT không chuyên . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung
học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Thực trạng việc dạy và học nội suy trong lớp các đa thức với
hệ số nguyên ở một số trường trung học phổ thông . . . . . .

9

2 Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và bài
toán nội suy
2.1 Một số tính chất của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . .
2.1.1 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ
số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . .
2.2 Một số bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Nội suy Abel − Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

9
9
10
11
12

20
20
20
21
22
22
27
29

3 Một số ứng dụng của nội suy trong lớp các đa thức với hệ
nguyên
3.1 Một số dạng bất đẳng thức và cực trị trên tập số nguyên . .
3.1.1 Các bất đẳng thức với ràng buộc tổng không đổi . .
3.1.2 Các bất đẳng thức với ràng buộc về tích không đổi .
3.1.3 Các bất đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Một số bất đẳng thức và cực trị liên quan . . . . . .
3.2 Một số dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Phân thức nhận giá trị hữu tỷ . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Nội suy và đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . .
4 Thực nghiệm sư phạm
4.1 Mục đích, tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm
4.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . .
4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . .
4.1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . .
4.1.4 Nội dung thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm . . .
4.2.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

số
.
.
.
.
.
.
.
.

31
31
31
45
46
50
52
52
59

.

.
.
.
.
.
.
.

68
68
68
68
68
69
70
70
71

Kết luận và khuyến nghị

76

Tài liệu tham khảo

77

v


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần thứ
8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo nêu rõ: " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát
triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy và
bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh...Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời".
Toán học là một trong các môn học luôn được ưu tiên và chú trọng phát
triển hàng đầu trong mỗi nền giáo dục. Bởi ngoài những ứng dụng thiết thực
trong cuộc sống hay khi mang vai trò là công cụ không thể thiếu cho nhiều
môn học khác thì Toán học còn là môn học giúp rèn khả năng tư duy cho
học sinh. Với khối lượng lớn về kiến thức và tính logic, chặt chẽ về nội dung
mà trong quá trình học tập môn Toán, học sinh phải không ngừng lỗ lực tìm
tòi, vận dụng và liên kết các nội dung kiến thức, từ đó giúp cho tư duy của
các em trở nên nhanh nhạy, kích thích sự sáng tạo.
Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng thực sự yêu thích và học tốt
môn học này, do vậy nhiệm vụ của người giáo viên bộ môn Toán là hết sức
quan trọng. Ngoài việc giảng dạy, định hướng cho các em tiếp cận các nội
dung kiến thức mới thì việc cung cấp cho các em hệ thống đầy đủ về cơ sở lý
thuyết, đưa ra một số hướng ứng dụng cơ bản để các em tìm tòi và phát triển
là rất cần thiết. Bởi nếu có một hệ thống lý thuyết đầy đủ, một số hướng
ứng dụng cơ bản thì các em sẽ tự củng cố và khắc sâu kiến thức, có được nền
tảng tốt để tiếp cận đến những vấn đề phức tạp hơn, từ những hướng ứng
dụng ban đầu, các em sẽ hứng thú hơn, có động lực để tìm tòi, phát triển
sâu sắc hơn những ứng dụng và tìm ra các ứng dụng mới, từ đó tăng cường
khả năng tư duy và kích thích sự sáng tạo.

5

Các bài toán nội suy và các vấn đề liên quan đến nó là một phần quan
trọng của đại số và giải tích toán học. Các học sinh thường phải đối mặt với
nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này. Các bài toán nội suy
có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như những đối tượng để nghiên
cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên
tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình,
lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn...
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực
và quốc tế, các bài toán liên quan đến nội suy (thường chỉ dừng lại ở nội
suy Lagrange và khai triển Taylor) rất hay được đề cập và thuộc loại khó và
rất khó. Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá
trị cực trị của tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một
biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy
tương ứng.
Các bài toán nội suy và đặc biệt các bài tập về ứng dụng công thức nội
suy thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách tham khảo về đại
số và giải tích toán học. Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cần
thiết cho giáo viên và học sinh khá, giỏi bậc trung học phổ thông.
Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “dạy học nội suy đa thức trong lớp các
đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông” làm
đề tài luận văn của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn khi dạy và học nội dung chủ đề nội suy đa
thức trong lớp đa thức với hệ số nguyên.
- Tìm hiểu những vấn đề liên quan đến nội suy đa thức trong lớp các
đa thức với hệ số nguyên và một số ứng dụng.
- Đề xuất các biện pháp cần thiết nhằm giúp học sinh giải quyết được
một lớp các bài toán liên quan đến nội suy đa thức trong lớp các đa thức với
hệ số nguyên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra được những khó khăn khi dạy và học nội suy đa thức trong lớp
các đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông.
- Đưa ra được các vấn đề cơ bản về nội suy đa thức trong lớp các đa
thức với hệ số nguyên.
- Đưa ra được một số ứng dụng của nội suy đa thức trong lớp các đa
6


thức với hệ số nguyên trong dạy học bậc trung học phổ thông.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Giáo viên và học sinh trung học phổ thông.
- Đối tượng nghiên cứu: Nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Đọc các tài liệu liên quan tới nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên,
từ đó xây dựng chuyên đề học tập về chủ đề này.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
Sử dụng phương pháp điều tra bằng bộ câu hỏi trắc nghiệm kết hợp với
phỏng vấn.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu được hệ thống đầy đủ các cơ sở lý thuyết và ứng dụng của bài toán
nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên, học sinh sẽ dễ dàng
tiếp cận hơn, có hứng thú hơn đối với chủ đề này.
8. Đóng góp mới của đề tài
Bài toán nội suy luôn là đề tài được quan tâm trong công tác giảng dạy
và bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên hầu hết các đề tài đề nghiên cứu bài
toán nội suy mà chưa có đề tài nào nghiên cứu về "bài toán nội suy trong
lớp các đa thức với hệ số nguyên" cũng như việc dạy và học chủ đề này ở bậc

trung học phổ thông. Vì vậy trong đề tài "dạy học nội suy trong lớp đa thức
với hệ số nguyên cho học sinh khá giỏi THPT", tôi tiến hành nghiên cứu và
đưa ra được những kết quả sau:
- Việc dạy và học chủ đề nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên.
- Cơ sở về lý thuyết và một số ứng dụng của "nội suy trong lớp các đa
thức với hệ số nguyên".
9. Cấu trúc của luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và
phần kết luận.
Nội dung luận văn gồm bốn chương:
- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
- Chương 2: Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và
bài toán nội suy.
7


- Chương 3: Một số ứng dụng của nội suy trong lớp các đa thức với hệ
số nguyên.
- Chương 4: Thực nghiệm sư phạm.

8


Chương 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1

Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
trong trường trung học phổ thông
Từ xa xưa ông cha ta đã có câu “Hiền tài là nguyên khí quốc gia” và

đó dường như đã trở thành kim chỉ nam cho con đường phát triển đất nước.
Thực tế lịch sử phát triển của xã hội loài người nói chung và lịch sử dân tộc
Việt Nam nói riêng đã khẳng định được vai trò của “người tài”. Họ chính là
lực lượng khởi đầu cho sự phát triển kinh tế - xã hội, đem đến cho mỗi quốc
gia nền văn minh, tiến bộ không ngừng. Ngày nay, trong thời kỳ công nghiệp
hóa - hiện đại hóa đất nước, nhất là trong nền kinh tế tri thức, vai trò của
“người tài” càng tăng lên gấp bội. Chính vì thế, bồi dưỡng học sinh giỏi là
bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước và là nhiệm vụ quan trọng
của ngành giáo dục. Công tác này được xác định là một hoạt động mũi nhọn
trong việc nâng cao dân trí, đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao và đang
được Đảng, Nhà nước cùng toàn thể xã hội đặc biệt quan tâm.

1.1.1

Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi

Học sinh giỏi là những học sinh có năng khiếu, tài năng, năng lực tốt ở
một hay nhiều môn học hay lĩnh vực nào đó, ngoài ra học sinh giỏi còn cần
có sự sáng tạo, phải thể hiện động cơ học tập mãnh liệt và đạt được trình
độ xuất sắc trong học tập và nghiên cứu khoa học.
9


Bồi dưỡng học sinh giỏi chính là hoạt động nhằm nâng cao trình độ,
kiến thức, kỹ năng cho học sinh một cách có hệ thống trong một số môn học
nhất định để phục vụ cho việc học tập ở mức cao hơn và phát huy được hết
năng lực của học sinh trong lĩnh vực đó. Bồi dưỡng học sinh giỏi được thực
hiện ở tất các các cấp học và ở các trường và cơ sở giáo dục trong cả nước.
Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra môi trường và những điều kiện thích

hợp cho người học có thể phát huy hết năng lực của mình, cùng với việc tiếp
nhận một cách thông minh, hiệu quả ngoại lực với vai trò quan trọng hàng
đầu của người thầy mà cốt lõi là phải giúp được cho người học về phương
pháp học, cách nghiên cứu, tư duy, biết tự đánh giá, đồng thời biết sử dụng
phương tiện hiện đại để tìm kiếm, thu thập, xử lý thông tin nhằm mục đích
tự học và tự bồi dưỡng.

1.1.2

Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường
THPT không chuyên

Đối với các trường không chuyên, mặc dù công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi đã được Ban giám hiệu các nhà trường coi trọng, là một trong các mục
tiêu mũi nhọn nhưng còn nhiều hạn chế về kết quả. Những hạn chế này xuất
phát từ các nguyên nhân chủ yếu sau:

• Thứ nhất, do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, các
tài liệu đều do các giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong
điều kiện nhiều giáo viên cùng tham gia giảng dạy nên còn thiếu tính
hệ thống, tính liên thông trong chương trình dạy.
• Thứ hai, chưa có các quy chế ưu tiên cho các học sinh giỏi, nên học sinh
chưa yên tâm đầu tư thời gian, công sức cho các môn thế mạnh của
mình.
• Thứ ba, phần nhiều kiến thức còn tương đối xa lạ đối với học sinh giỏi
không chuyên, nhiều kiến thức không có trong chương trình − sách giáo
khoa. Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn.

10

1.2

Nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên
ở bậc trung học phổ thông
Ở lớp 8, học sinh đã được làm quen với đa thức và đa thức với hệ số

nguyên. Một số định lý về nghiệm của đa thức cũng đã được dạy trong chương
trình chính khóa (quy tắc nhẩm nghiệm, nghiệm của đa thức bậc hai, định
lý Viet...), và chương trình bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi (định lý Bezout,
tính chất nghiệm nguyên, hữu tỷ...).
Ở lớp 11, học sinh được làm quen với những khái niệm cơ bản về giải
tích như giới hạn, đạo hàm. Mặc dù các bài toán nội suy nói chung và nội
suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên không được đề cập trong chương
trình chính khóa nhưng những tiền đề cơ bản của nội dung này học sinh đã
được chuẩn bị đầy đủ.
Các bài toán nội suy và các vấn đề liên quan là một phần quan trọng
trong đại số và giải tích toán học. Các bài toán nội suy có vị trí đặc biệt
trong toán học, không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn
đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như
các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp
xỉ, lý thuyết biểu diễn....
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực
và quốc tế, các bài toán nội suy rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rất
khó. Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị
các cực trị của các tổng, tích cũng như bài toán xác định giới hạn của một
biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy
tương ứng.
Do đó, chuyên đề về nội suy nói riêng và nội suy trong lớp các đa thức
với hệ số nguyên là một chuyên đề cần thiết cho học sinh khá, giỏi bậc trung

học phổ thông.

11


1.3

Thực trạng việc dạy và học nội suy trong lớp các
đa thức với hệ số nguyên ở một số trường trung
học phổ thông
Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội suy trong lớp các đa thức với

hệ số nguyên của giáo viên ở một số trường trung học phổ thông tôi đã tiến
hành phỏng vấn và phát phiếu câu hỏi cho 31 giáo viên Toán Trung học phổ
thông ở các trường trên địa bàn thành phố Hà Nội: trường THPT chuyên
Amsterdam, trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, trường THPT Thăng Long,
trường THPT Việt Đức, THPT Trần Phú.
Phiếu câu hỏi với các câu hỏi có nội dung như sau:

12


Phiếu số 1.
Câu 1. Các thầy cô có thường xuyên dạy nội dung nội suy và nội suy
trong lớp đa thức với hệ số nguyên cho học sinh hay không?
A. Rất thường xuyên;
B. Thường xuyên;
B. Thỉnh thoảng;
C. Ít khi;
D. Không bao giờ.

Câu 2. Theo các thầy cô đối tượng học sinh nào sẽ thích hợp với việc
dạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên?
A. Chỉ những học sinh thi học sinh giỏi;
B. Học sinh có lực học giỏi trở lên;
C. Học sinh có lực học khá trở lên;
D. Tất cả các học sinh.
Câu 3. Các thầy cô dạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa
thức với hệ số nguyên ?
Trả lời . . .
Câu 4. Phương pháp mà các thầy cô thường xuyên dạy học nội suy và
nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên là gì?
Trả lời . . .
Câu 5. Các thầy cô hãy cho biết những thuận lợi và khó khăn khi dạy
học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên?
Trả lời . . .

13


Thu thập và tổng kết lại các phiếu trả lời, tôi thu được kết quả như sau:

• Về tần suất dạy học nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số
nguyên của 31 giáo viên như sau:
Tần suất dạy học Số lượng giáo viên Tỉ lệ
Rất thường xuyên
0
0%
Thường xuyên
3
9.68 %

Thỉnh thoảng
2
6.45 %
Rất ít khi
0
0%
Không bao giờ
26
83.87%
Bảng 1.1: Tần suất dạy nội suy đa thức trong lớp đa thức với hệ số nguyên

Nhận xét 1.1. Phần lớn giáo viên (26/31) không bao giờ dạy học nội
dung này. Nguyên nhân theo tôi là trong cấu trúc chương trình toán
trung học phổ thông không trực tiếp đề cập tới nội dung này nên không
có phân bố thời lượng, thêm vào đó nội suy và nội suy trong lớp các đa
thức với hệ số nguyên là một nội dung khó, không phải học sinh nào
cũng có thể tiếp thu được trong khi quỹ thời gian thì có hạn. 5 giáo viên
có dạy nội dung này đều là các giáo viên ở các trường chuyên. Điều đó
cho thấy đã có sự quan tâm đến việc dạy học nội suy nhưng chỉ dừng lại
ở các trường chuyên.

• Về quan điểm của các thầy cô về lựa chọn đối tượng học sinh để dạy học
nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên: 100 %
giáo viên đều cho rằng chỉ nên dạy cho học sinh thi học sinh giỏi. Lý do
được đưa ra là nội dung này quá khó, các học sinh khác gặp quá nhiều
khó khăn khi tiếp cận nội dung này. Theo ý kiến cá nhân tôi, nếu có
phương pháp hợp lý và chọn lọc kiến thức phù hợp, ta vẫn có thể dạy
nội dung này cho tất cả học sinh giỏi có niềm đam mê với toán (không
nhất thiết phải nằm trong các đội tuyển).
• Về thời gian được các giáo viên lựa chọn để dạy nội dung nội suy và nội

suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên: cả 5 giáo viên trên đều cho rằng
nên dạy ở cuối lớp 10, đầu năm lớp 11. Tại thời điểm này, các học sinh
14


chuyên đều đã học xong các kiến thức cơ bản của giải tích, đủ khả năng
tiếp nhận. Tất cả các giáo viên còn lại đều thống nhất rằng nên dạy ở
giai đoạn cuối lớp 11 đầu lớp 12 do tới thời điểm này các em mới được
học về giải tích.

• Về phương pháp, các giáo viên đều thống nhất sử dụng phương pháp
thuyết trình kết hợp với tự nghiên cứu tài liệu là chủ yếu.
• Về thuận lợi và khó khăn:
– Thuận lợi: Đây là chủ đề kích thích trí tò mò và thu hút được sự
quan tâm của khá nhiều các học sinh muốn chinh phục những khó
khăn, muốn khẳng định mình.
– Khó khăn: Đây là một chủ đề khó, đòi hỏi ở cả người giáo viên và
học sinh phải được trang bị kiến thức chuyên môn rất vững vàng,
nhận diện được bài toán và vận dụng các kiến thức đó để giải bài
toán. Và không phải học sinh nào, thậm chí không phải tất cả giáo
viên ai cũng đáp ứng được yêu cầu đó. Vì vậy bên cạnh việc có khá
nhiều học sinh bị thu hút bởi đề tài này thì cũng rất nhiều học sinh
tỏ ra bất lực, chán trường và không quan tâm tới nội dung này.
Để tìm hiểu về thực trạng việc học nội dung nội suy và nội suy trong lớp
đa thức với hệ số nguyên, tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra 197 học sinh
một số trường THPT trên địa bàn Hà Nội: Lớp 11T1, 11T2, 11 Sinh trường
THPT Chuyên dại học Sư Phạm Hà Nội, lớp 11T1 trường THPT chuyên Hà
Nội − Amsterdam, đội tuyển toán các trường THPT Thăng Long, trường
THPT Trần Phú, THPT Việt Đức.
Nội dung các phiếu điều tra như sau:

15


Phiếu số 2
Câu 1. Em đã được dạy nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số
nguyên bao giờ chưa?
A. Chưa bao giờ.
B. Đã được thầy cô dạy.
Câu 2. Em học nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số nguyên
như thế nào?
A. Chỉ học qua thầy cô giáo.
B. Thông qua thầy cô giáo và các tài liệu tham khảo.
C. Chỉ biết đến qua các tài liệu tham khảo.
D. Chưa bao giờ học nội dung trên.
Câu 3. Các em có quan tâm đến nội dung nội suy và nội suy đa thức
với hệ số nguyên không?
A. Rất quan tâm.
B. Có quan tâm.
C. Ít quan tâm.
D. Không quan tâm.

16


Kết quả điều tra như sau:

• Câu hỏi 1: có 105 HS trả lời đã được thầy cô giáo dạy chiếm tỷ lệ 53.3%.
Tỷ lệ này rất cao so với tỷ lệ giáo viên dạy nội dung này. Tuy nhiên
tất cả các học sinh này đều thuộc lớp 11T1, 11T2 trường THPT chuyên

ĐHSP và lớp 11T1 trường THPT chuyên Hà Nội − Amsterdam.
• Câu hỏi 2:
Số lượng
Chỉ học qua thầy cô giáo
57
Học thông qua thầy cô giáo và tài liệu tham khảo
48
Chỉ biết đến qua các tài liệu tham khảo
20
Chưa bao giờ học nội dung trên
70

Tỷ lệ
29.23%
24.62%
10.25%
35.90%

Bảng 1.2: Cách học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên

• Câu hỏi 3:
Số lượng Tỷ lệ
Rất quan tâm
12
6.15%
Có quan tâm
92
47.18%
Ít quan tâm
24

12.31 %
Không quan tâm
67
34.36%
Bảng 1.3: Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức trong lớp các đa thức
với hệ số nguyên

Kết quả điều tra đối với học sinh cho thấy mức độ quan tâm của học
sinh dành cho nội dung này khá lớn (trong đó hầu hết là học sinh chuyên,
ngoài ra còn có 1 tỷ lệ nhỏ những học sinh không chuyên học nội dung này
qua các tài liệu tham khảo, thậm chí chưa nghe đến nội dung này nhưng
có quan tâm và mong muốn được học). Bên cạnh đó, cũng có một số lượng
không nhỏ học sinh không quan tâm, hoặc ít quan tâm đến chủ đề này (trong
đó có cả 1 số học sinh chuyên).

17


Kết luận chương 1
Trong chương 1, qua nghiên cứu thực tế, tôi đã rút ra được một số kết
quả quan trọng về thực trạng dạy và học nội dung nội suy và nội suy đa thức
với hệ số nguyên cho học sinh bậc trung học phổ thông.

• Thứ nhất, về vị trí của nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số
nguyên trong chương trình Toán trung học phổ thông, mặc dù nội dung
này không được đề cập trực tiếp trong chương trình Toán trung học phổ
thông nhưng đây là một nội dung quan trọng, có ứng dụng trong nhiều
chuyên ngành khác nhau trong toán, nếu được dạy, học sinh sẽ có điều
kiện thuận lợi cho việc tiếp nhận kiến thức toán ở các bậc học tiếp theo.
• Thứ hai, không có phân phối thời gian chương trình để học nội dung

này, do đó đây là một thách thức khó khăn cho cả thầy và trò. Hơn bao
giờ hết, việc tự học, chủ động tìm tòi lĩnh hội kiến thức ở học sinh là
vô cùng cần thiết.
• Thứ ba, đây là một nội dung khó, một mặt nó thu hút được học sinh,
kích thích sự tò mò, hiếu kì, kích thích sự tìm tòi khám phá lời giải,
song cũng là một khó khăn thách thức vì đòi hỏi sự nắm vững một cách
đầy đủ và chắc chắn hệ thống phương pháp giải cùng các kiến thức liên
quan, khả năng quan sát, nhìn nhận vấn đề, xác định phương hướng
giải. Điều này gây cản trở cho việc tự học của học sinh.
Từ những ý kiến trên và theo quan điểm cá nhân của tôi thì việc dạy
học nội suy và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở trung học
phổ thông là cần thiết mặc dù không có phân phối thời gian trong chương
trình học. Khi dạy cho các em học sinh, người giáo viên phải kết hợp nhiều
phương pháp dạy, bên cạnh việc sử dụng phương pháp thuyết trình còn sử
dụng các phương pháp như vấn đáp gợi mở, hướng dẫn học sinh tự đọc tài
liệu.... Bài dạy không chỉ hướng tới đối tượng tham gia đội tuyển học sinh
giỏi mà nên lựa chọn sắp xếp kiến thức cho các đối tượng có học lực giỏi và
có niềm đam mê dối với toán. Và yếu tố quyết định tới sự thành công trong
dạy học nội dung này vẫn là việc tự học của các em học sinh. Việc tự học
của các em là biện pháp khắc phục hiệu quả nhất cho thách thức về sự eo
18


hẹp của thời gian khi mà không có phân phối thời gian cho nội dung này.
Hơn nữa, việc tự học giúp các em chủ động tìm tòi lĩnh hội kiến thức, tự
nhìn nhận định hướng lời giải của mỗi bài toán theo cách riêng của mình. Để
hỗ trợ các em tự học hiệu quả và cũng là giải pháp cho thách thức về việc
muốn học tốt nội dung này thì đòi hỏi các em phải nắm vững các kiến thức
nền tảng về nội suy và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên.
Và vì vậy mà ở các chương tiếp theo, tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ

bản và một số ứng dụng của nội suy đa thức với hệ số nguyên. Đây là tài
liệu tham khảo hỗ trợ giáo viên và học sinh trong việc dạy và học nội dung
này.

19


Chương 2
Một số vấn đề liên quan đến đa thức
với hệ số nguyên và bài toán nội suy
2.1

Một số tính chất của đa thức với hệ số nguyên

2.1.1

Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số
nguyên

Định nghĩa 2.1 (Đa thức). Cho A là một vành giao hoán có đơn vị.
Đa thức (trên A) bậc n, biến x là một biểu thức có dạng

P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
trong đó a0 , a1 , · · · , an−1 , an ∈ A và an = 0.
Tập hợp các đa thức trên vành A và các phép toán cộng, nhân đa thức
lập thành một vành giao hoán, được ký hiệu là A[x]. Nếu A là một trường
thì A[x] là vành giao hoán có đơn vị.
Ta thường xét A = Z, A = Q, A = R, A = C, khi đó ta có vành đa
thức tương ứng là Z[x], Q[x], R[x], C[x].
Định nghĩa 2.2 (Nghiệm của đa thức). a ∈ A được gọi là nghiệm của đa

thức P (x) ∈ A[x] nếu P (a) = 0.

20


Định lý 2.1. Nếu phân số tối giản

p
là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
q

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
thì p là ước của a0 và q là ước của an .
Chứng minh. Giả sử phân số tối giản
ta có:

f

p
q

= an .

p
là nghiệm của đa thức f (x). Khi đó,
q

pn
pn−1
p

+
a
.
+
·
·
·
+
a
.
+ a0 = 0.
n−1
1
qn
q n−1
q

Từ đó, ta có

an pn = −q(an−1 pn−1 + · · · + a1 q n−2 p + a0 q n−1 )

(2.1)

a0 q n = −p(an pn−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a1 q n−1 ).

(2.2)

và

Từ (2.1) suy ra an pn chia hết cho q , mà (p, q) = 1 nên an chia hết cho q .

Từ (2.2) suy ra a0 q n chia hết cho p, mà (p, q) = 1 nên a0 chia hết cho p.

2.1.2

Phân tích đa thức thành nhân tử

Định nghĩa 2.3 (Ước của đa thức). Cho đa thức P (x) ∈ A[x]. Nếu

P (x) = g(x)q(x) với g(x), q(x) ∈ A[x] và deg g(x), deg q(x) > 0
.
thì ta nói g(x) là ước của P (x). Ký hiệu g(x)|P (x) hoặc P (x)..g(x).
Định nghĩa 2.4 (Ước chung). Cho P (x) và Q(x) ∈ A[x].
(i) Đa thức g(x) ∈ A[x] được gọi là ước chung của P (x) và Q(x) nếu

g(x)|P (x) và g(x)|Q(x).
(ii) g(x) được gọi là ước chung lớn nhất của hai đa thức P (x) và Q(x) nếu

g(x) chia hết cho mọi ước chung khác của P (x) và Q(x).

21


Định nghĩa 2.5 (Đa thức nguyên tố cùng nhau). Hai đa thức P (x) và Q(x)
được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng chỉ có ước chung là các đa thức
bậc 0.
Ký hiệu (P (x), Q(x)) = 1.
Một số tính chất cơ bản của đa thức nguyên tố cùng nhau:

• Tính chất 1:
Nếu (f (x), g(x)) = 1 và (f (x), h(x)) = 1 thì (f (x), g(x)h(x)) = 1.

• Tính chất 2:
.
.
Nếu f (x)h(x)..g(x) và (h(x), g(x)) = 1 thì f (x)..g(x).
• Tính chất 3:
.
.
.
Nếu f (x)..g(x), f (x)..h(x) và (g(x), h(x)) = 1 thì f (x)..g(x)h(x).
• Tính chất 4:
Nếu (f (x), g(x)) = 1 thì (f m (x), g n (x)) = 1 với mọi m, n nguyên dương.

2.2
2.2.1

Một số bài toán nội suy
Nội suy Lagrange

Định lý 2.2 (Lagrange). Cho P (x) là đa thức bậc n trên A và x0 , x1 , x2 , . . . , xn
là n + 1 phần tử phân biệt trong A. Khi đó, ta có
n

P (x) =

n

P (xi )
i=0

x − xk

.
x
−
x
i
k
k=0,k=i

n

Chứng minh. Đặt Q(x) = P (x) −

n

P (xi )
i=0

x − xk
.
x
−
x
i
k
k=0,k=i

Ta có deg Q ≤ n và

Q(x0 ) = Q(x1 ) = Q(x2 ) = · · · = Q(xn ) = 0.

22

(2.3)