Bài giảng Bê tông cốt thép 1 - Cấu kiện chịu uốn (đại học Bách Khoa TPHCM)

CHƯƠNG 3

CẤU KiỆN CHỊU UỐN


1. Khái niệm chung
1.1 Cấu kiện cơ bản
Trong kết cấu công trình, CKCU là cấu kiện chịu tác dụng của M, Q hoặc chỉ
chịu tác dụng của M (uốn thuần túy). CKCU chiếm tỷ lệ khá lớn trong toàn bộ
kết cấu BTCT dùng trong XD DD&CN
* BẢN
Gọi cấu kiện là bản khi 2 kích thước của cấu kiện (chiều dài, chiều rộng) rất lớn
so với kích thước thứ 3 (chiều dày bản hb = 6 – 14 cm)
CT trong bản bao gồm:
- CT chịu lực: đặt trong vùng chịu
kéo do momen gây ra
Dùng d6 – d12, bước s = 50 – 200,
chọn a = 1 – 1.5 cm
- CT phân bố: đặt vuông góc với
CT chịu lực, với các mục đích sau:


+ Giữ chặt CT chịu lực,
+ Phân bố lực cho các CT lân cận,
+ Chịu ứng suất do co ngót và thay đổi t0 gây ra,
+ Cản trở sự mở rộng vết nứt,
+ Chịu ứng suất tập trung.
Bố trí: Dùng d6 – d8, bước s = 250 – 300 và
Yêu cầu: ≥ 3cây/m dài, As.pb ≥ 10% As.cl (As.cl : CT tại giữa nhịp chịu Mmax)
* DẦM
- Gọi cấu kiện là dầm khi cấu kiện có 2 kích thước (tiết diện bxh) rất bé so với

kích thước thứ 3 (chiều dài dầm Ln)
- Các dạng mặt cắt ngang của dầm


- Kích thước dầm
+ Chiều cao: hd = (1/8 – 1/20)L

(L: nhịp dầm)

+ Chiều rộng: bd = (1/2 – 1/4)hd
Để định hình hóa chọn:
hd = n.50 mm khi hd ≤ 600mm, hd = n.100 mm khi hd > 600mm
bd = 100, 120, 150, 180, 200, 250, 300mm, bd = n.50 mm khi bd > 300mm
- Cốt thép trong dầm:
+ Cốt dọc chịu kéo As (hay cốt chịu lực) đặt trong vùng bê tông chịu kéo
+ Cốt dọc chịu nén A’s: nếu đặt theo cấu tạo gọi là cốt thi công, nếu đặt
theo tính toán gọi là cốt kép, đóng vai trò cốt thép chịu lực.


+ Cốt xiên: cốt thép uốn từ nhịp lên gối để chịu M hay Q
+ Cốt đai: chỉ chịu Q (có thể dùng cốt đai kín hay hở)
+ Cốt phụ gia (hay cốt giá): chỉ đặt khi h ≥ 700mm với yêu cầu As ≥ 0.001bh

- Quy định về thép trong dầm: d12 – d32
+ Cốt xiên: góc α = 600 khi hd ≥ 800mm
góc α = 450 khi hd < 800mm
góc α = 300 đối với bản
+ Cốt đai: thường dùng d6, d8
+ Khoảng cách cốt thép, bề dày lớp bê tông bảo vệ:

e, e1 ≥ d, 25 mm
e’, e’1 ≥ d, 30 mm
a ≥ 20mm khi d ≥ 20 mm
a ≥ 25mm khi d = 22 ÷ 30 mm
a ≥ 30mm khi d ≥ 30 mm
ađ ≥ 15mm

1.2 Sự làm việc của dầm chịu uốn
Quan sát sự làm việc của dầm chịu uốn từ lúc đặt tải cho đến lúc phá hoại, sự
diễn biến xảy ra như sau:
+ Khi q còn bé, dầm chủ yếu làm việc ở giai đoạn I, Ia của TTUS-BD,
+ Tăng q vết nứt đầu tiên vuông góc với trục dầm sẽ xuất hiện, tại tiết diện
có khe nứt bê tông chịu kéo không còn tham gia chịu lực, ứng suất kéo sẽ do CT
chịu,


+ Tiếp tục tăng q, những vết nứt vuông góc sẽ tiếp tục phát triển ngày càng
nhiều, bề rộng vết nứt ngày càng mở rộng, ăn sâu vào bê trong. Sự phát triển
này tiếp tục diễn ra cho đến khi đạt đến TTGH
Ngoài ra, còn có khả năng xuất hiện khe nứt vuông góc tại vùng có Q max
Khi tính toán hoàn chỉnh một CKCU sẽ phải tính toán theo TTGH1 và TTGH2:
+ Xác định lượng CT As, A’s (nếu cần) : để chịu M
+ Xác định số nhánh đai n, ĐK đai, bước đai s, A s,inc : để chịu Q
+ KT sự hình thành và phát triển của khe nứt
+ KT độ võng f
Theo kinh nghiệm, đối với cấu
kiện BTCT nhịp vừa phải (L ≤
6m) thì hầu như chỉ cần tính
theoTTGH1, thường bỏ qua KT

theo TTGH2


2. Tính toán cấu kiện chịu uốn có tiết diện đối xứng trên tiết diện thẳng góc
2.1 Các giả thiết tính toán:
- Xem tiết diện tính toán làm việc ở giai đoạn III-1 của TTUS-BD
- Đạt đến TTGH thì: σb → Rb, σs → Rs, σsc → Rsc
- Biểu đồ ứng suất trong miền bê tông chịu nén xem như phân bố đều
- Bỏ qua sự làm việc của bê tông vùng kéo (vì đã xuất hiện vết nứt)

2.2 Tính toán tiết diện đặt cốt đơn (A’s = 0)
* Xác định PTCB:

∑ M / R A = 0 ⇒ M = R .A .Z
∑ M / R A = 0 ⇒ M = R . A .Z
∑ F = 0 ⇒ R .A = R .A
x

s

s

b

b

b

(1)

b

b

s

s

b

(1')

s

s

b

b

(2)


* Điều kiện sử dụng:

x
ξ = ≤ ξR
h0

(3)

ξR : xem TCXD 356-2005, bảng E2, trang 168

ω
ξR =
σ  ω 
1 + sR 1 − ÷
σ sc ,u  1.1 

Trong đó: ω - hệ số đặc trưng của vùng bê tông chịu nén, được xác định theo
công thức:

ω = α − 0.008 Rb

α = 0.85 : Đối với bê tông nặng
Rb – cấp độ bền chịu nén của bê tông, MPa
σsR - ứng suất trong cốt thép, MPa. Đối với cấu kiện dùng CT
thường, có giới hạn chảy thực tế AI, AII, AIII, CI,CII,CIII thì σsR = Rs
σsc,u - ứng suất giới hạn chịu nén của CT, MPa
σsc,u = 400 MPa khi γb2 ≥ 1, σsc,u = 500 MPa khi γb2 < 1
γb2 – xem trong bảng 15 TCXD 356 : 2005


2.3 Tiết diện đặt cốt kép A’s ≠ 0
Hầu hết các trường hợp tính toán, nếu chọn kích thước hợp lý thì tiết diện đặt
cốt đơn là đủ. Chỉ đặt cốt kép khi:
- Tính cốt đơn mà điều kiện sử dụng (3) không thõa: ξ > ξR
- Tính dầm liên tục có M đổi dấu → xem như bài toán: biết A’s → tính As

- Xác lập PTCB

'
M
/
R
A
=
0
⇒
M
=
R
.
A
.
Z
+
R
A
(4)
∑
s s
b
b
b
sc s Z a
'
F
=
0
⇒

R
.
A
=
R
.
A
+
R
A
∑ x
s
s
b
b
sc s

- Điều kiện sử dụng

ξ ≤ ξR 

2a ' 
ξ≥
h0 

( 6)

(5)

3. Tính toán cấu kiện chịu uốn tiết diện chữ nhật trên tiết diện thẳng góc
3.1 Tiết diện đặt cốt đơn:

- Xác lập PTCB:

( 1) :
( 2) :

Với Ab = b.x ; Zb = h0 – x/2 ; ξ = x/h0

M = Rbbx ( h0 − x / 2 ) = α m Rbbh02

( 1')

Rs As = Rbbx = ξ Rbbh0

(2')

α m = ξ ( 1 − ξ / 2 ) ; ξ = 1 − 1 − 2α m
- Điều kiện sử dụng:

ξ ≤ ξR

(3')


Các dạng bài toán thường gặp
Bài toán 1:

Biết M, tiết diện bxh, cường độ vật liệu R b, Rs → tính As

Lúc này bài toán có 02 ẩn số: ξ (αm) ; As
Từ (1’) tính:

M
αm =
Rbbh02

Nếu αm > αR → tăng b, h hay đặt cốt kép
Nếu αm ≤ αR → tính:
Từ (2’) tính:

As =

ξ = 1 − 1 − 2α m

ξ Rbbh0
Rs

Kiểm tra hàm lượng cốt thép:

µmin = 0.05% ≤ µ =

As
R
≤ µmax = ξ R b
bh0
Rs

Hàm lượng cốt thép hợp lý:

+ Đối với bản sàn:

µhl = (0.3 – 0.9) %

+ Đối với dầm:

µhl = (0.6 – 1.2) %

Lưu ý: Phải kiểm tra lại lớp đệm bê tông a → Điều kiện: h0.gt ≤ h0.tt


Bài toán 2:

Biết M, cường độ vật liệu (Rb, Rs) → chọn (b,h) và tính As

Lúc này bài toán có 03 ẩn số: ξ (αm) ; (b x h) ; As
- Thường chọn trước b:
+ Đối với nhà dân dụng ít tầng: b = 150, 180, 200, 250, 300 mm
→ h = (1.5 – 3)b
+ Đối với dầm vượt khẩu độ: h = (2 – 4)b
- Hoặc giả định b (giống như trên)
Giả định ξ = 0.1 – 0.25 : đối với bản, ξ = 0.3 – 0.4 : đối với dầm. Từ đó tính αm
* Cách 1:

Từ (1’) xác định

h0 ≥

M
α m Rbb

→ h = h0 + a

Có (b x h) → đưa về bài toán 1
* Cách 2:

Từ (1’) xác định

M
αm =
→ ξ = 1 − 1 − 2α m
Rbbh02
ξ Rbbh0
Từ (2’) xác định As =
→ Kiểm tra µ, kiểm tra a
Rs


Bài toán 3:

Biết (b x h), cường độ vật liệu (R b, Rs), As → xác định [M]

Lúc này bài toán có 02 ẩn số: ξ (αm) ; [M]
Từ (2’) tính:

ξ=

Rs As
Rbbh0

+ Nếu ξ > ξR → tiết diện bố trí quá nhiều CT dẫn đến vùng BT chịu nén sẽ
bị phá hoại trước. Thiên về an toàn, lấy ξ = ξR hay αm = αR

[ M ] = α R Rbbh02

+ Nếu ξ ≤ ξR → tính αm

[ M ] = α m Rbbh02

3.2 Tiết diện đặt cốt kép


- Xác lập PTCB:

( 4) :

Với Ab = b.x ; h0 = h – a ; Zb = h0 – x/2 ; Za = h0 – a’ ; ξ = x/h0

M = Rbbx ( h0 − x / 2 ) + Rsc As' ( h0 − a ' )
M = α m Rbbh02 + Rsc As' ( h0 − a ')

( 5) :

Rs As = Rbbx + Rsc As' = ξ Rbbh0 + Rsc As'

( 4')
( 5')

α m = ξ ( 1 − ξ / 2 ) ; ξ = 1 − 1 − 2α m
- Điều kiện sử dụng:

ξ ≤ ξR
2a '
ξ≥
⇔ x ≥ 2a '
h0







( 6')

Các dạng bài toán thường gặp
Bài toán 1:

Biết M, tiết diện bxh, cường độ vật liệu R b, Rs → tính As , A’s

Lúc này bài toán có 03 ẩn số: ξ (αm) ; As ; A’s
Theo Pasternark, để (As + A’s)min thì ξ = ξR hay αm = αR
Từ (4’) tính:

M − α R Rb bh02
A =
Rsc h0 − a '
'
s

(

)


+ Nếu A’s ≤ 0, lấy A’s = µmin.bh0 → trở thành “bài toán 2”
+ Nếu A’s > 0 và A’s ≥ µmin.bh0 → Từ (5’) tính:

As =

ξ R Rbbh0 Rsc '
+
As
Rs
Rs

Kiểm tra µ, kiểm tra a
Bài toán 2:

Biết M, tiết diện (bxh), cường độ vật liệu (R b, Rs, Rsc), A’s → tính As

Lúc này bài toán có 02 ẩn số: ξ (αm) ; As
Từ (4’) xác định

αm =

M − Rsc As' ( h0 − a ')
Rbbh02

- Nếu αm > αR: A’s đã biết là chưa đủ. Xem chưa biết A’s → đưa về “bài

toán 1”. Tính As, A’s rồi bù vào A’s cũ một lượng còn thiếu cho đủ hoặc tăng
kích thước tiết diện (b, h)
- Nếu αm ≤ αR tính: ξ. Lúc này có 02 trường hợp xảy ra:

2a '
ξ R bh R
≤ ξ ≤ ξ R : (5’) → As = b 0 + sc As'
+ Khi
h0
Rs
Rs


+ Khi ξ ≤ ξR nhưng ξ <
toán cốt đơn

2a '
: Ta xem như A’s đã biết = 0. Xem như bài
h0

Từ (4’) tính:

M
α m1 =
≤ α R ; ξ1 = 1 − 1 − 2α m1
Rbbh02
2a '
2a '
Nếu ξ1 ≥
lấy ξ1 =

hay x = 2a’
h0
h0
∑ M / Rb Ab = 0 ⇔ M = Rs As ( h0 − a ')
M
⇒ As =
Rs ( h0 − a ' )

Nếu ξ1 <

2a '
: Xem A’s = 0 là hợp lý. Từ ξ1 → x1
h0

∑M / R A
b

b1

= 0 ⇔ M = Rs As ( h0 − x1 / 2 )

M
⇒ As =
Rs ( h0 − x1 / 2 )


Biết (b x h), cường độ vật liệu (Rb, Rs, Rsc), As, A’s→ xác định [M]

Bài toán 3:

Rs As − Rsc As'
ξ=
Rbbh0

Từ (5’) tính:

- Nếu ξ > ξR → tiết diện bố trí quá nhiều CT dẫn đến vùng BT chịu nén sẽ
bị phá hoại trước. Thiên về an toàn, lấy ξ = ξR hay αm = αR

[ M ] = α R Rbbh02 + Rsc As' ( h0 − a ')

- Nếu ξ ≤ ξR, lúc này có 2 trường hợp
+ Khi
+ Khi

2a '
ξ≥
hay x ≥ 2a’. Từ ξ → αm : [ M ] = α m Rbbh02 + Rsc As' ( h0 − a ' )
h0
Rs As
2a '
ξ
=
ξ<
1
hay x < 2a’. Tạm thời xem A’s = 0. Từ (5’) tính:
Rbbh0
h0
⇒ α m1 = ξ1 ( 1 − ξ1 / 2 ) ⇒ [ M ] 1 = α m1 Rbbh02

Hoặc

⇒ x1 ⇒ [ M ] 1 = Rs As ( h0 − x1 / 2 )

Lấy x = 2a’ ⇒ [ M ] 2 = Rs As ( h0 − a ' )
Khả năng chịu lực của tiết diện:

[ M ] = max ( [ M ] 1 ; [ M ] 2 )


4. Tính toán cấu kiện chịu uốn tiết diện chữ T, I trên tiết diện thẳng góc
Các cấu kiện chịu uốn tiết diện T, I thường gặp dưới dạng:
+ Sàn, dầm đổ toàn khối
+ Dầm lắp ghép
+ Quy đổi tiết diện phức tạp sang tiết diện chữ T, I tương đương


Việc thiết kế CKCU tiết diện chữ T hay ⊥ tùy thuộc vào yêu cầu kiến trúc

(1) : tiết diện làm việc thực sự là HCN lớn (b’f x h)
(2) : tiết diện làm việc thực sự là chữ T
(3) : tiết diện làm việc thực sự là HCN bé (b x h)
4.1 Xác định vị trí trục trung hòa


' '
'
M
/
R

A
=
0
⇔
M
=
R
b
h
h
−
h
(
∑
s s
b f f
0
f / 2)

PTCB:

- Nếu M ≤ M : TTH qua cánh → tiết diện làm việc HCN lớn (b’f x h)
- Nếu M > M : TTH qua sườn → tiết diện làm việc hình chữ T
Lưu ý:
- Đối với bài toán tính cốt thép, xem bài toán đặt cốt đơn A’ s = 0 rồi mới xét
vị trí TTH
- Đối với bài toán kiểm tra khả năng chịu lực, vị trí TTH được xác định từ
điều kiện cân bằng lực:

Rs As > Rbb 'f h 'f + Rsc As'

+

Rs As ≤ Rbb 'f h 'f + Rsc As'

TTH qua sườn, do đó tiết diện làm việc
thực sự chữ T
+

→ x > h’f :

→ x ≤ h’f :

4.2 Xác định đoạn vươn ra của cánh Sf TTH qua cánh, do đó tiết diện làm việc
thực
sựdo
HCN
lớnđưa
(b’f xvào
h) tính toán, quy
Ứng suất trong cánh phân bố không
đều,
đó khi
phạm khống chế đoạn vươn ra của cánh Sf (tức là, đến TTGH cánh không bị
võng quá lớn)


- Đối với dầm lắp ghép: (tiết diện T, I riêng lẻ)

h 'f ≥ 0.1h → S 'f ≤ 6h 'f

0.05h < h 'f < 0.1h → S 'f ≤ 3h 'f
h'f ≤ 0.05h → S 'f ≤ 0
- Đối với dầm đổ toàn khối:

1
S ≤ L
6
'
f

L : nhịp cấu kiện

và S’f thõa mãn điều kiện sau:
+ Khi có sườn ngang hoặc khi h’f ≥ 0.1h → S’f ≤ ½ L0 (L0 : khoảng cách
mép trong của hai sườn dọc)
+ Khi không có sườn ngang hoặc khi khoảng cách giữa chúng lớn hơn
khoảng cách giữa các sườn dọc, h’f < 0.1h → S’f ≤ 6h’f
4.2 Tính toán cấu kiện chịu uốn tiết diện chữ T, I
Trong hầu hết các trường hợp, tiết diện đặt cốt đơn và không có dạng xác
định kích thước tiết diện


M = M1 + M2 + M3
As = As1 + As2 + As3
M1 : momen NL do sườn chịu
M2 : momen NL do cánh chịu
M3 : momen Nl do CT chịu nén chịu

- Phương trình cân bằng:

M
M3
444448
64444447M14444448 6444444724444448 6444447
∑ M / Rs As = 0 ⇔ M = Rb Ab1 ( h0 − x / 2 ) + Rb Ab 2 ( h0 − h'f / 2 ) + Rsc As' ( h0 − a ')

⇔ M = Rbbx ( h0 − x / 2 ) + Rb ( b 'f − b ) h 'f ( h0 − h 'f / 2 ) + Rsc As' ( h0 − a ' )
⇔ M = α m Rbbh02 + Rb ( b 'f − b ) h 'f ( h0 − h 'f / 2 ) + Rsc As' ( h0 − a ' )

( 7)


'
F
=
0
⇔
R
A
=
R
A
+
R
A
+
R
A
∑ x
s s

b b1
b b2
sc s

⇔ Rs As = Rbbx + Rb ( b 'f − b ) h 'f + Rsc As'

⇔ Rs As = ξ Rbbh0 + Rb ( b 'f − b ) h 'f + Rsc As'

( 8)

- Điều kiện sử dụng:

( a) :
( b) :

ξ ≤ ξR



'
'
h f 2a 
ξ>
≈

h0
h0 

( 9)

Nếu có cốt kép thì mới có điều kiện (b)

Các dạng bài toán thường gặp
Bài toán 1:

Biết M, tiết diện (bxh, b’f, h’f), vật liệu (Rb, Rs, Rsc) → tính As, A’sc=?

Xem bài toán cốt đơn, xác định vị trí TTH:
NếuM > M : TTH qua sườn → tiết diện chữ T

NếuM ≤ M : TTH qua cánh → tiết diện HCN lớn (b’f x h)
Trường hợp TTH qua sườn, tiết diện làm việc chữ T thực sự:

( 7) → αm =

M − M2
Rbbh02

Xét αm:


- Nếu αm > αR: Bài toán cốt kép → Để (As + A’s)min lấy αm = αR hay ξ = ξR

( 7) → A

'
s

=

( 8) → As =

M − ( M1 + M 2 )
Rsc ( h0 − a ')

Rsc '
1 
'
'

ξ
R
bh
+
R
b
−
b
h
+
As
(
)
R b
0
b
f
f 

Rs

Rs

Kiểm tra µ, kiểm tra a
- Nếu αm ≤ αR: Bài toán cốt đơn. Tính ξ:

+ ξ>

h'f
h0

ξ = 1 − 1 − 2α m

⇔ x > h 'f : → Tiết diện chữ T thực sự

1 
( 8) → As = ξ Rbbh0 + Rb ( b'f − b ) h'f 
Rs
'
hf
+ ξ≤
⇔ x ≤ h 'f : → Tiết diện HCN lớn (b’f x h)
h0
ξ Rbb'f h0
( 8) → As =
Rs
Nhận xét: Hầu hết các trường hợp, phần sàn tham gia chịu lực cùng với dầm thì
TTH qua cánh (x < h’f) → tính với tiết diện (b’f x h)