Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt

Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ NGA

MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ NGA

MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Ths. Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và
chỉ bảo tận tình của cô giáo Ths. Dương Thị Luyến, khóa luận của em
đến nay đã được hoàn thành.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo Ths. Dương
Thị Luyến, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại
học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức
nên đề tài không tránh những thiếu sót. Em rất mong được sự góp ý của
các thầy cô, các bạn sinh viên và các bạn đọc để đề tài này được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Nga

Footer Page 3 of 161.

Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình
học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô,
các bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt
là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Luyến.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên
quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo.
Khóa luận tốt nghiệp "Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt"
không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Nga

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

4

1.1

Tính chất chia hết trong tập số nguyên . . . . . . . . . .

4

1.2

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất . . . . . . . .

5

1.3

Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Thuật toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

Một số định lí cơ bản của số học

. . . . . . . . . . . . .

10

1.6.1

Định lí Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6.2

Định lí Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6.3

Định lí Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7

Phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.8

Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số . . . . . . .

11

2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
2.1

13

Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . .

13

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm . . . .

13

i

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.3
2.2

Phạm Thị Nga

Các cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn . . .

16

Phương trình vô định bậc nhất nhiều ẩn . . . . . . . . .

20

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Điều kiện có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.3

Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3 PHƯƠNG TRÌNH PELL
3.1

3.2

3.3

Phương trình Pell loại I

23
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.2

Công thức nghiệm của phương trình Pell loại I . .

23

3.1.3

Giải phương trình Pell loại I sử dụng liên phân số
vô hạn và liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . .

28

Phương trình Pell loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.2

Điều kiện có nghiệm của phương trình Pell loại II

36

3.2.3

Công thức nghiệm của phương trình Pell loại II .

38

3.2.4

Sử dụng liên phân số để giải phương trình Pell loại
II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Phương trình Pell với tham số n . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3.2

Công thức nghiệm của phương trình Pell với tham
số n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 PHƯƠNG TRÌNH PYTHAGORE
4.1

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Footer Page 6 of 161.

46
50
50


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

4.2

Phạm Thị Nga

Nghiệm của phương trình Pythagore . . . . . . . . . . .

50

4.2.1

Tính chất của bộ ba Pythagore nguyên thủy . . .

53

4.2.2

Cách chế ra bộ ba Pythagore . . . . . . . . . . .

55

5 PHƯƠNG TRÌNH FERMAT

58

5.1

Định lí Fermat lớn với n = 4

. . . . . . . . . . . . . . .

60

5.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN

65

6.1

Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.2

Phương trình đồng dư bậc nhất . . . . . . . . . . . . . .

66

6.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.2.2

Điều kiện có nghiệm và số nghiệm . . . . . . . . .

66

6.2.3

Các cách xác định nghiệm của phương trình đồng
dư bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.3

Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod m)

. . . . . . . .

70

6.4

Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod pα )

. . . . . . . .

73

6.4.1

Nghiệm của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα )

6.4.2

Cách giải của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα )

. .

73

.

75

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

6.5

Footer Page 7 of 161.

iii


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong toán học hiện đại, Số học đóng một vai trò quan trọng. Các bài
toán Số học luôn luôn là các bài toán hay và khó lôi cuốn các nhà Toán
học lớn cũng như những người yêu thích và say mê toán học đi sâu tìm
hiểu và nghiên cứu.
Phương trình nghiệm nguyên là một trong những đề tài hay, lí thú
của Số học. Được nghiên cứu từ thời Diophante thế kỉ thứ III, đến nay
phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán

học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng do đó mà phần lớn
phương trình nghiệm nguyên không có cách giải tổng quát, mỗi bài toán
với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Bên cạnh đó
có một số phương trình có cách giải riêng như: phương trình Diophante,
phương trình Pythagore, phương trình Pell nhưng chưa được hệ thống
một cách đầy đủ và rõ ràng.
Với những lí do trên cùng với lòng đam mê và được sự giúp đỡ nhiệt
tình của cô giáo hướng dẫn Th.s Dương Thị Luyến, em đã chọn đề tài
"Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt".

Footer Page 8 of 161.

1


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

2. Mục đích yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống một cách đầy đủ, chính xác định nghĩa cũng
như cách giải của một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt như:
phương trình Diophante, phương trình Pell, phương trình Pythagore,
phương trình đồng dư một ẩn.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt.
Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về mặt thời gian cũng như tài liệu
và năng lực nghiên cứu nên đề tài của em chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu

một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số phương trình có cách giải tổng quát.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp, so sánh, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Hệ thống khái quát các vấn đề.

6. Cấu trúc khóa luận
Lời nói đầu
Mục lục

Footer Page 9 of 161.

2


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

Phần 1 Mở đầu
Phần 2 Nội dung
Chương 1 Các kiến thức cơ bản
Chương 2 Phương trình Diophante
Chương 3 Phương trình Pell
Chương 4 Phương trình Pythagore
Chương 5 Phương trình Fermat

Chương 6 Phương trình đồng dư một ẩn
Phần 3 Kết luận
Tài liệu tham khảo.

Footer Page 10 of 161.

3


Header Page 11 of 161.

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Tính chất chia hết trong tập số nguyên

Định nghĩa 1.1. Cho a, b là 2 số nguyên, b = 0 . Nếu có 1 số nguyên q
sao cho a = bq thì ta nói b chia hết a hay b là ước của a và kí hiệu b \ a.
.
Ta cũng nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu a .. b.
Tính chất 1.1.1. Các tính chất của tính chia hết
1. ±1 \ a, ∀a ∈ Z.
2. a \ 0, ∀a ∈ Z.
3. a \ a, ∀a ∈ Z.
4. ∀a, b ∈ Z, a \ b và b \ a ⇒ a = ±b.
5. ∀a, b, c ∈ Z, a \ b và b \ c ⇒ a \ c.
n

6. b \ ai , ∀i = 1, n ⇒ b \

ai xi , ∀x0 , x1 , . . . , xn ∈ Z.
i=0
n

7. mi \ ai , ∀i = 1, n ⇒

n

mi \
0

ai . Nếu a, b nguyên dương và b \ a
0

thì a ≥ b.

Footer Page 11 of 161.

4


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

Định lý 1.1. Định lí về phép chia có dư
Với mỗi cặp số nguyên a, b và b = 0, tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r
sao cho a = bq + r, 0 ≤ r < |b|

Số q, r lần lượt được gọi là thương và dư trong phép chia có dư của a
chia cho b.

1.2

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.2. Một số nguyên d được gọi là ước chung của các số
nguyên a1 , a2 , . . . , an nếu d là ước của mỗi số nguyên đó.
Định nghĩa 1.3. Ước chung lớn nhất của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an
là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng.
Kí hiệu d = (a1 , a2 , . . . , an ).
Định nghĩa 1.4. Một số nguyên m được gọi là bội chung của các số
nguyên a1 , a2 , . . . , an nếu d là bội của mỗi số nguyên đó.
Định nghĩa 1.5. Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an
là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung dương của chúng.
Kí hiệu m = [a1 , a2 , . . . , an ].
Tính chất 1.2.1. Các tính chất của ước chung lớn nhất và bội
chung nhỏ nhất
a b
,
=1
d d
m m
m = [a, b] ⇔
,
= 1.
a b

1. d = (a, b) ⇔

Footer Page 12 of 161.

5


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga


 a \ bc
2.
⇒ a \ c.
 (a, b) = 1
3. (a, b) = 1, (a, c) = 1 ⇒ (a, bc) = 1.
4. (a, b) = 1 ⇒ (ac, b) = (c, b).
5. ∀ k ∈ N∗ , (ka1 , ka2 , . . . , kan ) = k (a1 , a2 , . . . , an ).
[ka1 , ka2 , . . . , kan ] = k [a1 , a2 , . . . , an ]
6. Nếu d = (a, b) thì ∃ u, v ∈ Z : au + bv = d.
7. ∀a, b ∈ Z∗+ , [a, b] =

1.3

ab
.
(a, b)

Số nguyên tố

Định nghĩa 1.6. Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước nào khác
ngoài 1 và chính nó (không có ước thực sự) được gọi là số nguyên tố.
Định lý 1.2. Định lí cơ bản về sự phân tích ra thừa số nguyên
tố
Mỗi số tự nhiên n > 1 đều phân tích được thành tích những thừa số
nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của
các thừa số. Tức là n = p1 p2 ...pn , pi ∈ ℘, ∀i = 1, n.
Trong sự phân tích n thành thành tích của các thừa số nguyên tố thì có
thể xảy ra trường hợp là nhiều thừa số nguyên tố bị lặp lại. Gọi pi , i = 1, k
là các ước nguyên tố đôi một phân biệt của n, với các bội tương ứng là
αi , i = 1, k, αi > 0 thì ta được n = pα1 1 .pα2 1 . . . pαk k . gọi là dạng phân tích

Footer Page 13 of 161.

6


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

tiêu chuẩn của n.

1.4

Đồng dư

Định nghĩa 1.7. Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ . Ta nói 2 số a, b đồng dư với

nhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta được cùng
số dư. Kí hiệu a ≡ b (mod m).
Hệ thức a ≡ b (mod m) gọi là đồng dư thức.
Mệnh đề 1.1. Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ . Các điều kiện sau tương đương:
1. a ≡ b (mod m) .
2. a = b + mq, q ∈ Z.
3. m \ (a − b).
Tính chất 1.4.1. Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức

1. a ≡ a (mod m) , ∀ a ∈ Z.
a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a(mod m).
a ≡ b (mod m) , b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m).
2. a ≡ b (mod m) ⇒ a.k ≡ b.k (mod m) , k ∈ Z.
a ≡ b (mod m) ⇒ ak ≡ bk (mod m) , k ∈ N.


 a ≡ b (mod m)
 a + c ≡ b + d (mod m)
3.
⇔
.
 c ≡ d (mod m).

ac ≡ bc (mod m)

Footer Page 14 of 161.

7

Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

4. a ≡ b (mod m) ⇔ a ≡ b + km (mod m) , k ∈ Z.
5. Nếu ai ≡ bi (mod m) , ∀ i = 1, k thì ta có
k

k

hi ai ≡
i=1

hi bi (mod m).
i=1

6. Nếu ai ≡ bi (mod m) , ∀ i = 1, k thì ta có
k

k

ai ≡
i=1

bi (mod m).
i=1


 a ≡ b (mod m)

b
a
≡ (mod m)
7.
⇔
 ∀ c \a, c \ b, (c, m) = 1
c
c

 a ≡ b (mod m)
a
b
m
⇔
8.
≡
mod
 ∀ c \a, c \ b, c \ m
c
c
c
9. Nếu a ≡ b (mod mi ) , ∀ i = 1, k

và m = [m1 , m2 , . . . , mk ] thì

a ≡ b (mod m).

1.5

Thuật toán Euclide

Tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên
Chú ý: Nếu cho a, b, q, r ∈ Z, a = bq + r thì ta có (a, b) = (b, r).
• Cho a, b ∈ Z . Nếu a \ b hoặc b \ a thì ta có (a, b) = a hoặc (a, b) = b
• Nếu trường hợp trên không xảy ra ta có các hệ thức sau biểu diễn
một dãy hữu hạn các phép chia có dư
a = bq0 + r1 ,0 < r1 < |b|
b = r1 q2 + r2 , 0 < r2 < r1

Footer Page 15 of 161.

8


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

...
rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1
rn−1 = rn qn .
Dãy hữu hạn các phép chia có dư liên tiếp này gọi là thuật toán Euclide
thực hiện trên hai số nguyên a, b. Dãy này phải là hữu hạn và thuật toán
Euclide phải kết thúc với số dư rn+1 = 0.
Theo chú ý trên ta có (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = . . . = (rn−1 , rn ) = rn .
Như vậy ƯCLN của hai số nguyên a và b là số dư cuối cùng khác 0 trong
thuật toán Euclide thực hiện trên a và b.

Nhận xét 1.1. Thuật toán Euclide mở rộng

Dựa vào thuật toán Euclide, từ các đẳng thức ta rút được
ri = ri−2 − ri−1 qi−1 , ∀i = 1, n.
Ta có đẳng thức cuối cùng rn = rn−2 − rn−1 qn−1

(1.1)

Thay rn−1 = rn−3 − rn−2 qn−2 vào (1.1) ta được
rn = rn−2 − (rn−3 − rn−2 qn−2 ) qn−1 = (qn−2 qn−1 + 1) rn−2 − rn−3 . (1.2)
Thay rn−2 = rn−4 − rn−3 qn−3 vào (1.2) ta được
rn = (qn−2 qn−1 + 1) (rn−4 − rn−3 qn−3 ) − rn−3 .

(1.3)

Cứ tiếp tục như thế thay lần lượt rn−3 , ..., r1 vào và cuối cùng ta được
đẳng thức ax + by = c.

Footer Page 16 of 161.

9


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6
1.6.1

Phạm Thị Nga

Một số định lí cơ bản của số học

Định lí Euler

Định nghĩa 1.8. Cho m là số tự nhiên khác 0 ta định nghĩa ϕ (m) là
số các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố với m.
Ta có ϕ (m) được xác định như sau
Giả sử m = pα1 1 .pα2 2 . . . pαnn với pi ∈ ℘, αi ∈ N∗ , ∀ i = 1, n.
1
1
1
Ta có ϕ (m) = m 1 −
1−
... 1 −
.
p1
p2
pn
Đặc biệt nếu m là số nguyên tố thì ϕ (m) = m − 1.
Định lý 1.3. Định lí Euler
Nếu a, m ∈ Z, m > 0 và (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1 (mod m)
1.6.2

Định lí Fermat

Định lý 1.4. Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý.
Khi đó nếu (a, p) = 1 thì
ap−1 ≡ 1 (mod p)
Tổng quát ta có
ap ≡ a (mod p)
1.6.3

Định lí Wilson

Định lý 1.5. Với p là một số nguyên tố ta có đồng dư thức

(p − 1)! ≡ −1 (mod p)

Footer Page 17 of 161.

10


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.7

Phạm Thị Nga

Phương trình nghiệm nguyên

Giải phương trình chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất
cả các bộ số nguyên (x, y, z, . . .) thỏa mãn phương trình đó. Khi giải
phương trình nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập số
nguyên Z nên ngoài việc biến đổi tương đương ta còn dùng đến các biến
đổi mà giá trị của ẩn chỉ thỏa mãn điều kiện cần của nghiệm, trong
trường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử trực tiếp
vào phương trình đã cho.
Một phương trình nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạn
nghiệm, có vô số nghiệm. trong trường hợp có vô số nghiệm nguyên,
các nghiệm nguyên của phương trình đã cho được biểu thị bằng công

thức có chứa tham số là một số nguyên.

1.8

Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số

Định nghĩa 1.9. Định nghĩa liên phân số hữu hạn
Cho a0 là số nguyên, a1 , a2 , . . . , an , an > 1 là các số nguyên dương. Khi
đó biểu thức dạng
1

a0 +
a1 +

1
a2 + .

.. +

1
an−1 +

1
an

được gọi là một liên phân số hữu hạn có độ dài n.
Kí hiệu [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]

Footer Page 18 of 161.

11


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

Định nghĩa 1.10. Định nghĩa liên phân số vô hạn
Liên phân số vô hạn là biểu thức có dạng
1

a0 +
a1 +

1
a2 + .

1

.. +
an−1 +

1
an + . .

.

trong đó a0 là số nguyên
ai , ∀i = 0 là các số nguyên dương .

Kí hiệu: [a0 ; a1 , a2 , . . . , an , . . .] .
Định nghĩa 1.11. Định nghĩa giản phân
Cho liên phân số hữu hạn hoặc vô hạn . Giả sử hai dãy số nguyên dương
p0 , p1 , . . . , pn , . . . và q0 , q1 , . . . , qn , . . . được xác định như sau:
p 0 = a0

q0 = 1

p 1 = a1 a0 + 1

q 1 = a1

p 2 = a2 p 1 + p 0

q 2 = a2 q 1 + q 0

...

...

pk = ak pk−1 + pk−2

qk = ak qk−1 + qk−2

Khi đó liên phân số [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ], với k ∈ Z gọi là giản phân thứ k
của liên phân số đã cho.
Kí hiệu Ck = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ] và được xác định như sau
Ck =

Footer Page 19 of 161.

12

pk
qk


Header Page 20 of 161.

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
2.1

Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn

2.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn là phương trình
có dạng
ax + by = c

(2.1)

trong đó a, b, c là các số nguyên, x và y là các ẩn nguyên cần tìm.
2.1.2

Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm

Định lý 2.1. Điều kiện có nghiệm
Cho phương trình ax + by = c, trong đó a, b, c là các số nguyên, a, b = 0,
d = (a, b). Khi đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi d \ c.
Chứng minh
• Giả sử phương trình đã cho có nghiệm tức là ∃ x0 , y0 ∈ Z sao cho
ax0 + by0 = c.

Footer Page 20 of 161.

13

(2.1.1)


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học


 a = du
Ta có d = (a, b) ⇒
 b = dv

Phạm Thị Nga

; u, v ∈ Z

Do đó từ (2.1.1) ta có (du) x0 + (dv) y0 = c ⇒ d (ux0 + vy0 ) = c ⇒ d \ c.
• Giả sử d \ c ⇒ c = de, e ∈ Z.
Lại có d = (a, b) nên ∃ r, s ∈ Z : ar + bs = d.
Khi đó

 c = (ar + bs) e ⇔ c = a (re) + b (se).
 x0 = re
Đặt
 y = se
0
Do đó (x0 , y0 ) là nghiệm của phương trình .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
Định lý 2.2. Công thức nghiệm
Cho phương trình ax + by = c

(2.1), trong đó a, b, c là các số nguyên,

a, b = 0, d = (a, b) và (x0 , y0 ) là một nghiệm của phương trình (2.1)
thì mọi nghiệm của (2.1) có dạng


 x = x0 + b t
d
a , t ∈ Z.

 y = y0 − t
d
Chứng minh


 x = x0 + b t
d
• Ta chỉ ra
a , t ∈ Z là nghiệm của phương trình (2.1).


 y = y0 − t
d
b
a
Ta có ax + by = a(x0 + t) + b y0 − t = ax0 + by0 = c vì (x0 , y0 ) là
d
d
nghiệm của phương trình (2.1).
• Chứng minh mọi nghiệm của phương trình (2.1) có dạng

Footer Page 21 of 161.

14


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga



 x = x0 + b t
d
a , t ∈ Z.

 y = y0 − t
d
Do (x0 , y0 ) là nghiệm của phương trình (2.1) nên ax0 + by0 = c. (2.1.1)
Giả sử (x1 , y1 ) là một nghiệm tùy ý của phương trình (2.1).

Khi đó ta có ax1 + by1 = c.

(2.1.2)

Trừ hai vế của 2 đẳng thức (2.1.1) và (2.1.2) ta được
(ax1 + by1 ) − (ax0 + by0 ) = 0
⇔ a (x1 − x0 ) + b (y1 − y0 ) = 0
⇔ a (x1 − x0 ) = b (y0 − y1 )
b
a
⇔ (x1 − x0 ) = (y0 − y1 ) , d = 0
d
d
b
.. a
⇒ (y0 − y1 ) . .
d
d
a b
= 1.
Lại có d = (a, b) nên
,
d d
.a
Từ (4) ta có (y0 − y1 ) .. .
d
a
a
Suy ra ∃t ∈ Z sao cho y0 − y1 = t ⇒ y1 = y0 − t .
d

d
b
Thay vào (∗) ta được x1 = x0 + t.
d
Vậy công thức nghiệm của phương trình (2.1) là


 x = x0 + b t
d
a , t ∈ Z.

 y = y0 − t
d

(2.1.3)

Chú ý
Công thức nghiệm của phương trình (2.1) còn được viết dưới dạng


 x = x0 − b t
d
a , t ∈ Z.

 y = y0 + t
d

Footer Page 22 of 161.

15

Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.3

Phạm Thị Nga

Các cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách 1

Phương pháp biến số nguyên

• Rút gọn phương trình chú ý đến tính chia hết của ẩn.
• Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ theo ẩn
kia: ví dụ x theo y.
• Tách biểu thức của x thành phần nguyên và phần chưa nguyên.
• Đặt điều kiện để phần chưa nguyên trong biểu thức của x bằng
một số nguyên t ta được phương trình bậc nhất hai ẩn y và t.
• Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi ta được một biểu thức
nguyên.
Ví dụ 2.1.1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
11x − 15y = 145.

(2.2)

Lời giải
.

.
.
.
Ta thấy 15 .. 5 và 145 .. 5 nên 11x .. 5 ⇒ x .. 5. Đặt x = 5k, k ∈ Z.
Khi đó phương trình đã cho trở thành 11k − 3y = 29.
(2.2.1)
11k − 29
2k − 2
k−1
Khi đó ta có y =
= 3k − 9 +
= 3k − 9 + 2.
. (2.2.2)
3
3
3
k−1
k−1
Để x nguyên thì
∈ Z , tức là tồn tại t ∈ Z sao cho
=t
3
3
hay k = 3t + 1.
(2.2.3)
Thay (2.2.3) vào 2.2.2 ta được y = 3 (3t + 1) − 9 + 2t = 11t − 6.
Khi đó thay trở lại (2.2.1) ta được 11k − 3 (11t − 6) = 29 ⇔ k = 3t + 1
Suy ra x = 5k = 5 (3t + 1) = 15t + 5.

Footer Page 23 of 161.

16


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga


 x = 15t + 5
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
,
 y = 11t − 6
Cách 2

t∈Z

Tìm một nghiệm riêng sử dụng định lí suy ra

nghiệm tổng quát
Cách tìm nghiệm riêng của phương trình ax + by = 0
+) Nhẩm nghiệm
Với một số phương trình đơn giản ta có thể nhìn ra ngay nghiệm của nó.
Ví dụ 2.1.2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
5x − 3y = 7.

(2.3)

Lời giải

Ta thấy phương trình đã cho có 1 nghiệm là(2, 1) vì 5.2 − 3.1 = 7.
 x = 3t + 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
, t ∈ Z.
 y = 5t + 1
+) Dùng thuật toán Euclide mở rộng

Ví dụ 2.1.3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
19x + 85y = 121.

(2.4)

Lời giải
Ta có 85 = 19.4 + 9

(2.4.1)

19 = 9.2 + 1

(2.4.2)

2 = 1.2 + 0

Footer Page 24 of 161.

17


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Nga

Từ đẳng thức (2.4.1) và (2.4.2) ta có 9 = 85 − 19.4
1 = 19 − 9.2.
Do đó 1 = 19 − 9.2 = 19 − (85 − 19.4).2 = 19.9 − 85.2.
Suy ra 121 = 19.9.121 − 85.2.121 = 19.1089 − 85.242.
Khi đó phương trình đã cho có một nghiệm
riêng là (1089, 242).
 x = 19t + 1089
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
, t ∈ Z.
 y = −85t + 242
+) Sử dụng liên phân số
Xét phương trình ax + by = c với a, b, c ∈ Z, (a, b) = 1, b > 0.
Chúng ta biết rằng tập hợp nghiệm của phương trình vô định bậc nhất
một ẩn hoàn toàn được xác định nếu biết một nghiệm riêng của nó. Bằng
công cụ liên phân số ta sẽ xác định được một nghiệm riêng của phương
trình này.
Lưu ý chỉ sử dụng liên phân số tìm nghiệm riêng với những phương trình
có (a, b) = 1.
a
a
Ta khai triển thành liên phân số hữu hạn. Giả sử = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ].
b
b
pn−1
pn
Gọi cn−1 =
và cn =

là hai giản phân cuối cùng của liên phân số
qn−1
qn
này.
a
pn
a pn
Khi đó ta có =
và vì ,
là các phân số tối giản
b
qn
b qn
nên a = pn , b = qn .
Theo tính chất của liên phân số hữu hạn ta có
pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1
⇔ aqn−1 − bpn−1 = (−1)n−1
⇔ ac(−1)n+1 qn−1 + bc(−1)n pn−1 = c

Footer Page 25 of 161.

18