Toán tử đơn điệu trong không gian HIlbert

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Hoàng Hà

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Hoàng Hà

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài thực tập này.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Hoàng Hà

i

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cảm
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Hoàng Hà

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Những khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Toán tử và hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Các đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản . . .

7

1.2.3

Topo mạnh và topo yếu trên không gian Hilbert .

9

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4

Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.1

17

1.2

1.3

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Toán tử đơn điệu

20
i

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

2.1

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3

Hàm hai biến và tính đơn điệu cực đại . . . . . . . . . .

31

2.4

Hàm Fitzpatrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5

Định lý Minty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.6

Định lý Debrunner-Flor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

ii

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.

Lời mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng
vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn. Để nắm vững hơn
các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn

đề tài khóa luận tốt nghiệp: " Toán tử đơn điệu trong không gian
Hilbert".

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về
giải tích và đặc biệt là toán tử đơn điệu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu toán tử đơn điệu.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.

Footer Page 7 of 161.


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
bao gồm 2 chương:
• Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm và kết
quả về không gian Hilbert và một số kiến thức cơ bản của Giải tích
lồi.
• Chương 2: "Toán tử đơn điệu".
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã tận
tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.

Hà Nội, ngày 03/05/2016
Tác giả khóa luận

Nguyễn Hoàng Hà

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Những khái niệm cơ bản
Toán tử và hàm

Cho X , Y và Z là các tập không rỗng và cho 2Y là họ tất cả các tập con
của Y. Kí hiệu T : X → Y nghĩa là toán tử (cũng gọi là phép ánh xạ) T
ánh xạ mỗi điểm x với một điểm T x trong Y. Do đó kí hiệu A : X → 2Y
nghĩa là A là một toán tử đa trị từ X đến Y, tức là, A ánh xạ mỗi điểm
x ∈ X đến một tập Ax nằm trong Y. Cho A : X → 2Y . Thế thì A biểu

thị đặc điểm bởi đồ thị của nó
graA = {(x, u) ∈ X × Y | u ∈ Ax} .
Nếu C là một tập con của X thì A(C) =

x∈C

(1.1)

Ax. Cho B : Y → 2Z ,

phép hợp B ◦ A là
B ◦ A : X → 2Z : x → B(Ax) =

By.
y∈Ax

Footer Page 9 of 161.

1

(1.2)


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

Miền xác định và miền giá trị của A tương ứng là
dom A = x ∈ X Ax = ∅ và ran A = A(X ),

(1.3)

Nếu X là một không gian tôpô, bao đóng của dom A kí hiệu bởi domA;
tương tự như vậy, nếu Y là một không gian tôpô, bao đóng của ran A
được kí hiệu bởi ran A. Nghịch đảo của A, kí hiệu bởi A−1 , được đặc
trưng bởi đồ thị của nó
gra A−1 = (u, x) ∈ Y × X

(x, u) ∈ graA .

(1.4)

Do đó, với mỗi (x, u) ∈ X ×Y, u ∈ Ax ⇔ x ∈ A−1 u. Hơn nữa, dom A−1 =
ranA và ranA−1 = dom A. Nếu Y là một không gian vectơ, tập các không
điểm của A là
zer A = A−1 0 = x ∈ X | 0 ∈ Ax .

(1.5)

Khi với mỗi x ∈ dom A, Ax đơn trị, nói Ax = {T x}, thì A được gọi là
không quá đơn trị và có thể được đồng nhất với một toán tử T : dom A →
Y. Ngược lại, nếu D ⊂ X , một toán tử T : D → Y có thể được đồng
nhất với một toán tử không quá đơn trị từ X đến Y, hay là

A : X → 2Y : Ax =



{T x}, nếu x ∈ D


∅,

(1.6)

nếu trái lại

Một lựa chọn của một toán tử đa trị A : X → 2Y là một toán tử
T : dom A → Y sao cho (∀x ∈ dom A) T x ∈ Ax. Bây giờ cho T : X → Y,

Footer Page 10 of 161.

2


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

cho C ⊂ X và cho D ⊂ Y. Thế thì T (C) = T x x ∈ C và
T −1 (D) = x ∈ X

Tx ∈ D

Giả sử rằng Y là một không gian vectơ thực, cho A : X → 2Y , cho
B : X → 2Y và cho λ ∈ R. Thế thì
A + λB : X → 2Y : x → Ax + λBx.

(1.7)

Do đó, gra (A+λB) = {(x, u + λv) | (x, u) ∈ graA, (x, v) ∈ graB} và
dom (A + λB) = dom A ∩ dom B.
Bây giờ giả sử rằng X là một không gian vectơ thực và cho T : X → Y.
Thế thì T là thuần nhất dương nếu
(∀x ∈ X ) (∀λ ∈ R++ ) T (λx) = λT x,

(1.8)

và T là affine nếu:
(∀x, y ∈ X )(∀λ ∈ R) T λx + (1 − λ)y = λT x + (1 − λ)T y.

(1.9)

Chú ý rằng T là affine nếu và chỉ nếu x → T x − T 0 là tuyến tính.
Cuối cùng giả sử rằng X là một không gian vectơ thực và cho A : X →
2Y thì tịnh tiến của A bởi y ∈ X là τy A : x → A(x − y).
Định nghĩa 1.1. Cho f : X → [−∞, +∞]. Miền xác định của f là
dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞},

Footer Page 11 of 161.

3

(1.10)


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

graph của f là
graf = {(x, ξ) ∈ X × R | f (x) = ξ} ,

(1.11)

epi f = {(x, ξ) ∈ X × R | f (x) ≤ ξ},

(1.12)

epigraph của f là

tập mức dưới của f tại ξ ∈ R là
lev≤ξ f = {x ∈ X | f (x) ≤ ξ},

(1.13)

và tập mức dưới chặt của f tại ξ ∈ R là
lev<ξ f = {x ∈ X | f (x) < ξ}.

(1.14)

Hàm f là chính thường nếu −∞ ∈
/ f (X ) và dom f = ∅.
1.1.2

Lưới

Cho (A, ) là 1 tập có định hướng. Cho a và b nằm trong A, kí hiệu

b

a nghĩa là a

b. Cho X là một tập khác rỗng. Một lưới (hoặc dãy

suy rộng) trong X , chỉ mục bởi A là một toán tử từ A đến X và được
kí hiệu bởi (xa )a∈A . Cho N = {0, 1, ...}. Vì (N, ≤) là một tập có hướng,
mỗi dãy là một lưới; (a)a∈(0,1) là một ví dụ của một lưới không là một
dãy. Cho (xa )a∈A là một lưới trong X và cho Y ⊂ X . Một lưới (yb )b∈B là

Footer Page 12 of 161.

4


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

một lưới con của (xa )a∈A thông qua k : B → A nếu
(∀b ∈ B) yb = xk (b)

(1.15)

và
(∀a ∈ A)(∃d ∈ B)(∀b ∈ B) b

d ⇒ k(b)

a.

(1.16)

Kí hiệu (xk(b) )b∈B và (xkb )b∈B cũng sẽ được dùng cho lưới con. Do đó,
(yb )b∈B là một dãy con của (xa )a∈A khi A = B = N và (yb )b∈B là một
lưới con của (xa )a∈A thông qua hàm tăng một cách chặt chẽ k : N → N.
1.1.3

Tính liên tục

Định nghĩa 1.2. Cho (X , TX ) và (Y, TY ) là các không gian topo và cho
T : X → Y. Thế thì T liên tục tại x ∈ X nếu
(∀W ∈ V(T x)) (∃V ∈ V(x)) T (V ) ⊂ W.

(1.17)

Hơn nữa, T liên tục nếu và chỉ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X .
Mệnh đề 1.1. Cho (X , TX ), và (Y, TY ) là các không gian topo và cho
T : X → Y, và giả sử rằng BY là một cơ sở của TY . Thế thì T là liên
tục nếu và chỉ nếu (∀B ∈ BY ) T −1 (B) ∈ TX .
Mệnh đề 1.2. Cho X và Y là các không gian Hausdorff, cho T : X → Y,
và cho x ∈ X . Thế thì T liên tục tại x nếu và chỉ nếu T xa → T x với
mọi lưới (xa )a∈A thuộc X hội tụ tới x.
Mệnh đề 1.3. Cho X và Y là các không gian Hausdorff, cho T : X → Y
liên tục, và cho C ⊂ X là compact. Thế thì T (C) là compact.

Footer Page 13 of 161.

5


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

Định nghĩa 1.3. Cho X là một không gian Hausdorff, cho f : X →
[−∞, +∞], và cho x ∈ X . Thế thì f là nửa liên tục dưới tại x nếu, với
mỗi lưới (xa )a∈A thuộc X
xa → x

⇒

f (x) ≤ lim f (xa ),

(1.18)

hoặc tương đương, nếu
(∀ξ ∈ (−∞, f (x)) (∃V ∈ V(x)) f (V ) ⊂ (ξ, +∞].

(1.19)

Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu −f nửa liên tục dưới
tại x. Nếu f là nửa liên tục trên và dưới tại x, nó liên tục tại x.
Mệnh đề 1.4. Cho X là một không gian Hausdorff và cho f : X →
[−∞, +∞]. Thế thì các khẳng định sau là tương đương:
(i) f là nửa liên tục dưới, tức là f nửa liên tục dưới tại mọi điểm
thuộc X .

(ii) epi f đóng trong X × R.
(iii) Với mỗi ξ ∈ R, lev≤ξ f đóng trong X .
Định lý 1.1. (Weierstrass) Cho X là một không gian Hausdorff, cho
f : X → [−∞, +∞] là nửa liên tục dưới, và cho C là một tập con compact
của X . Giả sử rằng C ∩ dom f = ∅. Thế thì f đạt được cận dưới đúng
của nó trên C.

Footer Page 14 of 161.

6


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Hoàng Hà

Không gian Hilbert

1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.4. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là
trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên
không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu
· | · , thỏa mãn các tiên đề:
(i) (∀x, y ∈ X )

(ii) (∀x, y, z ∈ X )

y|x = x|y ;
x+y |z = x|z + y |z ;

(iii) (∀x, y ∈ X )(∀α ∈ P )

αx | y = α x | y ;

(iv) (∀x ∈ X ) x | x ≥ 0, x | x = 0 nếu x = 0.
Định nghĩa 1.5. Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z...
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
(i) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
(ii) H được trang bị một tích vô hướng;
(iii) H là không gian Banach với chuẩn x =

x | x , x ∈ H.

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
Phần bù trực giao của một tập con C của H được kí hiệu bởi C ⊥ , tức
là
C⊥ = u ∈ H
1.2.2

(∀x ∈ C)

x|u =0 .

Các đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản

Mệnh đề 1.5. Cho x và y thuộc H, thì

Footer Page 15 of 161.

7

(1.20)


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

| x|y |≤ x
Hơn nữa, | x | y | = x

y .

y ⇔ (∃α ∈ R++ ) x = αy hoặc y = αx.

Mệnh đề 1.6. Cho (xi )i∈I và (ui )i∈I là các họ hữu hạn thuộc H và cho
(αi )i∈I là một họ thuộc R sao cho

i∈I

αi = 1 . Thế thì ta có những

khẳng định sau:

(i)
i∈I

i∈I

αi xi

j∈I

αj uj +

i∈I

j∈I

αi αj xi − xj | ui − uj /2 =

αi xi | ui

(ii)

i∈I

αi xi

2

+

i∈I

j∈I

αi αj xi − xj 2 /2 =

i∈I

αi x i 2 .

Mệnh đề 1.7. (Riesz-Fréchet) Cho f ∈ B(H, R) là tập tất cả các toán
tử tuyến tính liên tục từ H vào R. Thế thì tồn tại một vectơ duy nhất u
∈ H sao cho (∀x ∈ H) f (x) = x | u . Hơn nữa f = u .
Nếu K là một không gian vectơ Hilbert thực và T ∈ B(H, R), liên
hợp của T là một toán tử duy nhất T ∗ ∈ B(K, H) thỏa mãn
T x | y = x | T ∗y .

(∀x ∈ H) (∀y ∈ K)

(1.21)

Mệnh đề 1.8. Cho K là một không gian Hilbert thực, cho T ∈ B(H, K),
tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H lên K, và cho ker T =
{x ∈ H | T x = 0} là kernel của T . Thế thì ta có các khẳng định sau:
(i) T ∗∗ = T .
(ii) T ∗ = T =

T ∗T .

(iii) (ker T )⊥ = ranT ∗ .
(iv) (ranT )⊥ = kerT ∗ .

(v) kerT ∗ T = ker T và ranT T ∗ = ranT .

Footer Page 16 of 161.

8


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

Nguyễn Hoàng Hà

Topo mạnh và topo yếu trên không gian Hilbert

Topo metric của (H, d) được gọi là topo mạnh (hoặc topo chuẩn) của
H. Do đó một lưới (xa )a∈A thuộc H hội tụ mạnh đến một điểm x nếu
xa − x → 0; kí hiệu, xa → x. Khi sử dụng mà không được giải thích
thêm, các khái niệm topo trong H (tập đóng, tập mở, lân cận, tính liên
tục, tập compact, hội tụ,...) sẽ được hiểu tương ứng với topo mạnh.
Giả sử rằng u ∈ H

{0} và cho η ∈ R. Một siêu phẳng đóng trong

H là một tập có dạng
x∈H

x|u =η ;

(1.22)

Một nửa không gian đóng với pháp tuyến ngoài u là một tập có dạng
x∈H

x|u ≤η ;

(1.23)

và một nửa không gian mở với pháp tuyến ngoài u là một tập có dạng
x∈H

x|u <η .

(1.24)

Định nghĩa 1.6. Họ của tất cả giao hữu hạn của các nửa không gian
mở của H tạo nên cơ sở lập thành cơ sở topo yếu của H; và kí hiệu topo
yếu của H là Hyếu .
Mệnh đề 1.9. Hyếu là không gian Hausdorff.
Một tập con của H là tập mở yếu nếu nó là hợp của các giao hữu hạn
của các nửa không gian mở. Nếu H là vô hạn chiều, các giao khác rỗng
của hữu hạn các nửa không gian mở là không bị chặn, do đó, các tập

Footer Page 17 of 161.

9


Header Page 18 of 161.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

mở yếu không rỗng là không bị chặn. Một lưới (xa )a∈A thuộc H hội tụ
yếu tới một điểm x ∈ H nếu, với mỗi u ∈ H, xa | u → x | u ; kí hiệu,
xa

x. Hơn nữa, một tập con C của H là đóng yếu nếu giới hạn yếu

của mỗi lưới hội tụ yếu trong C cũng thuộc C, và là compact yếu nếu
mỗi lưới trong C có một điểm tụ thuộc C. Tương tự, một tập con C của
H là đóng yếu theo dãy nếu giới hạn yếu của mỗi dãy hội tụ yếu trong C
cũng thuộc C, và là compact yếu theo dãy nếu mỗi dãy trong C có một
điểm tụ yếu theo dãy thuộc C. Cuối cùng, cho D là một tập con khác
rỗng của H, cho K là một không gian Hilbert thực, cho T : D → K, và
cho f : H → [−∞, +∞]. Thế thì T liên tục yếu nếu nó liên tục tương
ứng với các topo yếu trên H và K, tức là, nếu với mỗi lưới (xa )a∈A thuộc
D thỏa mãn xa

x ∈ D, ta có T xa

T x. Tương tự, f là nửa liên tục

dưới yếu tại x ∈ H nếu với mỗi lưới (xa )a∈A thuộc H sao cho xa

x, ta

có f (x) ≤ lim f (xa ).
Mệnh đề 1.10. Các khẳng định sau là tương đương:

(i) H có số chiều hữu hạn.
(ii) Hình cầu đơn vị đóng B(0; 1) của H là compact.
(iii) Topo yếu của H trùng với topo mạnh của nó.
(iv) Topo yếu của H là khả metric.
Mệnh đề 1.11. (Banach-Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng B(0; 1) của
H là compact yếu.
Mệnh đề 1.12. Cho (xa )a∈A và (ua )a∈A là các lưới thuộc H, cho x và
u là các điểm thuộc H. Giả sử rằng (xa )a∈A bị chặn, xa
Thế thì xa | ua → x | u .

Footer Page 18 of 161.

10

x, ua → u.


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

Mệnh đề 1.13. (xn )n∈N là một dãy bị chặn thuộc H. Thế thì (xn )n∈N
chứa một dãy con hội tụ yếu.
Mệnh đề 1.14. Cho (xn )n∈N là một dãy thuộc H. Thế thì (xn )n∈N hội
tụ yếu nếu và chỉ nếu nó bị chặn và có nhiều nhất một điểm tụ yếu theo
dãy.
Mệnh đề 1.15. Cho (xn )n∈N và (un )n∈N là các dãy thuộc H, cho x và
u là các điểm thuộc H. Thế thì ta có những khẳng định sau:
(i) [xn

x và lim xn ≤ x ] ⇔ xn → x.

(ii) Giả sử rằng H có số chiều hữu hạn. Thế thì xn
(iii) Giả sử rằng xn

1.3
1.3.1

x ⇔ xn → x.

x và un → u. Thế thì xn | un → x | u .

Tập lồi và hàm lồi
Tập lồi

Định nghĩa 1.7. Một tập con C của H là tập lồi nếu
(∀α ∈ (0, 1)) αC + (1 − α)C = C,
hoặc tương đương, nếu
(∀x ∈ C)(∀y ∈ C) (x, y) ⊂ C.

(1.25)

Đặc biệt, H và ∅ là các tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Cho C ⊂ H. Bao lồi của C là giao của tất cả các tập
con lồi của H chứa C, tức là tập con lồi nhỏ nhất của H chứa C. Nó

Footer Page 19 of 161.

11

Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

được kí hiệu bởi conv C. Bao lồi đóng của C là tập lồi đóng nhỏ nhất
của H chứa C. Được kí hiệu bởi conv C.
Định nghĩa 1.9. Cho C là một tập con của H, cho x ∈ H, và cho p ∈ C.
Thế thì p là một xấp xỉ tốt nhất từ x lên C (hoặc một phép chiếu của
x lên C) nếu x − p = dC (x) = inf{ x − y : y ∈ C}. Nếu mỗi điểm
thuộc H có đúng một hình chiếu lên C, thì C là một tập Chebyshev.
Trong trường hợp này, hình chiếu (hoặc toán tử chiếu) lên C là toán tử,
kí hiệu bởi PC , ánh xạ mỗi điểm thuộc H đến một hình chiếu duy nhất
trên C.
Mệnh đề 1.16. Giả sử rằng H có hữu hạn chiều và cho C là một tập
con Chebyshev của H. Thế thì PC liên tục.
Mệnh đề 1.17. Cho C là một tập đóng yếu khác rỗng của H. Thế thì
C là xấp xỉ.
Mệnh đề 1.18. Cho C là một không gian affine con đóng của H. Thế
thì ta có những khẳng định sau:
(i) Cho x và p thuộc H. Thế thì p = PC x nếu và chỉ nếu
p∈C

(∀y, z ∈ C)

y − z | x − p = 0.

(1.26)

(ii) PC là một toán tử affine.
Định lý 1.2. Cho C là một tập con lồi của H. Thế thì những khẳng
định sau là tương đương:
(i) C là tập đóng yếu theo dãy.
(ii) C là tập đóng theo dãy.

Footer Page 20 of 161.

12


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

(iii) C là tập đóng.
(iv) C là tập đóng yếu.
Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập con khác rỗng của H và ánh xạ
T : D → H. T được gọi là không giãn nếu
Tx − Ty ≤ x − y

∀x, y ∈ D,

và được gọi là không giãn vững nếu
Tx − Ty

2

+ (Id − T )x − (Id − T )y

2

≤ x−y

2

∀x, y ∈ D.

Mệnh đề 1.19. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng thuộc H. Thế
thì Id − PC là không giãn vững và 2PC − Id là không giãn.
Mệnh đề 1.20. Cho C là một không gian affine con đóng của H. Thế
thì ta có những khẳng định sau:
(i) PC là liên tục yếu.
(ii) (∀x, y ∈ H) PC x − PC y
1.3.2

2

= x − y | PC x − P C y .

Hàm lồi

Định lý 1.3. Cho f : H → [−∞, +∞]. Thế thì f là lồi nếu epigraph
của nó epi f = {(x, ξ) ∈ H ×R | f (x) ≤ ξ} là một tập con lồi của H × R.
Hơn nữa, f là lõm nếu −f là lồi.
Mệnh đề 1.21. Cho f : H → [−∞, +∞] là lồi. Thế thì miền xác định
của nó dom f = {x ∈ H | f (x) < +∞} là lồi.

Footer Page 21 of 161.

13


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

Mệnh đề 1.22. Cho f : H → [−∞, +∞]. Thế thì f là lồi nếu và chỉ
nếu
f (αx + (1 − α) y) ≤ αf (x) + (1 − α) f (y)
(∀x, y ∈ dom f )(∀α ∈ (0, 1)).

(1.27)

Mệnh đề 1.23. Cho f : H → [−∞, +∞] là lồi. Thế thì, với mỗi ξ ∈ R,
lev≤ξ f là lồi.
Kí hiệu Γ (H) là tập tất cả các hàm lồi nửa liên tục dưới từ H vào
[−∞, +∞] và Γ0 (H) là tập tất cả các hàm lồi chính thường nửa liên tục
dưới từ H vào [−∞, +∞].
Mệnh đề 1.24. Cho (fi )i∈I là một họ thuộc Γ (H). Thế thì supi∈I fi ∈
Γ (H).
Định lý 1.4. Cho f : H → (−∞, +∞] là lồi. Thế thì những khẳng định
sau là tương đương:
(i) f là nửa liên tục dưới yếu theo dãy.
(ii) f là nửa liên tục dưới theo dãy.
(iii) f là nửa liên tục dưới.
(iv) f là nửa liên tục dưới yếu.

1.4

Hàm liên hợp

Định nghĩa 1.11. Cho f : H →

[−∞, +∞]. Liên hợp (hoặc phép

biến đổi Legendre, hoặc phép biến đổi Legendre-Fenchel, hoặc liên hợp

Footer Page 22 of 161.

14


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

Fenchel) của f là
f ∗ : H → [−∞, +∞] : u → sup

x | u − f (x) ,

(1.28)

x∈H

và song liên hợp của f là f ∗∗ = (f ∗ )∗ .
Mệnh đề 1.25. Cho f : H → [−∞, +∞]. Thế thì ta có những khẳng
định sau:
(i) f ∗ (0) = − inf f (H).
(ii) −∞ ∈ f ∗ (H) ⇔ f ≡ +∞ ⇔ f ∗ ≡ −∞.
(iii) Giả sử rằng f ∗ là chính thường. Thế thì f là chính thường.
Mệnh đề 1.26. Cho f : H → [−∞, +∞]. Thế thì ta có những khẳng
định sau:
(i) Cho (u, ν) ∈ H × R. Thế thì (u, ν) ∈ epi f ∗ ⇔ · | u − ν ≤ f .
(ii) f ∗ ≡ +∞ nếu và chỉ nếu f không tồn tại một hàm affine liên
tục nào nhỏ hơn f .
Mệnh đề 1.27. f : H → [−∞, +∞]. Thế thì f ∗ ∈ Γ (H).
Mệnh đề 1.28. (Fenchel-Young) Cho f : H → (−∞, +∞] là chính
thường. Thế thì
(∀x, u ∈ H) f (x) + f ∗ (u) ≥ x | u .

(1.29)

Mệnh đề 1.29. Cho f và g là các hàm từ H đến [−∞, +∞]. Thế thì
ta có những khẳng định sau:
(i) f ∗∗ ≤ f .
(ii) f ≤ g ⇒ [f ∗ ≥ g ∗ và f ∗∗ ≤ g ∗∗ ].

Footer Page 23 of 161.

15


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

(iii) f ∗∗∗ = f ∗ .
Mệnh đề 1.30. Cho f : H → [−∞, +∞]. Thế thì
f = f∗

⇔

f = (1/2) ·

2

.

(1.30)

Mệnh đề 1.31. Cho f : H → (−∞, +∞]. Thế thì ta có những khẳng
định sau:
(i) (∀α ∈ R++ ) (αf )∗ = αf ∗ (·/α).
(ii) (∀α ∈ R++ ) (αf (·/α))∗ = αf ∗ .
(iii) (∀y, v ∈ H)(∀α ∈ R) (τy f + · | v +α)∗ = τv f ∗ + y | · − y | v −
α.
Mệnh đề 1.32. Cho F ∈ Γ (H × H) là tự liên hợp. Thế thì F ≥ · | ·
và F ∗ ≥ · | · .
Định lý 1.5. (Fenchel-Moreau) Cho f : H → (−∞, +∞] là chính
thường. Thế thì f là nửa liên tục dưới và lồi nếu và chỉ nếu f = f ∗∗ .
Trong trường hợp này, f ∗ cũng là chính thường.
Mệnh đề 1.33. Cho f ∈ Γ0 (H). Thế thì f ∗ ∈ Γ0 (H) và f ∗∗ = f .
Mệnh đề 1.34. Cho f : H → (−∞, +∞] là một hàm lồi chính thường

có một hàm affine liên tục nhỏ hơn f . Thế thì ta có những khẳng định
sau:
(i) dom f ⊂ dom f ∗∗ ⊂ domf .
(ii) epi f ∗∗ = epif .
(iii) (∀x ∈ H) f ∗∗ (x) = limy→x f (y).

Footer Page 24 of 161.

16


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Hoàng Hà

Mệnh đề 1.35. Cho f và g là các hàm thuộc Γ0 (H) sao cho 0 ∈
sri(dom f − dom g). Giả sử rằng f + g ≥ 0 và g ∗ = g ◦ L, mà L ∈ B(H).
Thế thì tồn tại v ∈ H sao cho f ∗ (v) + g(−Lv) ≤ 0.
Mệnh đề 1.36. Cho f ∈ Γ0 (H) và đặt q = (1/2) ·

2

. Giả sử rằng

f + q ≥ 0. Thế thì tồn tại một vectơ w ∈ H sao cho (∀x ∈ H) f (x) +
q(x) ≥ q(x − w).

1.5

Dưới vi phân

1.5.1

Các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.12. Cho f : H → (−∞, +∞] là chính thường. Dưới vi
phân của f là toán tử đa trị
∂f : H → 2H : x → u ∈ H (∀y ∈ H)

y − x | u + f (x) ≤ f (y) .
(1.31)

Cho x ∈ H. Thế thì f là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) = ∅; các
phần tử của ∂f (x) là subgradient của f tại x.
Kí hiệu tập tất cả các cực tiểu của f là Argmin f .
Định lý 1.6. Cho f : H → (−∞, +∞] là chính thường. Thế thì
Argmin f = zer ∂f = x ∈ H

0 ∈ ∂f (x) .

(1.32)

Mệnh đề 1.37. Cho f : H → (−∞, +∞] là chính thường và cho x ∈
dom f . Thế thì ta có những khẳng định sau:
(i) dom ∂ f ⊂ dom f .

Footer Page 25 of 161.

17