Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong số học

Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ TIẾN

LÝ THUYẾT NHÓM VÀ
ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ TIẾN

LÝ THUYẾT NHÓM VÀ
ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
Th.S. ĐỖ VĂN KIÊN

Hà Nội - 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày khóa luận của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong Khoa Toán – Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian
em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S. Đỗ Văn Kiên
– Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực
tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trong
suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Trịnh Thị Tiến

1

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo Th.S. Đỗ Văn Kiên.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Lý thuyết nhóm và ứng
dụng trong số học " là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ
lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Trịnh Thị Tiến

Footer Page 4 of 161.

2


Header Page 5 of 161.

Mục lục

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

Nhóm, nhóm xyclic và nhóm con . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Định lý Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5

Định lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6

Bài tập về nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7

Bài tập về định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Tác động của nhóm lên tập hợp

21

2.1

Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Công thức các lớp và định lý Burnside. . . . . . . . . . .

23

3 Ứng dụng vào các bài toán số học

27

3.1

Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . .

33

3.3

Ứng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . .

35

3.4

Tổng quát các định lí Fermat nhỏ, Lucas và Wilson . . .

39

3.5

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Footer Page 5 of 161.

3


Header Page 6 of 161.
MỤC LỤC

3.6

Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Footer Page 6 of 161.

4

Header Page 7 of 161.
MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đại số là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học. Trong
quá trình nghiên cứu về lý thuyết nhóm trong chương trình đại học, tôi
nhận thấy lý thuyết nhóm là một phần có thể gọi là nền tảng của đại
số, tạo tiền đề xây dưng một số cấu trúc trong đại số như nhóm, vành,
trường, ... Trong nội dung đã được nghiên cứu tôi quan tâm đến ứng
dụng của lý thuyết nhóm trong số học và nhận thấy đây là nội dung rất
hay và có thể đi sâu vào nghiên cứu. Đồng thời cùng sự động viên, khích
lệ của thầy cô trong bộ môn Toán-khoa sư phạm Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Th.S Đỗ Văn Kiêngiảng viên trường Đai học Sư phạm Hà Nội 2 nên tôi quyết định chọn
đề tài: "ứng dụng của lý thuyết nhóm trong số học" để làm luận văn
tốt nghiệp cuối khóa.
2. Mục đích nghiên cứu
Khi thực hiện đề tài: "ứng dụng của lý thuyết nhóm trong số học"
mục đích của tôi là tập nghiên cứu một vấn đề toán học, rèn luyện kỹ
năng trình bày một vấn đề. Với những kiến thức đã có và kết hợp với
nghiên cứu thêm một số tài liệu, tôi cố gắng xây dựng hệ thống ứng
dụng của nhóm lên tập hợp, trình bày lý thuyết cơ bản đến ví dụ và bài
tập áp dụng.
3. Nội dung nghiên cứu

Footer Page 7 of 161.

5

Header Page 8 of 161.
MỤC LỤC

Nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương 2: Tác động của nhóm lên tập hợp.
Chương 3: Ứng dụng vào các bài toán số học.
Trong đó, chương 3 là nội dung chính của đề tài.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu
sau
.) Tổng kết một số kiến thức đã học.
.) Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, trên mạng.
.) Tự nghiên cứu và trao đổi với giáo viên.
.) Dịch tài liệu tiếng anh và hệ thống lại theo hướng dẫn của giáo viên.

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến của
các thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quả
cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Footer Page 8 of 161.

6


Header Page 9 of 161.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về nhóm nhằm
thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau.

1.1

Nhóm, nhóm xyclic và nhóm con

Định nghĩa 1.1. Nhóm là một tập G cùng với phép toán thỏa mãn các
điều kiện
i) Với mọi a, b, c thuộc G thì a(bc) = (ab)c.
ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x với mọi x thuộc G.
−1

iii) Với mỗi x thuộc G, tồn tại x

−1

thuộc G sao cho x x = xx

−1

= e.

Một nhóm G được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm abel) nếu phép
toán là giao hoán. Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G được
gọi là cấp của G. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn.

Footer Page 9 of 161.

7


Header Page 10 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ví dụ 1.1. Tập các số nguyên Z, tập các số hữu tỉ Q, tập các số thực
R, tập các số phức C cùng với phép cộng thông thường là các nhóm giao
hoán cấp vô hạn.
Ví dụ 1.2. Tập S(X) các song ánh từ một tập X đến chính nó với phép
hợp thành các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng của X. Nếu
X có n phần tử thì S(X) có cấp n! và nhóm này không giao hoán khi
n > 3.
Ví dụ 1.3. Với mỗi số tự nhiên m ≥ 1, tập Zm các lớp thặng dư theo
mô đun m với phép cộng các lớp thặng dư là một nhóm giao hoán cấp
m. Tập Z∗m các lớp thặng dư khả nghịch là một nhóm giao nhân hoán
cấp ϕ(m), với ϕ là hàm Euler.
Mệnh đề 1.1. Cho G là một nhóm với đơn vị e. Khi đó các khẳng định
sau là đúng
i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất.
ii) Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử của G là duy nhất.
iii) Mọi phần tử của G đều chính qui, tức là thỏa mãn luật giản ước.
iv) Trong nhóm phương trình a.x = b có nghiệm duy nhất x = a−1 .b.
−1
−1
v) Với mọi x1 , x2 , . . . , xn thuộc G ta có (x1 x2 . . . xn )−1 = x−1
n xn−1 . . . x1 .

vi) (x−1 )−1 = x, với mọi x thuộc G.
Định nghĩa 1.2. Tập con H của một nhóm G được gọi là nhóm con
của G nếu H cùng với phép toán cảm sinh trên G lập thành một nhóm.

Footer Page 10 of 161.

8


Header Page 11 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mệnh đề 1.2. Cho H là tập con khác rỗng của G. Khi đó H là nhóm
con của G khi và chỉ khi với mọi a, b thuộc H thì ab−1 thuộc H.
Định nghĩa 1.3. Một nhóm con A của một nhóm X gọi là chuẩn tắc
nếu và chỉ nếu x−1 ax thuộc A, với mọi a thuộc A và x thuộc X. Điều
này tương đương với Ax = xA với mọi x thuộc X.
Định nghĩa 1.4. Giả sử a là một phần tử bất kì của một nhóm X và
A là nhóm con sinh bởi a. Phần tử a gọi là có cấp vô hạn nếu A vô hạn
trong trường hợp này không tồn tại một số nguyên dương n nào sao cho
an = e. Phần tử a gọi là có cấp m nếu A có cấp m. Trong trường hợp
này m là số nguyên dương bé nhất sao cho am = e.
Một phần tử a thuộc X có cấp 1 khi và chỉ khi a = e.
Mệnh đề 1.3. Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm X
là một nhóm con của X.
Nhận xét 1.1. Hợp của hai nhóm con của một nhóm X nói chung
không là nhóm con của X.
Ví dụ 1.4. Các nhóm 4Z, 6Z là các nhóm con của 2Z. Nhưng 4Z ∪ 6Z
không là nhóm con của 2Z.
Định nghĩa 1.5. Cho G là nhóm, S ⊆ G. Khi đó theo mệnh đề 1.3 giao

của tất cả các nhóm con của G chứa S là một nhóm con của G. Nhóm
này được gọi là nhóm con của G sinh bởi S. Kí hiệu < S >.
Định nghĩa 1.6. Một nhóm G được gọi là xyclic nếu tồn tại a thuộc G
sao cho < a >= G.

Footer Page 11 of 161.

9


Header Page 12 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mệnh đề 1.4. Một nhóm G là xyclic khi và chỉ khi tồn tại a thuộc G
sao cho G = {an |n ∈ Z}.
Định nghĩa 1.7. Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn (hay vô hạn) nếu
tập X là hữu hạn (hay vô hạn) phần tử.

1.2

Định lý Lagrange, đồng cấu nhóm

Định nghĩa 1.8. Cho H là một nhóm con của một nhóm G, với mọi
a, b ∈ G ta định nghĩa quan hệ ∼ trên G như sau. Ta nói a ∼ b nếu
ab−1 ∈ H.
Quan hệ ∼ là quan hệ tương đương trên G. Hơn nữa với mỗi a ∈ G, kí
hiệu a là lớp tương đương của a thì
a = {ha|h ∈ H} = Ha
Mỗi lớp tương đương Ha được gọi là một lớp ghép trái của H trong G.
Tập thương của G theo quan hệ tương đương ∼ được kí hiệu bởi G/H.

Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kí
hiệu (G : H) là số lớp ghép trái của H.
Định lý 1.1. (Định lý Lagrange) Trong một nhóm hữu hạn, cấp của
một nhóm con là ước của cấp của nhóm.
Hệ quả 1.1. i) Cho G là nhóm cấp n và a ∈ G. Khi đó cấp của a là
ước của n. Hơn nữa an = e.
ii) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic sinh bởi môt phần tử tùy
ý khác đơn vị của nhóm.

Footer Page 12 of 161.

10


Header Page 13 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

iii) Mọi nhóm cấp nhỏ hơn bằng 5 đều giao hoán.
iv) Nếu p là số nguyên tố, a là số bất kì thì ap − a chia hết cho p.
Định nghĩa 1.9. Cho G là một nhóm, H là nhóm con chuẩn tắc của
G. Trên tập thương G/H trang bị phép toán như sau
HaHb = Hab, ∀Ha, Hb ∈ G/H
Khi đó G/H cùng với phép toán này lập thành một nhóm và gọi là nhóm
thương của G theo H.
Ví dụ 1.5. i) Trong một nhóm abel mọi nhóm con là chuẩn tắc.
ii) Mọi nhóm con có chỉ số 2 đều là nhóm con chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.10. Cho G và H là các nhóm. Ánh xạ f : G → H được
gọi là đồng cấu nhóm nếu f (xy) = f (x).f (y) với mọi x, y ∈ G. Một đồng
cấu nhóm được gọi là đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh
(toàn ánh, song ánh). Hai nhóm G và H được gọi là đẳng cấu với nhau,

viết là G ∼
= H nếu có một đẳng cấu giữa G và H.
Ví dụ 1.6. i) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi
là tự đẳng cấu đồng nhất của X.
ii) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ

h : X → X/A
x → h(x) = xA
là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương X/A. Đồng cấu này
gọi là toàn cấu chính tắc.

Footer Page 13 of 161.

11


Header Page 14 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tính chất 1.1. Ta có các khẳng định sau
i) Hợp thành của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm.
ii) Nếu f : G → H là đồng cấu nhóm thì f (x−1 ) = (f (x))−1 và f (e) = e
với mọi x ∈ G.
iii) Nếu f : G → H là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của G và B là
nhóm con của H thì f (A) là nhóm con của H và f −1 (B) là nhóm
con của G. Hơn nữa nếu B là nhóm con chuẩn tắc thì f −1 (B) là
nhóm con chuẩn tắc.
Định lý 1.2. Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến
một nhóm Y , p : X → X/kerf là toàn cấu chính tắc từ nhóm X đến
nhóm thương của X trên hạt nhân của f . Thế thì

(i) Có một đồng cấu duy nhất f : X/Kerf → Y sao cho tam giác sau
f

X

/

Y

p
$

z

f

Y /Kerf
là giao hoán, tức là f = f p.
(ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f (X).

1.3

Định lí Sylow

Định nghĩa 1.11. Cho p là số nguyên tố.
i) Nhóm H được gọi là một p-nhóm nếu cấp của H là một lũy thừa của
p, tức là |H| = pn .

Footer Page 14 of 161.

12


Header Page 15 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

ii) G là nhóm, H được gọi là p-nhóm con của G nếu H vừa là một pnhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G, vừa là một
p-nhóm.
iii) Nhóm H được gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu H vừa là
một p-nhóm con của G và |H| = pn là lũy thừa cao nhất của p chia
hết cấp của G.
Định lý 1.3. ( Định lý Sylow ) Giả sử G là nhóm hữu hạn và p là một
số nguyên tố và pm là ước của |G|. Khi đó G có một nhóm con cấp pm .
Đặc biệt luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn.
Chứng minh. Chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo |G|.
Nếu |G| = 1 thì p0 là ước của |G| và do đó G chính là một nhóm con
của nó có cấp p0 . Giả sử |G| > 1 và định lí đúng cho tất cả các nhóm
có cấp nhỏ hơn |G|. Theo công thức lớp:

|G| = |C(G)| + [G : C(a1 )] + [G : C(a2 )] + . . . + [G : C(ar )]
trong đó [G : C(ai )] > 1 với mọi i. Hơn nữa |C(G)| ≥ 1 (vì e ∈ C(G))
và |C(ai )| < |G|. Giả sử tồn tại một chỉ số j sao cho p không là ước của
[G : C(aj )]. Theo định lí Lagrange, |G| = |C(aj )| [G : C(aj )] và do pm
là ước của |G| nên pm phải là ước của |C(aj )|. Vì C(aj ) là một nhóm
con của G có cấp nhỏ hơn |G| nên theo giả thiết qui nạp ta có C(aj )
có một nhóm con cấp pm . Tất nhiên dẫn đến G cũng có một nhóm con
cấp pm . Ngược lại, nếu p là ước của [G : C(ai )] với mọi i thì p cũng là
ước của C(G). Do C(G) là một nhóm Abel nên nó chứa một phần tử c
có cấp p. Gọi N là nhóm con xyclic sinh bởi c. Khi đó N là một nhóm

Footer Page 15 of 161.

13


Header Page 16 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

con cấp p và nó cũng là một nhóm con chuẩn tắc của G. Cấp của nhóm
thương G/N là |G|: p nhỏ hơn |G| và nó chia hết cho pm−1 . Theo giả
thiết qui nạp, G/N có một nhóm con T có cấp là pm−1 . Do đó tồn tại
một nhóm con H của G sao cho N ⊂ H và T = H/N . Theo Định lí
Lagrange, |H| = |N | |H/N | = |N | |T | = ppm−1 = pm . Trong trường hợp
này G cũng có một nhóm con cấp pm . Định lí được chứng minh.

1.4

Nhóm đối xứng

Định nghĩa 1.12. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Gọi SX là tập các
song ánh X → X. Khi đó SX cùng với phép hợp thành ánh xạ tạo thành
một nhóm gọi là nhóm đối xứng trên X. Đặc biệt khi X = {1, 2, . . . n}
thì SX được kí hiệu bởi Sn được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử
(hay nhóm hoán vị trên n phần tử ), nhóm này có cấp n!.
Mỗi phần tử của Sn được gọi là một phép thế.
Ví dụ 1.7. S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}.
Định lý 1.4. Mọi phép thế σ ∈ Sn đều phân tích được thành tích những
vòng xích độc lập.
Định nghĩa 1.13. Một phép thế σ ∈ Sn được gọi là chẵn (tương ứng
lẻ) nếu nó phân tích được thành tích của một số chẵn (tương ứng một

số lẻ) các chuyển vị.
Mọi phép thế Sn hoặc là chẵn hoặc là lẻ. Đặt An là tập tất cả các các
phép thế chẵn của Sn . Khi đó An là một nhóm con của Sn . Nhóm An
được gọi là nhóm thay phiên bậc n.

Footer Page 16 of 161.

14


Header Page 17 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lý 1.5. Cho n > 1, khi đó An là một nhóm con chuẩn tắc của Sn
n!
có cấp
và [Sn : An ] = 2.
2
Định lý 1.6. ( Cayley- Hamilton) Mọi nhóm hữu hạn đều đẳng cấu với
nhóm con của một nhóm đối xứng.

1.5

Định lý Cauchy

Định lý 1.7. Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố.
Nếu p chia hết cấp của G thì trong G tồn tại một phần tử có cấp là p.
Chứng minh. Ta chứng minh qui nạp theo n với n = |G| và xét hai
trường hợp G giao hoán và G không giao hoán.
Trường hợp 1 G giao hoán. Nếu G là nhóm đơn, tức là G chỉ có 2

nhóm con là {e} và chính nó thì nhóm này phải là nhóm xyclic cấp
nguyên tố và dĩ nhiên sẽ tồn tại một phần tử có cấp p. Nếu G không
phải là nhóm đơn thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường
H trong G. Nếu p chia hết |H| thì theo giả thiết qui nạp, trong H tồn tại
một phần tử cấp p và do đó G cũng tồn tại môt phần tử có cấp p. Ngược
lại theo định lí Lagrange, p phải chia hết chỉ số [G : H]. Khi đó theo giả
G
thiết qui nạp trong nhóm thương
sẽ tồn tại một phần tử có cấp p. Và
H
do đó trong G tồn tại một phần tử x thỏa mãn (Hx)p = Hxp = H. Khi
đó tồn tại một phần tử h trong H sao cho hxp = e. Ta thấy mọi phần
tử a trong H, tồn tại phần tử b trong H sao cho bp = a nên tồn tại một
phần tử h2 trong H sao cho hp2 = h. Do đó h2 có cấp là p và kết thúc
chứng minh cho trường hợp G giao hoán.
Trường hợp 2 G không giao hoán. Trong trường hợp này Z là nhóm

Footer Page 17 of 161.

15


Header Page 18 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

con không tầm thường của Q. Nếu p chia hết cấp của tâm hóa tử CG (a)
với a là một phần tử nào đó không thuộc Z thì CG (a) là một nhóm con
không tầm thường và do đó theo giả thiết qui nạp trong CG (a) tồn tại
phần tử có cấp p. Ngược lại, nếu p chia hết cấp của CG (a) thì khi đó p
chia hết chỉ số [G : CG (a)] với a là một phần tử nào đó không thuộc Z.

Từ |G| = |Z(G)| +

G : CG (xi ta có p chia hết cấp của Z và do đó tâm
i

chứa một phần tử có cấp p, hay G chứa một phần tử có cấp p.

Footer Page 18 of 161.

16


Header Page 19 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.6

Bài tập về nhóm

Bài tập 1.1. Trong tập hợp Q, ta định nghĩa phép toán (∗) như sau
a ∗ b = a + b + ab, mọi a, b ∈ Q.
a, Hỏi (Q, ∗) có lập thành nhóm không? vì sao?
b, Chứng minh rằng nếu a, b ∈ Q \ {−1} thì a ∗ b ∈ Q \ {−1}.
c, Chứng minh rằng (Q\{−1}; ∗) lập thành nhóm.
Giải. a, Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của (Q, ∗).
Giả sử (Q, ∗) lập thành nhóm. Suy ra (−1) ∈ (Q, ∗) luôn có phần tử
nghịch đảo là b. Khi đó 0 = (−1) ∗ b = −1 + b + (−1).b = −1 (vô lí).
Suy ra (Q, ∗) không lập thành một nhóm.
b, Gọi a, b ∈ Q\{−1}.
Giả sử a ∗ b = −1. Khi đó a + b + ab = −1

−a − 1
⇔ b(a + 1) = −a − 1 ⇔ b =
= −1( trái với giả thiết a, b ∈
a+1
Q\{−1}). Nên a ∗ b = −1.
Vậy a ∗ b ∈ Q\{−1}.
c, Gọi a, b, c ∈ Q\{−1}, ta có
(a ∗ b) ∗ c = (a + b + ab) ∗ c = a + b + ab + c + ac + bc + abc.
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.
Từ đó suy ra (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Suy ra phép toán có tính chất kết hợp.
−a
.
1+a
−1
−1
−a
a(1 + a) − a
a2
(Vì a ∗ b = a ∗
= a+
+ a.
=
−
= 0).
1+a
1+a
1+a
1+a
1+a

Tương tự b ∗ a = 0. Suy ra mọi phần tử của Q\{−1} đều có nghịch đảo.
Với a ∈ Q\{−1}, phần tử nghịch đảo của a là b =

Footer Page 19 of 161.

17


Header Page 20 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Suy ra (Q\{−1}, ∗) lập thành một nhóm.
Bài tập 1.2. Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Chứng
minh rằng A là nhóm con của X ⇔ A.A−1 = A.
Giải. Ta có A−1 = a−1 : a ∈ A. Khi A là nhóm con của X thì A−1 ⊂ A.
Vì A−1 ⊂ A ⇒ A.A−1 ⊂ A.
Mặt khác mọi a ∈ A, ta có a = a.e−1 ∈ A.A−1 ⇒ A ⊂ A.A−1 .
Suy ra A = A.A−1 .
Ngược lại giả sử A = A.A−1 , suy ra mọi a, b ∈ A,ta có a.b−1 ∈ A.A−1 =
A.
Suy ra A là nhóm con của nhóm X.
Bài tập 1.3. Cho A, B là nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng
A ∪ B là nhóm con của X ⇔ A ⊆ B hoặc B ⊆ A.
Giải. Giả sử A ⊆ B hoặc B ⊆ A. Khi đó A ∪ B = B hoặc A ∪ B = A.
Do đó A ∪ B là nhóm con của X.
Ngược lại giả sử A

B và B

A. Khi đó A\B = ∅ và B\A = ∅ nên

tồn tại a ∈ A\B b ∈ B\A.
Vì A ∪ B là nhóm con của X nên a.b ∈ A ∪ B. Suy ra a.b ∈ A hoặc
a.b ∈ B. Suy ra a−1 .a.b = b ∈ A hoặc a.b.b−1 = a ∈ B (vô lí). Suy ra
A ⊆ B hoặc B ⊆ A.
Bài tập 1.4. Cho X là một nhóm với đơn vị e. Chứng minh rằng nếu
với mọi a ∈ X ta có a2 = e, thì X là nhóm abel.
Bài tập 1.5. Cho A là một nhóm con của nhóm X. Giả sử tập hợp
thương X/A có hai phần tử. Chứng ming rằng A là chuẩn tắc.

Footer Page 20 of 161.

18


Header Page 21 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Bài tập 1.6. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp vô hạn đều có vô hạn
nhóm con.
Bài tập 1.7. Tìm tất cả các nhóm con chuẩn tắc của nhóm các phép
thế S3 .

1.7

Bài tập về định lý Lagrange

Bài tập 1.8. Cho f : X → Y là một đồng cấu từ nhóm hữu hạn X đến
nhóm hữu hạn Y . Chứng minh rằng
a, Cấp của a ∈ X chia hết cho cấp của f (a).

b, Cấp của X chia hết cho cấp của f (X).
Giải. a, Giả sử cấp của a là m, khi đó am = e.
Khi đó [f (a)]m = f (am ) = f (e) = e.
Vậy cấp của f (a) là ước của m.
x
bằng chỉ số của kerf là một ước
kerf
của cấp của X( theo định lý Lagrange).
b, Do X là hữu hạn nên cấp của

Vậy cấp của f (X) là một ước của cấp của X.

Bài tập 1.9. Chứng minh rằng mọi cấp nguyên tố đều là nhóm Xyclic.
Giải. Gọi X là nhóm có cấp p (p là số nguyên tố) và x ∈ X\ {e}.
Khi đó |X| > 1. Theo định lý Lagrange thì |x| là ước của p.
Do p nguyên tố nên |x| = p, do đó X =< x >.
Vậy X là nhóm Xyclic.

Footer Page 21 of 161.

19


Header Page 22 of 161.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Bài tập 1.10. Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị là e, a ∈ X có
cấp là n. Chứng minh rằng ak = e khi và chỉ khi k chia hết cho n.
Bài tập 1.11. Cho a, b là hai phần tử tùy ý của một nhóm. Chứng minh
ab và ba có cùng cấp.

Bài tập 1.12. Chứng minh rằng mọi nhóm con cấp vô hạn đều có vô
hạn nhóm con.
Bài tập 1.13. Giả sử X là một nhóm xyclic cấp n và a ∈ X là một
phần tử sinh của nó. Xét phần tử b = ak . Chứng minh rằng
n
a) Cấp của b bằng , ở đây d là ƯCLN của k và n.
d
b) b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi k nguyên tố với n.
Bài tập 1.14. Giả sử a, b là hai phần tử của một nhóm, và giả sử ta
có cấp của a bằng r, cấp của b bằng s, với r, s nguyên tố cùng nhau, và
thêm nữa ab = ba. Chứng minh cấp của ab bằng rs.

Footer Page 22 of 161.

20


Header Page 23 of 161.

Chương 2
Tác động của nhóm lên tập hợp

Chương này tôi trình bày một số khái niệm: tác động, nhóm con đẳng
hướng, quĩ đạo, trình bày công thức các lớp và định lí Burnside.

2.1

Tác động của nhóm lên tập hợp

Định nghĩa 2.1. Cho S là một tập và G là một nhóm với e là đơn vị

của G. Một tác động trái của G lên S là một ánh xạ
G×S →S
(x, s) → xs
sao cho
i) es = s, với mọi s ∈ S.
ii) (xy)s = x(ys), với mọi x, y ∈ G, s ∈ S.
Tương tự ta có định nghĩa tác động phải của G lên S.
Khi có một tác động trái từ G lên S thì ta nói S là một G-tập và ảnh

Footer Page 23 of 161.

21


Header Page 24 of 161.
Chương 2. Tác động của nhóm lên tập hợp

của phần tử (x, s) ∈ G × S qua tác động này đươc kí hiệu là xs hoặc
x.s. Ta chỉ xét tác động trái, để thuận tiện ta gọi chung là tác động. Ta
gọi phần tử xs là tác động của x lên s. Với x ∈ G, ánh xạ cho tương ứng
s ∈ S với x.s ∈ S được gọi là ánh xạ liên kết của x.
Từ định nghĩa này ta dễ dàng có nhận xét sau
Nhận xét 2.1. Nhóm G tác động lên tập hợp S khi và chỉ khi có đồng
cấu nhóm G −→ Aut(S)
Ví dụ 2.1. Cho G là nhóm. Khi đó ánh xạ
G×G→G
(g, h) → gh
là một tác động của nhóm G lên tập G gọi là tác động chính quy.
Ví dụ 2.2. Cho G là nhóm. Khi đó ánh xạ
G×G→G

(x, a) → xax−1
là một tác động của nhóm G lên tập G gọi là tác động liên hợp.
Ví dụ 2.3. Cho G là nhóm. Kí hiệu S là tập các tập con của G. Khi đó
nhóm G tác động lên tập S bởi
G×S →S
(x, H) → xH

Footer Page 24 of 161.

22


Header Page 25 of 161.
Chương 2. Tác động của nhóm lên tập hợp

2.2

Công thức các lớp và định lý Burnside.

Bổ đề 2.1. Cho G là nhóm, S là một G-tập. Với s ∈ S, đặt Gs = {a ∈
G|as = s}. Khi đó Gs là nhóm con của G.
Chứng minh. Cho s ∈ S. Vì es = s nên e ∈ G. Cho x, y ∈ Gs . Khi đó
xs = s, ys = s.
Suy ra (xy)s = x(ys) = xs = s, suy ra xy ∈ Gs .
Cho x ∈ Gs . Khi đó xs = s. Suy ra s = es = (x−1 x)s = x−1 (xs) = x−1 s.
Suy ra x−1 ∈ Gs .
Từ đó Gs là nhóm con của G.
Nhóm con Gs ở trên được gọi là nhóm con đẳng hướng (hay nhóm
con ổn định) của s trong G.
Định nghĩa 2.2. Cho G là nhóm, S là một G-tập và s ∈ S. Tập hợp

orb(s) = G.s = {xs|x ∈ G} được gọi là quĩ đạo của s trong S.
Ví dụ 2.4. Xét tác động chính qui của G lên chính nó. Với a ∈ G quỹ
đạo của a trong G là orb(a) = {xa|x ∈ G = G}. Vì thế tác động này chỉ
có một quĩ đạo, đó là G.
Nhóm con đẳng hướng ứng với a là Ga = {x ∈ G|xa = a} = {e}.
Ví dụ 2.5. Xét tác động liên hợp của nhóm G lên chính nó. Với a ∈ G,
quĩ đạo của a trong G là orb(a) = {xax−1 |x ∈ G}, tập các phần tử liên
hợp của a trong nhóm G . Nhóm con đẳng hướng ứng với a là
Ga = {x ∈ G|xax−1 = a} = {x ∈ G|xa = ax}
Ví dụ 2.6. Kí hiệu S là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác
động của nhóm G lên S bằng phép liên hợp x.H = xHx−1 , với mọi

Footer Page 25 of 161.

23