Các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian

CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Qua
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
n A.
tâm 1. Vectơ pháp tuyến của mp (P): n→≠0→ là vectơ pháp tuyến của (P)⇔n→⊥(P).
7
Đưa 2. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) : hai vectơ không cùng phương a→,b→ là
vào cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá cùng song song với (P).
sổ
tay 3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n→ và cặp vectơ chỉ phương a→,b→ : n→=[a→,b→]
4. Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) :
(P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0
Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 thì có vectơ pháp
tuyến n→=(A,B,C) .
5. Phương trình mặt phẳng đi qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) :
xa+yb+zc=1
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0.
7. Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0
d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√
8. Góc giữa hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0
cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−−
−−−−−−−−√
Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng thì có hai phương pháp chính
Phương pháp 1. Xác định 1 điểm mà mặt phẳng đi qua và 1 vectơ pháp tuyến.
Phương pháp 2. Xác định 1 vectơ pháp tuyến và tham số D trong phương trình dạng tổng
quát Ax+By+Cz+D=0.


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng I. Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(–
1;1;3) và mặt phẳng
(P):x–3y+2z–5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và
vuông
góc với mặt phẳng (P).
Lời giải :
mp(Q) đi qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) là một vec chỉ phương (VTCP) của
mp(Q).
Mặt khác mp(Q) vuông góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến
(VTPT) nP−→ của (P) cũng là một VTCP của (Q)
Như vậy, VTPT của (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12)
Hiển nhiên thấy (Q) đi qua A(2;4;1) và nQ−→=(0;−8;−12) nên
(Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0
(Q):2y+3z−11=0 .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua hai điểm
A(2;1;3),B(1;−2;1) và song song với đường
thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R).
Lời giải :
mp(P) đi qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) là một VTCP của mp(P).
Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ của (d) cũng là
một VTCP của (P)
Như vậy, VTPT của (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1)
Hiển nhiên thấy (Q) đi qua B(1;−2;1) và nQ−→=(−10;4;−1) nên
(P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0


(P):10x−4y+z−19=0 .

C.

Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 và cách
điểm M(1;2;–1) một khoảng bằng 2√.
Lời giải :
Phương trình mp(P) đi qua O(0,0,0) nên có
dạng : Ax+By+Cz=0

(A2+B2+C2≠0).

Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B

(1)

d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−−
−√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2)

(2)

Từ (1) và (2) ta
được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0

(3)8A+5B=0 (4)

Từ (3):B=0,C=–A. Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0
Từ (4):8A+5B=0. Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 .
Ví dụ 4. (Đại học Khối D−2010)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng (P):x+y+z−3=0 và (Q):x−y+z−1=0. Viết phương trình mặt

phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2√.
Lời giải :
Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là
nP−→=(1;1;1) và nQ−→=(1;−1;1), suy ra:
[nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) là vectơ pháp tuyến của (R).
Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0.
Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= 2 ⇔D=22√ hoặc D=−22√.
Vậy phương trình mặt phẳng (R):x−z+22√=0 hoặc x−z−22√=0.


D. Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến
mặt cầu
Ví dụ 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
thẳng d:x−32=y−32=z1 và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−4z+2=0 . Lập phương
trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Lời giải :
(S) có tâm I(1;1;2), bán kính R=2.
d có VTCP u→=(2;2;1) .
{(P)∥d(P)∥Ox⇒(P) có VTPT n→=[u→,i→]=(0;1;−2). Trong
đó u→=(1,0,0) là VTCP của trục Ox.
Suy ra PT của (P) có dạng: y−2z+D=0 .
(P) tiếp xúc với (S)⇔ d(I,(P))=R⇔|1−4+D|12+22−−−−−−√=2⇔|D−3|
=25√⇔[D=3+25√D=3−25√
Vậy
(P):y−2z+3+25√=0 hoặc (P):y−2z+3−25√=0 .
Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Ví dụ 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) chứa đường
thẳng(d):x−11=y−1=z−2 và tạo với mặt phẳng (P):2x−2y−z+1=0 một góc 60∘ .
Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (Q) với trục Oz.

Lời giải :
(d) qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u→=(1;−1;−2)
(P) có VTPT nP−→=(2;−2;−1).
Giao điểm M(0;0;m) cho AM−→−=(−1;0;m)
(Q) có VTPT nQ−→=[AM−→−,u→]=(m;m−2;1)
(Q) và (P):2x−2y−z+1=0 tạo thành góc 60∘ nên :
|cos(nQ−→,nP−→)|=12⇔12m2−4m+5−−−−−−−−−−
−√=12⇔2m2−4m+1=0⇔[m=2−2√m=2+2√
Kết luận : M(0;0;2−2√) hay M(0;0;2+2√)


C. CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
Bài 1. (Đại học Khối B−2010)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), trong
đó b,c dương và mặt phẳng (P):y−z+1=0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông
góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 13.
Hướng dẫn :
Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x1+yb+zc=1
Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P):y−z+1=0, suy ra: 1b−1c=0
Ta có: d(O,(ABC))=13 ⇔11+1b2+1c2−−−−−−−−−−√=13⇔1b2+1c2=8

(1)
(2)

Từ (1) và (2), do b,c>0 suy ra b=c=12.
Bài 2. (Đại học Khối B−2009)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các
đỉnhA(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn :

Trường hợp 1:(P)∥ CD. Ta có : AB−→−=(−3;−1;2),CD−→−=(−2;4;0)

⇒(P) có VTPT n→=(−8;−4;−14) hay n→=(4;2;7)
⇒(P):4(x−1)+2(y−2)+7(z−1)=0⇔4x+2y+7z−15=0
Trường hợp 2: (P) qua I(1;1;1) là trung điểm CD
Ta có AB−→−=(3;1;2),AI−→=(0;1;0)

⇒(P) có VTPT n→=(2;0;3)
(P):2(x−1)+3(z−1)=0⇔2x+3z−5=0

D. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI


1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:
(d1):x−12=y+13=z−21,(d2):x−46=y−19=z−33.
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−4=0 và
mặt phẳng (P):x+z−3=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;−1) vuông
góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3),B(0;−1;2),C(1;1;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) .
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng (P):5x−2y+5z−1=0 và (Q):x−4y−8z+12=0. Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua
điểm M trùng với gốc tọa độO, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt
phẳng (Q) một góc 45∘ .

Mặt phẳng Khoảng cách từ 1 điểm... Góc giữa hai mặt phẳng Mặt cầu

Học Tại Nhà

(hoctainha.vn)
Thíc
h
182.161 người thích Học Tại Nhà (hoctainha.vn).