Một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đinh Thị Dĩnh

MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐẶC BIỆT
TRONG VÀNH GIAO HOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đinh Thị Dĩnh

MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐẶC BIỆT
TRONG VÀNH GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Th.S. Đỗ Văn Kiên

Hà Nội – Năm 2016


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Đỗ Văn Kiên đã tận tình hướng dẫn, giúp
đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài thực tập.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số-khoa Toán, trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài thực tập
này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuân lợi cho
em trong quá trình thực hiện đề tài thực tập.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Đinh Thị Dĩnh


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy Đỗ Văn Kiên đề tài "Một số lớp
ideal đặc biệt trong vành giao hoán" được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề
tài nào khác.
Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã thừa kế những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Đinh Thị Dĩnh

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal . . . . . . . . .

3

1.2

Các phép toán trên ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Tổng các ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Tích các ideal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Tích một họ các ideal . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.4

Giao của các ideal . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.5

Căn của ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.6

Thương các ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Một số lớp ideal đặc biệt

19

2.1

Ideal cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Ideal nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

Ideal nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4

Mối liên hệ giữa ideal cực đại, ideal nguyên tố và ideal
nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

37

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

3 Địa phương hóa của vành

41

3.1

Địa phương hóa của vành . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3

Phổ của vành R/I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.4

Phổ của vành S −1 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

Lời mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một ngành rất quan trọng trong toán học. Nó không chỉ là
cơ sở cho nhiều ngành toán học khác mà còn có ứng dụng trong một số
ngành khoa học - kĩ thuật.
Kiến thức của đại số rất phong phú và trừu tượng, nó được xây dựng
và phát triển từ những kiến thức cơ bản của cấu trúc đại số như: nhóm,
vành, môđun,... Mặt khác các khái niệm về ideal nguyên tố, ideal cực
đại, ideal nguyên sơ là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý
thuyết vành giao hoán vào hình học đại số.

Có thể nói vần đề ideal là một phần quan trọng trong lý thuyết vành.
Tuy nhiên trong chương trình đại học, vần đề này mới chỉ trình bày một
cách sơ lược. Vì vậy em chọn đề tài
“Một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán” là đề tài khóa
luận.

2. Mục đích nghiên cứu
-Cung cấp kiến thức về một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các khái niệm về ideal cực đại, nguyên tố, nguyên sơ.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tương nghiên cứu: Các khái niệm về các lớp ideal đặc biệt trong
vành giao hoán và địa phương hóa của vành.
Phạm vi nghiên cứu: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số
giao hoán.

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì đề tài
bao gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Một số lớp ideal đặc biệt

Chương 3: Địa phương hóa của vành

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ trình bày một số kiến thức về vành và các tính chất cơ
bản về vành, ideal, các phép toán trên ideal.

1.1

Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập tùy ý khác rỗng. Trên X trang bị
hai phép toán hai ngôi, kí hiệu là (+) và (.). Khi đó X được gọi là vành
nếu X cùng hai phép toán (+) và (.) thỏa mãn 3 tiên đề sau
i) X cùng phép cộng lập thành nhóm Abel.
ii) X cùng phép nhân là nửa nhóm.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi x, y, z ∈ X
ta có
x(y + z) = xy + xz
(x + y)z = xz + yz

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

Hơn nữa, nếu phép nhân giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán.
Nếu phép nhân có đơn vị thì X được gọi là vành có đơn vị. Nếu phép
nhân vừa giao hoán vừa có đơn vị thì X được gọi là vành giao hoán có
đơn vị.
Ví dụ 1.1. Tập hợp Z, Q, R, C cùng với phép cộng và phép nhân thông
thường là một vành giao hoán có đơn vị.
Ví dụ 1.2. Tập Zn (n ≥ 1) cùng với các phép cộng và phép nhân thông
thường
a+b=a+b
a.b = a.b
là vành các lớp thặng dư môđun n.
Mệnh đề 1.1. Cho X là một vành. Với mọi x, y, z ∈ X ta có
i) x (y − z) = xy − xz , (y − z) x = yx − zx.
ii) 0.x = x.0 = 0.
iii) x (−y) = (−x) y = −xy , (−x) (−y) = xy.
Định nghĩa 1.2. Cho X là một vành, A là một bộ phận ổn định với
hai phép toán trong X, nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A, với mọi x, y ∈ A.
A được gọi là một vành con của vành X nếu A cùng hai phép toán cảm
sinh trên A là một vành.
Mệnh đề 1.2. Cho X là một vành, tập A là một bộ phận khác rỗng của
X. Các khẳng định sau là tương đương
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

i) A là một vành con của X.

ii) Với mọi a, b ∈ A thì a + b ∈ A, ab ∈ A, −a ∈ A.
iii) Với mọi a, b ∈ A thì a − b ∈ A, ab ∈ A.
Ví dụ 1.3. Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên
m cho trước là một vành con của vành các số nguyên Z.
Mệnh đề 1.3. Giao của một họ bất kì những vành con của một vành X
là một vành con của X.
Định nghĩa 1.3. Cho X là một vành, A là tập con của X. I được gọi
là ideal của X khi đó nó thỏa mãn các điều kiện sau
i) A ̸= ∅.
ii) Với mọi a, b ∈ A thì a + b ∈ A.
iii) Với mọi a ∈ A, r ∈ X thì r.a ∈ A.
Ví dụ 1.4. Bộ phận {0} và bộ phận X là hai ideal của vành X.
Mệnh đề 1.4. Một bộ phận A khác rỗng của một vành X là một ideal
của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn
i) a − b ∈ A với mọi a, b ∈ A.
ii) xa ∈ A và ax ∈ A với mọi a ∈ A và với mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.5. Giao của một họ bất kì những ideal của một vành X là
một ideal của X.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

Định nghĩa 1.4. Cho A là ideal của vành X.
Tập X/A = {x + A | x ∈ X} cùng hai phép toán (+) và (.) xác định
như sau
(x + A) + (y + A) = x + y + A , với mọi x, y ∈ X.

(x + A)(y + A) = xy + A , với mọi x, y ∈ X.
lập thành một vành gọi vành thương của X theo ideal A.
Nhận xét 1.1. i) Nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao
hoán.
ii) Nếu X có đơn vị 1 thì X/A cũng là vành có đơn vị (1 + A).
Ví dụ 1.5. Trong vành Z , thì nZ là ideal của Z với mọi n ∈ N. Khi đó
vành là vành thương Z/nZ = {x + n | Zx ∈ Z} với hai phép toán
(x + nZ) + (y + nZ) = x + y + nZ , với mọi x, y ∈ Z.
(x + nZ)(y + nZ) = xy + nZ , với mọi x, y ∈ Z.
Đặc biệt: {0} , X là hai ideal của X nên hai vành thương
X/{0} = {x + 0 | x ∈ X} = X
X/X = {x + X | x ∈ X} = {X} ∼
= {0}
Định nghĩa 1.5. Cho X, Y là các vành, ánh xạ f : X −→ Y được gọi
là đồng cấu vành nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: với mọi x, y ∈ X thì
f (x + y) = f (x) + f (y)
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

f (x.y) = f (x).f (y)
Hơn nữa:
Nếu f là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu vành.
Nếu f là toàn cấu thì f được gọi là toàn cấu vành.
Nếu f là song ánh thì f dược gọi là đẳng cấu vành.

Ví dụ 1.6. Giả sử A là một vành con của vành X. Đơn ánh chính tắc

f :A→X
a→a
là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc.
Mệnh đề 1.6. (1) Tích của hai đồng cấu vành (nếu có) là một đồng
cấu vành.
(2) Cho f : X −→ Y là một đồng cầu vành, A là vành con của X, B
là ideal của Y . Khi đó f (A) là vành con của Y và f −1 (B) là ideal của
X.
Đặc biệt: Cho f : X −→ Y là đồng cấu vành,
Hạt nhân của f, kí hiệu Kerf, được các định bởi
Kerf = {x + X | f (x) = 0Y }.
Ảnh của X, kí hiệu Imf , xác định bởi
Imf = {f (x) | x ∈ X}.
Ta thấy, X là nhóm con của X nên Imf cũng là nhóm con của Y .
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

{0Y } là ideal của Y nên Kerf cũng là ideal của X.

Mệnh đề 1.7. Cho đồng cấu vành f : X → Y .
i) Nếu I là ideal của X thì f (I) chưa chắc là ideal của Y.
ii) Nếu Q là ideal của Y thì f −1 (Q) là ideal của X.
Mệnh đề 1.8. Cho đồng cấu vành f : X −→ Y .
i) f là đơn cấu ⇔ Kerf = {0X }.
ii) f là toàn cấu ⇔ Imf = Y .
Định lý 1.1. (Định lí cơ bản tổng quát của đồng cấu vành)

Cho đồng cấu vành f : X −→ Y . A, B tương ứng là ideal của X, Y sao
cho f (A) ⊆ B. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X/A −→ Y /B
làm cho biểu đồ sau giao hoán
X


f

pA

X/
A

f

/

Y


pB

/ Y/

B

nghĩa là f .pA = pB .f với pA : X → X/A, pB : Y → Y /B là hai toàn cấu
chính tắc.

Hệ quả 1.1. Nếu A = Kerf , B = {0Y } thì Y /B = Y /{0Y } = Y , khi

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

đó ta có biểu đồ sau giao hoán
f

X III

II p
II
II
I$

/Y
uu
u
u
uu
uu
uz u f

Y /Kerf
nghĩa là f .p = f với p : X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc.
Nếu f là toàn cấu vành thì X/Kerf ∼
= Y.

Hệ quả 1.2. Cho A, B là hai ideal của vành R thỏa mãn B ⊇ A.
(
)/(
)
R
R
B
∼
Khi đó /B = /A
/A
Định nghĩa 1.6. U là tập con của vành X. Giao của họ tất cả các ideal
của X chứa U là một ideal chứa U và được gọi là ideal sinh bởi tập U .
Kí hiệu ⟨U ⟩ hoặc XU
Nhận xét 1.2. ⟨U ⟩ là ideal nhỏ nhất của X chứa U .
Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I = ⟨U ⟩ là ideal hữu hạn
sinh của X.

{

Nếu U = {ui | i = 1, n, n ∈ N} thì ⟨U ⟩ =

n
∑

}
xi ui |n ∈ N, xi ∈ X, ui ∈ U .

i=1

Nếu U = ∅ thì ⟨U ⟩ = ⟨0⟩ = {0}.

1.2
1.2.1

Các phép toán trên ideal
Tổng các ideal

Định nghĩa 1.7. Cho (Iλ )λ∈Λ là họ các ideal của vành giao hoán R. Ta
∑
định nghĩa tổng các ideal của họ đã cho, kí hiệu
Iλ là một ideal của
λ∈Λ

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

R sinh bởi tập ∪ Iλ .
⟨ λ∈Λ ⟩
∑
Vậy
Iλ = ∪ Iλ .
λ∈Λ

λ∈Λ

Đặc biệt: Nếu Λ = ∅ thì

∑

Iλ = 0 là ideal không.

λ∈Λ

Ví dụ 1.7. Z là vành giao hoán. I = 2Z và J = 4Z là hai ideal của Z.
Khi đó I + J = 2Z.
Mệnh đề 1.9. Cho R là vành giao hoán, (Iλ )λ∈Λ là họ các ideal của R.
Khi đó

∑

Iλ =

λ∈Λ

{ n
∑

}
cλ i | c λ i ∈ I λ i , λ i ∈ Λ

i=1

.
∪

∑

Chứng minh. Đặt H =
Iλ Ta có
Iλ =
λ∈Λ
λ∈Λ
{n
}
∑
ri hi | ri ∈ R, hi ∈ H .
i=1
∪
Do hi ∈ H ⇔ hi ∈
Iλ ⇒ hi ∈ Iλi , (∀λi ∈ Λ).

⟨

∪

⟩
Iλ

= ⟨H⟩ =

λ∈Λ

λ∈A

Vì Iλi là ideal của R nên ri hi ∈ Iλi , (∀λi ∈ Λ)
∪

⇒ ri hi ∈
Iλi = H.
λ∈A {
}
n
∑
Do đó ⟨H⟩ =
ci | ci ∈ H .
i=1
{n
}
∑
∑
Vậy
Iλ =
cλi | cλi ∈ Iλi , λi ∈ Λ .
λ∈Λ

1.2.2

i=1

Tích các ideal

Định nghĩa 1.8. Cho R là vành giao hoán và I, J là hai ideal của R.
Tích của I và J, kí hiệu IJ, được định nghĩa là ideal của R sinh bởi tập
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

H = {ab | a ∈ I, b ∈ J}
.
Mệnh đề 1.10. Cho I và J là hai ideal của vành giao hoán R. Khi đó
IJ =

{ n
∑

}
ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, i = 1, n

i=1

Chứng minh. Theo định nghĩa tích hai ideal thì
IJ = ⟨H⟩ = ⟨{ab | a ∈ I, b ∈ J}⟩ .
{
Mà ⟨H⟩ =

n
∑

}
ri hi | ri ∈ R, hi ∈ H

i=1

trong trường hợp này, hi = ai bi với ai ∈ I, bi ∈ J.

Do
 của vành giao hoán R nên
 I, J đều là ideal
 (ai ri ).bi ∈ H
 ri ai ∈ I
⇒
 a .(r b ) ∈ H
rb ∈J
i

i i

i i

suy ra mọi{phần tử x ∈ ⟨H⟩ đều được biểu}diễn x = ab với x ∈ I, b ∈ J.
n
∑
Vậy IJ =
ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, i = 1, n .
i=1

Ví dụ 1.8. Cho (Z, +, .) là một vành giao hoán, I = 2Z , J = 3Z là hai
ideal của Z.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

Khi đó
IJ =
=
=

{ n
∑
{ i=1
n
∑
{ i=1
n
∑

}
ai bi | ai ∈ 2Z, bi ∈ 3Z, i = 1, n
}
2hi 3mi | hi , mi ∈ Z, i = 1, n
}
6ti | ti ∈ Z, i = 1, n

i=1

= 6Z.
Mệnh đề 1.11. Cho I, J, K, I1 , ..., In là các ideal của vành giao hoán R
(1) J = JI ⊆ I ∩ J.
(2) (IJ)K = I(JK) = ⟨H⟩ với H = {abc | a ∈ I, b ∈ J, c ∈ K} .
Chứng minh. (1) IJ = JI , dễ dàng chứng minh được do R là vành
giao hoán.

{

IJ = JI ⊆ I ∩ J. Thật vậy IJ =
Với x ∈ IJ bất kì có x =

n
∑

n
∑

}
ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, i = 1, n

i=1

ai bi , (ai ∈ I, bi ∈ J).

i=1

Do (I, J là ideal
R) và (ai ∈ I ⊂ R, bi ∈ J ⊂ R với i = 1, n) nên
 của
n

∑


ai bi ∈ I

 bi ai ∈ I

n
∑
i=1
⇒
⇒
ai bi ∈ I ∩ J ⇒ x ∈ I ∩ J
n
∑
ba ∈J

i=1

ai bi ∈ J
i i

i=1

vì x bất kì nên IJ
I ∩ J.
}
{⊆
n
∑
(2) Ta có ⟨H⟩ =
ai bi ci | ai ∈ I, bi ∈ J, ci ∈ K, i = 1, n .
i=1
{n
}

∑
IJ và JK đều là ideal của R và IJ =
ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, i = 1, n .
i=1
}
{ (
)
m
n
∑ ∑
nên (IJ)K =
ai bi ci | ai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈ K, j = 1, m, i = 1, n .
j=1

i=1

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

Nhận
thấy )
(
m
n
∑
∑

ai bi cj = a1 b1 c1 + ... + an bn c1 + a1 b1 c2 + ... + an bn c2 + ... + an bn cm .
j=1

i=1

suy ra

m
∑
j=1

(

n
∑

)
ai bi cj ∈ ⟨H⟩ với ai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈ K, i = 1, n, j = 1, m.

i=1

Suy ra (IJ)K ⊆ ⟨H⟩. (1)
Lại có x ∈ ⟨H⟩ thì
x=
⇒x =

n
∑
i=1
n

∑

ai bi ci vớiai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈ K, i = 1, n
(ai bi )ci ∈ (IJ)K.

i=1

Suy ra ⟨H⟩ ⊆ (IJ)K. (2)
Từ (1) và(2) suy ra (IJ)K = ⟨H⟩.
Tương tự ta chứng minh{được I(JK) = ⟨H⟩
}
n
∑
Vậy I(JK) = (IJ)K =
ai bi ci | ai ∈ I, bi ∈ J, ci ∈ K, i = 1, n .
i=1

Từ 2 tính chất (1) và (2) ta có thể đưa ra định nghĩa tích của một họ
các iđêan của R như sau:

1.2.3

Tích một họ các ideal

Định nghĩa 1.9. Cho I1 , I2 , ...., In là một họ các ideal của vành giao
n
∏
hoán R. Khi đó tích các ideal đã cho, kí hiệu
Ii là một ideal của R
i=1

sinh bởi tập

{
}
L = a1 a2 ...an | ai ∈ I1 , i = 1, n
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

.
Biểu diễn phần tử
n
∏

Ii =

{ m
∑

i=1

}
a1j a2j ...anj | aij ∈ Ii , i = 1, n, j = 1, m

j=1

.
Nhận xét 1.3. (1) Với I, J, K là các ideal của R ta có
I(J + K) = IJ + IK. Thật vậy
I(J + K) =
=
=

{ n
∑
{ i=1
n
∑
{ i=1
n
∑

}
ai (bi + ci ) | ai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈ K, i = 1, n
}
(ai bi + ai ci ) | ai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈ K, i = 1, n
a i bi +

i=1

n
∑

}
ai ci | ai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈ K, i = 1, n .

i=1

(2) Chú ý với trường hợp đặc biệt I m (m ∈ N) các phần tử được xác định
n
∑
∗
m
như sau: Nếu m ∈ N : x ∈ I thì x =
ai1 ai2 ...aim với aij ∈ I,
i=1

i = 1, n, j = 1, m.
Nếu m = 0 thì ta quy ước I o = R
1.2.4

Giao của các ideal

Định nghĩa 1.10. Cho (Iλ )λ∈Λ là họ các ideal của vành giao hoán R.
Giao của họ ideal đã cho là một ideal của R xác định như sau
∩

Iλ = {a | a ∈ Iλ , λ ∈ Λ}

λ∈Λ

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

.
Ví dụ 1.9. Z là vành giao hoán, I = 2Z, J = 4Z là hai ideal của Z.
Khi đó I ∩ J = 4Z.
1.2.5

Căn của ideal

Định nghĩa 1.11. Cho I là ideal của vành giao hoán R, căn của I, kí
√
hiệu là Rad(I) hoặc I, xác định bởi Rad(I) = {x ∈ R | ∃ n ∈ N : xn ∈ I}
và cũng là một ideal của R.
{0} là ideal của R, Rad ({0}) = {x ∈ R | ∃ n ∈ N : xn = 0} được gọi
là căn lũy linh của R và kí hiệu là N ilrad(R) .
Ví dụ 1.10. Với R = Z và I = (n) , với n là nguyên dương nào đó, thì
√
I = (d) , trong đó d là ước lớn nhất không chứa chính phương của n.
Mệnh đề 1.12. Cho I1 , I2 , ..., In là các ideal của R, ta có
n
∩
i=1

Ii =

n √
∩

Ii (∗)

i=1

.
Chứng minh. Chứng minh quy nạp theo n.
√
√
√
Với n = 2 , ta chỉ ra I1 ∩ I2 = I1 ∩ I2 .
√
Với mọi a ∈ I1 ∩ I2 luôn tồn tại m ∈ N : am ∈ I1 ∩ I2


 a m ∈ I1
 a ∈ √ I1
√
√
Khi đó tồn tại m ∈ N :
⇔
⇔
a
∈
I
∩
I2 .
1
 am ∈ I
 a ∈ √I
2
2

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh


 a ∈ √I1
√
√
Với mọi b ∈ I1 ∩ I2 ⇒
 a ∈ √I
2
k

Suy ra tồn tại t, k ∈ N để bt ∈ I1 , b ∈ I2 .

√
Như vậy tồn tại k ∈ N : bk ∈ I1 ∩ I2 ⇒ b ∈ I1 ∩ I2
√
√
√
Suy ra I1 ∩ I2 ⊆ I1 ∩ I2 .
√
√
√
Vậy I1 ∩ I2 = I1 ∩ I2 .
√
n−1

n−1
∩
∩ √
Giả sử (∗) đúng với (n − 1) tức là có
I1 . Ta chứng
Ii =
i=1

i=1

minh (∗) đúng với n. Thật vậy
n−1
∩

Ii =

i=1

n−1
∩

n−1
∩

Ii ∩ In =

i=1

Ii ∩

√
In

(theo chứng minh trên)

i=1

=
=

n−1
∩√

Ii ∩

i=1
n √
∩

√

In

(theo giả thiết)

Ii .

i=1

√

Vậy

n
∩

n √
∩
Ii =
Ii .

i=1

i=1

Mệnh đề 1.13. Cho X là một vành và A, B là ideal của X. Ta có
1.
2.

√√

A=

√

A.

√
√
√
√

AB = A ∩ B = A ∩ B.

√√
√
√
3. A + B =
A + B.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.6

Đinh Thị Dĩnh

Thương các ideal

Định nghĩa 1.12. Cho R là vành giao hoán. I, J là hai ideal của R thì

(I : J) = {a ∈ R | aJ ⊂ I}
Đặc biệt: I = {0} thì thương
{
}
(0 : J) = {a ∈ R | aJ = 0} = a ∈ R | ab = 0, với b ∈ J
Thương (0 : J) được gọi là linh hóa tử của J và được kí hiệu là AnnJ
hoặc AnnR J

Mệnh đề 1.14. (1) (I : J) là ideal của R

(2) IJ ⊂ I ∩ J ⊆ I ∪ J ⊆ I + J
Chứng minh.

(*)

(1) Giả sử x, y là hai phần tử của (I : J) và a là một

phần tử của R. Ta có xJ ∈ I, yJ ∈ I nên (x − y) J ∈ I .
Suy ra (x − y) ∈ (I : J).
Và xaJ = axJ ∈ I nên xa ∈ (I : J).
Vậy (I : J) là ideal của R.
(2) Với x ∈ IJ, có thể biểu diễn x dưới dạng x =

n
∑

ai bi , ai ∈ I, bi ∈ J

i=1

mà ai bi ∈ I ∩ J nên x ∈ I ∩ J suy ra IJ ⊂ (I ∩ J).

(1)

Với mọi x ∈ (I ∩ J) suy ra x ∈ I và x ∈ J nên x ∈ (I ∪ J)
Do đó (I ∩ J ⊆) (I ∪ J).
Với
(I ∪ J) thì
 mọi x ∈ 
x∈I

x = x + 0 , ∀x ∈ I, 0 ∈ J

⇒
⇒x∈I +J .
x∈J
x = x + 0 , ∀x ∈ J, 0 ∈ I
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đinh Thị Dĩnh

Do đó (I ∪ J) ⊆ (I + J).

(2)

Vậy (*) đã được chứng minh.

Ví dụ 1.11. Có I = 2Z , J = 3Z là hai ideal của Z. Khi đó
I : J = 2Z : 3Z = {x ∈ Z | x.3Z ⊂ 2Z}
{
} {
}
..
..
= x ∈ Z | 3x . 2 = x ∈ Z | x . 2 = 2Z.

18

Chương 2
Một số lớp ideal đặc biệt
Chương này trình bày về một số lớp ideal đặc biệt như ideal cực đại,
ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ trong vành giao hoán.

2.1

Ideal cực đại

Định nghĩa 2.1. Ideal A của vành giao hoán R được gọi là ideal cực
đại nếu thỏa mãn 2 điều kiên sau
i) A ̸= R.
ii) Không tồn tại ideal B của R chứa A mà B ̸= A, B ̸= R hay nói
một cách khác: A là ideal cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập
các ideal thực sự của R.
Ví dụ 2.1. Trong vành giao hoán Z các ideal pZ là ideal cực đại với p
là số nguyên tố.
Định lý 2.1. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal cực đại của
R nếu và chỉ nếu R/I là trường.
19