bai tap chuong 6 lop 10

1. Hệ thức cơ bản:
sin 2α + cos2α = 1 ;

tanα .cotα = 1 ;

1 + tan 2 α =

2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

cos2 α

; 1 + cot 2 α =

1
sin2 α

Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

cos(−α ) = cos α

sin(π − α ) = sin α

π

sin  − α ÷ = cos α
2


sin(−α ) = − sin α

cos(π − α ) = − cos α

π

cos  − α ÷ = sin α
2


tan(−α ) = − tan α

tan(π − α ) = − tan α

π

tan  − α ÷ = cot α
2


cot(−α ) = − cot α

cot(π − α ) = − cot α

π

cot  − α ÷ = tan α
2


Góc hơn kém π

Góc hơn kém

π
2

sin(π + α ) = − sin α

π

sin  + α ÷ = cos α
2


cos(π + α ) = − cos α

π

cos  + α ÷ = − sin α
2


tan(π + α ) = tan α

π

tan  + α ÷ = − cot α
2



cot(π + α ) = cot α

π

cot  + α ÷ = − tan α
2


II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a

tan(a + b) =

tan a + tan b
1 − tan a.tan b

tan(a − b) =

tan a − tan b
1 + tan a.tan b

sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b

Hệ quả:

1

π
 1 + tan α
tan  + α ÷ =
,
4
1
−
tan
α



 π  1 + tan α
tan  + α ÷ =
,
 4  1 − tan α

π
 1 − tan α
tan  − α ÷ =
4
 1 + tan α

 π  1 − tan α
tan  − α ÷ =
 4  1 + tan α

2. Công thức nhân đôi
sin 2α = 2 sin α .cos α
cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
cot 2 α − 1
2 cot α
1 − tan 2 α
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba (*)
tan 2α =

2 tan α

1 − cos2α
2
1
+
cos
2α
cos2 α =
2
1 − cos 2α
2
tan α =
1 + cos 2α

sin2 α =

;

cot 2α =

sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
3tan α − tan3 α
tan 3α =
1 − 3tan 2 α

3. Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos
.cos
2
2
cos a − cos b = − 2sin

a+b
a−b
.sin
2
2

tan a + tan b =

sin(a + b)
cos a.cos b

tan a − tan b =

sin(a − b)

cos a.cos b

sin a + sin b = 2sin

a+b
a−b
.cos
2
2

cot a + cot b =

sin(a + b)
sin a.sin b

sin a − sin b = 2 cos

a+b
a−b
.sin
2
2

cot a − cot b =

sin(b − a)
sin a.sin b




π
π
sin α + cos α = 2.sin  α + ÷ = 2.cos  α − ÷
4
4





π
π
sin α − cos α = 2 sin  α − ÷ = − 2 cos  α + ÷

4

4
4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

4
5 π
b) sin a = , < a < π
, 2700 < a < 3600
5
13 2
π
3π
c) tan α = −2, < α < π

d) cot α = 3, π < α <
2
2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a) cos a =


cot a + tan a
3
π
khi sin a = , 0 < a <
cot a − tan a
5
2
2
8 tan a + 3cot a − 1
1
b) B =
khi sin a = , 90 0 < a < 180 0
tan a + cot a
3
2
2
sin a + 2sin a.cos a − 2 cos a
c) C =
khi cot a = −3
2sin 2 a − 3sin a.cos a + 4 cos2 a
sin a + 5cos a
khi tan a = 2
d) D = 3

sin a − 2 cos3 a
8cos3 a − 2sin3 a + cos a
e) E =
khi tan a = 2
2 cos a − sin3 a
cot a + 3tan a
2
g) G =
khi cos a = −
2 cot a + tan a
3
sin a + cos a
h) H =
khi tan a = 5
cos a − sin a
5
Bài 3. Cho sin a + cos a = . Tính giá trị các biểu thức sau:
4
a) A = sin a.cos a
b) B = sin a − cos a c) C = sin3 a − cos3 a
a) A =

25
7
8
ĐS:
3
ĐS:

ĐS: −

ĐS:

23
47

55
6

3
2
19
ĐS:
13
3
ĐS: −
2
ĐS: −

Bài 4.

1
. Tính sin x , cos x , tan x, cot x .
5
b) Cho tan x + cot x = 4 . Tính sin x , cos x , tan x, cot x .
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
π

a) A = cos  + x ÷+ cos(2π − x ) + cos(3π + x )
2


 7π

 3π

− x ÷+ cot 
− x÷
b) B = 2 cos x − 3cos(π − x ) + 5sin 
 2

 2

π

 3π

π

+ x ÷+ cos  + x ÷
c) C = 2sin  + x ÷+ sin(5π − x ) + sin 
2

 2

2

 3π

 3π

+ x ÷+ tan 

− x ÷+ cot(3π − x )
d) D = cos(5π − x ) − sin 
 2

 2

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
sin(−3280 ).sin 9580 cos(−5080 ).cos(−1022 0 )
−
a) A =
cot 5720
tan(−2120 )
b) C = cos 200 + cos 400 + cos 60 0 + ... + cos160 0 + cos180 0
a) Cho sin x + cos x =

ĐS: A = –1
ĐS: C = −1

c) D = cos2 100 + cos2 200 + cos2 30 0 + ... + cos2 180 0
ĐS: D = 9
d) E = sin 20 0 + sin 40 0 + sin 60 0 + ... + sin 340 0 + sin 360 0
ĐS: E = 0
e) 2sin(790 0 + x ) + cos(12600 − x ) + tan(6300 + x ).tan(1260 0 − x )
ĐS: F = 1 + cos x
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x
b) sin 4 x + cos4 x = 1 − 2 cos2 x.sin 2 x
c) sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos2 x

d) sin8 x + cos8 x = 1 − 4sin 2 x.cos2 x + 2sin 4 x.cos4 x

e) cot 2 x − cos2 x = cos2 x.cot 2 x

h) sin 2 x.tan x + cos2 x.cot x + 2sin x.cos x = tan x + cot x

g) 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x )(1 + tan x )

f) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin2 x


sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x − cos x + 1
Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
tan a + tan b
a) tan a.tan b =
cot a + cot b
i)

sin 2 a
cos2 a
−
= sin a.cos a
1 + cot a 1 + tan a
1 + cos a  (1 − cos a)2 
e)
1 −
 = 2 cot a

sin a 
sin2 a 
c) 1 −

k)

1 + sin 2 x
2

1 − sin x

= 1 + tan2 x

sin a
cos a
1 + cot 2 a
−
=
sin a − cos a cos a − sin a 1 − cot 2 a
sin 2 a
sin a + cos a
d)
−
= sin a + cos a
sin a − cos a
tan2 a − 1
b)

f)

tan 2 a
1 + tan2 a

.

1 + cot 2 a
cot 2 a

=

1 + tan 4 a
tan 2 a + cot 2 a

2



tan 2 a − tan 2 b sin2 a − sin 2 b
g)  1 + sin a − 1 − sin a ÷ = 4 tan2 a h)
=
tan 2 a.tan 2 b
sin 2 a.sin 2 b
1 + sin a 
 1 − sin a
i)

sin2 a − tan 2 a

= tan 6 a

k)

cos2 a − cot 2 a
Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1 − sin2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x
c)
e)

2

sin2 a

−

1
cot 3 a
+
= tan3 a + cot 3 a
sin a.cos a cos2 a

b) (tan x + cot x )2 − (tan x − cot x )2

cos2 x + cos2 x.cot 2 x
2

tan3 a

d) ( x.sin a − y.cos a)2 + ( x.cos a + y.sin a)2

2

sin x + sin x.tan x
sin 2 x − tan 2 x

f)

cos2 a − cot 2 x

sin 2 x − cos2 x + cos4 x
cos2 x − sin 2 x + sin 4 x

 π 3π 
h) cos x − tan 2 x − sin 2 x ; x ∈ ; ÷
2 2 
Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a) 3(sin 4 x + cos4 x ) − 2(sin 6 x + cos6 x )
ĐS: 1
g)

sin 2 x (1 + cot x ) + cos2 x(1 + tan x )

b) 3(sin8 x − cos8 x ) + 4(cos6 x − 2sin 6 x ) + 6sin 4 x

ĐS: 1

c) (sin 4 x + cos4 x − 1)(tan2 x + cot 2 x + 2)

ĐS: –2

d) cos2 x.cot 2 x + 3cos2 x − cot 2 x + 2 sin 2 x

Bài 11. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin B = sin( A + C )

b) cos( A + B) = − cos C

ĐS: 2
c) sin

A+B
C
= cos
2
2

d) cos( B − C ) = − cos( A + 2C )
e) cos( A + B − C ) = − cos 2C
−3 A + B + C
A + B + 3C
A + B − 2C
3C
f) cos
h) tan
= − sin 2 A g) sin
= cos C
= cot
2
2
2
2
Bài 12. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:


π
3 π
a) tan  α + ÷ khi sin α = , < α < π

3
5 2
π

12 3π
< α < 2π
b) cos  − α ÷ khi sin α = − ,
3

13 2
1
1
c) cos(a + b).cos(a − b) khi cos a = , cos b =
3
4
Bài 13. Cho tam giác ABC. Chứng minh:

38 − 25 3
11
(5 − 12 3)
ĐS:
26
119
ĐS: −

144
ĐS:


a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A

b)

sin C
= tan A + tan B ( A, B ≠ 90 0 )
cos A.cos B

c) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ( A, B, C ≠ 90 0 )
A
B
B
C
C
A
.tan + tan .tan + tan .tan = 1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A

B
C
cos C
cos B
f) cot + cot + cot = cot .cot .cot
g) cot B +
= cot C +
( A ≠ 90o )
2
2
2
2
2
2
sin B.cos A
sin C.cos A
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
h) cos .cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
i) sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 + 2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
Bài 14. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
5
3π
a) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi cos α = − , π < α <
b) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi tan α = 2
13

2
4 π
3π
c) sin α , cos α khi sin 2α = − , < α <
5 2
2
Bài 15. Tính giá trị của biểu thức sau:
1
a) A = cos 20o.cos 40o.cos 60o.cos80o
ĐS:
16
3
b) D = cos100.cos 500.cos 700
ĐS:
8
1
c) E = sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o
ĐS:
16
2π
4π
8π
16π
32π
1
d) G = cos
ĐS:
.cos
.cos .cos
.cos

31
31
31
31
31
32
2
e) H = sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85o
ĐS:
512
π
π
π
π
π
f) K = 96 3 sin .cos .cos cos cos
ĐS: 9
48
48
24
12
6
π
π
π
2
h) M = sin .cos .cos
ĐS:
16
16

8
8
Bài 16. Chứng minh các hệ thức sau:
3 1
5 3
a) sin 4 + cos4 x = + cos 4 x
b) sin 6 x + cos6 x = + cos 4 x
4 4
8 8
1
x
x 1
c) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x = sin 4 x
d) sin 6 − cos6 = cos x(sin 2 x − 4)
4
2
2 4
1 − sin 2 x


π
x
= 1
e) 1 − sin x = 2sin 2  − ÷
f)
π


2 π
 4 2

2 cot  + x ÷.cos  − x ÷
4

4

π

1 + cos  + x ÷
π x 
π
 1 + sin 2 x
2
 = 1
g) tan  + ÷.
h) tan  + x ÷ =
 4 2
π

4

cos 2 x
sin  + x ÷
2

d) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1

e) tan


i)

π x 
cos x
= cot  − ÷
1 − sin x
 4 2

k) tan x.tan 3 x =

tan 2 2 x − tan 2 x

1 − tan 2 x.tan2 2 x
2
m) cot x + tan x =
sin 2 x

l) tan x = cot x − 2 cot x
Bài 17. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A =
c) C =

cos 7 x − cos8 x − cos 9 x + cos10 x
sin 7 x − sin 8 x − sin 9 x + sin10 x
1 + cos x + cos 2 x + cos3 x

sin 2 x + 2sin 3 x + sin 4 x
sin 3 x + 2sin 4 x + sin 5 x
sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x
d) D =

cos 4 x + cos 5 x + cos 6 x
b) B =

cos x + 2 cos2 x − 1
Bài 18. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cot x − tan x − 2 tan 2 x = 4 cot 4 x
c)

1
cos6 x

6

− tan x =

3tan 2 x
cos2 x

+1

1 − 2sin2 2 x 1 + tan 2 x
=
1 − sin 4 x
1 − tan 2 x
1
sin 2 x − cos 2 x
d) tan 4 x −
=
cos 4 x
sin 2 x + cos 2 x

b)

e) tan 6 x − tan 4 x − tan 2 x = tan 2 x.tan 4 x.tan 6 x
sin 7 x
f)
g) cos 5 x.cos3 x + sin 7 x.sin x = cos 2 x.cos 4 x
= 1 + 2 cos 2 x + 2 cos 4 x + 2 cos 6 x
sin x
Bài 19. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
A
B
C
A
B
C
a) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin
2
2
2
2
2
2
c) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = − 1 − 4 cos A.cos B.cos C
e) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A.cos B.cos C f) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A.cos B.cos C
Bài 20. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) b cos B + c cos C = a cos(B − C )
b) S = 2 R 2 sin A.sin B.sin C
c) 2S = R(a cos A + b cos B + c cos C )

d) r = 4 R sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

Bài 21. Chứng minh rằng:

sin B + sin C
thì tam giác ABC vuông tại A.
cos B + cos C
tan B sin 2 B
b) Nếu
thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
=
tan C sin 2 C
sin B
c) Nếu
= 2 cos A thì tam giác ABC cân.
sin C
a) Nếu sin A =