Các kĩ thuật áp dụng bất dẳng thức cô si

§oµn ViÖt Dòng BÊt ®¼ng thøc Cauchy
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (C¤ SI)
I. GIỚI THIỆU
1/ Bđt Cauchy cho 2 số không âm
Cho 2 số thực không âm a, b. Ta luôn có bđt: .
Dấu bằng xảy ra <=> a = b.
2/ Bđt Cauchy cho n số không âm
Với n số thực không âm , ta có:
.
Dấu bằng xảy ra <=> tất cả các số hạng đều bằng nhau.
Chứng minh:
* Cách 1: Quy nạp
- n = 2: đúng.
- Giả sử bđt đúng đến n. Ta chứng minh bđt đúng đến n + 1.
Đặt:
Theo giả thiết quy nạp ta có:
=> đpcm.
Dấu bằng xảy ra <=> a1 = a2 = … = an.
* Cách 2: Quy nạp
- n = 2: đúng.
- Giả sử bđt đúng với n = k. Ta chứng minh bđt đúng với n = k + 1.
Giả sử thì .
Đặt thì ta có , và khi đó,
Theo giả thiết quy nạp, ta có: .
Ta có:
=> đpcm.
Chú ý: Bđt (2) có được là do khai triển nhị thức Newton:
§oµn ViÖt Dòng BÊt ®¼ng thøc Cauchy
thay đổi nội dung bởi: hg201, Hôm qua lúc 05:41 PM.