Khối tâm và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ DIỆU HUYỀN

KHỐI TÂM VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ DIỆU HUYỀN

KHỐI TÂM VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

1

Không gian Euclid

2

1.1

Không gian véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Không gian affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

Khối tâm và vận dụng

21

2.1

Khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Khối tâm và tọa độ khối tâm . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Tọa độ khối tâm các điểm đặc biệt . . . . . . . . . .

23

2.1.3

Diện tích theo tọa độ khối tâm . . . . . . . . . . . .

27

Phương trình đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . .

35

2.2.1

Khoảng cách theo tọa độ khối tâm . . . . . . . . . .

35

2.2.2

Phương trình đường thẳng qua tọa độ khối tâm . . .

37

2.2.3

Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . .

40

Vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2

2.3
Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Đàm Văn
Nhỉ, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong
suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin, Phòng
Đào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi,
động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.

Thái Nguyên, 2015

Nguyễn Thị Diệu Huyền
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


1

Mở đầu
Cho một hệ s điểm {M1 , M2 , . . . , Ms } trong không gian Rn và một hệ
gồm s số thực {α1 , α2 , . . . , αs } với
điểm M để

s

s

αk = 0. Khi đó, tồn tại duy nhất một

k=1

−→

αk M Mk = 0 và với mỗi điểm P đều có

k=1
s

−→

s

αk P M =
k=1

Nếu

s

−→

αk P Mk .
k=1

αk = 1 thì điểm M được gọi là điểm khối tâm của hệ s điểm

k=1

{M1 , M2 , . . . , Ms }; còn hệ {α1 , α2 , . . . , αs } với

s

αk = 1 và

k=1

s

−→

αk M Mk =
k=1

0 được gọi là tọa độ khối tâm của M đối với hệ s điểm {M1 , M2 , . . . , Ms }.
Trong luận văn này chúng ta tìm hiểu về tọa độ khối tâm và một số ứng
dụng như: Tính diện tích tam giác, tính khoảng cách theo tọa độ khối tâm và
giải một số bài toán hình học trong các đề thi Olympic. Ngoài phần mở đầu
và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương với nội dung chính như sau.
Chương 1 là chương chuẩn bị, chương này trình bày một số kiến thức cơ
bản về không gian vector, không gian Euclid và không gian affin.
Chương 2 trình bày khái niệm về khối tâm, toạ độ khối tâm và một số ứng
dụng để tính diện tích và tính khoảng cách theo tọa độ khối tâm.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Nguyễn Thị Diệu Huyền
Email:


2

Chương 1

Không gian Euclid
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian véctơ, không
gian afin và không gian Euclid.

1.1

Không gian véctơ

−
−
−
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập V mà các phần tử được kí hiệu: →
u ,→
v ,→
w , . . . và
trường K mà các phần tử được kí hiệu: a, b, c, . . . Giả sử trên V có hai phép
toán:
- Phép toán trong, kí hiệu: + : V × V → V
−
−
−
−
(→
u ,→
v)→→
u +→
v
- Phép toán ngoài, kí hiệu: . : K × V → V
−
−
(a, →
v ) → a.→
v
−
−
−
thỏa mãn các tính chất sau với mọi →
u ,→

v ,→
w ∈ V và với mọi a, b ∈ K:
−
−
−
−
−
−
1) (→
u +→
v)+→
w =→
u + (→
v +→
w );
→
−
→
− −
→
−
−
−
2) Có 0 ∈ V sao cho 0 + →
u =→
u + 0 =→
u;
→
−
→

− →
→
−
→
−
−
3) Có u ∈ V sao cho u + −
u =→
u +u = 0;
−
−
−
−
4) →
u +→
v =→
v +→
u;
−
−
−
5) (a + b).→
u = a.→
u + b.→
u;
−
−
−
−
6) a.(→

u +→
v ) = a.→
u + a.→
v;
−
−
7) a.(b.→
u ) = (a.b).→
u;


3
−
−
8) 1.→
u =→
u trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó V cùng với hai phép toán xác định như trên được gọi là một K−
không gian véctơ hay không gian véctơ trên trường K hay gọi tắt là không
gian véctơ.
Nếu K = R thì V được gọi là không gian véctơ thực. Nếu K = C thì V
được gọi là không gian véctơ phức.
Ví dụ. 1) Tập các véctơ trong không gian với các phép cộng và nhân véctơ
với một số thực là một không gian véctơ thực.
2) Tập K[x] các đa thức biến x với hệ số thuộc trường K với phép cộng
đa thức và nhân đa thức với phần tử thuộc trường K là một K− không gian
véctơ.
−
Định nghĩa 1.1.2. 1) Một tổ hợp tuyến tính của hệ véctơ (→
ui ), i = 1, 2, . . . , n

với họ hệ số (ai ), i = 1, 2, . . . , n là
n

−
−
−
→.
ai →
ui = a1 →
u1 + a2 →
u2 + · · · + . . . an −
u
n

i=1

−
Nếu →
u =

n

−
−
−
ai →
ui thì →
u được gọi là biểu thị tuyến tính theo hệ (→
ui ), i =

i=1

1, 2, . . . , n.
−
2) Hệ véctơ (→
ui ), i = 1, 2, . . . , n được gọi là độc lập tuyến tính nếu
n
→
−
−
ai →
ui = 0 kéo theo ai = 0, i = 1, 2, . . . , n.
i=1
−
Hệ véctơ (→
u ), i = 1, 2, . . . , n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó
i

không độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử V là một không gian véctơ trên K.
1) Một hệ véctơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi véctơ của V
đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là một
không gian véctơ hữu hạn sinh.


4
3) Một hệ véctơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi véctơ của V đều
biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.
Định nghĩa 1.1.4. Nếu V là không gian véctơ hữu hạn sinh thì V có cơ sở

hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong V đều như nhau. Số đó được gọi là
số chiều của không gian véctơ V . Khi V là một không gian véctơ có số chiều
n ta viết dim V = n.
−
−
→) của K− không gian véctơ n
Định nghĩa 1.1.5. Cho cơ sở (→
u1 , →
u2 , . . . , −
u
n
−
chiều V thì mọi véctơ →
u ∈ V được viết một cách duy nhất dưới dạng
→
−
u =

n

−
ai →
ui ,

ai ∈ K.

i=1

−
−

−
→).
Khi đó (a1 , a2 , . . . , an ) được gọi là tọa độ của →
u đối với cơ sở (→
u1 , →
u2 , . . . , −
u
n
Định nghĩa 1.1.6. Tập con W của một K− không gian véctơ V được gọi là
không gian véctơ con của V nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1) W đóng đối với hai phép toán của V , nghĩa là
−
−
−
−
+ ∀→
u ,→
v ∈ W, →
u +→
v ∈ W.
−
−
+ ∀→
u , ∀a ∈ K, a.→
u ∈ W.
2) W cùng với hai phép toán của V là một K− không gian véctơ.
Nhận xét: - Điều kiện 1) tương đương với điều kiện sau:
−
−
−

−
∀→
u ,→
v ∈ W, ∀a, b ∈ W, a→
u + b→
v ∈ W.
→
−
- Từ điều kiện 2) suy ra W phải chứa véctơ 0 , tức là W = ∅.

1.2

Không gian affine

Định nghĩa 1.2.1. Cho V là một không gian vector trên trường K và A là
một tập khác rỗng mà các phần tử của nó được gọi là các điểm. Giả sử có ánh


5
xạ
ϕ: A×A → V
(M, N ) → ϕ(M, N )
thỏa mãn hai điều kiện sau:
−
a) Với điểm M ∈ A và vector →
v ∈ V đều có duy nhất N ∈ A sao cho
−
ϕ(M, N ) = →
v.
b) Với ba điểm M, N, P ∈ A ta luôn có

ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ) = ϕ(M, P ).
Khi đó, ta nói A là một không gian affine hay đầy đủ hơn A là không gian
affine trên trường K liên kết với không gian vector V bởi ánh xạ liên kết ϕ.
V được gọi là không gian vector liên kết với A và thường được kí hiệu
→
−
lại là A . Còn ϕ được gọi là ánh xạ liên kết và để thuận tiện cũng như trực
−−→
quan hơn ta thay kí hiệu ϕ(M, N ) bằng M N . Khi đó các điều kiện trong định
nghĩa có thể được viết lại như sau:
→
−
−−→ −
−
a ) ∀M ∈ A, ∀→
v ∈ A ; ∃! N ∈ A, M N = →
v;
−−→ −−→ −−→
b ) M, N, P ∈ A; M N + N P = M P

(hệ thức Chasles).

Khi K = R, ta nói A là một không gian affine thực. Khi K = C, ta nói A là
một không gian affine phức.
Đôi khi ta nói A là một K− không gian affine để nhấn mạnh vế trường
K.
→
−
Kí hiệu (A, A , ϕ) là một không gian affine. Để đơn giản ta viết tắt là
A(K) hay A.

→
−
Khi A là không gian vector n chiều thì ta nói A là không gian affine n
chiều và dùng kí hiệu An để nhấn mạnh về số chiều của A. Kí hiệu số chiều
→
−
của A là dim A. Như vậy dim A = dim A .


6
Ví dụ 1.2.1. Không gian hình học ở trung học phổ thông cùng với các véctơ
trong không gian là một không gian affine.
Sau đây là một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa của không gian
affine.
Định lí 1.2.1. Với mọi M, N, P, Q ∈ A, ta có
−−→ →
−
a) M N = 0 khi và chỉ khi M = N ,
−−→
−−→
b) M N = −N M ,
−−→ −→
−−→ −−→
c) M N = P Q khi và chỉ khi M P = N Q,
−−→ −−→ −−→
d) M N = P N − P M .
−−→ −−→
Chứng minh. a) Giả sử M = N . Theo hệ thức Chasles ta có M N + M M =
−−→
−−→ →

−
M M . Do đó M M = 0 .
−−→ →
−−→ →
−
−
Ngược lại nếu M N = 0 thì theo chứng minh trên ta có M M = 0 . Do
đó, theo điều kiện thứ nhất trong định nghĩa 1, ta có M = N .
b) Theo hệ thức Chasles ta có
−−→ −−→ −−→ →
−
MN + NM = MM = 0 .
−−→
−−→
Do đó M N = −N M .
−−→ −→
−−→ −−→ −−→ −→
−−→ −−→
c) Ta có M N = P Q ⇔ M N + N P = N P + P Q ⇔ M P = N Q.
d) Suy ra từ hệ thức Chasles và tính chất b.
Tiếp theo là khái niệm phẳng, độc lập affine và phụ thuộc affine. Phẳng
là khái niệm mở rộng theo số chiều của các khái niệm quen thuộc như điểm
(0 - chiều), đường thẳng (1 - chiều) và mặt phẳng (2 - chiều). Trong E 3 , một
đường thẳng d được hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ d
−
và một vector chỉ phương →
v của nó. Một mặt phẳng α được hoàn toàn xác
định nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ α và một cặp vector chỉ phương

7
−
−
{→
u ,→
v } của nó. Chúng ta có thể mô tả đường thẳng d và mặt phẳng α như
sau
−−→
−
d = {M ∈ E 3 : P M = a→
v ; a ∈ R},
−−→
−
−
α = {M ∈ E 3 : P M = a→
u + b→
v ; a, b ∈ R}.
→
−
Định nghĩa 1.2.2. Cho (A, A , ϕ) là một không gian affine, P là một điểm
→
−
−
thuộc A và →
α là một không gian véctơ con của A . Tập hợp
−−→ −
α = {M ∈ A : P M ∈ →
α}
−
gọi là phẳng đi qua P với phương →

α.
−
Nếu dim →
α = m, ta nói α là một phẳng m− chiều hay một m− phẳng
−
và viết dim α = m. Như vậy dim α = dim →
α.
Theo cách gọi thông thường, 1− phẳng gọi là đường thẳng, còn 2− phẳng
gọi là mặt phẳng. Siêu phẳng là tên gọi của phẳng có đối chiều 1, tức là nếu
số chiều của không gian là n thì số chiều của siêu phẳng sẽ là n − 1.
Các khái niệm độc lập affine và phụ thuộc affine trong hình học affine là
các khái niệm tương tự các khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến
tính.
Định nghĩa 1.2.3. Hệ m + 1 điểm {A0 , A1 , . . . , Am } (m ≥ 1) của không
−−−→ −−−→
gian affine A được gọi là độc lập affine nếu hệ m vector {A0 A1 , A0 A2 , . . .
−−−→
→
−
A0 Am } của A là một hệ vector độc lập tuyến tính. Hệ điểm không độc lập
affine gọi là phụ thuộc affine.
Ví dụ 1.2.2. a) Hệ hai điểm {P, Q} trong A là độc lập khi và chỉ khi P = Q.
b) Hệ 3 điểm {P, Q, R} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng không
thuộc một đường thẳng (không thẳng hàng).


8
c) Hệ 4 điểm {P, Q, R, S} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng không
thuộc một mặt phẳng (không đổng phẳng).
d) Tổng quát, hệ m + 1 điểm {A0 , A1 , . . . , Am } trong A là độc lập khi và

chỉ khi chúng không cùng thuộc một (m − 1)− phẳng.
Định nghĩa 1.2.4. Trong không gian affine n chiều An với 0 < m ≤ n + 1,
luôn tồn tại các hệ m điểm độc lập. Mọi hệ gồm hơn n + 1 điểm đều phụ
thuộc.
−
→
−
−
−
Chứng minh. Giả sử {→
e1 , →
e2 , . . . , . . . , →
en } là một cơ sở nào đó của An . Lấy
−−−→
−
A0 ∈ An . Khi đó, tồn tại duy nhất các điểm Ai sao cho A0 A1 = →
ei , i =
1, 2, bc, n.
Theo định nghĩa hệ {A0 , A1 , . . . , An } là hệ gồm n + 1 điểm độc lập. Khi
đó, dĩ nhiên hệ {A0 , A1 , . . . , Am−1 } với 0 < m ≤ n + 1 là hệ gồm điểm độc
lập.
Nếu hệ {B0 , B1 , . . . , Bp } gồm hơn n + 1 điểm, tức là p > n thì hệ
−−−→ −−−→
−−−→
{B0 B1 , B0 B2 , . . . , B0 Bp } là hệ có nhiều hơn n vector nên phụ thuộc tuyến
tính. Theo định nghĩa, hệ gồm p + 1 điểm {B0 , B1 , . . . , Bp } phụ thuộc affine.

Cho {αi : i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng trong không gian
affine A.
Định lí 1.2.2. Nếu

αi = ∅ thì
i∈I

Chứng minh. Vì

→
−
αi .

αi là một phẳng là
i∈I

i∈I

αi = ∅ nên tồn tại P ∈

αi . Điểm M ∈
αi khi và
i∈I
i∈I
i∈I
−−→
→
−
chỉ khi M ∈ αi , ∀i ∈ I; tức là khi và chỉ khi P M ∈
αi , ∀i ∈ I. Điều
i∈I
−−→
→

−
này tương đương với P M ∈
αi . Nói cách khác
i∈I

αi =
i∈I

−−→
M ∈ A : PM ∈

→
−
αi ,
i∈I


9
−−→
αi là phẳng đi qua P với không gian chỉ phương là P M ∈

nghĩa là
i∈I

→
−
αi .
i∈I

Định nghĩa 1.2.5. Phẳng

αi được gọi là phẳng gian của các phẳng αi .
i∈I

Từ định nghĩa trên, dễ thấy
cả các phẳng αi , i ∈ I.

αi chính là phẳng lớn nhất chứa trong tất
i∈I

Định nghĩa 1.2.6. Cho X là một tập con khác rỗng của không gian affine A.
Khi đó giao của mọi phẳng chứa X trong A sẽ là một phẳng, gọi là bao affine
của X, kí hiệu X .
Bao affine X của tập X là phẳng bé nhất chứa X.
Định nghĩa 1.2.7. Cho {αi : i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng. Bao
affine của tập hợp
phẳng αi , kí hiệu

αi được gọi là phẳng tổng (hay vắn tắt là tổng) của các
i∈I

αi .

i∈I

Định lí 1.2.3. Cho α và β là hai phẳng. Nếu α ∩ β = ∅ thì với mọi điểm
−
−→ − →
P ∈ α và với mọi điểm Q ∈ β, ta có P Q ∈ →
α + β . Ngược lại nếu có điểm

−
−→ − →
P ∈ α và có điểm Q ∈ β sao cho P Q ∈ →
α + β thì α ∩ β = ∅.
Chứng minh. Giả sử α ∩ β = ∅. Lấy điểm M ∈ α ∩ β. Khi đó với mọi điểm
−
−−→ −
−−→ →
P ∈ α và với mọi điểm Q ∈ β, ta có P M ∈ →
α và M Q ∈ β . Do đó
→
−
−→ −−→ −−→ →
P Q = P M + MQ ∈ −
α + β.
−
−→ − →
Ngược lại giả sử có điểm P ∈ α và có điểm Q ∈ β sao cho P Q ∈ →
α + β.
−
→
−
−→ − →
−→ − →
−
−
−
Do P Q ∈ →
α + β nên P Q ∈ →
u +−

v với →
u ∈→
α,→
v ∈ β.
Khi đó tồn tại duy nhất điểm M ∈ α và tồn tại duy nhất điểm N ∈ β sao
−−→ −
−−→
−→ −−→ −−→
−→ −−→
−
cho P M = →
u và QN = −→
v . Do đó P Q = P M − QN hay P Q + QN =
−−→ −−→
P N = P M nên N ≡ M , tức là α ∩ β = ∅.


10
Chúng ta có định lý sau nói về số chiều của tổng hai phẳng, tương tự như
định lý nói về số chiều của tổng hai không gian vector con.
→
−
−
Định lí 1.2.4. Giả sử α và β là hai phẳng với phương lần lượt là →
α và β .
Khi đó
1. nếu α ∩ β = ∅ thì
dim(α + β) = dim α + dim β − dim(α ∩ β);
2. nếu α ∩ β = ∅ thì
→

−
−
dim(α + β) = dim α + dim β − dim(→
α ∩ β ) + 1.
Tiếp theo ta trình bày kiến thức cơ bản về tâm tỉ cự và tỉ số đơn.

Định nghĩa 1.2.8. Cho họ điểm {P1 , P2 , . . . , Pm } ⊂ An và họ hệ số {λ1 , λ2 , . . . , λm }, λ
K thỏa mãn điều kiện
λ := λ1 + λ2 + · · · + λm = 0.
Lấy một điểm O tùy ý của An , khi đó
1

−−→
−−→
(λ1 OP1 + · · · + λm OPm )
λ
là một vector xác định của An . Do đó, tồn tại duy nhất một điểm G ∈ An sao
cho
−−→
−→ 1 −−→
OG = (λ1 OP1 + · · · + λm OPm ).
λ
Ta gọi điểm G là tâm tỉ cự của họ {P1 , P2 , . . . , Pm } gắn với họ hệ số {λ1 , λ2 , . . . , λm }.
Định lí 1.2.5. Điểm G là tâm tỉ cự của họ điểm {P1 , P2 , . . . , Pm } gắn với họ
hệ số {λ1 , λ2 , . . . , λm } khi và chỉ khi G thỏa mãn hệ thức
−−→
−−→
−−→ →
−
λ1 GP1 + λ1 GP2 + · · · + λm GPm = 0 .

11
Chứng minh. Thật vậy
−→ 1 −−→
−−→
OG = (λ1 OP1 + · · · + λm OPm )
λ
−→
−−→
−−→
⇔(λ1 + λ2 + · · · + λm )OG = λ1 OP1 + · · · + λm OPm
−→ −−→
−→ −−→
→
−
⇔λ1 (GO + OP1 ) + · · · + λm (GO + OPm ) = 0
−−→
−−→
−−→
⇔λ1 GP1 + λ1 GP2 + · · · + λm GPm .

Từ Định lý 1.2.5 ta suy ra hai hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.1. Tâm tỉ cự không phụ thuộc vào điểm O được chọn mà chỉ phụ
thuộc vào hệ điểm {P1 , P2 , . . . , Pm } và họ hệ số {λ1 , λ2 , . . . , λm }.

Hệ quả 1.2.2. Khi thay họ hệ số {λ1 , λ2 , . . . , λm } bởi họ hệ số {kλ1 , kλ2 , . . . , kλm }, k =
0 thì tâm tỉ cự không thay đổi.
Định nghĩa 1.2.9. Tâm tỉ cự G của {P1 , P2 , . . . , Pm } gắn với họ hệ số {λ1 , λ2 ,
. . . , λm } với λ1 = λ2 = · · · = λm (theo Hệ quả 1.2.2 có thể chọn λ1 = λ2 =

· · · = λm = 1) gọi là trọng tâm của hệ điểm đó.
Dễ thấy trọng tâm G được xác định bởi hệ thức
1
−→
OG =
m
trong đó O ∈ A tùy ý hay

m

m

−−→
OPi ,

i=1

−−→ →
−
GPi = 0 .

i=1

Trọng tâm của hệ hai điểm {P, Q} còn gọi là trung điểm của cặp điểm P, Q.
Định lí 1.2.6. Tập tất cả các tâm tỉ cự với họ các hệ số khác nhau của hệ điểm
{P0 , P1 , . . . , Pm } trong không gian affine An chính là phẳng α = P0 + P1 +
· · · + Pm .


12

−−→ −−→
−−−→
−
Chứng minh. Dễ thấy →
α được sinh bởi hệ vector {P0 P1 , P0 P2 , . . . , P0 Pm }.
−−→ −−→
−−→
Ta có thể giả sử một cơ sở của α là {P0 P1 , P0 P2 , . . . , P0 Pk }, tức là α là
−−→ −
phẳng k− chiều. Giả sử điểm G ∈ α. Điều này tương đương với P G ∈ →
α
−−→
hay P0 G =

0

k

−−→
λi P0 Pi . Ta có

i=1

−−→
P0 G =

k

k

−−→ −−→
λi (GPi − GP0 ) ⇔

1−

i=1

−−→
GP0 +

λi
i=1

k

−−→ →
−
λi GPi = 0 .

i=1

Đẳng thức này chứng tỏ G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P0 , P1 , . . . , Pm } gắn với
k

họ hệ số 1 −

λi , λ1 , λ2 , . . . , λk , 0, . . . , 0 .

i=1

Ngược lại, giả sử G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P0 , P1 , . . . , Pm } gắn với họ
hệ số {λ0 , λ1 , . . . , λm }. Khi đó
m

m

−−→ →
−
λi GPi = 0 ⇔

i=1

i=1
m

⇔

−−→ −−→
→
−
λi (GP0 + P0 Pi ) = 0
m

−−→
λi GP0 +

i=1

−−→ →
−

λi P0 Pi = 0

i=1

−−→
⇔ P0 G =

m

1
m

λi

−−→
λi P0 Pi .

i=1

i=1

−−→ −
Đẳng thức này chứng tỏ P0 G ∈ →
α hay G ∈ α.
Hệ quả 1.2.3. Cho hệ m+1 điểm {P0 , P1 , . . . , Pm }, α = P0 +P1 +· · ·+Pm
và một điểm O tùy ý. Khi đó, điểm M ∈ α khi và chỉ khi tồn tại các µi , i =
m

0, 1, 2, . . . , m;

µi = 1 sao cho
i=1

−−→
OM =

m

−−→
µi OPi .

i=0

Hơn nữa, nếu hệ điểm {P0 , P1 , . . . , Pm } là độc lập thì các µi tồn tại duy nhất.
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.6 M ∈ α khi và chỉ khi M là tâm tỉ cự của
hệ điểm {P0 , P1 , . . . , Pm } gắn với họ hệ số {λ0 , λ1 , . . . , λm } nào đó. Đặt


13

µi =

λi
m

. Theo định nghĩa của tâm tỉ cự ta có khẳng định thứ nhất của hệ

λi
quả.

i=0

−−→
Giả sử hệ điểm {P0 , P1 , . . . , Pm } là độc lập và OM =
−−→
1. Ta có OM =

m

−−→
−−→
µi OPi ⇔ P0 M =

i=0

m

m

−−→
µi OPi với

i=0

m

µi =
i=0

−−→

µi P0 Pi . Từ đây suy ra µi , i =

i=1

1, 2, . . . , m là duy nhất và do đó µ0 cũng duy nhất.

1.3

Không gian Euclid

Định nghĩa 1.3.1. Một không gian affine thực được gọi là không gian Euclid
nếu không gian vector liên kết là một không gian vector Euclid.
→
−
Ta dùng kí hiệu E để chỉ không gian Euclid và E để chỉ không gian nền
−
→
của nó. Đôi khi để nhấn mạnh số chiều ta dùng kí hiệu E n và E n .
Ví dụ 1.3.1. 1) Không gian 2 chiều trong hình học giải tích phẳng ở PTTH là
không gian Euclid 2 chiều, được ký hiệu E 2 . Không gian nền của nó chính là
−
→
không gian các vector tự do trong mặt phẳng, ký hiệu E 2 , với tích vô hướng
chính tắc.
2) Không gian 3 chiều thông thường trong hình học giải tích ở PTTH là
không gian Euclid 3chiều, được ký hiệu E 3 . Không gian nền của nó chính là
−
→
không gian các vector tự do, ký hiệu E 3 , với tích vô hướng chính tắc.
−

→
3) Không gian vector Euclid E n là không gian Euclid n-chiều liên kết với
chính nó với cấu trúc affine chính tắc.
Định nghĩa 1.3.2. Cho E n là một không gian Euclid n-chiều. Một mục tiêu
affine của En gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là cơ sở trực
−
→
chuẩn của E n . Tọa độ của điểm M ∈ E n đối với một mục tiêu trực chuẩn
được gọi là tọa độ trực chuẩn.


14
Ví dụ 1.3.2. Xét không gian Rn với tích vô hướng chính tắc và cấu trúc
−
affine chính tắc. Mục tiêu affine {O, →
e } của không gian Euclid Rn với điểm
i

−
O = (0, 0, ..., 0) và {→
ei } là cơ sở chính tắc của Rn , là một mục tiêu trực
chuẩn.
Nếu trong hình học affine, giữa hai phẳng chỉ có thể nói đến các vị trí
tương đối: cắt nhau, song song và chéo nhau; thì nay trong hình học Euclid,
một vị trí tương đối quan trọng là vị trí trực giao (vuông góc) được xét đến.
Cần chú ý rằng khái niệm trực giao ở đây có chỗ khác biệt so với khái niệm
vuông góc trong hình học ở PTTH. Chúng ta sẽ phân tích sự khác biệt này ở
các ví dụ.
Định nghĩa 1.3.3. Hai phẳng α và β trong không gian Euclid E gọi là trực
giao (hay vuông góc)với nhau, kí hiệu α ⊥ β, nếu phương của chúng là các

→
−
→
−
−
không gian vector con trực giao trong E . Nếu các phương →
α , β bù trực giao
→
−
trong E , ta nói α và β là bù trực giao hay α bù trực giao với β hay β bù trực
giao với α.
Ví dụ 1.3.3. Các ví dụ sau được xét trong không gian Euclid 3 - chiều thông
thường.
→
−
1. Do vector 0 là vuông góc với mọi vector nên một điểm, tức là 0 phẳng, trực giao với mọi phẳng trong E.
2. Hai đường thẳng vuông góc, theo nghĩa thông thường ở PTTH, là hai
đường thẳng trực giao với nhau.
3. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, theo nghĩa thông
thường ở PTTH, là hai phẳng bù trực giao.
4. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, theo nghĩa thông thường ở PTTH,
không phải là hai phẳng trực giao.


15
→
−
−
Theo định nghĩa, hai phẳng α và β trực giao khi và chỉ khi →
α ⊥ β

→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
nên →
α ∩ β = { 0 }. Từ đây suy ra dim(→
α + β ) = dim →
α + dim β =
dim α + dim β. Do đó
1. nếu dim α + dim β > n, thì α và β không trực giao (điều này cho thấy
hai mặt phẳng trong không gian Euclid 3 chiều không thể trực giao nhau);
2. nếu α và β bù trực giao nhau thì dim α + dim β = n, hay nói cách khác
α + β = E n.
Người ta gọi hai phẳng là đối trực giao nếu các phẳng bù trực giao với chúng
là trực giao với nhau. Cũng với lập luận tương tự như trên, định lý sau cho ta
thấy rõ về giao của các phẳng trực giao.
Định lí 1.3.1. Trong không gian Euclid E,
1. hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung;
2. hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất.
→
−
−
Chứng minh. 1. Giả sử hai phẳng α và β trực giao trong E. Do →

α + β =
→
−
{ 0 }, nên nếu α ∩ β = ∅ thì giao của chúng chỉ có thể là một điểm.
2. Để chứng minh phần còn lại của định lý, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng
giao của hai phẳng bù trực giao α và β luôn luôn khác rỗng. Giả sử α∩β = ∅,
theo định lý về số chiều của phẳng tổng, ta có
dim(α + β) = dim α + dim β + 1 = n + 1 > n.
Điều mâu thuẩn này chứng tỏ α ∩ β = ∅ và do đó theo phần 1 thì α và β có
giao là một điểm
Định lí 1.3.2. Trong E n cho hai phẳng bù trực giao α và β. Nếu phẳng γ trực
giao với β thì γ song song với α.
→
−
−
Chứng minh. Theo định nghĩa α và β bù trực giao khi và chỉ khi →
α và β
→
−
−
bù trực giao. Khi đó, →
α là tập tất cả các vector vuông góc với β và do đó
→
−
→
−
γ ⊂ β.


16

Hệ quả 1.3.1. Qua một điểm A cho trước của E n có một và chỉ một (n − m)phẳng bù vuông góc với một m-phẳng α đã cho.
→
−
−
Chứng minh. Gọi β là phần bù trực giao của →
α và gọi β là phẳng đi qua
→
−
A với phương là β . Khi đó β là (n − m) - phẳng bù vuông góc với α. Nếu
(n − m) - phẳng β cũng bù trực giao với phẳng α thì β và β song song, có
cùng số chiều và có điểm chung nên chúng trùng nhau.
Tiếp theo ta tìm hiểu về khoảng cách, góc và thể tích. Nhờ vào tích vô
hướng, chúng ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách
giữa hai phẳng và một cách tổng quát là khoảng cách giữa hai hình.
Định nghĩa 1.3.4. a) Khoảng cách giữa hai điểm M, N trong E, ký hiệu
−−→
d(M, N ) là độ dài của vector M N .
−−→
d(M, N ) := M N .
b) Khoảng cách giữa hai phẳng α và β trong E, ký hiệu d(α, β) là số

inf

N ∈β,M ∈α

d(M, N ).

Như vậy
d(α, β) :=

inf

N ∈β,M ∈α

d(M, N ).

Nhận xét. 1) Nếu α và β là các 0 - phẳng thì hai định nghĩa trên là trùng
nhau.
2) Chúng ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai hình tùy ý tương tự
như định nghĩa khoảng cách giữa hai phẳng.
3) Dễ thấy d là một metric trong E, tức là M, N, P ∈ E
a) d(M, N ) ≥ 0, d(M, N ) = 0 ⇔ M = N ;
b) d(M, N ) = d(N, M );
c) d(M, N ) + d(N, P ) ≥ d(M, P ) (bất đẳng thức tam giác).


17
Định nghĩa 1.3.5. Trong E cho hai phẳng α, β và d là đường thẳng cắt cả α
lẫn β. Nếu d ⊥ α và d ⊥ β thì d được gọi là đường vuông góc chung của α
và β.
Định lí 1.3.3. Nếu đường vuông góc chung d của α và β cắt α tại A, cắt β tại
B thì
d(α, β) = d(A, B).
−→
−−→
Khi đó, với M ∈ α và N ∈ β thì d(α, β) = d(M, N ) ⇔ AB = M N
−
−−→ −−→ − →
⇔ AM = BN ∈ →
α ∩ β.

Chứng minh. Với mọi M ∈ α và N ∈ β ta có
−−→ −−→ −→ −−→
M N = M A + AB + BN .
Suy ra
−−→
MN

2

−−→ −−→
= M A + BN

2

−→
+ AB

2

−→ −−→ −−→
+ 2AB(M A + BN ).

−
−−→ −
−−→ →
Do M A ∈ →
α và BN ∈ β
−→ −−→ −−→
AB(M A + BN ) = 0,
cho nên

−−→
MN

2

−−→ −−→
= M A + BN

2

−→
+ AB 2 .

Từ đây suy ra d(A, B) ≤ d(M, N ). Vậy theo định nghĩa, ta có
d(A, B) = d(α, β).
Theo giả thiết
−−→
−→
d(α, β) = d(M, N ) ⇔ M N = AB
−−→ −−→
⇔ M A + BN = 0


18
−
−−→ −−→ − →
⇔ AM = BN ∈ →
α ∩ β
−→ −−→
⇔ AB = M N .

Khoảng cách giữa hai điểm. Giả sử điểm M có tọa độ (x1 , . . . , xn ) và điểm
−
N có tọa độ (y , . . . , y ) đối với mục tiêu trực chuẩn đã cho {O, →
e } của E n .
1

n

i

Khi đó dễ thấy
n

(yi − xi )2 .

d(M, N ) =
i=1

Khoảng cách giữa hai phẳng. Trong E n xét hai phẳng α và β. Ta có các
trường hợp sau:
1) α ∩ β = ∅. Khi đó d(α, β) = 0.
2) α ∩ β = ∅. Khi đó α và β có đường vuông góc chung AB, với A ∈ α
→
−
−
→
−
và B ∈ β. Gọi {→
ω1 , . . . , −

ω→
m } là một cơ sở bất kỳ của α + β , M ∈ α và
N ∈ β; ta có
−−→ −−→ −→ −−→
M N = M A + AB + BN .
Do
−−→ −−→ −→
M A + BN ⊥ AB,
nên
−−→
−
→
−
−
→ −−→
det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m , M N ) = det Gr(ω1 , . . . , ωm , M A
−−→
−→
−
+ BN ) + det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m , AB).
Chú ý rằng
−−→ −−→
−
det Gr(→

ω1 , . . . , −
ω→
m , M A + BN ) = 0.
nên cuối cùng
−−→
−
→
−
−
→ −→
det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m , M N ) = det Gr(ω1 , . . . , ωm , AB)


19
−→
= AB
Do đó

2

−
det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m ).

−−→

−
det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m, M N )
d(α, β) =
.
−
det Gr(→
ω ,...,−
ω→)
1

m

Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1 và d2 trong E làn lượt
→
−
−
có các vector chỉ phương →
a và b . Khi đó góc giữa hai đường thẳng d và d
1

2

là số θ, 0 ≤ θ ≤ π2 , xác định bởi
→
−
−
|→

a.b|
cos θ =
→
− .
→
−
a
b
Góc giữa hai siêu phẳng. Góc giữa hai siêu phẳng α và β trong E n được xác
−
−
định là góc giữa hai đường thẳng lần lượt trực giao với α và β. Nếu →
n và →
m
lần lượt là các phép vector của α và β, thì góc giữa hai siêu phẳng α và β tính
theo công thức
−
−
|→
n .→
m|
cos θ = →
.
−
−
n →
m
Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng. Trong E cho đường thẳng d và siêu
phẳng α. Khi đó góc θ (0 ≤ θ ≤ π/2) giữa đường thẳng d và siêu phẳng α
được định nghĩa là góc phụ với góc giữa đường thẳng trực giao với α. Nếu gọi

→
−
−
α là vector chỉ phương của d và →
n là pháp vector của α thì θ được tính như
sau:

−
−
|→
a .→
n|
.
sin θ = →
−
−
a →
n

Thể tích của hình hộp. Cho m− hộp H xác định bởi điểm O và hệ m vector
−
{→
ω ,...,−
ω→}. Khi đó thể tích của m - hộp H, kí hiệu V (H) được định nghĩa
1

là số

m

−
det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m ). Như vậy
V (H) :=

−
det Gr(→
ω1 , . . . , −
ω→
m ).


20
Nếu H là 1 - hộp, tức là một đoạn thẳng thì thể tích của H chính là độ dài của
H. Khi H là 2 - hộp, thuật ngữ diện tích sẽ được thay thế cho thể tích.
−
Ta gọi (m−1) - hộp H xác định bởi O và hệ m−1 vector {→
ω ,...,−
ω−−→}
1

m−1

−→
là đáy của hộp H. Gọi P là điểm sao cho OP = −
ω→
m . Khoảng cách từ P đến
(m − 1) - phẳng chứa H gọi là chiều cao của hộp H, kí hiệu h. Ta có công

thức sau
V (H) = V (H )h.
Thể tích của hình đơn. Cho m− đơn hình S xác định bởi hệ m + 1 điểm
{P0 , P1 , . . . , Pm }. Thể tích của S, kí hiệu V (S) được xác định là số
1
V (S) :=

V (H),
m!

−−→
−−−→
trong đó H là hình hộp xác định bởi điểm P0 và hệ m vector {P0 P1 , . . . , P0 Pm }.
Chiều cao của hình hộp H cũng gọi là chiều cao của đơn hình S. Đáy của đơn
hình S là (m − 1) - đơn hình S xác định bởi hệ m điểm {P0 , P1 , . . . , Pm−1 }.
Khi đó ta có công thức
1
V (S) =

V (S )h.
m


21

Chương 2

Khối tâm và vận dụng
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản
về khối tâm. Chúng tôi cũng xét một số vận dụng khối tâm vào giải đề thi học

sinh giỏi.

2.1
2.1.1

Khối tâm
Khối tâm và tọa độ khối tâm

Mục này sẽ trình bày về tọa độ khối tâm. Không gian Euclid Rn đề cập
đến ở đây được giới hạn chỉ xét trong trường hợp n

3. Chúng ta bắt đầu

bằng bổ dề sau:
Bổ đề 2.1.1. Cho một hệ s điểm {M1 , M2 , . . . , Ms } trong không gian Rn và
s

một hệ gồm s số thực {α1 , α2 , . . . , αs } với
s

một điểm M để

αk = 0. Khi đó tồn tại duy nhất
k=1

−→

αk M Mk = 0 và với mỗi điểm P ta luôn luôn có biểu diễn
k=1
s

−→

s

αk P M =
k=1

−→

αk P Mk .
k=1

Chứng minh: Giả thiết tọa độ các điểm đã cho Ak (ak1 , ak2 , . . . , akn ) với
k = 1, 2, . . . , s. Giả sử M (t1 , t2 , . . . , tn ). Ta thấy

s

k=1

−→

αk M Mk = 0 khi và chỉ