MỘT số DẠNG TOÁN về ỨNG DỤNG của TÍCH PHẦN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHẦN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
---------Lương Ngọc Huyên
Giáo viên trường THPT Chuyên Tuyên Quang
Bài toán tính diện tích hình phẳng bằng tích phân là một trong những dạng toán hay gặp của đề thi tốt nghiệp
THPT, đề thi Đại học và Cao đẳng. Bài viết này nhằm giúp học sinh làm quen với các dạng toán cũng như các
kĩ năng giải dạng toán này trước khi bước vào các kì thi quan trọng.
1. Công thức tính diện tích hình phẳng
Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = g ( x ), x = a, x = b (a < b) (từ nay chúng ta kí hiệu
là ( H ) = {y = f ( x), y = g ( x ), x = a, x = b} ), với f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó diện
tích hình ( H ) được cho bởi công thức
b

S ( H ) = ∫ f ( x) − g ( x ) dx (*).
a

2. Một số dạng toán
2.1. Tính trực tiếp diện tích hình phẳng theo công thức (*)
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = { y = sin 2 x, x = 0, x = π }.
Giải. Áp dụng công thức (*) ta có
π

π

π

π

1
1
1
π


S ( H ) = ∫ | sin x | dx = ∫ sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x) dx =  x − sin 2 x ÷ = .
20
2
2
0 2
0
0
2

2

Nhận xét. Vấn đề khó khăn nhất trong việc áp dụng trực tiếp công thức (*) là phá dấu giá trị tuyệt đối. Chú ý
rằng hàm số f ( x) − g ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , do đó để phá dấu giá trị tuyệt đối ta làm như sau:
+ Tìm tất cả các nghiệm x1 , x2 ,..., xn của phương trình f ( x) − g ( x) = 0 trong khoảng (a; b) .
+ Vì f ( x) − g ( x) liên tục trên đoạn [a; b] nên trên các khoảng (a; x1 ), ( x1; x2 ),..., ( xn ; b) thì f ( x) − g ( x) giữ
nguyên một dấu. Vậy
b

x1

x2

b

x1

xn

S ( H ) = ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx + ∫ | f ( x) − g ( x) | dx + ... + ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx

a

a

x1

x2

a

x1

= ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx +

∫ ( f ( x) − g ( x))dx + ... +

b

∫ ( f ( x) − g ( x))dx .

xn

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = { y = 2 x , y = 3 − x, x = 0, x = 2}.
2

x
Giải. Ta có S ( H ) = ∫ | 2 + x − 3 | dx.
0

Phương trình 2 x + x − 3 = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 trên khoảng (0; 2) , do đó

1

2

1

2

0

1

0

1

S ( H ) = ∫ | 2 x + x − 3 | dx + ∫ | 2 x + x − 3 | dx = ∫ (2 x + x − 3)dx + ∫ (2 x + x − 3)dx .

1


1

2

 2x x2

 2x x2

1

+ − 3x ÷ + 
+ − 3x ÷ =
+ 1.
Suy ra S ( H ) = 
 ln 2 2
 0  ln 2 2
 1 ln 2
2.2. Tính diện tích hình phẳng khi giả thiết thiếu cận
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = ln x, y = 0, x = e}.
Giải. Xét phương trình ln x = 0 ⇔ x = 1. Do đó
e

e

1

1

e

S ( H ) = ∫ | ln x | dx = ∫ ln xdx = x ln x 1 − ∫ dx = 1.
e

1

Nhận xét. Để tính diện tích hình phẳng trong trường hợp này ta cần tìm thêm cận bằng cách xét nghiệm của
phương trình f ( x) = g ( x).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x , x − 2 y = 0}.
x=

Giải. Xét phương trình

x = 0
x
⇔
. Vậy
2
x = 4
4

S (H ) = ∫
0

4

4
2
x
x
x2 
4

x − dx = ∫  x − ÷dx =  x x − ÷ = .
2
2
4 0 3
3
0

2.3. Tính diện tích hình phẳng khi các đường giới hạn chưa có dạng “chuẩn” y = f ( x)

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip ( E ) :

x2 y2
+
= 1 (a, b > 0).
a 2 b2

b 2

y = f ( x) =
a − x2

x
y
a
.
Giải. Ta biến đổi 2 + 2 = 1 ⇔ 
a
b
 y = g ( x) = − b a 2 − x 2

a
2

2

a
x = a
b 2
b 2

2b
2
2
a
−
x
=
−
a
−
x
⇔
.
S
(
E
)
=
a 2 − x 2 dx.
Xét phương trình
Vậy

∫
a
a
a −a
 x = −a

 π π
Đổi biến số với x = a sin t , t ∈  − ;  ta tính được S ( E ) = π ab.

 2 2
Nhận xét. Để tính diện tích hình phẳng trong trường hợp này ta biến đổi các đường cho trong giả thiết về
dạng “chuẩn” y = f ( x) .
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng có diện tích nhỏ hơn giới hạn bởi các đường
1
(C ) : x 2 + y 2 = 4 và ( P ) : y = − x 2 .
3
 y = f ( x ) = 4 − x 2 (G )
1
2
2

x
+
y
=
4
⇔
.
Giải. Ta có
2
 y = g ( x) = − 4 − x (G2 )
Phần hình phẳng cần tính diện tích là phần hình phẳng giới hạn bởi các đường (G2 ) và ( P ) .
3
x = 3
1 2
 1

2
. Vậy S = ∫  − x 2 + 4 − x 2 ÷dx.

Xét phương trình − 4 − x = − x ⇔ 
3
3

 x = − 3
− 3

2


3

Dễ thấy

 1

∫  − 3 x

− 3

2

−2

(a).
÷dx =
3


 π π

Bằng cách đặt x = a sin t , t ∈  − ;  ta tính được
 2 2

3

∫

4 − x 2 dx =

− 3

4π
+ 3 (b).
3

4π
3
+
.
3
3
2.4. Tính diện tích hình phẳng khi có nhiều hơn 2 đường dạng y = f ( x)

Từ (a), (b) suy ra S =

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x 3 , y = 0, y = 2 − x}.
Giải. Xét các phương trình: x 3 = 0 ⇔ x = 0; x 3 = 2 − x ⇔ x = 1; 2 − x = 0 ⇔ x = 2.
Vẽ các đường y = x 3 , y = 0, y = 2 − x trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy :

1

2


x4
x2 
3
+  2x − ÷ = .
Vậy S ( H ) = ∫ x dx + ∫ (2 − x )dx =
4 0 
2 1 4
0
1
1

2

3

Nhận xét. Khi tính diện tích hình phẳng trong trường hợp này ta cần tìm các hoành độ giao điểm của các
đường y = f ( x), y = g ( x ), y = k ( x),... Sau đó vẽ các đường này trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy . Từ đó xác
định công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm.
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y 2 = x, y = 2 − x}.
 y = f ( x) = x
2
.
Giải. Ta có y = x ⇔ 
 y = g ( x) = − x
Xét các phương trình:

x = − x ⇔ x = 0; x = 2 − x ⇔ x = 1; − x = 2 − x ⇔ x = 4.

Vẽ các đường y 2 = x, y = 2 − x trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy :

3


1

Vậy S ( H ) = 2∫
0

4

1



4
x2 2
9
xdx + ∫ (2 − x + x )dx = x x +  2 x − + x x ÷ = .
3
2 3
0

1 2
1
4

Chú ý: Khi đã vẽ hình thì ta có thể tính diện tích các hình phẳng bởi công thức (*) mà không còn dấu giá trị
tuyệt đối bằng cách trừ hàm số có đồ thị ở “phía trên” cho hàm số có đồ thị ở “phía dưới” (khi đó biểu thức
lấy giá trị tuyệt đối có giá trị không âm).
2.5. Tính diện tích hình phẳng bằng hàm ngược
Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y 2 = x, y = 2 − x}.
y =1
2
. Vậy
Giải. Xét phương trình y = 2 − y ⇔ 
 y = −2
1


y2 y3 
9
S ( H ) = ∫ (2 − y − y )dy =  2 y −
− ÷ = .
2
3  −2 2

−2
1

2

Nhận xét.
+ So với cách giải trong Ví dụ 8 thì rõ ràng cách giải này gọn hơn và cũng không cần thiết phải vẽ hình.
+ Khi sử dụng phương pháp này ta coi x là giá trị hàm số ứng với biến số là y . Khi đó công thức tính diện
tích hình phẳng ( H ) = {x = f ( y ), x = g ( y ), y = a, y = b}, a < b là
b

S ( H ) = ∫ | f ( y ) − g ( y ) | dy.
a

Ví dụ 10. Tính diện tích hình phẳng ( H ) = { y = 4 x, y 2 = (4 − x)3}.
2

2
Giải. Viết lại y = 4 x ⇔ x =

Xét phương trình

y = 0
1 2
y = 4 − 3 y2 ⇔ 
. Vậy
4
y = 2 2
2 2

S (H ) =

1 2 2
y ; y = (4 − x )3 ⇔ x = 4 − 3 y .
4

∫
0

1 2 3 2

y + y − 4 dy =
4

2 2

∫
0

2 2

1 2 3 2

 1 3 35 3

y − 4y ÷
 y + y − 4 ÷dy =  y +
5
4

 12
0

=

128 2
.
15

Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính diện tích các hình phẳng sau

1. ( H1 ) = { y = log 2 x; Ox; x = e}.
2
2
2. ( H 2 ) = {x = ay; y = ax}, a > 0.
2
3. ( H 3 ) = {y = 5 − x; x + y − 3 = 0}.
2
4. ( H 4 ) = {y = 2 x, y = 0, x − 2 y + 2 = 0}.
2
5. ( H 5 ) = {y =| x − 5 x + 4 |, y = x + 4}.
2
2
2
6. ( H 6 ) : y = x (4 − x ).

Bài 2. Cho Parabol ( P ) : y = x 2 và điểm A(1; 4) . Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua A cắt ( P ) tại hai
điểm phân biệt đồng thời ( d ) tạo với ( P ) một hình phẳng có diện tích nhỏ nhất./.

4