Đặc trưng xác suất của phản ứng trong kết cấu thanh phẳng có vết nứt

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
---------------o0o-----------------

TRẦN VIỆT THẮNG

ĐẶC TRƢNG XÁC SUẤT CỦA PHẢN ỨNG
TRONG KẾT CẤU THANH PHẲNG CÓ VẾT NỨT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: CƠ HỌC KỸ THUẬT
Mã số: 60520114
KHOA CHUYÊN MÔN

CB HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. DƢƠNG THẾ HÙNG

PHÕNG ĐÀO TẠO

THÁI NGUYÊN- 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
---------------o0o-----------------

TRẦN VIỆT THẮNG

ĐẶC TRƯNG XÁC SUẤT CỦA PHẢN ỨNG
TRONG KẾT CẤU THANH PHẲNG CÓ VẾT
NỨT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

THÁI NGUYÊN- 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sỹ Dương
Thế Hùng. Các thí nghiệm trong Luận văn được thực hiện tại Phòng Thí nghiệm
Xây dựng – Trường Đại học kỹ thuật công nghiệp, với sự hỗ trợ kinh phí từđề tài
KHCN B2012-TN01-03 của Bộ Giáo dục vàĐào tạo.
Học viên xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp,
Phòng Đào tạo, Bộ môn Kiến Trúc, Xây dựng, đặc biệt là Tiến sỹ Dương Thế Hùng
đã hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ học viên hoàn thành Luận văn.
Cuối cùng học viên xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè và toàn
thểđồng nghiệp đã động viên giúp đỡ học viên trong quá trình thực hiện Luận văn.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 08 năm 2015
Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iv

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu trích
dẫn,kếtquả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bấtkỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 08 năm 2015
Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




v

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................................ii
MỤC LỤC ................................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ........................................................... vi
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... viii

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN...... ............................................................................... 5
1.1.Ứng xử của kết cấu có vết nứt theo mô hình ngẫu nhiên...................................... 5
1.1.1. Khái niệm về tính toán theo mô hình ngẫu nhiên.... ......................................... 6
1.1.2. Mô hình vết nứt trong phân tích động lực kết cấu hệ thanh ............................. 7
1.2. Một số kết quả nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam có liên quan đến đề tài
luận văn ....................................................................................................................... 8
CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN PHẢN ỨNG CỦA KẾT CẤU
THANH CÓ VẾT NỨT THEO MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN ............................. 10
2.1. Mở đầu ............................................................................................................... 10
2.2. Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh có vết nứt.................................... 11
2.2.1. Phần tử chịu uốn và kéo nén đồng thời của thanh nguyên vẹn .... ................. 11
2.2.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh có vết nứt.... ............................................ 15
2.3. Xác định véc tơ lực nút tương đương của phần tử thanh có vết nứt và tham số
ngẫu nhiên.......................................................................................................... ....... 20
2.4. Chuyển về hệ tọa độ chung.... ............................................................................ 20
2.4.1. Các ma trận chuyển từ hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ chung.... .............. 20
2.4.2. Ma trận độ cứng động lực của phần tử trong hệ tọa độ chung…………. ..... .20
2.4.3. Véc tơ tải trọng nút của phần tử trong hệ tọa độ chung.... .............................. 21
2.4.4. Ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng nút của cả kết cấu trong tọa độ
chung.... ..................................................................................................................... 21
2.5. Phương pháp giải bài toán động lực học ngẫu nhiên có vết nứt.... .................... 22
2.5.1. Về việc nghịch đảo ma trận độ cứng tổng thể................................................. 22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




vi

2.5.2. Phương pháp khai triển Neumann.... ............................................................... 22
2.5.3. Biểu thức kỳ vọng, phương sai của chuyển vị nút.... ...................................... 23
2.5.4. Biểu thức kỳ vọng, phương sai các thành phần ứng lực.... ............................. 23
2.6. Kết luận chương 2.... .......................................................................................... 24
CHƢƠNG 3. PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG VẾT NỨT ĐẾN ĐẶC TRƢNG
XÁC SUẤT CỦA CHUYỂN VỊ VÀ ỨNG LỰC................................ ......... .........25
3.1. So sánh kết quả tính toán kỳ vọng của chuyển vị và ứng lực trong khung tính
theo TK.mw với một số chương trình tính khác.... ................................................... 25
3.2. Tính toán chuyển vị trong dầm có vêt nứt khi điều kiện biên khác nhau ......... .27
3.2.1. Đặt bài toán........ ............................................................................................. 27
3.2.2. Trường hợp 1: Dầm conson........ .................................................................... 28
3.2.3. Trường hợp 2: Dầm hai đầu khớp cố định........ .............................................. 29
3.2.4. Trường hợp 3: dầm một đầu ngàm một đầu gối tựa di động........ .................. 30
3.2.5. Trường hợp 4: dầm hai đầu ngàm........ ........................................................... 30
3.3. Kết quả tính chuyển vị khi biết trước quy luật phân bố xác suất của biến ngẫu
nhiên....... ................................................................................................................... 31
3.3.1. Chuyển vị trong dầm đơn giản chịu tải trọng ngẫu nhiên........ ....................... 31
3.3.2. Chuyển vị trong trong hệ giàn chịu tải trọng ngẫu nhiên........ ....................... 36
3.4. Khảo sát kết quả chuyển vị khi coi vết nứt là một biến ngẫu nhiên....... ........... 40
3.4.1. Dầm đơn giản hai đầu khớp có vết nứt.... ....................................................... 40
3.4.2. Dầm đơn giản hai đầu ngàm có vết nứt.... ...................................................... 42
3.4.3. Dầm đơn giản hai đầu khớp chịu lực tập trung có vết nứt.... .......................... 42
3.4.4. Dầm đơn giản hai đầu khớp chịu lực tập trung và lực phân bố có vết nứt .... 43
3.5. Kết luận chương 3....... ....................................................................................... 44
CHƢƠNG4. THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG VÀ ÁP DỤNG VÀO THỰC TẾ....... 45
4.1. Mô tả thí nghiệm.... ............................................................................................ 45
4.1.1. Thiết bị đo....... ................................................................................................ 45
4.1.2. Thiết lập mô hình thí nghiệm...... .................................................................... 49
4.2. Kết quả thí nghiệm và so sánh với lý thuyết.... .................................................. 51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

vii

4.2.1. Kết quả thí nghiệm đo dầm nguyên vẹn........ ................................................. 51
4.2.2. Kết quả thí nghiệm đo dầm có vết nứt........ .................................................... 56
4.2.3. So sánh với lý thuyết........ ............................................................................... 59
4.3. Kết luận chương 4....... ....................................................................................... 63
KẾT LUẬN CHUNG .............................................................................................. 64
KIẾN NGHỊ VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ................................... 65
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ ............................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1: Mô hình vết nứt tính theo cường độ ứng suất

07

Hình 1.2: Mô hình vết nứt mở một phía qui đổi sang lò xo đàn hồi

08

Hình 2.1. Thanh chịu uốn và kéo nén đồng thời

11

Hình 2.2. Phần tử chịu uốn có vết nứt

15

Hình 2.3. Mô hình phần tử thanh chịu kéo (nén) có vết nứt

18

Hình 2.4. Phần tử thanh đồng thời chịu uốn và kéo (nén) có vết nứt

19

Hình 3.1. Khung có vết nứt

25

Hình 3.2. Dầm có một vết nứt có tham số EI(x) ngẫu nhiên

27

Hình 3.3. Dầm conson

29

Hình 3.4. Dầm hai đầu khớp cố định

29

Hình 3.5. Dầm một đầu ngàm một đầu khớp di động

30

Hình 3.6. Dầm hai đầu ngàm

31

Hình 3.7. Dầm đơn giản chịu tải trọng ngẫu nhiên

31

Hình 3.8. Giá trị , thay đổi phụ thuộc vào

1

34

Hình 3.9. Giá trị , thay đổi phụ thuộc vào

2

34

Hình 3.10. So sánh giá trị , với mô phỏng Monte-Carlo khi

1

thay đổi

35

Hình 3.11. So sánh giá trị , với mô phỏng Monte-Carlo khi

2

thay đổi

35

Hình 3.12. Hệ giàn có diện tích tiết diện là biến ngẫu nhiên

36

Hình 3.13a. Sơ đồ dầm chịu tải trọng phân bố có vết nứt

40

Hình 3.13b. Tên phần tử và số chuyển vị nút

40

Hình 3.14. Chuyển vị nút số 4 – trường hợp hai đầu khớp

41

Hình 3.15. Sơ đồ dầm hai đầu ngàm có vết nứt

41

Hình 3.16. Chuyển vị nút số 4 – trường hợp hai đầu ngàm

42

Hình 3.17a. Sơ đồ dầm chịu tải trọng tập trung có vết nứt

42

Hình 3.17b. Tên phần tử và số chuyển vị nút

42

Hình 3.18. Chuyển vị nút số 4 – trường hợp hai đầu ngàm

43

Hình 3.19. Sơ đồ dầm chịu tải trọng tập trung và phân bố có vết nứt

43

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ix

Hình 3.20. Chuyển vị nút số 4 – cùng chịu lực tập trung và phân bố

44

Hình 4.1. Hình ảnh gia tốc kế

45

Hình 4.2. Sơ đồ gắn Gia tốc kế lên dầm

46

Hình 4.3. Hình ảnh Loadcell

47

Hình 4.4. Hình ảnh gắn Loadcell lên mô tơ tạo lực kích thích dao động

48

Hình 4.5. Bộ điều khiển tần số

48

Hình 4.6. Bộ chuyển đổi tín hiệu và kết nối với máy tính

49

Hình 4.7. Chương trình đọc kết quả Lực kích thích và Gia tốc

49

Hình 4.8. Sơ đồ vị trí gắn Gia tốc kế và Loadcell

50

Hình 4.9. Sơ đồ bố trí thiết bị và thí nghiệm dầm

50

Hình 4.10. Sơ đồ thí nghiệm dầm đơn giản

51

Hình 4.11. Kết quả đo tải trọng tác dụng

51

Hình 4.12. Kết quả đo gia tốc tại vị trí 1 và 2

52

Hình 4.13. Kết quả vận tốc tại vị trí 1 và 2

52

Hình 4.14. Kết quả chuyển vị tại vị trí 1 và 2

52

Hình 4.15. Kết quả đo tải trọng tác dụng

53

Hình 4.16. Kết quả đo gia tốc tại vị trí 1 và 2

53

Hình 4.17. Kết quả vận tốc tại vị trí 1 và 2

53

Hình 4.18. Kết quả chuyển vị tại vị trí 1 và 2

54

Hình 4.19. Kết quả đo tải trọng tác dụng

54

Hình 4.20. Kết quả đo gia tốc tại vị trí 1 và 2

54

Hình 4.21. Kết quả vận tốc tại vị trí 1 và 2

54

Hình 4.22. Kết quả chuyển vị tại vị trí 1 và 2

55

Hình 4.23. Kết quả đo tải trọng tác dụng

55

Hình 4.24. Kết quả đo gia tốc tại vị trí 1 và 2

55

Hình 4.25. Kết quả vận tốc tại vị trí 1 và 2

55

Hình 4.26. Kết quả chuyển vị tại vị trí 1 và 2

56

Hình 4.27. Chuyển vị tại vị trí 1,2 khi =10Hz

56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




x

Hình 4.28. Vận tốc tại vị trí 1,2 khi =10Hz

56

Hình 4.29. Gia tốc tại vị trí 1,2 khi =10Hz

57

Hình 4.30. Chuyển vị tại vị trí 1,2 khi =13Hz

57

Hình 4.31. Vận tốc tại vị trí 1,2 khi =13Hz

57

Hình 4.32. Gia tốc tại vị trí 1,2 khi =13Hz

57

Hình 4.33. So sánh kết quả đo gia tốc tại vị trí 1 – Khi =14Hz

58

Hình 4.34. So sánh kết quả đo gia tốc tại vị trí 2 – Khi =14Hz

58

Hình 4.35. So sánh kết quả vận tốc tại vị trí 1 – Khi =14Hz

58

Hình 4.36. So sánh kết quả vận tốc tại vị trí 2 – Khi =14Hz

58

Hình 4.37. So sánh kết quả chuyển vị tại vị trí 1 – Khi =14Hz

59

Hình 4.38. So sánh kết quả chuyển vị tại vị trí 2 – Khi =14Hz

59

Hình 4.39. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =14Hz

60

Hình 4.40. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =13Hz

60

Hình 4.41. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =10Hz

60

Hình 4.42. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi

0 Hz

61

Hình 4.43. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi

0 Hz

61

Hình 4.44. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =10Hz

61

Hình 4.45. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =13Hz

62

Hình 4.46. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =14Hz

62

Hình 4.47. So sánh chuyển vị dựa vào kết quả đo và lý thuyết khi =14Hz

62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




xi

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Giá trị biểu thức Sku ( x) cho trường hợp động

12

Bảng 2.2. Giá trị biểu thức Sku ( x), Skn ( x) cho trường hợp tĩnh

13

Bảng 3.1. So sánh giá trị kỳ vọng của chuyển vị theo TK.mw và Sap2000

26

Bảng 3.2.So sánh giá trị kỳ vọng của ứng lực theo TK.mw và Sap2000

26

Bảng 3.3.So sánh giá trị kỳ vọng của chuyển vị theo TK.mw và giải tích

26

Bảng 3.4. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 1

29

Bảng 3.5. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 2

30

Bảng 3.6. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 3

30

Bảng 3.7. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 4

31

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
Cơ sở khoa học và thực tiễn của luận văn
Hầu hết các công trình xây dựng đang sử dụng đều mang các khuyết tật và hư
hỏng. Một dạng hư hỏng cục bộ hay gặp nhất trong các cấu kiện dầm, cột, bản sàn
của công trình là sự xuất hiện và hình thành các vết nứt. Khi thiết kế, các phần tử
kết cấu được coi là liên tục. Khi có vết nứt, tính chất cơ lý, độ cứng của thanh có
những gián đoạn nhất định, không còn tính liên tục. Chuyển vị của mặt cắt hoặc tiết
diện nằm sát ở hai bên vết nứt không còn được liên tục mà sẽ có chuyển vị tương
đối với nhau, nói cách khác, chúng được liên kết với nhau bằng các liên kết mềm,
có độ cứng hữu hạn. Như thế, vết nứt được mô hình hoá thành những liên kết mềm,
mà để đơn giản và phù hợp chung với sơ đồ tính của kết cấu, ta có thể lấy là những
liên kết đàn hồi tuyến tính: chuyển vị tỷ lệ với tác động. Đối với hệ thanh, vết nứt
được mô phỏng bằng các lò xo có độ cứng đàn hồi tương đương [29,30,33].
Bên cạnh đó, các thông số đầu vào của hệ kết cấu như độ cứng uốn EI(x), độ
cứng kéo nén EA(x) và phân bố khối lượng m(x) thay đổi theo quy luật ngẫu nhiên,
trong nhiều trường hợp có thể sử dụng mô hình phân bố chuẩn. Vì vậy việc kể đến

yếu tố ngẫu nhiên sẽ cho ta đánh giá sự làm việc của kết cấu sát thực và tin cậy hơn
[34,35,36,37].
Việc xét đến đồng thời các yếu tố “vết nứt” trong phân tích “kết cấu có độ
cứng và phân bố khối lượng ngẫu nhiên” còn ít được quan tâm đề cập đến trong các
tài liệu hiện có. Từ những yêu cầu thực tế và trên cơ sở tiếp thu phát triển các kết
quả đã công bố của các tác giả, đề tài luận văn được hình thành dựa trên các vấn đề
cơ bản khi xem xét phản ứng của hệ kết cấu (về chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực)
có vết nứt và tham số ngẫu nhiên. Việc xem xét phản ứng của kết cấu dưới góc độ
mô hình ngẫu nhiên sẽ mang lại nhiều kết quả phong phú và phản ánh sát hơn sự
làm việc thực tế của kết cấu, thông qua việc xem xét sự ảnh hưởng lẫn nhau của các
yếu tố vết nứt và độ cứng EI, EA và khối lượng phân bố ngẫu nhiên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2

Tác giả đã chọn tiêu đề của luận văn là “Đặc trưng xác suất của phản ứng
trong kết cấu thanh phẳng có vết nứt”. Luận văn được thực hiện tại Khoa Xây
dựng và Môi trường, Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp – Đại học Thái Nguyên
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Dương Thế Hùng.
Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn: Mục đích của luận văn là phân tích ứng xử của kết
cấu có vết nứt trong hệ kết cấu thanh phẳng có vết nứt và có tham số ngẫu nhiên là
EI(x), AE(x) và m(x). Ứng xử ở đây được hiểu là các kết quả tính toán phản ứng của
kết cấu, đó là chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực khi chịu tác dụng của lực ngoài.
Phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn: Phương pháp nghiên cứu chủ yếu
được áp dụng là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.

Về lý thuyết, tiến hành thu thập các tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề
liên quan để đánh giá tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và quốc tế, từ đó
đặt ra các vấn đề nghiên cứu. Sau đó dùng các phương pháp mô hình hóa để mô
hình phần tử thanh có vết nứt thành các đoạn thanh nguyên vẹn nối với nhau bằng
các lò xo đàn hồi theo phương pháp độ cứng động lực. Từ đó tính toán được phản
ứng của kết cấu là chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực.
Về thí nghiệm, sử dụng các phương pháp đo đạc, phân tích phản ứng của hệ
kết cấu là chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực. Các thí nghiệm được tiến hành trên
các máy đo dao động tại phòng thí nghiệm Trường ĐH Kỹ thuật công nghiệp.
Phạm vi và đối tƣợng nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là kết cấu hệ thanh phẳng làm từ vật liệu đàn hồi tuyến
tính đồng nhất và đẳng hướng;
Vết nứt trong phần tử thanh được định nghĩa là một dạng hư hỏng cục bộ làm
cho tính chất cơ lý, độ cứng tại đó có những gián đoạn nhất định. Tiết diện nằm sát
hai bên bề mặt vết nứt có chuyển vị tương đối với nhau. Chỉ xét vết nứt mở vuông
góc với trục thanh (vết nứt mở một phía hoặc vết nứt mở hai phía) và không xét đến
sự tương tác giữa bề mặt vết nứt trong quá trình phân tích trạng thái dao động của
kết cấu;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

Tiết diện thanh có vết nứt trong thực tế sẽ có độ cứng bị giảm yếu, giá trị độ
cứng quy đổi tại vị trí này phụ thuộc vào độ sâu vết nứt, đảm bảo chuyển vị tỷ lệ
với tác động, thỏa mãn các điều kiện tương thích tại hai mép của vết nứt. Trong
luận văn không xét đến các vết nứt trong các điều kiện khác;

Tính toán trên kết cấu có vết nứt dưới dạng thanh phẳng có độ cứng uốn EI,
khối lượng trên đơn vị dài m, độ cứng kéo nén AE là các tham số ngẫu nhiên có
dạng [35], [36], [37], [38], [39], [40]:
EI ( x)

EI 0 (1

AE ( x)

AE0 (1

1

g1 ( x) ; m( x)
3

m0 (1

2

g 2 ( x)

g3 ( x)

Thuật ngữ "hư hỏng" sử dụng trong đề tài này được định nghĩa là các khuyết
tật, hư hỏng cục bộ, và vết nứt có thể mô phỏng được thành thành lò xo đàn hồi.
Cấu trúc của Luận văn
Luận văn bao gồm các phần: Mở đầu, 4 chương và Kết luận.
Mở đầu
Nêu lên ý nghĩa khoa học, mục đích, phạm vi, các vấn đề cần giải quyết,

các phương pháp được áp dụng, kết cấu của luận văn và các kết quả chính đạt được.
Chương 1. Tổng quan
Chương này trình bày các vấn đề liên quan đến lĩnh vực của đề tài luận văn
là Mô hình ngẫu nhiên tính toán kết cấu công trình; Mô phỏng kết cấu có vết nứt;
Tình hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam liên quan đến đề tài nghiên cứu.
Chương 2.Lý thuyết tính toán phản ứng của kết cấu có vết nứt theo mô hình
ngẫu nhiên
Chương hai trình bày cơ sở lý thuyết để xây dựng ma trận độ cứng động lực
của phần tử thanh có liên kết cứng ở hai đầu, sau đó là phần tử thanh có vết nứt.
Thiết lập ma trận độ cứng động lực trong hệ tọa độ chung và các véc tơ lực nút
tương đương của kết cấu. Sử dụng phương pháp khai triển Neumann để nghịch đảo
ma trận độ cứng động lực tổng thể, ta nhận được biểu thức kỳ vọng và phương sai
của chuyển vị nút.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

Chương 3. Phân tích ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng xác suất của chuyển
vị và ứng lực
Chương này trình bày việc ứng dụng các lý thuyết tính toán đặc trưng xác
suất của chuyển vị ở chương hai vào việc phân tích dầm có vết nứt, liên kết nửa
cứng và EI(x), m(x) ngẫu nhiên. Đã phân tích kết quả đặc trưng xác suất của chuyển
vị trong dầm có vết nứt với các điều kiện biên khác nhau. Đã phân tích kết quả đặc
trưng xác suất của chuyển vị trong kết cấu có tham số ngẫu nhiên về mô đun đàn
hồi, về diện tích tiết diện có kể đến yếu tố ngẫu nhiên của tải trọng.
Chương 4. Thí nghiệm kiểm chứng và áp dụng vào thực tế

Trình bày cơ sở khoa học và kết quả đo đạc được từ thực nghiệm nhằm
kiểm chứng các kết quả tính toán lý thuyết đã trình bày ở chương 2,3.
Phần cuối là kết luận, hướng nghiên cứu tiếp theo; Tài liệu tham khảo
Luận văn đã đạt đƣợc những kết quả nhƣ sau:
1- Đã tìm hiểu lý thuyết phân tích kết cấu theo mô hình ngẫu nhiên, trong đó bản
thân kết cấu tồn tại vết nứt và các đại lượng EI(x), EA(x), m(x) phân bố ngẫu nhiên.
2- Việc kết hợp giữa bài toán cơ học – đó là dưới tác dụng của tải trọng tìm ra
ứng xử của kết cấu là chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực - với bài toán xác suất
thống kê là xác định đặc trưng xác suất của các thành phần ứng xử đó đã mở rộng
tầm hiểu biết của tác giả trong vấn đề tính toán kết cấu công trình. Trong chương 3
tác giả đã giải quyết được 10 bài toán khác nhau.
3- Đã tiến hành thí nghiệm mô hình dầm phẳng nguyên vẹn và dầm phẳng có
vết nứt thu được bộ số liệu thực nghiệm tin cậy làm cơ sở dữ liệu để so sánh kiểm
chứng cho các phương pháp tính mô hình kết cấu thanh có vết nứt.
4- Đã so sánh kết quả thí nghiệm với phương pháp tính theo mô hình kết cấu
hệ thanh có vết nứt do tác giả vận dụng trong luận văn cho thấy phương pháp trong
lý thuyết phù hợp với kết quả từ thí nghiệm khi độ biến thiên của vết nứt lớn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

Chƣơng 1. TỔNG QUAN
Chương này trình bày các vấn đề liên quan đến lĩnh vực của đề tài của luận văn là
Mô hình ngẫu nhiên tính toán kết cấu công trình; Mô phỏng kết cấu có vết nứt; Tình
hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam liên quan đến đề tài nghiên cứu.
1.1. Ứng xử của kết cấu có vết nứt theo mô hình ngẫu nhiên

1.1.1 Khái niệm về tính toán theo mô hình ngẫu nhiên
Khi nghiên cứu những hệ cơ học ngẫu nhiên, ta thường phải xét đến những
tham số mà bản chất là không hoàn toàn rõ ràng đối với chúng ta, thường do hai
nguyên nhân: một là, do sự kích động của những yếu tố không điều khiển được
(ngẫu nhiên) từ bên ngoài gọi là các tác động ngẫu nhiên; hai là, những biến đổi
không điều khiển được từ các thông số và đặc tính hình học của hệ gọi là các biến
ngẫu nhiên bên trong hệ kết cấu.
Ví dụ về các tác động ngẫu nhiên: tải trọng gió lên ngôi nhà cao tầng và cầu,
tải trọng sóng lên các kết cấu ngoài khơi và các tàu biển, tải trọng lên hệ giảm sóc
của xe cộ đi trên đường gồ ghề, và tác động kết cấu nền móng khi chịu tác dụng của
động đất, các kích động ngẫu nhiên này được mô tả tương đối cụ thể trong các tài
liệu [27], [28], [37].
Các biến ngẫu nhiên bên trong hệ kết cấu được thể hiện ở các thông số như
kích thước hình học, hằng số đàn hồi, mật độ khối lượng, sự cản của vật liệu trong
kết cấu…Theo hướng này có một số kết quả nghiên cứu đã công bố [19], [23], [24],
[25], [26]. Trong đề tài sẽ xét các biến ngẫu nhiên là độ cứng và phân bố khối lượng
để áp dụng cho kết cấu thanh có vết nứt và có liên kết nửa cứng.
Có một số phương pháp giải bài toán cơ học ngẫu nhiên là: phương pháp phần
tử hữu hạn, phương pháp ma trận chuyển, phân tích năng lượng thống kê, và phương pháp phần tử biên. Brenner (1991) [20] đưa ra cách tính toán ngẫu nhiên phản
ứng của kết cấu. Benaroya và Rehak (1988) [19], Shinozuka và Yamazaki (1988)
[34],… tập trung vào phương pháp phần tử hữu hạn và kỹ thuật máy tính trong phân
tích động học của kết cấu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




6

Phương pháp ma trận độ cứng động lực là một trong những phương pháp để
phân tích phản ứng động của kết cấu. Luận văn sẽ dùng phương pháp phần tử hữu
hạn sử dụng độ cứng động lực ngẫu nhiên để phân tích kết cấu khung phẳng có sự
tồn tại của vết nứt được mô hình hóa là các lò xo đàn hồi.
1.1.2. Mô hình vết nứt trong phân tích động lực kết cấu hệ thanh
Sự xuất hiện vết nứt trong kết cấu làm thay đổi các đặc trưng động lực. Các
vết nứt thường được đặc trưng bởi các tham số: số lượng, vị trí, độ sâu và dạng hình
học của vết nứt. Theo dạng hình học, có thể chia vết nứt trên dầm thành các dạng:
Vết nứt ngang: vuông góc với trục dầm. Đây là dạng vết nứt phổ biến nhất và
nguy hiểm nhất vì nó làm giảm nhanh tiết diện dầm, giảm độ cứng chống uốn của
dầm do năng lượng biến dạng tập trung tại vùng đỉnh của vết nứt.
Vết nứt dọc: song song với trục dầm. Dạng vết nứt này không phổ biến, chỉ
gây nguy hiểm khi xuất hiện ứng suất kéo trên các mặt song song với trục dầm;
Vết nứt xiên: nghiêng một góc với trục dầm. Vết nứt này không thật sự phổ
biến, và ảnh hưởng chủ yếu đến các dầm chịu xoắn. Đối với dầm chịu uốn, có thể
xem vết nứt xiên ảnh hưởng nhỏ hơn vết nứt ngang.
Vết nứt mở: giữ nguyên trạng thái mở, dạng chữ “V". Vết nứt xuất hiện trên bề
mặt gọi là "vết nứt bề mặt". Vết nứt xuất hiện nhưng không quan sát thấy trên bề
mặt gọi là "vết nứt chìm".
Vết nứt thở: là hiện tượng vết nứt mở ra và đóng vào tùy theo tình trạng chịu lực
của kết cấu, do đó vết nứt thở được xem là không tuyến tính khi tính toán các đặc trưng
động lực. Độ cứng của dầm bị ảnh hưởng lớn khi vết nứt chịu ứng suất kéo. Hầu hết
các nghiên cứu hiện nay đều mới tập trung nghiên cứu vết nứt thở ngang.
Trong các nghiên cứu lý thuyết và thí nghiệm, người ta tập trung nghiên cứu
vết nứt ngang mở nằm trên bề mặt vì ảnh hưởng của chúng đến dao động là chủ yếu
nhất và cũng dễ dàng mô phỏng vết nứt trong điều kiện thí nghiệm. Các nghiên cứu
về mô hình vết nứt hiện nay đều xuất phát từ mô hình trạng thái xuất hiện vết nứt
theo ngoại lực để xây dựng công thức tính độ cứng tại vị trí vết nứt. Có hai phương
pháp chính đó là tính độ cứng của phần tử chứa vết nứt theo mô hình cơ học phá

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




7

hủy hoặc qui đổi độ cứng tiết diện có vết nứt theo mô hình độ cứng lò xo đàn hồi.
I(a)

II(b)

I(c)

II(d)

III(e)

Hình 1.1: Mô hình vết nứt tính theo cường độ ứng suất. (I(a), II(b) do lực kéo
dọc trục. I(c), II(d) do lực uốn và xoắn, III(e) do lực cắt ngang)
Đối với mô hình tính suy giảm độ cứng (hoặc tăng độ mềm) tại vị trí vết nứt:
Thomson là những người đầu tiên trên thế giới nghiên cứu trạng thái ứng suất biến
dạng tại vết nứt thường tập trung ở ranh giới của vết nứt với phần vật rắn chưa bị
nứt (được gọi là đầu vết nứt) và được mô tả bằng hệ số tập trung ứng suất tại đầu
vết nứt. Các tác giả đã đưa ra 3 mô hình vết nứt khác nhau tương ứng với 3 dạng
gây nứt là: dạng mở (I) do lực kéo, dạng trượt (II) do lực cắt song song với bề mặt
vết nứt và dạng xé (III) do lực cắt ngang. Đối với các kiểu vết nứt cơ bản này, có
thể tính được các hệ số tập trung ứng suất tại các đầu vết nứt tương ứng, kí hiệu là
KI, KII, KIII. Từ đó, ta có thể nghiên cứu trạng thái ứng suất và biến dạng tại vết nứt.
Ngoài ra, để thể hiện chi tiết hơn mô hình vết nứt dưới tác động của lực tác dụng,

Dirgantara, Aliabadi.Error! Reference source not found. còn phân loại chi tiết
hơn cho các loại vật liệu khác nhau như trên hình 1.1.
Độ mềm cục bộ c tại miền bị nứt trong tiết diện dầm có h là chiều cao, b là bề
rộng của mặt cắt ngang hình chữ nhật, EI độ cứng chống uốn , a chiều sâu vết nứt
mở trên tiết diện, được tính theo công thức:
c

6 h
.F z ; z
bEI

a/h

(1.1)

với
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




8

Ở đây, nếu coi độ mềm cục bộ c là nghịch đảo của độ cứng cục bộ K thì ta
hoàn toàn có thể mô tả vết nứt trong dầm đàn hồi bằng một lò xo liên kết hai phía
của vết nứt với độ cứng được xác định bằng thực nghiệm và bằng lý thuyết cơ học
phá hủy dựa theo biểu thức (1.1) là:

.
K

a
h

Hình 1.2: Mô hình vết nứt mở một phía qui đổi sang lò xo đàn hồi
Đối với mô hình qui đổi độ cứng tiết diện có vết nứt thành lò xo đàn hồi: vết
nứt có thể mô hình hoá thành những liên kết mềm, mà để đơn giản và phù hợp với
sơ đồ tính của kết cấu, được lấy là mô hình lò xo đàn hồi tuyến tính: chuyển vị tỷ lệ
với tác động (hình 1.2). Tuy nhiên, cách tính độ cứng của lò xo tương đương đã
được nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các công thức thực nghiệm khác nhau.
Trong luận văn này, mô hình lò xo đàn hồi sẽ được dùng để mô tả các hư hỏng
trong thanh, dầm phẳng có tiết diện chữ nhật. Đối với các tiết diện khác, có thể tìm
thấy các mô hình lò xo của vết nứt trong các tài liệu của Sekhar.
1.2. Một số kết quả nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam có liên quan đến đề
tài luận văn
Hướng nghiên cứu động lực học ngẫu nhiên trong đó xét tải trọng là đại lượng
hay quá trình ngẫu nhiên đã nhận được nhiều kết quả trong các tài liệu [7], [8], [14],
[15], [16]. Hướng nghiên cứu hệ kết cấu ngẫu nhiên (như độ cứng uốn EI(x), độ
cứng kéo (nén) EA(x), hay khối lượng m(x)), thể hiện qua một số kết quả của các
tác giả ngoài nước [23], [24], [25], [26], [27], [34], [35], [36]. Các tài liệu này đã
tính toán kết cấu có môdun đàn hồi E là tham số ngẫu nhiên, hoặc là cả độ cứng
EI(x), EA(x) và m(x) là các tham số ngẫu nhiên, kết quả tính toán là giá trị kỳ vọng
và phương sai của chuyển vị nút.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




9

Mục đích của tính toán kết cấu có tham số ngẫu nhiên là đánh giá được độ tin
cậy của kết cấu. Việc đánh giá độ tin cậy của kết cấu đã được giảng dạy ở bậc cao
học của một số trường đại học và viện nghiên cứu của Việt Nam (Đại học Xây
dựng, Đại học Bách khoa, Đại học Kiến trúc Hà Nội, Đại học Đà nẵng, Viện Cơ
học, v.v…). Nhiều thạc sỹ và một số tiến sỹ đã được đào tạo trong và ngoài nước về
độ tin cậy của công trình xây dựng [8], [14], [15], [16]. Tại các hội nghị khoa học
toàn quốc do các hội khoa học tổ chức (Hội Cơ học, Hội kết cấu và Công nghệ xây
dựng, Hội khoa học biển và thềm lục địa,v.v…) cũng như trên các tạp chí khoa học
và chuyên ngành, ngày càng có nhiều báo cáo về độ tin cậy của kết cấu công [8],
[14], [15], [16].
Hướng nghiên cứu vết nứt được quy về lò xo tương đương là một hướng
nghiên cứu mới, được nhiều tác giả quan tâm.
Các tác giả Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên đã ứng dụng phương pháp
MTĐCĐL để mô phỏng và phân tích dầm đàn hồi có nhiều vết nứt [12], [29], [30];
phát triển phương pháp ma trận chuyển tiếp để xây dựng MTĐCĐL của dầm có số
lượng vết nứt bất kì. Trên cơ sở các nghiên cứu này, các tác giả đã phân tích kết cấu
khung, dàn có các phần tử bị nứt, đồng thời áp dụng để giải bài toán tĩnh, dao động
riêng và dao động cưỡng bức của dầm có nhiều vết nứt với các điều kiện biên khác
nhau; xác định tải trọng sóng tác dụng lên kết cấu khung theo phương pháp
MTĐCĐL.
Như vậy, các tài liệu được trích dẫn trên đây đã đề cập khá kỹ về từng vấn đề
riêng rẽ “kết cấu có tham số ngẫu nhiên về độ cứng và phân bố khối lượng”, “kết
cấu có vết nứt được mô hình bằng lò xo có độ cứng tương đương”. Trong luận án
[7] đã đề cập đến cơ sở lý thuyết và vận dụng vào tính toán kết cấu có vết nứt và
tham số ngẫu nhiên, tuy nhiên việc áp dụng vào thực tế và đo đạc thí nghiệm còn
chưa được thực hiện. Luận văn này sẽ phần nào đề cập đến ứng xử của kết cấu khi
có vết nứt và tiến hành thí nghiệm đo đạc ứng xử của kết cấu dưới sự tác dụng của
tải trọng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




10

Chƣơng 2
LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN PHẢN ỨNG CỦA KẾT CẤU THANH
CÓ VẾT NỨT THEO MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN
2.1. Mở đầu
Mô hình tính toán kết cấu dạng thanh có tham số ngẫu nhiên được nhiều tác
giả đề cập đến với giả thiết độ cứng uốn EI, khối lượng trên đơn vị dài m, độ cứng
kéo nén AE là các tham số ngẫu nhiên có dạng [7,23,24,35]:
EI ( x )

EI 0 (1

1 1

g ( x)

m( x )

m0 (1

2

AE ( x)

AE0 (1

g 2 ( x)
3

(2.1)

g3 ( x)

Ở đây chỉ số 0 biểu thị giá trị trung bình;

i

(i=1,2,3) là hằng số, với 0< i<1;

gi(x) là hàm ngẫu nhiên, có giá trị trung bình bằng không, có độ lệch chuẩn đơn vị
và có hàm tương quan là Rij( ) (i,j=1,2,3) đã biết. Do độ cứng EI(x), AE(x) và khối
lượng trên đơn vị dài m(x) được giả thiết là hàm ngẫu nhiên nên ma trận độ cứng
của phần tử trong kết cấu nhận được cũng là hàm ngẫu nhiên. Công thức biểu diễn
ma trận độ cứng của phần tử được viết dưới dạng là hàm ngẫu nhiên có chứa các
“tích phân trọng lượng” như các tác giả đã đề cập đến [23,24,35].
Trong chương này trình bày cơ sở tính toán ma trận độ cứng động lực
(MTĐCĐL) của phần tử thanh có vết nứt – được mô hình hóa là lò xo đàn hồi và có
tham số ngẫu nhiên như trong công thức (1), với việc giả thiết các giá trị trung bình
của độ cứng uốn EI0, độ cứng kéo nén AE0 và khối lượng trên đơn vị dài m0 phụ
thuộc vào tọa độ x dọc theo trục thanh và có dạng sau:
EI 0

e

x+

; m0

e

x+

; AE0

e

x+ +

(2.2)

trong đó , , , là các số thực được biết trước. Để ý rằng nếu =0 ta có tiết
diện đều.
Mục đích của chương này trình bày cơ sở lý thuyết tính toán xác định giá trị
kỳ vọng và phương sai của chuyển vị nút trong hệ kết cấu có vết nứt theo
[7,23,24,35].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




11

2.2. Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh có vết nứt

2.2.1. Phần tử chịu uốn và kéo nén đồng thời của thanh nguyên vẹn

y

u'1i u' u'3i
2i
P1i P2i P3i

u'4i , u'5i u'6i

x
1'

P4i P5i P6i

2'

li

Hình 2.1. Thanh chịu uốn và kéo nén đồng thời
Ký hiệu u‟1i, u‟2i , u‟3i , u‟4i , u‟5i , u‟6i là các chuyển vị nút; P1i , P2i , P3i , P4i , P5i,
P6i là các lực nút ở hai đầu thanh (hai điểm 1‟,2‟) như trên hình 1. Sau đây để tiện
cho việc theo dõi ta bỏ qua ký hiệu „i‟.
Ta có phương trình vi phân dao động phần tử mẫu thứ „i” có dạng như sau (bỏ
qua lực cản) [1,22,32]:
2

x

2

Y 2 ( x, t )
EI 0 ( x)
x2

Y 2 ( x, t )
m0 ( x)
t2

2

U
AE0 ( x)
x
x

0;

m0 ( x)

U
(2.3)
t2

Với Y(x,t) – chuyển vị theo phương ngang, U(x,t) – chuyển vị theo phương dọc
trục thanh.
Phần tử „i‟ có: EI0(x) – mômen quán tính uốn; m0(x) – khối lượng trên đơn vị dài;
AE0(x) – độ cứng kéo nén; L – chiều dài phần tử; j – số ảo.
Giả thiết Y(x,t), U(x,t) là dao động điều hòa có dạng:
Y ( x, t )

y ( x, ) e j t ;

U ( x, t )

u ( x, ) e j

t

(2.4)

Thay (4), (2) vào (3) ta được phương trình:
d4y
dx 4

2

d3 y
dx3

2

d2y
dx 2

2

e y

0;

d 2u
dx 2

du
dx

2

e u

0

(2.5)

Khi đó các biên độ phức của hàm chuyển vị y(x, ) và u(x, ) trong phương trình
(2.5) được xác định theo công thức biểu diễn hàm dạng và chuyển vị nút như sau:
y ( x, )

Với

Uu

u '1i

N u ( x, ).U u ;

u '2i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

u '4i

u '5i

u ( x, )
T

; Un

N n ( x, ).U n

u '3i

u '6i

T

(2.6)
(2.7)




12

N u ( x, )

u

( ).S u ( x);

u

( )

Ru ( )

1 T

N n ( x, )

n

( ).S n ( x);

n

( )

Rn ( )

1 T

(2.8)

Ký hiệu chỉ số „u‟ cho tính toán uốn, chỉ số „n‟ cho tính toán kéo nén.
Ma trận R u ( ) là ma trận cấp 4x4 với các phần tử theo công thức:
R1k

S u k (0); R2 k

S u k '(0); R3k

S u k ( L); R4 k

S u k '( L); k

____

1, 4

(2.9)

Ma trận R n ( ) là ma trận cấp 2x2 với các phần tử theo công thức:
R1k

S n k (0);

R2 k

S n k ( L), k

____

1, 2

(2.10)

Trong các công thức (2.8), (2.9) và (2.10) có chứa Sku ( x), Skn ( x) , ta nhận được các

trị số này theo bảng 1 và 2 sau đây. Để ý rằng khi =0 ta nhận được các trường hợp
riêng trùng với kết quả trong [6].
Bảng 2.1: Giá trị biểu thức Sku ( x) cho trƣờng hợp động

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




13

Bảng 2.2: Giá trị biểu thức Sku ( x), Skn ( x) cho trƣờng hợp tĩnh
Khi =0

Khi

0

S1u(x)

x3

S2u(x)

x2

S3u(x)

x

x

S4u(x)

1

1

S1n(x)

x

sinh x cosh x

S2n(x)

1

1

sinh x cosh x
sinh x cosh x x

Các hàm chuyển vị được viết lại qua hàm dạng như sau:
4

2

u u i t N u i ( x, );

Y ( x, t )

u n i t N n i ( x, )

U ( x, t )

i 1

(2.11)

i 1

Biểu thức động năng toàn phần của phần tử như sau:
T

1
2

4

4

uiu (t )u uj (t ) I ij ( )
i 1 j 1

1
2

2

2

uin (t )u nj (t ) K ij ( )

(2.12)

uin (t )u nj (t ) Lij ( )

(2.13)

i 1 j 1

Biểu thức thế năng toàn phần của phần tử như sau:
V

1
2

4

4

uiu (t )u uj (t ) J ij ( )
i 1 j 1

1
2

2

2

i 1 j 1

Trong (2.12),(2.13) có các đại lượng Iij( ), Jij( ), Kij( ), Lij( ) được tính bằng:
L

m( x) N u i ( x, ) N u j ( x, )dx

I ij ( )

i, j 1,..., 4

(2.14a)

i, j 1, 2

(2.14b)

0

L

m( x) N ni ( x, ) N n j ( x, )dx

Kij ( )
0

2
u

d 2 N u i ( x, ) d N j ( x, )
EI ( x)
dx
dx 2
dx 2
0

L

J ij ( )

L

Lij ( )
0

n
dN ni ( x, ) dN j ( x, )
AE ( x)
dx
dx
dx

i, j

i, j

1,..., 4

1, 2

(2.14c)

(2.14d)

Áp dụng phương trình Lagrange loại II tính cho các tọa độ ta có được biểu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




14

thức của ma trận độ cứng. Khi dao động là điều hòa thì ta nhận được ma trận độ
cứng động lực của phần tử như sau:
D u ( ), D n ( )

D( )

(2.15)

6 x6

Ở đây ma trận D( ) tạo thành bằng cách ghép các vị trí 1,2,4,5 ứng với trường
hợp uốn; vị trí 3,6 ứng với trường hợp kéo nén.
Trong đó:
Du ( ) {Diju }, Diju

2

[ I ij ] [ J ij ]

D n ( ) {Dijn }, Dijn

2

(i, j

[ Kij ] [ Lij ]

1,..., 4)

(i, j

(2.16)

1, 2)

Khai triển chi tiết các số hạng của ma trận độ cứng động lực D( ) ta được:
4

Diju

4

2

Diju (td ) +

u
ik

u
jr

W u kr ; Dijn

k 1 r 1

L

4

Diju (td )

u
ik

u
jr jr

( )

(e

x

x

)

( )

k 1 r 1

(e

0

n
ik

n
jr jr

( )

( )

k 1 r 1

2

Wkru

x

g 2 (e
x

1 g1 (e

0

(e

0

2
L

)

2

(2.17)

2

0

3 g 3 (e

(2.18)

(e

x

x

)

) Skn ( x, ) S rn ( x, )
dx

dSkn ( x, ) dSrn ( x, )
dx
dx

(2.19)

) S ku ( x, ) S ru ( x, )
d 2 S ku ( x, ) d 2 Sru ( x, ) dx,
dx 2
dx 2

g 2 (e

L

Wkrn

W n kr

d 2 S ku ( x, ) d 2 S ru ( x, ) dx
dx 2
dx 2

L

2

Dijn (td )

n
jr

) S ku ( x, ) S ru ( x, )

2
2

n
ik
k 1 r 1

2
4

2

Dijn (td ) +

x

x

)

(2.20)

(k , r 1,..., 4)

) S kn ( x, ) S rn ( x, )
dx,

dSkn ( x, ) dSrn ( x, )
dx
dx

(k , r

1, 2)

2.(21)

Viết lại (2.17) dưới dạng:
10
u
ij

u ( td )
ij

D

D

+

13

[

l (u )
ij

u

n
ij

n ( td )
ij

( )] X l ( ); D

D

+

l 1

Ở đây [

l (u )
ij

( )],[
l (u )
ij

l

l (n)
ij

( )

1, 5,8,10;

[

l (n)
ij

( )] X n l ( )

(2.22)

l 11

( )] (l 1,13) được xác định theo biểu thức:

u
ik

( )

k

u
jr

r

( );
1, 2, 3, 4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

l (n)

;

ij

l

( )

n

11,13;

k

ik

( )
r

n
jr

( );

;

(2.23)

1, 2