Áp dụng bất đẳng thức cô si tim Giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức,hàm số” (Dành cho ban cơ bản)
I.Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán lớp 10 hầu hết các mục kiến thức học sinh tương đối dễ
học vì có nhiều bài các em cũng đã được giới thiệu ở chương trình toán cấp 2.Nhưng
qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy hầu hết học sinh đặc biệt các em ở ban cơ bản thì
rất ngại học bất đẳng thức .Các em đều cho rằng bất đẳng thức là một chuyên đề rất
khó,đối với các em học sinh TB,yếu,kém thì càng khó hơn,một trong các dạng toán
áp dụng bất đẳng thức là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Đối với việc tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì có thể kể đến các phương
pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giá thông thường và phương
pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các phương pháp nêu trên thì phương pháp sử
dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những phương pháp thông dụng và
hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Đối với
phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P
(hoặc hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn ) ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Lĩnh vực bất đẳng thức tương đối rộng trong khi thời gian nghiên cứu còn hạn chế
nên ở đây tôi chỉ xin trao đổi một góc nhỏ trong bất đẳng thức là “Sử dụng bất đẳng
thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức,hàm số” với
mong muốn giúp các em học sinh ban cơ bản loại bỏ được suy nghĩ ngại ngần hay
lảng tránh khi nói về bất đẳng thức
II.Mục đích,cơ sở,đối tượng,phạm vi và phương pháp nghiên cứu
1.Mục đích
Giúp học sinh hiểu và làm được một dạng toán ứng dụng của bất đẳng thức Côsi là
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức,hàm số
2.Đối tượng,phạm vi nghiên cứu
Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng (mức độ đơn giản dành cho học sinh Ban cơ bản)
3.Phương pháp nghiên cứu
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa

4.Cơ sở lí luận
Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở
+/ Bất đẳng thức Cô si và các ứng dụng
+/ Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số,biểu thức
5.Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi đụng chạm tới các dạng toán về
bất đẳng thức học sinh thường có cảm giác ngại ngùng hoặc lảng tránh vì các em
nghĩ đây là dạng toán rất khó và trừu tượng,qua nhiều năm giảng dạy tôi cho rằng sở
dĩ các em có tâm lí như vậy là vì các em chưa có phương pháp học tập nghiên cứu
khoa học,chưa phân loại được các bài tập về bất đẳng thức theo từng dạng hoặc từ
dễ tới khó một cách hệ thống.Từ suy nghĩ trên tôi mạnh dạn trình bày một kinh
nghiệm nhỏ “Sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức,hàm số” mục đích để trao đổi với đồng nghiệp và phần nào giúp các
em học sinh khắc phục được những tồn tại đã nêu ở trên
1


III.Nội dung
A.Bất đẳng thức Cô si
Trung bình nhân của 2 số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
ab ≤

a+b
2

∀a, b ≥ 0

Đẳng thức ab =

a+b

⇔a=b
2

*/Mở rộng:
Cho n số không âm a1 , a2 ,..., an ( n ≥ 2 ) , ta luôn có:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ...an
n
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = ... = an

B.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a/ f ( x ) = x +

3
,x > 2
x−2
2

 x2

f
x
=
x
+
1
+
+ 2 ÷ , x ≠ −1
) 

b/ ( ) (
 x +1 
4 1
5
c/ f ( x,y ) = x + 4 y với x,y>0 và x+y=
4
2
d/ f ( x ) = x 2 + 3 , x > 0
x
2

Giải
a/ ∀x > 2 ⇒ x − 2 > 0 ⇒ Áp dụng Bđt Cô si ta có
3
3
= x−2+
+2≥2 3+2
x−2
x−2
3
⇔ x = 2± 3
⇒ Min f ( x ) = 2 3 + 2 ⇔ x − 2 =
x−2
(2; +∞ )
f ( x) = x +

b/
2

2

 x2

1 
2

f ( x ) = ( x + 1) + 
+ 2 ÷ = ( x + 1) +  x + 1 +
÷
x +1 

 x +1 
1
2
2
= 2 ( x + 1) +
+2≥2 2+2
, ( x + 1) > 0, ∀x ≠ −1
2
( x + 1)
2

⇒ Min f ( x) = 2 2 + 2 ⇔ x = −1 ±
R \{ 1}

1
4
2

c/Ta có

f ( x,y ) =

4 1 4
1
4
1
+
= + 4x +
+ 4 y − 5 ≥ 2 .4 x + 2
.4 y − 5 = 5
x 4y x
4y
x
4y

⇒ Min f ( x, y ) = 5 ⇔ x = 1, y =
x > 0, y > 0

1
4
3

1
1
1
1 1
1
1
5
d/ Ta có: f ( x ) = x 2 + x 2 + x 2 + 3 + 3 ≥ 5 5  x 2 ÷ 6 = 5

( BĐT Côsi)
3
3
3
x
x
27
3  x

2


1
3

Dấu “ =” xảy ra ⇔ x 2 =

1
⇔ x5 = 3 ⇔ x = 5 3
3
x

5
tại x = 5 3
27
(0; +∞ )
Ví dụ 2. Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Min f ( x) =

Vậy

5

c
 a  b 
P = 1 + 1 + 1 + 
 b  c  a 

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
1+

a
a
≥2
b
b

b
b
1+ ≥ 2
c
c

1+

Suy ra

abc

c
 a  b 
=8
1 + 1 + 1 +  ≥ 8
abc
 b  c  a 

Hay

P≥8

c
c
≥2
a
a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy Pmin = 8
Ví dụ 3.Cho ba số thực dương a, b, c .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Giải:
Đặt:

x = b + c,

⇒ a +b+ c =

Và

a=

1
2

y = c + a,

a
b
c
+
+
b+c c+a a +b

z = a+b

( x+ y+ z )

y+z−x
,
2

b=

z+x− y
,
2

c=

x+ y−z
2

Từ đó ta có:
P=


y+z−x z+x− y x+ y−z 1 y+ z z+ x x+ y
+
+
= 
+
+
− 3÷
2x
2y
2z
2 x
y
z


1  y
=  +
2  x

x  z x  z
+ + +
÷+
y   x z ÷

 y

y 
÷− 3
z 

3

(*)


≥

1
3
[ 2 + 2 + 2 − 3] =
2
2

( Bất đẳng thức Côsi)

y x
x = y

z x
Dấu “=” xảy ra ⇔  = ⇔ x = y = z
x z
z y
y = z


Từ (*) ta có a = b = c
Vậy Pmin =

3
với mọi số thực dương a, b, c thỏa a = b = c .
2

Ví dụ 4.Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số
a/ f ( x ) = ( x + 5 ) ( 2 − x ) , −5 ≤ x ≤ 2
b/ f ( x ) =

x
x +2

,x >0

2

c/ f ( x ) = 3 + x + 6 − x

x ∈ [ −3;6]

Giải
a/Ta có ∀x ∈ [ −5; 2] ⇒ x + 5 ≥ 0, 2 − x ≥ 0 ⇒ AD BĐT Cô si ta có
f ( x ) = ( x + 5) ( 2 − x ) ≤
⇒ Max f ( x) =
[ −5;2]

49

4

49
3
⇔x=−
4
2
x

1

2
b/Ta có x>0 ⇒ AD BĐT Cô si ta có x + 2 ≥ 2 2 x ⇒ x 2 + 2 ≤
2 2

⇒

Max f ( x) = 2
(0;+∞ )

1
2

⇔x= 2

c/Ta có
f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈  −3;6  ⇒ f ( x ) Max khi vaø chæ khi f 2 ( x ) Max
f 2 ( x) = 9 + 2

( 3 + x ) ( 6 − x ) ≤ 18

⇒ Max f ( x ) = 18 = 3 2 ⇔ x =
 −3;6 

3
2

Ví dụ 5. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức S = abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
Giải:
4


Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:
a + b + c ≥ 33 abc ⇔ 1 ≥ 33 abc

(1)

( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ≥ 33 ( a + b) ( b + c) ( c + a )

Và

⇔ 2 ≥ 33 ( a + b) ( b + c) ( c + a)

(2)

Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được:
2 ≥ 9 3 abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 9 3 S
⇔ 8 ≥ 93 S ⇔ S ≤

8
729

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
Vậy Smax =

1
3

8
729

Ví dụ 6.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=

a b−2 +b a−3
, a ≥ 3, b ≥ 2
ab

Giải
Ta có P =

a b−2 +b a−3
b−2
a −3 2 2 b−2 2 3 a −3
=
+
=
+
ab

b
a
2 2b
2 3a

AD BĐT Cô si:
⇒P≤

1
2 2

+

2 2 b−2 ≤ 2+b−2 =b
2 3 a −3 ≤ 3+ a −3 = a

1
2 3

 3 = a − 3
a = 6
1 1
1 
⇒ PMax = 
+
⇔
⇔
÷
2 2
3

b = 4
 2 = b − 2

C.Bài tập vân dụng
Bài 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
9
x

a/ f ( x ) = x + , x > 0



1

b/ f ( x ) = ( 1 + x ) 1 + ÷, x > 0
x
c/ f ( x ) =



x3 + 1
,x >0
x2

5


x3 + 1
1 x x 1
3

= x+ 2 = + + 2 ≥ 3
2
x
x
2 2 x
4
HD:
3
⇒ Min f ( x) = 3 ⇔ x = 3 2
4
(0; +∞ )
f ( x) =

x
3

d/ f ( x ) = +

27
,x > 0
x
1

e/ f ( x ) = 5 x + 2 ( x + 1) , x > −1
f/ f ( x ) =

x
5
+ ,0 < x <1
1− x x

x
3

g/ f ( x ) = +
h/ f ( x ) =

3
,x > 2
x−2

x2 + 6 x + 9
,x >0
x
x
3

m/ f ( x ) = +

5
1
,x >
2x −1
2

 1



2

Bài 2. Cho hàm số f ( x) = ( 1 + x )  2 + + 1÷.
x 
x
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) với x > 0
 1 2  
 1 
HD: Ta có: f ( x) = ( 1 + x )  2 + + 1÷ = ( 1 + x )  + 1÷
x  
x
 x 

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2


1
f ( x) ≥  2 x .2
÷ = 16
x



Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 > 0.
f ( x) = 16 tại x = 1

Vậy min
x >0


Bài 3.Cho a,b,c>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( a + b + c )  + + ÷
a b c
1



1

1



Bài 4: Cho ba số thức dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1 1 1 a b c
A = ( abc + 1)  + + ÷+ + + − ( a + b + c )
a b c b c a

HD:
a 
b 
c 1 1 1

A =  ab + ÷+  bc + ÷+  ac + ÷+ + + − ( a + b + c )
b 
c 
a a b c



6


Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
ab +

a
≥ 2a ,
b

bc +

b
≥ 2b ,
c
1
a

ac +
1
b

c
≥ 2c
a

1
c

Từ đó suy ra: A ≥ 2a + 2b + 2c + + + − ( a + b + c )
⇔ A ≥ a+b+c+

1 1 1 
1 
1 
1
+ + =  a + ÷+  b + ÷+  c + ÷
a b c 
a 
b 
c

1
1
1
⇔ A ≥ 2 a. + 2 b. + 2 c. = 6
a
b
c

(BĐT Côsi)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Vậy MinA = 6 tại a = b = c = 1
Bài 5.Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau
a/y=x(3-x) , 0 ≤ x ≤ 3
b/y=(x+1)(7-2x) , −1 ≤ x ≤
c/y=(6x+3)(5-2x)

d/y=(2x+5)(5-x)
e/ y =

(x

7
2

1
2

,− ≤ x ≤
−

5
2

5
≤ x≤5
2

x2
2

+ 2)

3

HD:
x2 + 2 = x2 + 1 + 1 ≥ 3 3 x2

⇔ ( x 2 + 2 ) ≥ 27 x 2
3

1
1
⇒ Max y =
⇔ x = ±1
R
27
27
1
0< x<
f/y=x2(1-2x)
2
⇔ y≤

x
2

Bài 6/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = + 1 − x − 2 x 2



1
2

trên miền D =  x ∈ R : −1 ≤ x ≤  .
HD: Nhận thấy D là miền xác định của f ( x) .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

7


1 − x − 2 x = 1. ( 1 − x − 2 x
2

2

)≤

x 1 + ( 1 − x − 2x
f ( x) ≤ +
2
2

Do đó:

2

1 + ( 1 − x − 2x2 )

∀x ∈ D

2

)

⇔ f ( x) ≤ 1 − x 2

Từ đó suy ra:

f ( x) ≤ 1

∀x ∈ D

Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì

1 = 1 − x − 2 x 2

2
⇔ x = 0∈D
1 − x = 1

1
−1 ≤ x ≤

2

Ta lại có: f (0) = 1
f ( x) = 1
Vậy max
x∈D

Bài 7.Áp dụng BĐT Cô si tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
a4 + 1
1
1
HD:Ta có 2 = a 2 + 2 ≥ 2 ⇒ P ≤
a
a

2

Bài 8. Cho ba số thực a, b, c ≥ 0 thỏa

a2
a4 + 1

,a ≠ 0

1
1
1
+
+
≥2.
1+ a 1+ b 1+ c

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = abc
HD:
Ta có:

1
1
1
1
1
1
+
+
≥2⇒

≥ 2−
−
1+ a 1+ b 1+ c
1+ a
1+ b 1+ c
⇔

1
1  
1 
1
b
c

≥ 1 −
≥
+
 + 1 −
⇔
1+ a  1+ b   1+ c  1+ a 1+ b 1+ c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
bc
b
c
+
≥2
1+ b 1+ c
(1 + b )(1 + c )

⇒

1
≥2
1+ a

bc
( 1 + b) ( 1 + c)

(1)

Tương tự, ta có:
ac
1
≥2
1+ b
(1 + a )(1 + c )

(2)

8


ab
1
≥2
1+ c
(1 + a )(1 + b )

(3)

Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:
 1  1  1 

÷
÷
÷≥ 8
 1 + a  1 + b  1 + c 

⇔

Suy ra:

a 2b 2 c 2
2
2
2
( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c)

1
abc
≥8
( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c )

M = abc ≤

1
8

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1
1
1
1
=
=
⇔ a=b=c=
1+ a 1+ b 1+ c
2
1

(thỏa điều kiện ban đầu)

1

Vậy M max =
tại a = b = c =
8
2
IV. Áp dụng thực tế giảng dạy
Phương pháp trên đã được tôi khai thác và triển khai để dạy học sinh tại 2 lớp
10A2 và 10A4 năm học 2015-2016 và bước đầu đã đạt được những kết quả tốt. Các
em học sinh sau khi được học đã vận dụng và giải được các bài toán về tìm giá trị
lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số,biểu thức,các em có thể nhận dạng ngay được
cách giải, đảm bảo yêu cầu chính xác, tiết kiệm thời gian tìm lời giải
Khi dạy trước hết tôi đưa ra các bài toán để học sinh tìm lời giải, sau đó tổng
hợp cách làm và các dạng để học sinh nắm được phương pháp, có cái nhìn tổng quát
hơn khi giải toán. Khi dạy tránh trình bày các dạng và phương pháp giải trước sau
đó đưa bài tập cho học sinh làm, khi đó hầu như bài toán chỉ còn là thay số, dần làm
cho học sinh lười suy nghĩ và thụ động khi làm toán.

V.Kết luận
Mặc dù thời gian đầu tư cho SKKN chưa được nhiều,tài liệu tham khảo còn hạn
chế,nhưng qua thực nghiệm giảng dạy tôi thấy để học sinh nắm vững phương pháp
Áp dụng định lí Cô si giải các dạng toán về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của
hàm số,biểu thức thì một người giáo viên phải không ngừng tìm tòi nghiên cứu,hệ
thống các bài tập hay và phong phú,tìm ra cách thức ôn tập phù hợp với từng đối
tượng học sinh giúp các em tăng thêm cảm hứng,hứng thú trong học tập từ đó giúp
các em chủ động tích cực trong học tập hơn.Thông qua việc triển khai SKKN trên ở
đầu học kì II năm học 2015-2016 tôi thấy SKKN trên đã giúp tôi chủ động hơn
trong dạy học và cảm thấy học sinh cũng tự tin hơn khi học và giải toán về bất đẳng
thức và ứng dụng
VI. Một số kiến nghị :
Theo tôi việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải được tiến hành
thường xuyên, liên tục, trước hết là việc tự bồi dưỡng và được thể hiện bởi kết quả
9


giảng dạy và các tài liệu thu thập được. Vì vậy nhà trường, các tổ, nhóm chuyên
môn nên phân công cụ thể lần lượt từng người viết các báo cáo, sáng kiến kinh
nghiệm hoặc một phần nào đó tuỳ theo sở trường và được trình bày hàng tháng,
hàng quí hoặc sau một kì mà không nhất thiết để cuối năm học. Các báo cáo được
photo cho từng người trong tổ, nhóm để đọc, bổ sung, trình bày trước tổ và sửa
chữa, hoàn thiện làm tài liệu giảng dạy chung khi cần. Các tài liệu có chất lượng
được hỗ trợ kinh phí hoặc thưởng và là căn cứ đánh giá thi đua của người viết. Nếu
làm được như vậy vừa mang tính động viên, khích lệ, vừa mang tính ràng buộc việc
tự học và là cơ hội tốt để giáo viên học hỏi lẫn nhau, đặc biệt giúp cho các giáo viên
trẻ có thể học hỏi được nhiều kinh nghiệm của các thầy cô đi trước, vừa có tài liệu
tốt để giảng dạy.
Các báo cáo mang tính đặc thù bộ môn nên trình bày trong tổ, nhóm; các báo
cáo về phương pháp có thể trình bày trước cả hội đồng GD nhà trường.

Phủ lý,ngày 21 tháng 03 năm 2016
Người viết
Nguyễn Tiến Diệp

10


Mục lục
I. Lí do chọn đề tài
…………………………………………
II. Mục đích,cơ sở,đối tượng,phạm vi và phương pháp nghiên cứu ………..
III. Nội dung
A. Bất đẳng thức Cô si
……........................................................
B. Ví dụ minh họa
………………………………………...
C. Bài tập vân dụng
…………………………………………
IV. Áp dụng thực tế giảng dạy
.…………………………………………
V. Kết luận
..............................................................
VI. Một số kiến nghị
..................................................................

1
1
2
2
5

9
9
9

Tài liệu tham khảo
1. 500 Bài toán cơ bản và mở rộng 10 (Nhà xuất bản ĐH Quốc gia Hà nội-Tác
giả:Dương Đức Kim-Đỗ Duy Đồng)
2. Tuyển chọn 400 Bài tập Toán 10 (Nhà xuất bản ĐH Quốc gia TP.Hồ Chí MinhTác giả:Đậu Thế Cấp-Nguyễn Văn Lộc)
3. Phân loại phương pháp giải toán đại số lớp 10 (Nhà xuất bản ĐH Quốc gia
TP.Hồ Chí Minh-Tác giả:Trần Văn Kỷ)
4. Học và ôn tập Toán Đại số 10 (Nhà xuất bản ĐH Quốc gia Hà nội-Tác giả:Lê
Hồng Đức(Chủ biên)-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí)
5. Toán nâng cao Tự luận và Trắc nghiệm Đại số 10(Nhà xuất bản ĐH Sư PhạmTác giả:PGS.TS.Nguyễn Văn Lộc)
6. Bồi dưỡng Toán 10.Tập 1 (Nhà xuất bản ĐH Sư Phạm-Tác giả:Đỗ Đức Thái-Đỗ
Thị Hồng Anh)

11


12