Khoá luận tốt nghiệp phép quay và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lụa

P H É P Q U A Y VÀ Ứ N G D Ụ N G

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ội —N ăm 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lụa

P H É P Q U A Y VÀ Ứ N G D Ụ N G

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NG Ư ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
P G S .T S N g u y ễ n N ă n g Tâm

H à N ội —N ăm 2016

LỜI C Ả M ƠN
Trước khi trìn h bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới PG S.T S Nguyễn Năng Tâm đã tậ n tìn h hướng dẫn để em có thể hoàn th àn h
đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới to àn th ể các th ầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tậ n tìn h trong suốt quá
trìn h học tậ p tạ i khoa.
N hân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân th à n h tới gia đình, bạn bè đã
luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìn h học tậ p và thực hiện đề tài
thực tậ p này.
Hà Nội, ngày

04

tháng 05 năm 2016

Sinh viên
N g u y ễ n T h ị L ụa


LỜI C A M Đ O A N
K hóa luận tố t nghiệp này là kết quả của quá trìn h học tậ p , nghiên cứu của em dưới
sự chỉ bảo, dìu d ắ t của các th ầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tìn h của thầy
Nguyễn Năng Tâm .
Em xin cam đoan K hóa luận tố t nghiệp với tên đề tài: "Phép quay và ứng dụng"
không có sự trù n g lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội,

04

tháng 05 năm 2016

Sinh viên
N g u y ễ n T h ị L ụa


M ục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1 Không gian ơ c l i t ...............................................................

3

1.2 Định h ư ớ n g ........................................................................

3

1.2.1

Định hướng trên đường t h ẳ n g ..............................

3

1.2.2

Định hướng trong mặt p h ẳ n g ..............................

4

1.2.3

Định hướng trong không g i a n ..............................

7

1.3 Phép biến h ì n h ..................................................................

9

1.3.1

Các khái niệm về phép biến h ì n h ........................

9

1.3.2

Phép biến hình a fin ................................................

10

1.3.3

Phép biến hình đẳng c ự .......................................

12

2 Phép Quay
2.1

2.2

14

Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng

...............

14

2.1.1

Định nghĩa

............................................................

14

2.1.2

Tính c h ấ t ...............................................................

15

Phép quay quanh trục trong không gian ........................

20

2.2.1

20

Định nghĩa

............................................................
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

2.2.2 Tính c h ấ t ................................................................

20

2.3 Phép quay quanh (n —2)- p h ẳ n g ....................................

22

3 ứ n g dụng phép quay vào giải một số bài toán hình học 23

3.1

Phép quay và bài toán tính to á n .......................................

23

3.1.1

Bài toán tính t o á n ................................................

23

3.1.2

Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình . . . .

23

3.2 Phép quay và bài toán quỹ t í c h .......................................

27

3.2.1

Bài toán quỹ t í c h ...................................................

27

3.2.2

Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình

....

28

3.3 Phép quay với bài toán dựng h ìn h ....................................

32

3.3.1

Bài toán dựng h ìn h ................................................

32

3.3.2

Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình . . .

33

3.4 Phép quay với bài toán chứng m in h .................................

38

3.4.1

Bài toán chứng m in h .............................................

38

3.4.2

Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình . .

39

Tài liệu tham khảo

46

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Lời m ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Toán học là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu
các môn khoa học khác. Bất kì một sinh viên khoa toán nào cũng đều
có niềm say mê nghiên cứu toán học.
Hình học là môn học khó đối với bất kì sinh viên nào, bởi vì tính chặt
chẽ, logic và tính trìu tượng của hình học cao hơn các môn học khác.
Các phép biến hình sơ cấp là một phần khá hay và quan trọng của hình
học, nó là một công cụ hữu ích, thể hiện tính ưu việt trong giải toán
hình học.

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng
linh hoạt trong việc giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh,
bài toán tính toán, bài toán quỹ tích... Tuy nhiên, việc ứng dụng phép
quay để giải các bài toán đó không phải việc dễ dàng. Bằng những kiến
thức đã học cùng với sự say mê, tìm tòi, ham học hỏi và niềm yêu thích
môn hình học nên em đã lựa chọn nghiên cứu một mảng nhỏ của hình
học với tên đề tài: “Phép quay và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phép quay và ứng dụng của nó trong giải các bài toán
hình học trong không gian E71.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

+ Các VÍ dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc
giải các lớp bài toán hình học cơ bản và nâng cao.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phép quay.
+ Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện về trình độ và thời gian, em chỉ
nghiên cứu một số bài toán hình học cơ bản có thể áp dụng phép quay
trong quá trình giải.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết về phép quay.
+ Nghiên cứu sách giáo trình hình học, các tạp trí toán học và các
tài liệu có liên quan đến phép quay.

6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phần
Mở đầu
Nội dung gồm 3 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phép quay
Chương 3: ứng dụng của phép quay vào giải một số bài toán
hình học
Kết luận

2


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
1.1

K h ôn g gian ơ c lit
Không gian ơclit là không gian afin liên kết với không gian véctơ

ơclit hữu hạn chiều.
Không gian ơclit sẽ gọi là n chiều nếu không gian véctơ ơclit liên kết
với nó có số chiều bằng n.
Không gian ơclit thường được kí hiệu là E, không gian véctơ ơclit
liên kết với nó được kí hiệu là Ê.
Ví dụ: Không gian ơclit thông thường E3 học ở phổ thông.

1.2

Đ ịn h hướng

1.2.1 Định hướng trên đường thẳng
Đ ịn h n g h ĩa

Cho đường thẳng a và trên a ta xét một chiều quy ước là dương,
chiều ngược lại là âm thì ta nói rằng đã định hướng đường thẳng a.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Đ ộ d à i đ ạ i số

Cho đường thẳng a có định hướng và hai điểm A, B thuộc a. Ta gọi
độ dài đại số của AB, kí hiệu là AB là một số có trị số là khoảng cách
giữa hai điểm A và B mang dấu dương nếu AB cùng hướng với hướng
dương của a, mang dấu âm trong trường hợp ngược lại.
H ệ th ứ c Sald

Trên đường thẳng a đã định hướng cho các điểm Aị, A2,... ,An khi
đó ta có hệ thức:
AịA 2

+

A 2 A 3

+

•••+

An_ịAn —AịAn

gọi là hệ thức Salơ.
1.2.2

Định hướng trong mặt phẳng

Đ ịn h n g h ĩa

Trong mặt phẳng cho điểm o thì xung quanh o có hai chiều quay;
nếu ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm,
thì ta nói rằng ta đã định hướng được mặt phẳng.
Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh o ngược chiều kim
đồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm.
G ó c đ ịn h hư ớ n g g iữ a h ai tia

Cho hai tia OA, OB. Góc định hướng giữa hai tia OA và OB là
hình gồm hai tia OA và OB và một trong hai tập hợp do hai tia đó phân
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

hoạch mặt phẳng ra; đồng thời giữa hai tia OA và OB ta qui ước tia nào

là gốc(tia đầu). Tia nào là tia cuối.
Kí hiệu: (ÕÃ, ÕB) hay (OA,OB).
Dễ thấy với hai tia OA và OB có hai góc định hướng tạo bởi hai tia.
Nhận xét: Nếu a là một giá trị của góc định hướng tạo bởi hai tia OA
và OB thì những giá trị khác là:
a' = Oí + 2kĩĩ

(k € Z)

* Hệ thức Salơ.
Cho các tia OAi, OA2,... ,OAn trong mặt phẳng định hướng ta có hệ
thức Salơ:
(OAi, 0 A2) + (OA2 , OAỵ) + • ■• + (OAn_i, OAn) — (ỠAi, OAn) + 2kĩĩ
G ó c đ ịn h hư ớ n g g ỉư ã h ai đ ư ờ n g th ẳ n g

*Trong mặt phẳng được định hướng, cho hai đường thẳng a và b.

Nếu a n b = o thì mỗi đường thẳng bị o chia làm hai tia và ta định
nghĩa:
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Góc định hướng giữa hai đường thẳng a và 6 là góc định hướng giữa
hai tia ũị và bị (i=l,2).
Kí hiệu: (a,b)
*Trong không gian:

Nếu a không cắt b (chéo nhau hoặc song song) thì ta xét hai tia cùng
xuất phát từ một điểm trong không gian theo thứ tự song song với các
đường thẳng đã cho. Khi đó đối với những góc do chúng tạo thành, có
thể chứng minh được rằng: với mọi cách chọn điểm và tia như vậy, ta
luôn có hoặc là những góc bằng nhau hoặc là những góc bù nhau thành
một góc bẹt hay đầy. Một đại diện bất kì của lớp vô số các góc phẳng
tạo thành bằng cách đó được xem là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Vậy: góc định hướng giữa hai đường thẳng không cắt nhau là góc
định hướng giữa hai tia xuất phát từ một điểm chung theo thứ tự song
song với các đường thẳng đã cho.
*Nhận xét: Nếu a là một giá trị của góc định hướng giữa hai đường
thẳng a và b thì các giá trị a' của nó có dạng:

a' = a + kĩĩ

(k € Z)

*Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường
thẳng ữi, a2, ... , an cắt nhau tại o. Khi đó ta có:
(«1 , «2) + (ữ2 i «3) + • • • + (Un—1 , ữn) = (ữi, an) + kĩĩ

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

Nguyễn Thị Lụa

Định hướng trong không gian

Đ ịn h n g h ĩa

Trong không gian cho đường thẳng A đã được định hướng, xung
quanh A có hai chiều quay. Nếu ta chọn một chiều là dương, một chiều
là âm thì ta nói rằng đã định hướng được không gian.
G ó c n h ị d iệ n đ ịn h hư ớ n g

+ Góc nhị diện
Mỗi đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng nào đó phân hoạch mặt
phẳng đó làm hai phần. Mỗi phần gọi là nửa mặt phẳng xuất phát từ
MN; MN gọi là đường giới hạn của hai nửa mặt phẳng.
Tập hợp hai nửa mặt phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng phân
hoạch không gian ra làm hai phần. Góc nhị diện là tập hợp hai nửa mặt
phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng và một trong hai phần của
không gian do hai nửa mặt phẳng đó phân hoạch ra. Đường giới hạn gọi
là cạnh của nhị diện.

Góc phẳng nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh nhị diện còn cạnh
của nó nằm trên(thuộc) các mặt của góc nhị diện và tương ứng đều
vuông góc với các cạnh của nhị diện.
+ Góc nhị diện định hướng.
Góc nhị diện định hướng là góc có phân biệt thứ tự các mặt.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

G ó c ta m d iệ n đ ịn h h ư ớ n g

+ Góc đa diện(góc đa diện hai chiều)
Góc đa diện là một tập hợp sắp thứ tự gồm một số hữu hạn các góc
phẳng có định hướng A ịS A 2, A2S A 3, . .., AnSAị, cùng chung một đỉnh,
sắp xếp trong không gian sao cho cạnh cuối của mỗi góc là cạnh gốc của
góc đi liền sau và cạnh cuối của góc đi sau cùng trùng với cạnh gốc của
góc đầu tiên.
Các góc phẳng tạo nên góc đa diện gọi là các diện của nó, đỉnh chung
củ chúng gọi là đỉnh góc đa diện, các cạnh của chúng gọi là các cạnh của
góc đa diện.
Góc đa diện gọi là đơn (không tự cắt) nếu mỗi điểm của nó, ngoài
đỉnh ra, hoặc là thuộc chỉ một diện, hoặc là chỉ thuộc hai diện khi là
điểm trên cạnh chung hai diện đó.
Góc đa diện không đơn gọi là góc đa diện sao.
+ Góc đa diện ba chiều.
Có thể chứng minh được rẳng mỗi góc đa diện đơn là (hai chiều) phân

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

hoạch không gian thành hai phần. Góc đa diện đơn hai chiều cùng với
một trong hai phần đó được gọi là góc đa diện đơn ba chiều.
+ Góc tam diện định hướng.

Góc đa diện có ba mặt gọi là góc tam diện.
Cho góc tam diện 0(x,y,z). Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A,
B,

c và theo chiều A—»B—»c. Ta định hướng mặt phẳng (ABC) và phía

của không gian chứa nó.
Góc tam diện 0(x,y,z) là âm hay dương tùy theo chiều A—>B—>c là
âm hay dương (ta chọn chiều quay theo chiều ngược kim đồng hồ là
chiều dương). Khi đó ta nói rằng góc tam diện 0(x,y,z) đã được định
hướng.
Nhận xét: Góc tam diện không đỏi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh
ba tia.
Góc tam diện sẽ đổi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh hai trong ba tia.

1.3

P h é p b iến h ình

1.3.1

Các khái niệm về phép biến hình

Định nghĩa 1.1. Một song ánh f : En —» En được gọi là một phép biến
hình của En.

Định nghĩa 1.2. Giả sử f và g là hai phép biến hình của En đã cho, dễ
thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của En vào En. Ta gọi
phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Định nghĩa 1.3. Phép biến hình f của En được gọi ỉà phép biến hình
đối hợp nếu p = Id, dễ thấy lúc đó ta có Ị và phép biến hình nghịch đảo
của Ị là / -1 trùng nhau.

Ví dụ: Phép quay quanh một điểm; phép quay quanh trục.
Định nghĩa 1.4. Cho phép biến hình f của En. Điểm M G En được
gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến hình Ị nếu
f ( M) = M.

Định nghĩa 1.5. Cho phép biến hình f của En. Hình H bộ phận của En
được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu ta có f ( H ) = H . Hình
H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình ĩ nếu ta có mọi điểm
của H bất động đối với f.

Định nghĩa 1.6. Cho f và g là hai phép biến hình của En. Phép biến
hình h=g-fg ~1 gọi là phép biến đổi của phép biến hình f bởi phép biến
hình g.

1.3.2

Phép biến hình afín

Định nghĩa 1.7. Phép biến hình của không gian ơclit En biến đường

thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin.

Định lý 1.1. Phép biến hình của không gian En là phép afin khi và chỉ
khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và biến ba
điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
Chứng minh.

Thật vậy, nếu phép biến hình f của En là phép afin thì

f biến đường thẳng thành đường thẳng. Do vậy nó biến ba điểm thẳng
10


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Nguyễn Thị Lụa

hàng thành ba điểm thẳng hàng.

c không thẳng hàng của En và gọi A',B', C' tương
ứng là ảnh của A, B, c qua f. Ta phải chứng minh A ',B ': C' không thẳng

Xét bộ ba điểm A, B,

hàng. Ta chứng minh phản chứng. Giả sử A',B',C' thẳng hàng, ta có f
là phép afin nên f biến đường thẳng AB thành đường thẳng A'B'. Vậy
tồn tại D nằm trên AB để f(D)=C". Do D , c phân biệt điều này vô lý
do f(D)=C"=f(C) và f là song ánh.
Điều này vô lý nên ta kết luận: A',B', ơ không thẳng hàng.
Ngược lại: Nếu f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng được
chứng minh dễ dàng gần như hiển nhiên.

□

T ín h ch ấ t

Tính chất 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
Tính chất 2: phép afin bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.
Tính chất 3: Phép afin bảo toàn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định
hướng.
Tính chất 4: Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.
Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
P h â n loại

Định nghĩa:
+ Trong E2 hai tam giác ABC và A'B'Ơ được gọi là cùng chiều nếu
trên vòng tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi từ A đến B, từ B đến

c, từ c đến A cùng chiều quay từ A'
11

đến B 1, từ B' đến C', từ C' đến


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Nguyễn Thị Lụa

A'.

+ Trong không gian E3 hai tứ diện ABCD và A'B'C'D1được gọi là cùng
chiều nếu hai góc tam diện A.BCD và A'.B'C'D' cùng hướng.
Định nghĩa:
Phép afin trong E2(E3) được gọi là phép afin loại 1 nếu hai tam giác(hai
tứ diện) xác định nó là cùng chiều.
Ngược lại ta bảo là phép afin loại 2.
1.3.3

Phép biến hình đẳng cự

Đ ịn h n g h ĩa

Phép biến hình của không gian En bảo tồn khoảng cách giữa hai
điểm gọi là phép đẳng cự.
T ín h ch ấ t

Tính chất 1: Phép đẳng cự là phép afin.
Tính chất 2: Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc phẳng.
Tính chất 3: Phép đẳng cự biến siêu cầu của En thành một siêu cầu có
cùng bán kính.
Đ iề u k iện x á c đ ịn h p h é p đ ẳ n g cự

+ Trong E2, phép đẳng cự xác định bởi hai tam giác bằng nhau.
+ Trong E3, phép đẳng cự xác định bởi hai tứ diện bằng nhau. Trong
đó hai tứ diện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng
bằng nhau.

12

Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Nguyễn Thị Lụa

P h â n loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1.
Ngược lại ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.

13


Chương 2
P h ép Quay
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị
cho chương sau, những kiến thức này được lấy từ tài liệu tham khảo.

2.1

P h é p quay qu an h m ột đ iểm tro n g m ặt p h ẳn g

2.1.1

Định nghĩa

Trong E2 cho điểm o và một góc định hướng a sai khác k2iĩ. Phép
biến hình của E2 cho tương ứng mỗi điểm M với điểm M' sao cho
OM = OM1 và (OM, OM') = a gọi là phép quay tâm o với góc quay
Oi.

Kí hiệu: Qq hoặc Q(0,a).

Ta thường chọn a sao cho —7T < a < 7T.
* Chú ý: Theo định nghĩa phép quay Q(0, à) nếu a = 0 nó trở thành
phép đồng nhất, còn nếu a = lĩ hoặc a = —7T thì nó là phép đối xứng
tâm o.

14


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

2.1.2

Nguyễn Thị Lụa

Tính chất

P h é p q u a y Q ( 0 , a ) là p h é p dời h ìn h

Chứng minh
Giả sử
Q (0,a) :M

M'

N h-> N'
Theo định nghĩa ta có
' OM = OM'
< ON = ON'

(ỠM, Õ M Ĩ) = ( ^ Õ Ĩ V 7)
OM = OM1
=►

ON = ON'
{OM, ON) = (OM ',O N')

=> A O M N = AOM'N'{c.g.c)
=> M N = M'N'
Vậy Q { 0 ,a ) là phép dời hình(đpcm).
N ế u A ' , B ' là ả n h củ a các đ iể m A , B tr o n g p h é p q u a y Q q , th ì A 'B ' = A B và
g ó c đ ịn h h ư ớ n g tạ o b ở i h ai tia A B , A ' B ' b ằ n g a : ( A B , A' B' ) = a;(0° < a < 180°)

Chứng minh. - Ta xét trường hợp điểm A trùng với tâm quay o. Trường
hợp này A là điểm bất động, B —>B' do đó AB = A'B' và chiều quay
của tia AB quanh điểm A đến trùng với tia A'B' là chiều dương vì vậy
15


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Nguyễn Thị Lụa

(AB, A'B') = a.
- Trường hợp A và B không trùng với o. Trong trường hợp này ta có
{ÓẤÀDA') = {ÓB^OB') = a, OA = OA',OB = OB'.
Theo hệ thức Sáclơ đối với góc định hướng ta có
( ơ X o B ) + { 0 ^ 0 A') = {0'B^OA') = (ÓẤ^ÕB')

(ÓẤ^OB)+(OẤÃOB').

Ta thấy A AOB — AOA'B'(c.g.c), do đó AB = A'B'. Gọi s là gốc
chung của hai tia cùng chiều với các tia AB và A'B'. Vì bốn điểm
o, B, s , B' (hoặc o, A, s, A') cùng nằm trên một đường tròn, nên
cSẤÀSA') = a (hoặc [ S B ^ B ' ) = a).

□

P h é p q u a y Q ( 0 , a ) (a Ỷ k2ĩĩ,k € z ) có m ộ t đ iể m b ấ t đ ộ n g d u y n h ấ t và là
p h é p b iế n đ ổ i 1-1.

Chứng minh
Theo định nghĩa ta có o là điểm bất động của Q(0,a). Giả sử O'
cũng là điểm bất động của Q(0,a), (o ^ o ') thì góc tạo bởi 0 0 ' và
chính nó bằng a, nghĩa là a — 0 (mâu thuẫn giả thiết a Ỷ k2ĩTi k G Z).
Điều đó chứng tỏ không có điểm O' hay Q ( 0 , a ) có điểm bất động
duy nhất là o.
Nếu Mị, M2 có cùng một ảnh là điểm M' thì Q ( 0 , —a ):
M' ^ MUM' ^ M2.
Khi đó OMị = OM2.
(ỠM7, ÕMi) = (ÕM ĩì ÕM2) = -OL.

16


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Nguyễn Thị Lụa

Chứng tỏ Mị = M2.

P h é p q u ay Q ( 0 , a ) b iế n b a đ iể m th ẳ n g h à n g th à n h b a đ iế m th ẳ n g h à n g và
b ảo tồ n th ứ t ự c ủ a ch ú n g .

Chứng minh
Theo tính chất 1 phép quay Q ( 0 , a ) là phép dời hình. Do đó nếu
A' , B ', C' lần lượt là ba ảnh của ba điểm thẳng hàng A , B , C thì A',B', C'
thẳng hàng theo thứ tự đó.
*Hệ quả: Phép quay Q ( 0 , a ) biến:
• Một đường thẳng d thành đường thẳng d' và góc định hướng (d, d')
bằng a, d _L d' khi OL = ±90°.
• Biến tia S x thành tia S'x' và góc tạo bởi hai tia đó bằng a.
• Biến đoạn PQ thành đoạn P'Q' và PQ = P'Q'.
• Biến góc x S y thành góc x'S 'y' và hai góc x S y = x 'S 'y '.
• Biến đường tròn (/, R ) thành đường tròn ự', R!).
T íc h c ủ a h ai p h é p q u a y là m ộ t p h é p tịn h tiế n h o ặ c là m ộ t p h é p q u a y

Chứng minh
Xét hai phép quay Q ( 0 , a ) và Q(0,Ị3). Đặt Q = Qo ° Qo*TH1: 0 = 0'

/

Q ị : M ^ M' thì <

OM = OM'
(ỠM, OM') = ạ

17


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Q — Qq : M'

M" thì <

Nguyễn Thị Lụa

OM' = OM"
(OM1, OM11) = a

OM' = OM'
(OM, OM") = (OM, OM') + (OM', OM") = ạ + OL
X

Vậy Q = Qa0+f.
*TH2: 0 ^ 0 '
BỔ đề: Tích của hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay quanh
giao điểm với góc quay 2(ã, a') (a và a' là hai trục)

an a' = I,Đ„ o Đ„. =
Chứng minh

M = I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

18


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Nguyễn Thị Lụa

ị M' = I
\

"=1

m

Vậy I là điểm bất động của Q — Đu/ o Đa
Nếu M ^ I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

<

I M = I M ’ = IM"
{ĨM, ĨM") = (7m , 7 m ĩ) + Ợ M, Ĩ M" ) = 2(õ, õ7)

Vậy

= Đ„. o Đ„

Chứng minh tính chất:
Gọi b là đường thẳng qua o và O'
Dựng đường thẳng a qua o và (a, b) = —
a
Dựng đường thẳng a' qua O' và (6, a') =

2

Khi đó ta có:
Qo = Đbo Đa

Qo' = Đo' °

/- —\ _ a + p
a)= —
Có các trường hợp:
+ a song song hoặc trùng ữ', ta có:

a + /3
2

a + /3 = k27ĩ(k E Z)
=> Qo' ° Qỗ = ĐQ/ o Đa = T

+ a cát a' tại I ta có a + ¡3 Ỷ k2Tĩ{k € Z)

19

kĩĩ