Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và các tính chất metric của nó

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Xoan

KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG
VÀ TÍNH CHẤT METRIC CỦA NÓ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Xoan

KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG
VÀ CÁC TÍNH CHẤT METRIC CỦA NÓ

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. NGUYỄN THỊ TRÀ

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Nguyễn Thị Trà người đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ
Hình học cũng như các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học
và trong suốt thời gian làm khoá luận.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài khoá luận này.
Mặc dù cố gắng nhiều, song kinh nghiệm và thời gian của bản thân còn
nhiều hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn
đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Vũ Thị Xoan

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới
sự hướng dẫn nhiệt tình của ThS. Nguyễn Thị Trà.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành
quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân
trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả của đề tài "Khảo sát đường cong
trong mặt phẳng và các tính chất metric của nó" là kết quả của
việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không sao chép từ các
khoá luận trước.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Vũ Thị Xoan

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

3

1 Đường cong trên mặt phẳng

5

1.1

1.2

1.3

Cung tham số hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Khảo sát cung tham số hoá trong lân cận một điểm

6

1.1.3

Tính các diện tích phẳng . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4

Ví dụ

14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đường cong trong toạ độ cực

. . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.2

Biểu diễn đường cong trong toạ độ cực . . . . . .

21

1.2.3

Khảo sát đường cong cho bởi phương trình cực
trong lân cận một điểm. . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.4

Tính diện tích phẳng trong toạ độ cực . . . . . .

29

1.2.5

Ví dụ

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đường cong cho bởi phương trình Descartes. Hình bao
của một họ đường thẳng trong mặt phẳng. . . . . . . . .

31

1.3.1

31

Đường cong cho bởi phương trình Descartes . . .

1

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

1.3.2

Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng 32

1.3.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2 Các tính chất metric của đường cong trong mặt phẳng

39

2.1

2.2

Các tính chất cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.1

Hoành độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.2

Biểu diễn tham số theo hoành độ cong . . . . . .

41

2.1.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Các tính chất cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.1

Bán kính cong. Tâm cong . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.2

Đường tròn mật tiếp. Đường túc bế của một đường
cong trên mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3

2.2.4

49

Các đường thân khai của một đường cong trên mặt
phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

58

2

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu
các môn khoa học khác.
Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu chuyên ngành hình học,
một bộ môn quan trọng và tương đối khó trong đó có môn hình học vi
phân. Hình học vi phân có ứng dụng lớn trong hình học phẳng ở trường
THPT, có nhiều dạng bài khác nhau, mỗi dạng mang một đặc điểm và
tính chất riêng.
Trong kì thi quốc gia THPT, dạng bài toán về khảo sát đồ thị hàm
số không thể thiếu, hoặc trong các chương trình đại học ở các phân môn
khác nhau có các bài toán liên quan đến đồ thị các hàm số phức tạp hơn
mà bản thân em và các bạn sinh viên trong quá trình học cũng chưa biết

hình dạng đồ thị của nó ra sao vì vậy để làm rõ hơn vấn đề này em đã
chọn đề tài "Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và tính chất metric
của nó" làm khoá luận tốt nghiệp.
Luận văn gồm hai chương: Chương 1 "Đường cong trong mặt phẳng",
Chương 2 "Tính chất metric của đường cong trong mặt phẳng".
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về đường cong trong mặt phẳng, tính chất metric của nó.
Xây đựng các bước khảo sát đường cong trong mặt phẳng, thấy hình
dáng đặc biệt của một số đường cong.

Footer Page 7 of 161.

3


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

Làm rõ hơn về cung tham số hoá, đường cong trong toạ độ cực, đường
cong cho bởi phương trình Descartes và hình bao của một họ đường thẳng
trong mặt phẳng và tính chất cất một, cấp hai của nó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về "Khảo sát đường cong trong mặt
phẳng và tính chất metric của nó".
Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán về khảo sát đường cong, tính
diện tích phẳng, tìm hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng,
tìm bán kính cong, tâm cong, bài toán về đường túc bế, đường thân khai
của đường cong trên mặt phẳng.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày lý thuyết về đường cong và một số lược đồ khảo sát về
đường cong và hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng.
5. Các phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu liên quan.

Footer Page 8 of 161.

4


Header Page 9 of 161.

Chương 1
Đường cong trên mặt phẳng
Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng các bước khảo sát và vẽ đồ
thị của đường cong trong lân cận một điểm, cách tính diện tích đường
cong, cách tìm hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng.

1.1
1.1.1

Cung tham số hoá
Định nghĩa

Cung tham số:
Ta gọi mỗi ánh xạ
f : I → R2

.

t → f (t)
là cung tham số hoá thuộc lớp Ck . Kí hiệu: f (t).
Cho f : I −→ R2 là cung tham số hoá. Ta gọi {f (t), t ∈ I} là quỹ đạo
của f hay {f (t), t ∈ I} là một đường cong nhận f làm biểu diễn tham số
(hay tập ảnh của cung tham số).

Footer Page 9 of 161.

5


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

Ví dụ: Ánh xạ
µ : R → E2
−
t → µ(t) = M0 + →
αt
là cung tham số hoá có µ(R) là đường thẳng đi qua điểm M0 và nhận
−
vectơ →
α làm vectơ chỉ phương.
Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá (thuộc lớp Ck ).
• Phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) của f là mọi ánh xạ ϕ : J −→ I
trong đó J là một khoảng của R sao cho: ϕ ∈ C k trên J, ϕ là song ánh,
ϕ−1 ∈ C k trên I.

• Biểu diễn tham số chấp nhận được (thuộc lớp Ck ) của f là mọi ánh
xạ g : J −→ R2 trong đó J ⊂ R sao cho tồn tại một phép đổi tham
số ϕ (thuộc lớp Ck ) của f sao cho g = f ◦ ϕ hay ánh xạ ϕ : J −→ I
là một phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) khi và chỉ khi: ϕ ∈ C k trên J,
ϕ > 0 (ϕ < 0), ϕ (J) = I.
Nhận xét:
• Nếu f : I −→ R2 là một cung tham số hoá (thuộc lớp Ck ), ϕ : J −→ I
là một phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) thì các cung tham số hoá f và
f ◦ ϕ có cùng quỹ đạo.
• f và g là Ck - tương đương khi và chỉ khi tồn tại một phép đổi tham số
ϕ (thuộc lớp Ck ) thoả mãn g = f ◦ ϕ.
1.1.2

Khảo sát cung tham số hoá trong lân cận một điểm

a) Tiếp tuyến tại một điểm
Định nghĩa 1:

Footer Page 10 of 161.

6


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

Cho
f : I → R2

.

t → M (t) = f (t)
f là một cung tham số hoá (thuộc lớp Ck ) , τ là quỹ đạo của f và M(t)
là một điểm thuộc τ .
−−→
• M(t) là điểm chính quy của τ ⇔ f (t) = 0.
−−→ −−−→
• Cho f ∈ C2 , M(t) là điểm song chính quy của τ ⇔ {f (t); f (t)} độc
lập tuyến tính.
Một điểm không chính quy được gọi là điểm dừng.
Nhận xét:
Các khái niệm về điểm chính quy và điểm song chính quy là bất biến
qua phép đổi tham số.
Thật vậy:
Giả sử ϕ : J −→ I là một phép đổi tham số và g = f ◦ ϕ.
Với mọi u ∈ J, ta có:
 −−→
−−−→
 g (u) = ϕ (u).−
f (ϕ(u)
−−→
−−−−−→
−−−−→ .
−
2
g (u) = ϕ (u).f (ϕ(u)) + ϕ (u).f (ϕ(u)
−−→ →
−−−−−→ →

−
−
• g (u) = 0 ⇔ f (ϕ(u)) 
= 0.



ϕ (u) ϕ (u)
−−→ −−−→
 . det(f (ϕ(u)), f (ϕ(u)))
• det(g (u), g (u)) = det 
2
0
ϕ (u)
= ϕ 3 (u). det(f (ϕ(u)), f (ϕ(u))).
−−→ −−−→
−−−−→ −−−−−→
Vậy g (u), g (u) độc lập tuyến tính ⇔ f (ϕ(u)), f (ϕ(u) độc lập
tuyến tính.

Footer Page 11 of 161.

7


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

Định nghĩa 2:
Ta nói rằng một cung tham số hoá f : I −→ R2 thuộc lớp C1 (C2 ) là
chính quy (song chính quy) khi và chỉ khi với mọi t∈ I, M(t) là một điểm
chính quy (song chính quy) đối với f.
Định lý:
Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp C1 . τ là quỹ đạo
của f và A(t) là điểm chính quy của τ . Khi đó tại mọi điểm chính quy
−−→
A(t), τ nhận một tiếp tuyến và tiếp tuyến này có phương f (t).
Định nghĩa 3:
Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp C1 . τ là quỹ đạo
của f và A(t) là điểm chính quy của τ . Vectơ tiếp tuyến đơn vị (định
−−→
→
−
hướng) của τ tại A(t), kí hiệu là T (t) (hoặc T ) và được xác định bởi:
−−→
−−→
f (t)
T (t) = −−→ .
f (t)
b) Dáng điệu của đường cong tại lân cận một điểm
Mệnh đề 1:
Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá. τ là quỹ đạo của f.

• Nếu f thuộc C1 , M(t) là một điểm chính quy của
τ . D là một đường thẳng đi qua M(t0 ) và không định
phương bởi f’(t0 ). Khi đó τ cắt D tại M(t0 ). Tức là
tại lân cận của M(t0 ):
Với t < t0 và t gần t0 , τ nằm hoàn toàn về một phía

Footer Page 12 of 161.

8


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

đối với D.
Với t > t0 và t gần t0 , τ nằm hoàn toàn về phía kia đối với D.
• Nếu f ∈ C2 , M (t) là một điểm song chính quy của τ .
Tại lân cận t, τ thuộc nửa mặt phẳng giới hạn
bởi tiếp tuyến với τ tại M(t) và nằm về phía của
−−−→
f (t). Khi đó τ quay phía lõm của nó theo hướng
−−−→
f (t).
Mệnh đề 2:
Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp thích hợp. τ là quỹ
đạo của f, t ∈ I.

−→
Kí hiệu: p là số nguyên nhỏ nhất, p≥1 sao cho f (p) = 0, q là số nguyên

nhỏ nhất lớn hơn p sao cho {f (p) (t), f (q) (t)} độc lập (giả sử p, q tồn tại).
Trong lân cận của M(t), τ có dáng điệu như sau:

Footer Page 13 of 161.

9


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

c) Nhánh vô tận, tính đối xứng và điểm bội.
• Nhánh vô tận
Giả sử f : I −→ R2 là một cung tham số hoá. τ là quỹ đạo của f, t0 ∈ I (
→
− →
−
có thể t0 = −∞ hoặc t0 =+∞), R = (O, i , j ) là một hệ quy chiếu trực
chuẩn của R2 , (x,y) là các thành phần của f trong R.
−−→
Ta nói rằng τ có một nhánh vô tận khi t→ t0 ⇔ f (t) → +∞, tức là:
[x(t)]2 +[y(t)]2 →
 +∞.
|x(t)| → +∞
Nói riêng, nếu 
thì τ có một nhánh vô tận khi t → t0 .
|y(t)| → +∞
Giả sử, τ có một nhánh vô tận khi t→ t0 .
Phương tiệm cận: τ có một phương tiệm cận khi t→ t0 khi và chỉ khi
−−−−→
AM (t)

−
Với mỗi A ∈ R2 sao cho: lim −−−−→ = →
u.
t→t0
AM (t)
−
Vậy ta gọi vectơ →
u là phương tiệm cận của τ khi
t → t0 .

Đường tiệm cận: Đường thẳng D là đường tiệm
cận của τ khi t → t0 khi và chỉ khi tồn tại một vectơ
−
−
v sao cho {→
u ,→
v } độc lập, trong đó u là vectơ chỉ
phương của D.
Kí hiệu (X (t) , Y (t)) là toạ độ điểm chạy M (t) trên
τ trong hệ quy chiếu Descartes (O, u, v). Ta có:

Footer Page 14 of 161.

10


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN


 X(t) −→ +∞(−∞)
 Y (t) −→ b ∈ R
τ nhận một phương tiệm cận (khi t → t0 ) mà không có đường tiệm cận
(t → t0 ) thì ta nói τ 
có một nhánh parabolic.
 x(t) −→ ±∞
y(t)
Trong thực hành, nếu
thì ta lập
rồi xét các trường
 y(t) −→ ±∞
x(t)
hợp sau:
y(t)
−→ ±∞, thì τ có một nhánh parabolic
x(t)
với phương tiệm cận y’y.
TH1: Nếu

y(t)
−→ 0 thì τ có một nhánh parabolic
x(t)
với phương tiệm cận x’x.
TH2: Nếu



 y(t) → a ∈ R∗

x(t)
TH3: Nếu
thì τ có một nhánh

 y(t) − a.x(t) → ±∞
parabolic với phương tiệm cận có phương trình là y =
ax.

Footer Page 15 of 161.

11


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN



 y(t) → a ∈ R∗
x(t)
TH4: Nếu

 y(t) − a.x(t) → b ∈ R

thì τ có một

nhánh parabolic với tiệm cận có phương trình là y =
ax + b.

Khi vẽ τ , ta cần biết vị trí tương đối của τ và P(t) là
điểm của ∆ có cùng hoành độ x(t) với M(t). Vị trí tương
−−−−−−→
đối của τ đối với ∆ được xác định dấu của P (t)M (t), tức
là cực y(t) - (a.x(t) + b).
• Tính đối xứng

 x = x(t)
.
Cho τ là một đường cong có biểu diễn tham số
 y = y(t)
Ta hãy tìm các tính chất đối xứng có thể có của τ , tức là những phép
đẳng cự của R2 giữ cho τ bất biến toàn cục.
Cho ψ : I −→ J là một phép đổi tham số và I ⊂ I sao cho I=I ∪ ψ(I )
và I ∩ ψ(I )=∅ hoặc chỉ gồm một phần tử.
Trong thực hành: ψ, I thường có dạng:
ψ : [−a; a] → [−a; a] ; I = [0; a]
t → −t
ψ : [0; b] → [a; b] ; I = a;

a+b
2

t →a+b−t
ψ : [0; +∞) → [0; +∞) ; I = [0; 1]
1
t →
t
Tuỳ theo hệ thức có thể liên kết f.ψ và f cho ta biến đổi trong I , từ đó

Footer Page 16 of 161.

12


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

có đường cong τ . Đường cong τ ” suy ra từ τ và τ =τ ∪ τ ”.
Giả thiết đối với x, y, ψ (cho ∀t ∈ I)
x (ψ(t)) = x(t)

Phép đẳng cự chuyển từ τ sang τ
Phép đồng nhất.

y (ψ(t)) = y(t)

→
−
→
−
Phép tịnh tiến theo vectơ α i + β j .

x (ψ(t)) = x(t) + α
y (ψ(t)) = y(t) + β
x (ψ(t)) = −x(t)

Phép đối xứng qua y’y, song song với x’x.

y (ψ(t)) = y(t)
x (ψ(t)) = −x(t)

Phép đối xứng qua O.

y (ψ(t)) = −y(t)
x (ψ(t)) = y(t)

Phép đối xứng qua đường phân giác thứ nhất,

y (ψ(t)) = x(t)

song song với đường phân giác thứ hai.

• Điểm bội

 x = x(t)
, ∀t ∈ I.
Cho τ là một đường cong có biểu diễn tham số:
 y = y(t)
2
M (x, y) của
 τ được gọi là điểm bội của τ khi và chỉ khi tồn tại (u, v) ∈ I


x = x(u) = x(v)



sao cho:
y = y(u) = y(v) .



u=v

M là điểm kép của τ nếu M ∈ τ ứng với đúng 2 giá trị phân biệt của
tham số.
Định nghĩa tương tự cho điểm bội ba, điểm bội bốn,...
d) Lược đồ khảo sát cung tham số hoá
• Khảo sát về x, y
1. Tìm các miền xác định của x và y.
2. Khảo sát các phép đổi tham số để tìm tính chất đối xứng của τ .

Footer Page 17 of 161.

13


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

3. Khảo sát tại cận của các khoảng đó.
4. Khảo sát x’, y’ xác định các điểm làm triệt tiêu x’, y’; dấu của x’, y’.
5. Lập bảng biến thiên.
• Khảo sát τ
1. Xác định các nhánh vô tận và thể loại của nó.

2. Xác định các điểm không chính quy, loại của chúng và dáng điệu của
đường cong tại lân cận các điểm đó.
3. Xác định các điểm bội và các tiếp điểm tại đó.
4. Khảo sát các điểm đáng chú ý (điểm dừng;...).
5. Khảo sát các điểm uốn.
6. Vẽ τ .
1.1.3

Tính các diện tích phẳng

Định lý:
Cho D là một miền thuộc mặt phẳng được giới hạn bởi một đường cong
đóng C được định hướng theo chiều thuận. Diện tích đại số A(D) của D
được cho bởi:
A(D) = −

y.dx =
C

C

Và cũng bởi A(D) =
1.1.4

1
(x.dy − y.dx).
2C
dx.dy.

x.dy =

Ví dụ



x =

t
1 + t3
Ví dụ 1: Khảo sát lá Descartes τ với biểu diễn tham số :
t2


y =
1 + t3
Giải:

Footer Page 18 of 161.

14

.


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

+Def(x)=def(y)=R\ {−1}.

+Ta có:
1
x 1/t = .
t

1
3

t2
= 3
= y(t).
t +1

1 + 1/t
1 t3
t
1
y /t = 2 . 3
= 3
= x(t).
t t +1 t +1

 x 1/ = y (t)
t
⇒
; ∀t ∈ R\ {−1} .
 y 1/ = x (t)
t

Suy ra ta cho t biến thiên trong (-1; 1] rồi thực hiện phép đối xứng qua

đường phân giác thứ nhất.
+Ánh xạ x và y khả vi trên (-1; 1]:

1 − 2t3


x
(t)
=

3 )2
(1
+
t
∀t ∈ (−1; 1],
.
t(2 − t3 )


 y (t) =
(1 + t3 )2
+Suy ra:

x (t) = 0 ⇔ t3 =

1
⇔t=
2

3

1
.
2


y (t) = 0 ⇔ t(2 − t3 ) = 0 ⇔ 
Bảng biến thiên:

Footer Page 19 of 161.

15

t=0
√
t = 3 2.


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

+Khi t → −1 ta có:

y(t)
t2
t




=
:
= t → −1.
x(t) 1 + t3 1 + t3
t2
t
t
−1


 y(t) + x(t) =
+
=
→
.
3
3
2
1+t
1+t
1−t+t
3
Vậy τ nhận đường thẳng ∆ có phương trình: y = −x −

1
làm đường
3

tiệm cận.

1
(1 + t)2
Mặt khác: y(t) + x(t) + =
> 0.
3 3.(1 − t + t2 )
Vậy τ nằm về phía trên của ∆.


2

 x(t) = t + 1
2t .
Ví dụ 2: Khảo sát cung tham số hoá sau τ :
2t

 y(t) = − 1
t2
Giải:
+Def(x)=def(y)=R\ {0}.
+ x và y là 2 ánh xạ khả vi trên R\ {0}:

Footer Page 20 of 161.

16


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN


2

 x (t) = t − 1
2t .
∀t ∈ R\ {0} ,
2
−
2t

 y (t) =
t4
+Suy ra:

x (t) = 0 ⇔ t2 − 1 = 0 ⇔ 

t=1
t = −1.

y (t) = 0 ⇔ 2 − 2.t = 0 ⇔ t = 1.
Vậy τ có một và chỉ một không chính quy ứng với t=1.
Tại t = 1 ⇒ M (1; 1).
Bảng biến thiên:

t −∞
x (t)

−1
+

0

0
−
+∞
−∞

−

y

+∞

− 0 +

−1
x −∞

1

+∞
1
+ 0 −

0
y

−3

1
−∞ −∞

0

y(t)
2t − 1 t2 + 1 2(2t − 1)
+Tại 0. Xét
=
:
=
→ −∞ (+∞)
x(t)
t2
2t
t(t2 + 1)
khi t → 0− (0+ ).
Vậy τ có một nhánh parabolic với phương tiệm cận y’y.

Footer Page 21 of 161.

17


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN

+Tại 1. Bằng phép đổi biến u=t-1. Ta có:

t2 + 1 (u + 1)2 + 1
u2
1
x(t) =
=
=1+ .
2t
2(u + 1)
2 1 − (−u)
2
u
1
1
= 1 + (1 − u + θ(u) = 1 + u2 − u3 + θ(u3 ).
2
2
2
2t − 1 2(u + 1) − 1
2u + 1
u2
y(t) =
=
= 2
=1− 2
t2
u + 2u + 1
u + 2u + 1
(u + 1)2
= 1 − u2 (1 − 2u + θ(u) = 1 − u2 + 2u3 + θ(u3 ).
→

−
→
− →
−
Kí hiệu: Vk = f (k) (1), k = {1, 2, 3} thì khi đó trong O, i , j có:
 1  
 −1  


0
1
−3
→
−
−
→
−
;→
.
V3 = 3!  2  = 
V1 =   ; V2 = 2!  2  = 
0
−2
−12
−1
−2


Ta có



→
− →
−
V2 ; V3 độc lập và p=2, q=3.

→
−
Vậy M(1) là điểm lùi loại một và tiếp tuyến được định phương bởi V2 .

Ví dụ 3: Tính diện tích miền trong của vòng khuyên lá Descartes C:
t
1 + t3 .
2

y= t
1 + t3


x=

Giải:
Vì lý do đối xứng nên ta có:

Footer Page 22 of 161.

18

Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

A(D) = 2.

VŨ THỊ XOAN

1
2

(x.dy − y.dx).
C1

Trong đó C1 là bộ phận của C với t chạy từ 0 đến 1. Ta có:
t t.(2 − t2 )
1 − 2.t3
t2
.dt
A(D) =
.
−
.
3
3 2
1 + t3 (1 + t3 )2
0 1 + t (1 + t )
1
1
1
t2

−1 1
=
=
.
.
.dt
=
3 2
3 1 + t3 0 6
0 (1 + t )
1

1.2

Đường cong trong toạ độ cực

1.2.1

Định nghĩa

• Toạ độ cực
Với mọi điểm M(x, y) trong R.
Ta đặt:

 ρ = OM = x2 + y 2
; (M = O, k ∈ Z) .
− −−→
θ=∠ →
i , OM + k2π
Ta nói 

rằng ρ là bán kính cực của M và θ là góc cực của M.

ρ = x2 + y 2





 x = ρcosθ
x
cos θ =
⇒
.
Ta có:
ρ



y = ρ sin θ

y

 sin θ =
ρ

Nếu:
π
x = 0 ⇔ ρ sin θ = 0 ⇔ θ = + kπ (k ∈ Z).
2
y

δ sin θ
⇒ =
= tan θ.
x
ρcosθ

Footer Page 23 of 161.

19


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ XOAN


 x = ρ.cosθ
Ta cũng có cặp (θ + π; −ρ) cũng thảo mãn hệ thức:
.
 y =ρ. sinθ
Ta nói rằng một cặp (θ; ρ) ∈ R2 là một hệ toạ độ cực của M (x; y)

 x = ρ.cosθ
⇔
.
 y =ρ. sinθ
Kí hiệu: M [θ; ρ], (ρ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0).
Vậy ∀M ∈ R2 \ {0} nhận hệ toạ độ cực đúng những (θ; ρ) và những cặp
(θ + π; −ρ) trong đó θ(≡ 2π) là những góc cực của M và ρ = OM .

Ngược lại, ∀(θ; ρ) ∈ R2 tồn tại duy nhất M ∈ R2
nhận (θ; ρ) làm hệ toạ độ cực.
−−→
→
−
→
−
Với θ ∈ R, ta kí hiệu u(θ) = cos θ. i + sin θ. j là
vecto chuẩn hoá có góc cực θ và
−−→
−−→
→
−
→
−
v(θ) = Rot π (u(θ)) = − sin θ. i + cosθ j .
2
−−→ −−→
Như vậy (u(θ); v(θ)) là một cơ sở trực chuẩn của R2 .
• Đổi trục cực

Giả sử: α ∈ R; R là hệ quy chiếu trực chuẩn
suy ra từ R bằng phép quay tâm O và góc quay
α.
Với mọi M ∈ R2 , nếu (θ; δ) là một hệ toạ độ cực của M trong R thì hệ
toạ độ cực của M trong R’ là (θ − α; ρ).

Footer Page 24 of 161.

20


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

VŨ THỊ XOAN

Biểu diễn đường cong trong toạ độ cực

Giả sử
f : I → R2

.

t → M (t) = f (t)
là một cung tham số hoá thuộc lớp C 1 . τ là quỹ đạo của f. Giả thiết
∀t ∈ I, M (t) = 0. Kí hiệu (x(t);y(t)) là toạ độ của M(t) trong R.
x(t) + iy(t)
∈ C 1.
Cho ánh xạ g : I → U với ∀t ∈ I, g(t) =
(x(t))2 + (y(t))2
Khi đó tồn tại một ánh xạ θ : I → R ∈ C 1 sao cho ∀t ∈ I, g(t) = eiθ(t) .
Ta có:


 x(t) = [x(t)]2 + [y(t)]2 .cosθ(t)
.

 y(t) = [x(t)]2 + [y(t)]2 .sinθ(t)

Vậy θ(t) là góc cực của M(t).
Ta kí hiệu J = θ(I) (là một khoảng của R), giả thiết ∀t ∈ I, θ (t) = 0.
Vậy θ : I → J là một C 1 - vi phôi, hay là một phép biến đổi tham số nên
f.θ−1 là một biến đổi tham số thuộc lớp C 1 của τ . Đường cong C khi đó
biểu diễn bởi ρ = ρ(θ), trong đó:ρ : J → R ∈ C 1 . Khi đó τ nhận phương
trình cực ρ = ρ(θ), (ρ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0).
Ví dụ 1: Giả sử D có phương trình: ax + by + c = 0 trong đó: (a; b) =
(0; 0), c= 0. D là đường thẳng không đi qua O.
 x = ρ cos θ
Thay:
vào phương trình của D ta có:
 y = ρ sin θ

Footer Page 25 of 161.

21