Khoá luận tốt nghiệp sơ lược về đường cong elliptic trên trường hữu hạn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N guyễn T hị Phương

s ơ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC
TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ộ i — N ăm 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N guyễn T hị Phương

s ơ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC
TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN
C huyên ngành: H ình học

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
P h ạ m T h a n h T âm

H à N ội —N ăm 2016


M ụ c lục

1 Đ ường cong E lliptic
1.1

Trường hữu h ạ n ...................................................................

2

1.1.1

Trường.......................................................................

2

1.1.2

Đặc số của trường

................................................

3

1.1.3

Tính chất trường hữu hạn......................................

3

1.2

Đa tạp aphin..........................................................................

4

1.3

Đa tạp xạ ả n h .......................................................................

9

1.4

2

2

1.3.1

Cấu xạ trên đa t ạ p ................................................

13

1.3.2

Cấu xạ Frobenius...................................................

15

Đường cong E lliptic.............................................................

16

1.4.1

Luật nhóm trên đường cong E lliptic...................

18

1.4.2

Đẳng g i ố n g .............................................................

19

Tập điểm của đường cong E lliptic trên trường hữu hạn 24
2.1

Số các điểm hữu t ỉ .............................................................

24

2.2

Hàm zêta của một đa tạp xạ ả n h ...................................

25

2.3

Giả thuyết Riemann cho đường cong e llip t ic ................

26

2.4

Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic..........................

28

1


C hương 1
Đ ư ờ n g co n g E llip tic
1.1

Trường hữu hạn

1.1.1

Trường

Một vành giao hoán có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và mọi phần
tử khác không đều khả nghịch (đối với phép nhân) được gọi là một
trường.
Như vậy một tập k với 2 phép toán cộng và nhân là một trường nếu

thỏa mãn:
• k là nhóm Aben với phép toán cộng có phần tử trung hòa.
• fc\{0} là nhóm aben với phép toán nhân có phần tử đơn vị.
• Với mọi a,b,c thuộc k ta có:
c.(a + b) = c.a + c.b
(a + b).c = a.c + b.c

(luật phân phối)

Ví dụ: Q, R, c
Một trường có thể có vô hạn phần tử (M)
Một trường được gọi là hữu hạn nếu nó có hữu hạn các phần tử
Ví dụ: Zp= { 0,1,... ,p-l} ,

p là số nguyên tố.

Zp là trường hữu hạn.
2


1.1.2

Đ ặc số của trường

Cho k là một trường với phần tử đơn vị e. Khi đó số tự nhiên nhỏ
nhất n ^ 0 sao cho bội ne = 0 được gọi là đặc số của trường k. Trong
trường hợp ngược lại ta nói k có đặc số 0.
Ví dụ: Các trường Q,K,C đều có đặc số 0
Kí hiệu: Char(k)
Có thể thấy rằng nếu trường k có đặc số n 7^ 0 thì n là một số nguyên

tố nào đó. Trong trường hợp này mọi phần tử khác 0 của nhóm cộng
k đều có cấp p

1.1.3

T ính chất trường hữu hạn.

• Số phần tử trong một trường hữu hạn F là lũy thừa pn với p là
đăc số của trường F, p là số nguyên tố.•

• Hai trường hữu hạn đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số
phần tử.
• Với mỗi số nguyên tố p và với mỗi số tự nhiên n > 1 đều tồn tại
trường hữu hạn cấp pn
• Trong trường hữu hạn F nhóm nhân các phần tử khác 0 là xyclic.
• Giả sử F là trường hữu hạn có q = pn phần tử . Khi đó cấp của
nhóm Galoa G = G {F /rLp) bằng n. Hơn nữa, G là nhóm xyclic
sinh bởi tự đẳng cấu

: a !-»■ ap, với mọi a € F

• Mỗi trường hữu hạn F có q = pn phần tử là một trường chia
đường tròn bậc q — 1 trên trường nguyên tố p ~ Zp.

3


• Cho p là số nguyên tố. Bao đóng đại số của Fp là hợp của dãy
tăng các trường hữu hạn có đặc số p :

u Fpn

Fp =

n e N*

1.2

Đa tạp aphin.

Không gian aphin n - chiều trên trường k là tập có dạng
An = {(oi, ...,on)|oi € M = 1 , n}.
Tập các k—điểm của không gian An là tập
An = { ( ữ i , an)\ai e k,i = 1,
Mỗi đa thức / € R tập các không điểm của đa thức /
Z ( f ) = { P e A n\f(P) = 0}.
Tương tự, với mỗi tập con T c R ta có
Z(T) = { P e A n\f(P) = o , V f e T } .
Gọi a là ideal của R sinh bởi tập T c R thì Z ( T ) = Z ( a). Vành
R là vành Noether nên tồn tại các đa thức

E R sao cho

Z(a) = Z ( f u . . . J n).
Đ ịn h nghĩa 1.2.1. Cho Y c An. Tập Y được gọi là tập đại số (aphin)
nếu tồn tại T c R sao cho Y = Z{T).
Các tập đại số thỏa mãn tiên đề dành cho các tập đóng của không
gian tô pô. Tô pô cảm sinh bởi các tập đại số được gọi là tô pô Zariski.
Đ ịnh nghĩa 1.2.2. Cho X là không gian tô pô, 0 ^ Y c X . Tập Y
được gọi là tập bất khả qui nếu Y không là hợp của hai tập con đóng

thực sự của Y .

4


V í dụ 1.2.3. Không gian A 1 là tập bất khả qui vì các tập con đóng
thực sự của A 1 chỉ là các tập hữu hạn.
Đ ịnh nghĩa 1.2.4. Cho Y c An. Ideal của Y trong vành R là tập
được xác định
I{Y) = { / G R \f{P ) = 0,VP G Y }.
Tập đại số Y được gọi là xác định trên k nếu ideal I(Y) của nó
sinh bởi các đa thức trong k[x\, ...,xn], kí hiệu Y/k.
M ệnh đề 1.2.5. 1. Nếu Tị c T2 c R thì Z{TX) D Z(T2).
2. Nếu Yt c Y2 c An thì I{Y1)

D

I{Y2).

3. Mọi tập con Yị,Y 2 c An ta có IịỴi u Y2) = I{Ỵi) n I { ỵ 2).
ị. Mọi a là ideal của R ta có I(Z(à)) = rad(a).
5. Mọi tập con bất kì Y của An ta có Z Ự (Y )) = Y .
Vì vậy, tập Y c An là đa tạp aphin khi và chỉ khi ideal I{Ỵ) là
ideal nguyên tố của vành R.
Đ ịnh lý 1.2.6. (Định lí không điểm Hilbert) Cho a là một ideal của
vành k ị x i , x n], đa thức f € k[xi, ...,xn] sao cho f ( p ) = 0,VP G
z(a). Khi đó tồn tại số r > 0 sao cho f r G a.
H ệ quả 1.2.7. Có một sự tương ứng 1—1 giữa các tập đại số của An và
các ideal căn của vành R cho bởi Y c An !-»■ I(Y) và a c R !-»■ Z(a).
Hơn thế nữa, tập Y c An là bất khả qui khỉ và chỉ khi I{Ỵ) là ideal

nguyên tố của R.
Đ ịnh nghĩa 1.2.8. Cho Y c An là tập đại số. Vành tọa độ của Y
trên k (kí hiệu k[Y]) là vành được xác định
k[Y] = R /I(Y ) .
Nếu Y là tập đại số xác định trên k. Vành tọa độ của Y trên k
được định nghĩa
k[Y] = k[xu ...,xn]/I(Y).
5


Trong trường hợp Y /k là đa tạp aphin thì vành tọa độ của Y là
miền nguyên. Trường các thương của nó, kí hiệu là k(Y), được gọi là
trường hàm của Y trên k. Tương tự ta định nghĩa k(Y).
N hận x ét 1.2.9. Nếu V là đa tạp aphin thì vành tọa độ k [V] là miền
nguyên đồng thời là k— đại số hữu hạn sinh. Ngược lại, nếu B là đại
số hữu hạn sinh, miền nguyên thì B = R / a trong đó a là ideal nguyên
tố. Khi đó B là vành tọa độ của đa tạp xác định bởi V — z(à).
Đ ịnh nghĩa 1.2.10. Tập Y c An được gọi là đa tạp aphin nếu Y ỉà
tập đại số và tập bất khả qui. Một tập mở của một đa tạp aphin được
gọi là đa tạp tựa aphin.
Đ ịn h nghĩa 1.2.11. Không gian tô pô X được gọi là không gian tô
pô Noether nếu trong X mọi dãy giảm các tập con đóng đều là các
dãy dừng.
V í dụ

1.2.12. Không gian An là một không gian tô pô Noether vì

mọi dãy giảm Yị

D

Y2

D

... các tập con đóng của An cảm sinh tương

ứng dãy tăng IiỴi) c I(Y2) c ... các ideal căn của vành R. Lại có
vành R là vành Noether nên dãy tăng các ideal phải là dãy dừng. Vì
vậy tồn tại r > 0 sao cho Ys = yr,Vs > r.
M ệnh đề 1.2.13. Cho X là không gian tô pô Noether. Khi đó mọi
tập đóng 0 Ỷ Y c X luôn tồn tại các tập con đóng bất khả qui
Yi,i = 1,..., n sao cho Y — Yị u ... u Yn. Hơn nữa, nếu Yị ^ Yj,\/i ^ j
thì biểu diễn trên là duy nhất.
Vì vậy mọi tập đại số trong không gian An đều có thể biểu diễn
duy nhất thành hợp của hữu hạn các đa tạp aphin.
Đ ịn h nghĩa 1.2.14. Cho X là không gian tô pô. số chiều của X , kí
hiệu dim X là số cực đại n sao cho tồn tại một xích các tập con đóng
bất khả qui phân biệt của X :
I o Ễ I i Ễ ... £ X n c X .
6


số chiều của một đa tạp aphin được định nghĩa là số chiều của
không gian tô pô Noether tương ứng.
V í dụ 1.2.15. Trong không gian X = A 1 mọi tập con đóng bất khả
qui của A 1 đều là tập gồm một điểm. Do đó số chiều của không gian
A 1 bằng 1 .
Đ ịnh nghĩa 1.2.16. Cho p là ideal nguyên tố của R. Độ cao của p,
kí hiệu height(p) là số n cực đại sao cho có xích các ideal nguyên tố

rời nhau
Po £ Pi £ ... £ Pn = p.
Số chiều của vành R , kí hiệu dimR là số cực đại của độ cao một
ideal nguyên tố trong vành R.
Ta đã biết mỗi tập con bất khả qui của Y tương ứng 1 —1 với một
ideal nguyên tố của vành R chứa I(Y). Do đó mỗi tập con bất khả
qui của Y tương ứng 1 — 1 với một ideal nguyên tố của vành tọa độ
k[Y]. Vì vậy nếu Y c An là tập đại số thì dimY = dỉm(k[Y]).
Đ ịn h lý 1.2.17. Cho k là trường, B là miền nguyên đồng thời là
k—đại số hữu hạn sinh. Khi đó
1. Số chiều của B bằng bậc siêu việt của trường thương k(B) của
B trên k.
2. Mọi ideal nguyên tố p trong B
height(p) + dim (B /p ) = dỉmB.
H ệ quả 1.2.18. Cho V là đa tạp của An. Khỉ đó
heightự(V)) + dimkịv] = dim(k[xi,..., xn\) = n.
V í dụ

1.2.19. Không gian An có số chiều bằng n. Thật vậy, ta có

I(A n) = 0 nên dỉmAn = n —0 = n.
M ệnh đề 1.2.20. Cho A là vành Noether. Khi đó
7


1. Nếu

X

e Ả khác đơn vị và không là ước của không thì mọi ideal

nguyên tố cực tiểu p chứa (X) có height(p) = 1 .
2. Miền nguyên A là miền phẫn tích duy nhất khi và chỉ khi mọi
ỉdeal nguyên tố có height bằng

1

đều là ideal chính.

M ệnh đề 1 .2 .2 1 . Cho V là đa tạp của không gian An. Khi đó d i m i y ) =
n —1 khi và chỉ khi tồn tại đa thức bất khả qui f e R sao cho V = z ( f ) .
Chứng minh. Nếu d ỉ m ị y ) = 71—1 thì theo định lí trên h eig h tự iy)) =
1. Giả thiết vành R là miền phân tích duy nhất nên tồn tại đa thức
/ e R sao cho u y ) = ( /). Do I(V) là ideal nguyên tố nên đa thức /
bất khả qui. Ngược lại, từ V = z ự ) trong đó / là đa thức bất khả
qui trong vành R suy ra d ỉm ịy ) = 77—1 .
Đ ịnh nghĩa 1.2.22. Cho V là một đa tạp, p € V và

□
€ R

là hệ sinh của I{V). Đa tạp V gọi là trơn tại p nếu hạng của ma trận
Jacobi
0< i < m
0
bằng n —d ỉm V . Đa tạp V gọi là trơn nếu V trơn tại mọi điểm p của
V . Ngược lại, đa tạp V gọi là có điểm kì dị tại p .
V í dụ 1.2.23. 1. Cho V là đa tạp xác định bởi đa thức bất khả qui
/ G R. Khi đó V kì dị tại điểm p G V khi và chỉ khi Q^-(P) = 0,Vỉ =

1 ,2 ,...,7 7 .

2.

Cho V : Y 2 = X 3 + X 2. Điểm P{x, y)
khi và chỉ khi g^(P) = 0, y~{P) = 0. Giải hệ phương trình ta có điểm
kì dị của V là p (0 ,0).
Đ ịnh nghĩa 1.2.24. Cho V là đa tạp xạ ảnh, p G V. Người ta gọi
Mp = { f e k[V] : f ( P ) = 0}
là ideal cực đại của k[v].
8


M ệnh đề 1.2.25. Cho V là đa tạp aphin, P G V và Mp là ideal cực
đại của k[V]. Khỉ đó M pỊM2 là một k—không gian vecto hữu hạn chiều.
Hơn nữa, đa tạp V trơn tại p khi và chỉ khi dỉmỵMpỊM2 = d im V .
Đ ịnh nghĩa 1.2.26. Cho V là đa tạp aphin và P G V , k[v] là vành
tọa độ của V . Địa phương hóa của k[V] tại Mp được gọi là vành địa
phương của V tại p , kí hiệu A;[V]p.
V í dụ 1.2.27. Cho đa tạp V : y 2 =

X3

+

X,

-P(0,0). Ta có Mp là ideal của k[v] sinh bởi
sinh bởi X 2 , xy, y2. Trên V lại có

X

X,

đa tạp V trơn tại điểm
y, M ị là ideal của Ä;[v]

= y 2 —X 3 = 0(modMị) nên M pỊM2

sinh bởi y. Do dimV — 1 và V trơn tại P (0,0) nên d im (M p/M2) = 1 .

1.3

Đa tạp xạ ảnh

Không gian xạ ảnh n —chiều trên k là tập tất cả các lớp tương đương
pn = { [ a o , an]|a¿ G k, có ít nhất một ữj nào đó khác 0}
trong đó quan hệ tương đương
(a0,...,o n)

(60,

bn) <=>■ tồn tại 0 7^ A E k sao cho bị = Aữj,

= 0,1, 2,

Tập các k—điểm trong pn
Pn(A:) = {[a0, ữ n]Ịaj € k,có ít nhất một ơị nào đó khác 0}.
Đ ịnh nghĩa 1.3.1. Đa thức F G k[xQ,...,xn] = k[x] được gọi là đa

thức thuần nhất bậc d nếư VA G k ta có F(Xx 0 ,

A^n) = XdF(x 0 , x n).

Một ideal của vành k[x] được gọi là ideal thuần nhất nếu nó sinh bởi
các đa thức thuần nhất.
Trở lại đại số giao hoán, vành s được gọi là vành phân bậc nếu s
có thể phân tích thành tổng trực tiếp s = ® d>0 s đ, trong đó Sd là
9

n.


các nhóm Abel thỏa mãn Vdị,d 2 > 0 |*S'd1)S'rf2 c (Sd1+d2. Nhóm Sd được
gọi là thành phần thuần nhất bậc d của vành s .
Xét s = kịx0, ...,xn], mỗi đa thức thuần nhất F € s ta có
Z(F) — { P G pn : F{P) = 0 }
là tập các không điểm của F. Tương tự, nếu T là tập các đa thức
thuần nhất của s
Z { T ) = { P e p n : F{P) = 0 ,VF Vành s là vành Noether nên ideal a (sinh bởi T) có một hệ sinh
hữu hạn Fị, ..., Fm. Khi đó Z ( T ) = Z(Fi, ..., Fm).
Đ ịn h nghĩa 1.3.2. Tập Y c pn được gọi là tập đại số xạ ảnh (đại
số) nếu tồn tại tập T c s các đa thức thuần nhất sao cho Y = Z(T).
V í dụ 1.3.3. Siêu phẳng trong không gian xạ ảnh pn có phương trình
H : aữx0 + ... + anxn = 0, các ữj không đồng thời bằng 0
nên H là tập xạ ảnh trong pn.
Đ ịnh nghĩa 1.3.4. Cho Y c pn là tập đại số. Ideal của Y , kí hiệu
I(Y) là ideal sinh bởi các đa thức {F e Sd : F ( P ) = 0 ,VP & Y ,d =
0, 1 ,..}.

Tập đại số V c pn được gọi là đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhất
I i y ) của nó là ideal nguyên tố (<=>■ V là tập xạ ảnh bất khả qui). Một
tập con mở của một đa tạp xạ ảnh được gọi là đa tạp tựa xạ ảnh.
Cho Y c Pn. Vành tọa độ thuần nhất của Y , kí hiệu S(Y) được
định nghĩa là S(Y) — S /I{ Ỵ ). Trong trường hợp V là tập xạ ảnh vành
tọa độ S(V) của V là miền nguyên.
Cho Y c pn tập đại số, tập Y được gọi là xác định trên k nếu ideal
I(Y) có một hệ sinh gồm các đa thức thuần nhất của k[x].
10


V í dụ 1.3.5. Cho V : X 2 + Y 2 = z 2 trong p 2. Đa thức F ( x , Y, z ) =
X 2 + Y 2 — z 2 bất khả qui nên ideal I ( v ) là ideal nguyên tố của
kịx, Y, Z], Vì vậy V là một đa tạp xạ ảnh. Hơn nữa, tập các k—điểm
V(k) đẳng cấu với PX(A;) qua ánh xạ
$ : P1^ ) — * V(k); [s,t] i-y [s2 —t2, 2st, s 2 + t2].
Trong không gian p n , xét ánh xạ
(j)ị ; A

y P , (x i,

xn) I y \ x \ , Xị—1 , 1, X ị , xn].

Đặt Ui = {Xi ^ 0} c P". Ta có Uị ~ An qua song ánh ỘỊ 1 :
Ui — y An. Với V là tập đại số xạ ảnh cùng với ideal I ( v ) . Khi đó
V n An = ỘỴl i y n Uị) là tập đại số aphin với ideal I ị y n An) cho bởi
I{ V n A n) = ị f ( y o , U n )
Mọi đa thức f ( x 1,
F(x0,

= -^(^0,

Xn)/xf] d = degF,F G I{V)}.

xn) G k [ x i , x n\ tồn tại đa thức cho bởi

xn) = x ị ỉ { x l / x ữ,

xn/ x 0); d = degf

là đa thức thuần nhất bậc d.
Đ ịnh nghĩa 1.3.6. Cho V c An là tập đại số aphin cùng với ideal
I { y ) , coi V như là tập con của p n thông qua ánh xạ ộị. Bao đóng xạ
ảnh của V , kí hiệu V , là tập đại số xạ ảnh cho bởi ideal thuần nhất
sinh bởi
{ F( x0,...,xn) - . f e I ( V ) } .
M ệnh đề 1.3.7. 1. Cho V là đa tạp aphin. Khỉ đó bao đóng V của
V là đa tạp xạ ảnh và
V = V n An.
Ngược lại, nếu V là đa tạp xạ ảnh thì V n An là đa tạp aphin, trong
trường hợp này hoặc V n An — 0 hoặc V = V n An.
11


2. Nếu V là một đa tạp aphin (xạ ảnh) xác định trên k thì tương
ứng V ( y C\ An) cũng là xác định trên k.
Chứng minh. 1. Nếu V là đa tạp aphin. Theo định nghĩa ta dễ dàng
chứng minh được I ( v ) = {F (x 0, ..., xn) : / e I ( v ) } là ideal nguyên
tố. Chứng tỏ V là đa tạp xạ ảnh.
Ngược lại, nếu V là đa tạp xạ ảnh và V n An 7^ 0. Theo định nghĩa

I ( V n A n) = f ( y 0 ,...,yi_u yi+1 ,...,yn) = F(x0, ..., Xn)/xf] d = degF,F e I(V)
ta cũng dễ dàng kiểm tra được I(V n An) là ideal nguyên tố. Vậy
V n An là đa tạp aphin.
2. Hiển nhiên theo định nghĩa của các ideal I i y n An) và ideal
I(V).

□

Vì vậy, nếu xét trong Uị nào đó mỗi đa tạp xạ ảnh V được xác định
thông qua đa tạp aphin và ngược lại.
V í dụ 1.3.8. Trong không gian xạ ảnh pn cho đa tạp xạ ảnh V xác
định bởi phương trình V : X3 + 17 = y2, lúc đó đa tạp V có phương
trình thuần nhất V : X 3 + 17z 3 = Y 2 Z, tập các Q—điểm của V được
xác định
V(Q) = {(*,Đ ịnh nghĩa 1.3.9. Cho V là đa tạp xạ ảnh xác định trên k, chọn An
sao cho V n An Ỷ 0- Khi đó
1. Số chiều của V, kí hiệu dimV, là số chiều của V

(1

An.

2. Trường hàm của V , kí hiệu k ị v ) , là trường hàm của V n An.
Tương tự, ta định nghĩa k(V).
3. Da tạp V được gọi là trơn tại p nếu đa tạp aphin V n An trơn
tại p .
ị. Vành địa phương của V tại p , kí hiệu A:[V]p được định nghĩa là
12

vành địa phương của V n An tại p . Hàm F G k i y ) được gọi là chính
qui ( xác định) tại p nếu F G fc[V]p.
M ệnh đề 1.3.10. Cho V là đa tạp xạ ảnh. Khi đó mọi F G k(V) đều
có dạng F (X ) =
1.

trong đó

f , g là các đa thức thuần nhất cùng bậc.

2. g ị I(V).
31.3.1

= l ặ ) « f s ' - s ì ' e I(V).
c ấ u xạ trên đa tạp

Đ ịnh nghĩa 1.3.11. Cho Vi,V2 là các đa tạp xạ ảnh. Ánh xạ hữu tỉ
từ Vi vào v 2 là ánh xạ có dạng
ệ : V 1 — >V2 ] ộ = [ F 0 ,...ĩ Fn\
trong đó các hàm Fị G k(vi) sao cho tại những điểm P G Vị mà tất
cả các Fị,i = 0, ..,n đều xác định thì [F0 ( p ) , ..., Fn(p)] G v 2.
V í dụ 1.3.12. ậ : p 1 — ■* P 2; [X, Y]

[X,Y, x ỉ^y2] là ánh xạ hữu

tỷ từ p 1 vào p 2
Ánh xạ hữu tỉ ộ : Ví — »

v2;ộ =

[P0) ■•■JFn] được gọi là chính qui

tại P G Vi nếu tồn tại hàm G G A:(Vi) thỏa mãn:
1. Mỗi GFị là các hàm chính qui tại p với mọi ỉ.
2. Tồn tại một GFị(P) Ỷ 0 nào đó.
Đ ịnh nghĩa 1.3.13. Nếu tồn tại G, lúc đó ta có thể tính giá trị của
ệ tại p
ộ(P) = [GF0(P),...,GFn(P)}.
Một ánh xạ hữu tỉ được gọi là cấu xạ nếu ánh xạ đó chính qui tại
mọi điểm trên đa tạp V\.
13


Đ ịnh nghĩa 1.3.14. 1) Cho V\,V2 là các đa tạp xạ ảnh. Ánh xạ hữu
tỉ từ Ví vào V2 là ánh xạ có dạng
ộ:V 1 ^ V

2,

ộ = [ F 0 ,...,Fn]

trong đó các hàm Fị là các đa thức thuần nhất cùng bậc không cùng
thuộc vào I ị y 1) thỏa mãn tính chatMF £ u y 2) thì F(Fữ( X ) , ..., Fn(X)) £
m

ị _
2) Ánh xạ hữu tỉ ộ : Vi — ì v 2\ộ = [Fữ,...,Fn] được gọi là chính

qui tại p £ Vị nếu tồn tại các đa thức thuần nhất Go,...,Gn £ k[X]

thỏa mẫn
1. degGữ = degG 1 = • • • = degGn.
2. GịFj = GjFị đồng dư (/(Vi)); Vi,j.
3. Tồn tại Gị{p) ^ 0 vói i nào đó.
Nếu điều này xảy ra giá trị của ánh xạ hữu tỉ ậ tại p
ộ(P) = [G0 (P),...,G n(P)].
V í dụ 1.3.15. Ánh xạ ộ : pm — » Pn; ộ — [F0, ..., Fn] là ánh xạ hữu
tỉ, trong đó các Fị là các đa thức thuần nhất cùng bậc của vành k[X].
Do k[x] là miền phân tích duy nhất nên ta có thể giả sử các đa thức
F0 ,...,Fn nguyên tố cùng nhau. Khi đó ộ là ánh xạ chính qui tại p
khi và chỉ khi tồn tại các đa thức thuần nhất G 0 , G
mãn:
1. degG0 = degG 1 = • • • = degGn.
2. GiFj = GịFj = 0(m odự(pn)));Vîjj.
3. Tồn tại G ị( p ) ^ 0 với %nào đó.

14

n £ k[x] thỏa


Từ điều kiện 1) và 2) tồn tại các đa thức Gị — BCNN(Ịo,--,Fn) ' Cùng
với điều kiện thứ 3), ta có ộ là ánh xạ chính qui tại p khi và chỉ khi
tồn tại Fị(p) Ỷ 0 nào đó.
Đ ịn h nghĩa 1.3.16. Cho Vi,V2 là các đa tạp xạ ảnh. Đa tạp Vi được
gọi là đẳng cấu với v 2 nếu tồn tại các cấu xạ ộ : Vi — > v 2 và ip :
v 2 — > Vi sao cho (fộ : Vi — > Vị và ệụ> : v 2 — > v 2 là các cấu xạ đồng
nhất. Kí hiệu Vi ~ v 2.
1.3.2

Cấu x ạ Frobenius

Giả sử rằng char(k) = p > 0 và q = pr với số r > 0 nào đó. Mọi
đa thức f ( x ) € k[x] định nghĩa đa thức / ^ là đa thức thu được khi
nâng q—lũy thừa các hệ số của đa thức f{x). Tức là, nếu đa thức
f ( x ) = aữ+ ũịX + ... + anxn thì đa thức f ( q\ x ) = aị + aịx + ... + aịxn.
Tương tự, đường cong c xác định bởi ideal 1(C), lúc đó ta có thể định
nghĩa đường cong

là đường cong xác định bởi ideal

I ( C ^ ) = ideal sinh bởi các đa thức (f(q\ f G 1 (C)).
Mỗi điểm P[xữ, ...,xn] của đường cong

c

thì f ^ ( [ x ị , ..., xị]) =

(f([x0, ..., xn]))q = 0. Cấu xạ tự nhiên
7ĨC

- C — > ơ (9); [x0 ,Xi, ...,xn] I ^ [x9ữìxị, ...,< ]

được gọi là cấu xạ q—lũy thừa Probenius của c .
M ệnh đề 1.3.17. Giả sử rằng char(k) = p > 0 và q = pr với số r > 0
nào đó. Cấu xạ ĨTC là cấu xạ q—lũy thừa Frobenius của c . Khi đó
1.
2

= k(C)M = {/<«> : / e k(C)};

. 7Tc là hoàn toàn không tách được;

3. degĩĩc = q.
15


1.4

Đường cong Elliptic

Đ ịnh nghĩa 1.4.1. Trong không gian xạ ảnh p2, đường cong trơn E
được gọi là đường cong elliptic nếu E xác định bởi phương trình có
dạng (phương trình Weiertrass của E )
E : y 2Z + ữlX Y Z + a3 Y Z 2 = X 3 + a2 X 2Z + aAX Z 2 + a6 Z 3
trong đó a i,...,a 6 e k. Điểm O[0,1,0] G E được gọi là điểm vô tận
của đường cong elliptic E. Đường cong elliptic được gọi là đường cong
xác định trên k nếu các hệ số ŨI, ...,a6 E k

Thông thường người ta thường mô tả đường cong elliptic thông
qua một phương trình đa thức không thuần nhất, bằng cách đặt X =
X / Z ; y = Y/ Z
E :y2 +

aixy

+

a 3y

=

+

X3

a 2x 2

+

a 4x

+ ữ6

và luôn nhớ rằng E có một điểm ở vô tận O [0,1,0]
V í dụ 1.4.2. Đường cong elliptic
E : y2 =

x3

Tập các điểm của E là tập các điểm

+

(x,

X

y) thỏa mãn y 2 =

X3

+

X

và

điểm O[0, 1 , 0].
Khi char(k) 7^ 2. Đổi biến y !->■ y —\{a\X + a3) đường cong elliptic
xác định bởi phương trình
E : y 2 = 4x 3 + b2 x 2 + 2 bịX + &6.
với b2 = ữ2 + 4a4,

bị

= 2ữ4 + ữia3,

b6

= a3 + 4a6

Đặt
6g = a^a3 + 4ữ2ữ6 —ữiữ3ữ4 + a 2 a‘ị —a“
ị,
16


c4 = bị — 24&4,

Cß — —&2 “I“ 36&2^4 — 216&6,

A — —&2&8 —8&4 —27&g + 9&2^4^6j
j =

c?
A’

Giá trị A được gọi là biệt thức của phương trình Weiertrass và j
là j —bất biến của đường cong elliptic.
Cho p € E là điểm kì dị trên đường cong
E : f(x, y) = y 2 + ữixy + a3y —X 3 —a2 x 2 —CLịX

—

a6 = 0.

Khai triển Taylor của đa thức f ( x , y ) tại điểm P (x 0 ,y 0) ta được
f { x, y) = [(y - yQ) - a(x - z 0)][(y - Vo) - ß(x - ®o)] - {x - x0)3.
Đ ịnh nghĩa 1.4.3. Đường cong E được gọi là có nút tại p nếu a Ỷ ßKhi đó tại p đường cong E có hai tiếp tuyến
dị ■(y —ỉ/o) - a(x - x 0 y,
d2 - { y - Vo) - ß{x - Xo).
Đường cong E được gọi là có đỉnh tại p nếu a = ß. Khi đó tại p
đường cong E có tiếp tuyến cho bởi
d: {y - 2/0) - M ệnh đề 1.4.4. a) Mọi đường cong

c

xác định bởi phương trình

Weiertrass thỏa mãn
1.
2.
3.
b)

c là đường cong kì dị khi và chỉ khi A = 0.
c có nút khi và chỉ khi A = 0 và Cị ^ 0.
c có đỉnh khi và chỉ khi A = 0 và Cị = 0.
Hai đường cong elliptic đẳng cấu trên k khi và chỉ khi cả hai

đường cong có cùng j —bất biến.
17


c)

Mỗi jũ € k tồn tại một đường cong elliptic xác định trên k(j0)

mà có j —bất biến bằng j ữ.
1.4.1

Luật nhóm trên đường cong E lliptic

Luật nhóm ellip tic. Cho E là đường cong elliptic xác định bởi một
phương trình Weỉertrass, P,Q G E. Gọi L ỉà đường thẳng đi qua P , Q (
nếu p = Q thì đường thẳng L là tiếp tuyến của E tại p ) , gọi R là
giao điểm thứ ba của đường thẳng L và đường cong elliptic E. Gọi L'
là đường thẳng đi qua R và o . Khi đó đường thẳng L' cắt đường cong

elliptic tại điểm thứ ba, kí hiệu điểm đó p © Q.
M ệnh đề 1.4.5. Cho E là đường cong elliptic xác định trên k với
điểm vô tận 0, phép toán p © Q thỏa mãn
a) Nếu đường thẳng L cắt đường cong elliptic tại 3 điểm P , Q , R thì
{P © Q) © R = o .
b) Mọi điểm p G E ta có p © o — p .
c) Mọi điểm P,Q £ E ta có p © Q = Q © p .
d) Mọi điểm p € E tồn tại điểm của E, kí hiệu Q P thỏa mãn
p © (e P ) = o .
e) Mọi điểm P,Q, R & E ta có
{P 0 Q) 0 R = p 0 {Q 0 R).
Do đó đường cong elliptic E cùng với Luật nhóm © là một nhóm
Abel có phần tử đơn vị là o . Hơn thế nữa, nếu E là đường cong elliptic
xác định trên k và P,Q là hai điểm có các tọa độ trong k thì phương
trình đường thẳng L chứa chúng có hệ số xác định trong k, giao điểm
L n E là một điểm xác định trên k. Do đó p © Q là điểm xác định

18


trên k. Vì vậy E(k) u o là nhóm con của E, với E(k) = {{x, y) e k 2 :
y2 + CLịXy + a3y = X3 + a2 x2 + a±x + a6}
Chú ý. 1. Kí hiệu + , — tương ứng cho các kí hiệu ©, 0 . Mỗi số
nguyên m E lé', p E E định nghĩa
[m]P = p + p + ... + P; [m]P = - P - p - ... - P; [0]P = o .
m số hạng nếu m > 0

-m số hạng nếu m < 0

2. Luật nhóm trên đường cong elliptic thừa nhận một kết quả dưới

đây dưới đây.
Đ ịnh lý 1.4.6. Cho E là đường cong elliptic xác định trên k. Khi đó
+ '. E

X

E — > E, (P,Q) !->• p + Q', và — : E — > E , p !->• - P

là các cấu xạ.
1.4.2

Đ ẳng giống

Đ ịnh nghĩa 1.4.7. Cho E 1 ,E 2 là hai đường cong elliptic. cấu xạ
ệ : Ei — > E 2 thỏa mãn ộ ( 0 ) = o được gọi là đẳng giống giữa Eị và
E2. K í hiệu Hom(Ei, E2) là tập tất cả các đẳng giống từ Ei đến E2.
Hai đường cong elliptic E ị , E 2 được gọi là đẳng giống với nhau nếu
tồn tại một đẳng giống ộ G Hom(E\, E 2 ),ộ(Eị) Ỷ {ỡ }Dẳng giống ộ : Eị — > E 2 được gọi là xác định trên k nếu ộ(x, y) =
ệ ơ(x,y) với mọi ơ € Gỵịỵ, trong đó Gỵjk nhóm Galois của k trên k.
V í dụ

1.4.8. Mỗi số nguyên m €

z, ánh xạ

[m] : E — » E , p !-»■

[m]P. Theo kết quả định lí (1.4.6) thì ánh xạ [m\ là cấu xạ thỏa mãn
[m]0 = o . Do đó ánh xạ [m] : E — > E , p 1-» [m]P là một đẳng giống
của đường cong elliptic E.

Mọi cấu xạ giữa các đường cong trơn nếu khác ánh xạ hằng đều
là toàn cấu. Vì vậy mọi đẳng giống khác không giữa hai đường cong
elliptic E ị , E 2 đều là toàn cấu.
19


Không khó để kiểm tra, mọi đẳng giống ộ : Ei — > Ẽ 2 và (f :
Ẽ 2 — > E 3 thì
deg(ípậ) = degtp.degộ.
Mọi ộ,ip € Hom(E1, E2) tổng của ệ và (f cho bởi công thức
(ậ + 9 ){P) = ậ(P) + v(P).
Theo kết quả của Định lí (1.4.6) thì ộ + (f là cấu xạ từ Eị đến E 2
thỏa mãn (ệ + ụ>)(0) = ệ ( 0 ) + ụ>(0) = o . Do đó 4>+ ip là đẳng giống
từ Eị đến E2.
Khi Eị — E 2 — E, đặt End(E) — Hom(E, E) và định nghĩa
tích hai đẳng giống như là tích của hai ánh xạ thông thường. Mọi
đẳng giống ậ,ụ> € End(E) ta có (ậEnd(E). Khi đó (End(E), + ,.) là một vành, nó được gọi là vành các
tự đẳng giống của E. Tập các phần tử khả nghịch của vành End(E)
được gọi là nhóm các tự đẳng cấu của E, kí hiệu Aut(E). Tương tự
Homk(E 1 ,E 2); Endk(E); Autk(E).
Đ ịn h nghĩa 1.4.9. Cho E là đường cong elliptic và m e

z, m

> 1.

Nhóm m —xoắn của E, kí hiệu E[m\, là tập xác định
E[m\ = { P G E : [m]p = O}.
Nhóm con xoắn của đường cong elliptic E, kí hiệu Etor, là tập xác

định bởi

Etor =

u E[m].
m> 1

V í dụ 1.4.10. Cho đường cong trơn c , xét ánh xạ tịnh tiến
Tq : E — > E , p I—> p + Q.
Khi đó Tq là đẳng cấu với ánh xạ ngược r_Q. Từ tính chất của chỉ

20


số rẽ nhánh của một ánh xạ tích mọi điểm p e E ta có
eTQ(P).eT_Q(P) = eTQ.T_Q(P) = eidE(P ) = 1.
Do đó eTQ(P ) = eT_Q(P) = 1. Hơn thế nữa, một đẳng cấu bất kì
đều có chỉ số rẽ nhánh bằng 1. Xét cấu xạ bất kì
F : Eị — * E 2
của các đường cong elliptic. Khi đó hợp

ệ

=

t _ F (0

)F

là cấu xạ thỏa

mãn ộ ( 0 ) — t_F(0)F (0 ) = o . Như vậy mọi cấu xạ của đường cong
elliptic đều phân tích thành tích của một đẳng giống và một phép tịnh
tiến.
Đ ịn h lý 1.4.11. Cho ộ : Ei — > E 2 là một đẳng giống. Khi đó với
mọi P,Q & Ei ta có
ệ ( P + Q) = ệ(P) + Ộ(Q).
H ệ quả 1.4.12. Cho ộ : Eị — » E 2 e Hom(Ei, E2). Khi đó kerộ =
</>- 1(0 ) là nhóm con hữu hạn của E.
Đ ịnh lý 1.4.13. Cho ộ : Ei — > E 2 là đẳng giống khác không,
a) Mọi điểm Q G E 2
#0

1 {Q)

= degsộ

Hơn nữa, mọi điểm p G Eị thì eệ(P) = degi(ệ).
b) Ánh xạ
kerộ — ¥ Aut{k{Ei)/ ộ*k{E2)),T \-¥ TT
là một đẳng cấu.
c)Nếu ộ là tách được thì ộ là không rẽ nhánh và
# k e r ộ = degộ
21


và k(Ei) là mở rộng Galois của ộ*k(E2).
Chứng minh. Trong chứng minh của định lí này, chỉ chứng minh cho
phần a).
a)

Ta có degs(ộ) = #Ộ~ 1 (Q),\/Q e E 2 trừ một số hữu hạn điểm.

Nhưng với mọi Q, Q' e E 2 nếu chúng ta chọn R e Ei sao cho ệ(R) =
Q —Q'. Khi đó, từ tính chất ậ là đồng cấu kéo theo ánh xạ 1 — 1
ệ - \ Q ) — > ệ-^Q '), P ^ P + R
Do đó, # r ‘ («') = # ộ - ỉ ( Q ) .y ì y Ị y d e g ,( ộ ) = # ệ - ' ( Q ) ,V Q e E2.
Lấy P,P' € Eị sao cho ệ(P) — ộ {P r) — Q và đặt R — p —
P'. Khi đó Ộ(R) = o , vì vậy ộ .tr = ệ ■ Do đó eệ{P) = Cệ,TR{P) =
e,(r*(P )).er„(P) = e^p' )
Vì vậy, mọi điểm trong Ộ~1 (Q) có cùng chỉ số rẽ nhánh. Khi đó
(■degsộ)(degiệ) = degệ =

^ 2 eệ(P) = ( # 0 _1(Q))e^(P) = degs(ộ)eệ(P)
Peậ-HQ)

Vậy mọi điểm p G Eị thì eệ(p) = degi(ệ).
H ệ quả 1.4.14. Cho E là đường cong elliptic và

□
là một nhóm con

hữu hạn của E. Khi đó tồn tại và duy nhất một đường cong elliptic
E' và một đẳng giống tách được (p : E — > E' sao cho K e r ộ = í>.
Đ ịn h nghĩa 1.4.15. Cho ệ : Ei — » E 2 € Hom(Ei, E2), (Ị) Ỷ [0], degộ =
m. Đẳng giống ậ : E 2 — * Eị thỏa mẫn ộ.ộ = [m\ được gọi là đẳng
giống đối ngẫu của 4>. Đẳng giống đối ngẫu của đẳng giống [0] là đẳng
giống [0].
Đ ịn h lý 1.4.16. Cho ậ : Ei — » E 2 e Hom(Eị, E2). Khỉ đó
a) Đặt m = degệ. Khi đó

4>.ộ = [m\ : Eị — > Eị và ộ.ộ = [m] : E 2 — » E2.

22


b) Với tp : E 2 — * E 3 là đẳng giống. Khi đó ipệ = ộp.
c) ệ + p = ộ + p.
d) [m] = [m] và degịm] = m 2.
e) degệ = degệ.
ỉ)

ĩ = ộ-

H ệ quả 1.4.17. Cho Elà một đường cong elliptic xác định trên trường
k, m G z và m ^ 0. Khi đó
( 1 ) deg([m]) = m2.
(2 ) Nếu m / 0 trong trường k thì
E[m] = Tj/rnL

X

Z/mZ.

(3) Nếu k là trường có đặc số bằng p hữu hạn. Khi đó chỉ có một
trong hai trường hợp sau đúng.
(i) E\pe] = {0} với mọi e = 1,2,...
(ii) E\pe\ =

z/pez với mọi e =

V í dụ 1.4.18. Cho E : y 2 =

1, 2,...

X3 — X

là đường cong elliptic và ánh xạ

ệ : E — ►E : (x: y)

(-Z , ¿y)

là một đẳng giống của E. Ta có ệệ(x, y ) = ệ ( —x, ỉy) = (x, —y) =
[—l](x,y) do đó ệ ệ = [—1] và deg[—1] = 1. Như vậy đẳng giống đối
ngẫu của ệ là (Ị) và degộ = degệ = 1 .

23