CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN
A - MỤC TIÊU
- Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đường tròn.
- Vận dụng một cách thành thục các định nghĩa, tính chất để giải các dạng bài tập đó.
- Rèn kỹ năng và tư duy hình học, sáng tạo và linh hoạt trong giải toán hình học.

B - NỘI DUNG

I/ Những kiến thức cơ bản :
1) Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn :
- Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O
bán kính R , kí hiệu là (O,R) .
- Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn cho trước thì
đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 90 0 . Khi đó tâm O sẽ
là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R =
-

AB
.
2

Qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . Đường tròn
đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tâm của đường tròn là giao điểm ba đường
trung trực của tam giác ABC
- Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó . Ngược
lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó .
- Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
- Trong một đường tròn , hai dây cung không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần
tâm hơn .
2) Tiếp tuyến của đường tròn :
* Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với

đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm .
* Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp
điểm . Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của
O
bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến .
a
a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
C
* Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó
cách đều hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của
B
góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác
của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm .
O
AB = AC
A
AO là tia phân giác góc BAC
C
OA là tia phân giác góc BOC
* Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó . Tâm
của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác .


* Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai
cạnh kia .
3) Vị trí tương đối của hai đường tròn :
- Giả sử hai đường tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm . Khi đó
mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với một hệ thức giữa R , r và d theo bảng sau :
Vị trí tương đối
Số điểm chung

Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau
2
R – r Hai đường tròn tiếp xúc
1
d=R+r (d=R–r)
Hai đường tròn không giao nhau
0
d>R+r (d-

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm .
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung chung và chia dây cung
đó ra hai phần bằng nhau .
4) Các loại góc :
* Số đo cung :
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó : sđ ¼
AmB = ·AOB
0
- Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ : sđ ¼
AnB = 360 - ·AOB

A

- Cung bị chắn bởi một góc là cung nằm trong hai cạnh của góc đó
a. Góc ở tâm :
- Định nghĩa : Là góc có đỉnh ở tâm đường tròn .
- Tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn .

m
O

·AOB = sđ ¼
AmB

-

B

n

A

b. Góc nội tiếp :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa
hai dây của đường tròn đó .
Tính chất : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn .

O
C
B

1
·
»
= sđ BC
BAC
2

-

c. Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung
Định nghĩa: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp
tuyến và một cạnh chứa dây cung của đường tròn
Tính chất : Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung bằng
nửa số đo của cung bị chắn

x
A
m

y
O

1
1
·
·
= sđ ¼
= sđ ¼
BAx
AmB ; BAy
AnB
2
2

-

d. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn :

Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, hai cạnh chứa
một đoạn các dây cung của đường tròn
Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa

B

n

C

m A
E
O
D
B

n


tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy .
·
· EC = 1 (sđ Bn
¼ D + sđ ¼
BED
=A
AmC )
2

-

e. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung (hình a) ,
hoặc một cạnh chứa dây cung một cạnh là tiếp tuyến (hình b), hoặc hai cạnh đều là tiếp tuyến
(hình c) của đường tròn
E

A

m C
B

O

B

C

O

n

m

O

n

a)

-

A

m

D

n

E

A

E

C
c)

b)

Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị
chắn giữa hai cạnh của góc .
1
¼ D - sđ ¼
·
a) BED
= (sđ Bn
AmC ) ;

2

1
·
¼ - sđ ¼
b) BEC
= (sđ BnC
AmC ) ;
2
1
c) ·AEC = (sđ ¼
AnC - sđ ¼
AmC )
2

f. Các hệ quả
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
- Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhau
5) Quỹ tích cung chứa góc :
M
- Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc α không
đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc α dựng trên
O
đoạn thẳng AB . Đặc biệt cung chứa góc 900 là đường tròn đường kính AB
A

M

A

O

B

B
B

-

Dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB :

O

A
D

C


o Dựng đường trung trực d của AB .
o Dựng tia Ax tạo với AB một góc α , sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax .
o O là giao của Ax’ và d .
6) Tứ giác nội tiếp đường tròn :
- Định nghĩa : Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn
(hay gọi là tứ giác nội tiếp) và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.
- Tính chất:
+ Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
+ Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn.
- Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa)
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp
Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
Dâu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp
µ +D
µ = 1800 ) ⇒ tứ giác ABCD nội tiếp
Tứ giác ABCD có : Aˆ + Cˆ = 1800 (hoặc B
Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
B
đối diện là tứ giác nội tiếp
· x = µA ⇒ tứ giác ABCD nội tiếp
BC
x

O

A

C

D

Dấu hiệu 4: ( Dựa vào cung chứa góc)
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại
dưới các góc bằng nhau.
Tứ giác ABCD có : ·ABD = ·ACD và B, C là hai đỉnh kề nhau ⇒ tứ giác
ABCD nội tiếp

B

O

A

7) Chu vi đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích
hình quạt tròn :
R
- Chu vi hình tròn :
C = 2 π R = π d ( d = 2R )

C

D
l
n

O

-

Diện tích hình tròn :

S = π R2

-

Độ dài cung tròn :

-

Diện tích hình quạt tròn : S =

II/ Bài tập vận dụng

l=

πRn
180
πR 2 n
180

A
R
O

n
B


1) Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn :
a. Ứng dụng của tiếp tuyến :
- Từ các tính chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được các đường thẳng vuông
góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau ; cũng từ đó ta xây dựng được các hệ thức về
cạnh , về góc .
- Từ tính chất của tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm ra công thức tính diện tích
của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác, cũng như bán
kính
- Lưu ý : Chứng minh AX là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm theo một
E
trong các cách sau :

 A ∈ (O;R) và góc OAX = 900 .
O
 Khoảng cách từ O đến AX bằng R .
F
R
 Nếu X nằm trên phần kéo dài của EF và XA2 = XE.XF ( xem hình)
X
A
b. Các ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d là tiếp
tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E .
a) Tính góc DOE .
E
b) Chứng minh : DE = BD + CE .
A
2
D
c) Chứng minh : BD.CE = R ( R là bán kính đường tròn tâm O )
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE .
B
Hướng dẫn chứng minh :
C
O
a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được :
ˆ E = DO
ˆ A + EO
ˆ A = 1 (BO
ˆ A + CO
ˆ A) = 90 0
DO

2

b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được : DE = DA
+ EA = BD + EC
O
B
c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOE
DA.EA = OA2 = R2
d) Trung điểm I của DE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
D
vuông DOE . Ta thấy OI là đường trung bình của hình thang
vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI ⊥ BC hay BC là tiếp
tuyến đường tròn đường kính DE .
Bài 2 : Cho hai đường tròn ( O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường
kính AOB ; AOC . Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ; D ∈
( O ) ; E ∈ ( O’) . Gọi M là giao điểm của BD và CE .
D
a) Tính số đo góc DAE .
b) Tứ giác ADME là hình gì ?
B
c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn .

O
’

A

C

E

F
M
A
E
I
O

C


Hướng dẫn chứng minh :
a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt tiếp tuyến chung DE ở F . Dựa vào tính chất tiếp
tuyến ta có FA = FD = FE . Vậy tam giác DAE là tam giác vuông tại A hay góc DAE = 90 0 .
b) Tứ giác ADME có Dˆ = Aˆ = Eˆ = 90 0 nên nó là hình chữ nhật .
c) Từ câu b) AM đi qua trung điểm của DE hay AM trùng với AF nên AM là tiếp tuyến chung của hai
đường tròn .
Lời bình :
- Với những bài tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung của
chúng . Nó thường có một vai trò rất quan trọng trong các lời giải .
- Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi :
 CMR : góc OFO’ là góc vuông .
 DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’ .
 Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H ; K . Chứng minh : SAHK = SADE .
Bài 3 : Gọi a , b, c là số đo 3 cạnh của tam giác ABC , r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Tính
diện tích tam giác theo p và r , trong đó p là nửa chu vi tam giác .
Hướng dẫn :
A
Gọi D , E , F là các tiếp điểm .

F
E
Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r .
Nên : SABC = SABI + SBCI + SACI =

1
( a + b + c).r = pr; S = pr
2

I

B
Từ bài tập trên hãy tính :
C
D
- Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác vuông , tam giác đều theo các cạnh của tam giác .
- Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác .
2) Bài tập về các loại góc trong đường tròn
Bài 1 : Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm di động trên đường tròn đó . N
là giao của AM với đường kính cố định BC . Chứng minh giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn
ngoại tiếp tam giác OMN là cố định .
D
A
Hướng dẫn chứng minh :
Kẻ DA // BC . Kẻ đường kính DP .
ˆ = Pˆ ( cùng bằng góc A ) .
Ta dễ thấy : N

B

O

N

C

Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đi qua P ∈ (O) cố định.
Nhận xét :
P
M
Trong bài này P còn là góc nội tiếp của hai đường tròn nên nó đóng vai
trò đại lượng trung gian để chứng minh những góc bằng nhau . Kĩ năng này còn được gặp lại khá
thường xuyên .
Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự ở
D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD .
a) Chứng minh : AI ⊥ BC


·
·
b) Chứng minh : IDE
= IAE

c) Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều .
Hướng dẫn chứng minh :
a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC
nên AI ⊥ BC .
b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vuông góc .
Góc EBC = EDC cùng chắn cung EC .
Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh .

c) Góc BAC = 600 ⇒ Góc DBE = 300 chắn cung DE
⇒ Số đo cung DE = 600
⇒ Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là tam giác đều .
Bài 3 : Cho đường tròn (O) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn . Điểm C thuộc nửa
đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB. Phân giác góc CAx cắt đường tròn tại E , cắt BC
ở D . Chứng minh :
D
a) Tam giác ABD cân .
b) H là giao điểm của BE và AC . Chứng minh DH ⊥ AB .
K
c) BE cắt Ax tại K . Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi .
Hướng dẫn giải :
A
a) AD là phân giác hai cung AE và CE bằng nhau .
Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được BE vừa là phân giác vừa
là đường cao của tam giác ABD , nên ∆ABD cân đỉnh B.

E

C
H

B

O

b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn .Ta thấy H là trực tâm của ∆ABD nên DH ⊥ AB.
c) Ta thấy KE = HE (vì ∆AKH cân đỉnh A) và AE = DE (∆ ABD cân đỉnh B) và AD⊥KH , nên tứ giác
AKDH là hình thoi .
* Từ bài tập trên có thể ra các câu hỏi khác :

- Chứng minh OE ⊥ AC .
- Tìm vị trí của C trên cung AB để ∆ABD đều
Bài 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) .Chứng minh rằng :
a
b
c
=
=
2SinA 2SinB 2SinC
abc
b) R =
4SΔ

A

a) R =

b

a
O
B

Hướng dẫn giải

H

a) Kẻ đường kính AA’lúc đó ∆ACA’ vuông tại C .
Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông và góc nội tiếp chắn cùng một cung
ˆ

ta có b = AA'.sinAA'C
= 2R.sinB . Hay R =

b
2SinB

C
A’


Chứng minh tương tự .
b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB và ACA’ đồng dạng nên
hay

AH AC
=
AB AA'

2S
2S
b
abc
ha
b
=
mà h a =
suy ra
hay S =
=
a

ac 2R
4R
c 2R

Từ bài tập trên hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác đều .
3) Bài tập về tứ giác nội tiếp một đường tròn
Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn theo một trong các cách sau đây :
- Chứng minh tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 1800.
- Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm còn lại dưới cùng một góc .
- Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại M mà MA.MC = MB.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp .
- Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội
tiếp .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD , CE .
A
a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp .
x
b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB .
D
E
c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh
rằng : Ax // ED .
C
B
Hướng dẫn chứng minh :
a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp .
b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng . Suy ra AD.AC = AE.AB .
c) xAˆB = ACˆB vì cùng chắn cung AB.
AEˆD = ACˆB vì cùng phụ với góc BED .
Nên xAˆB = AEˆD . Suy ra Ax // ED .

Nhận xét :
- Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng và ra được nhiều
câu hỏi :
- Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở D’ , E’ , F’ .
Chứng minh :
• H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’ .
• H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC .
• ED // E’D’.
• OA ⊥ E’D’.
• Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau .
• SABC =

abc
.
4R


-

Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm của BC . Chứng minh :
• Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) .
•

ˆ H = OA
ˆC .
BA

• H , I , K thẳng hàng .
• AH // OI ; AH = 2.OI . Nếu B , C cố định A di động thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác ADE không đổi .
• Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thì A,B,C,K,M cùng nằm trên một
đường tròn .
Bài 2 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chính giữa của cung AB , hai dây EC , ED cắt AB tại
P và Q . Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC và ED
kéo dài cắt nhau tại K . Chứng minh rằng :
D
A
a) Tứ giác CDIK nội tiếp .
I
b) Tứ giác CDQP nột tiếp .
Q
c) IK // AB .
E
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA .
P
K
Hướng dẫn :
a) D và C cùng nhìn IK dưới hai góc bằng nhau ( góc nội tiếp
B
chắn hai cung bằng nhau ) . Suy ra tứ giác DIKC nội tiếp .
C
b) sđ (QDC + QPC)
= ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE)
= ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800
Nên tứ giác CDQP nội tiếp .
c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK
Từ đó suy ra IK // AB .
d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) . Suy ra AE là tiếp tuyến
Bài 3 : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh rằng tích hai đường

A
chéo bằng tổng của tích các cặp cạnh đối diện .
B
Hướng dẫn :
Giả sử ACD ·ACD > ·ACB .
·
Lấy E trên BD sao cho ·ACB = DCE
DCE .
Hai tam giác ABC và DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE .
Hai tam giác ADC và BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE .
Cộng từng vế hai đẳng thức trên suy ra điều chứng minh .
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1:
a) Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M .
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB =
MC.MD

E
C

D

B
A
O
M

D

C

b) Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại M. Chứng minh rằng :
Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MC = MB.MD

B
A
M

O

C

D

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và các đường cao BE , CF cắt nhau
tại H. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC. Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ

A

£
F
H

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Từ A kẻ
hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở E và
F và cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh tứ giác CDEF
nội tiếp.

B

E

C

H'

C

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD , BE ,
O
A
CF cắt nhau tại H
Vẽ đường kính AA’ của đường tròn (O) , các đường thẳng AD , AA’ cắt EF
lần lượt tại M , Q . CA’ cắt AD tại R
D
a) Chứng minh các tứ giác BCEF và AFDC nội tiếp
b) Vẽ đường kính AA’ của đường tròn (O) cắt EF tại Q, cắt CF tại N , BC
tại P Chứng minh tứ giác CEQA’ nội tiếp
A
c) Gọi M là giao điểm của EF với AD. Chứng minh các điểm M , P , Q
cùng thuộc một đường tròn
d) Gọi R là giao điểm của A’C với AD. Chứng minh tứ giác HRA’N
E
nội tiếp
Q
O
M
Hướng dẫn
F

a) Chứng minh các tứ giác này có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối hai
N
H
đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau
B
D
P
b) Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc trong của
đỉnh đối diện:
A'
Góc QA’C= góc AEF (vì cùng bằng các góc AHF = ABC
c) Tứ giác CEQA’ nội tiếp mà góc ECA’ = 900 nên ta có góc PQM =
900 . Từ đó ta có tổng hai góc PQM và góc PDM = 1800 nên tứ giác
R
MQPD nội tiếp
d) Chứng minh góc ngoài của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện. Góc NA’R = góc AHF

B

F

C


Bài 5: Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB. Qua điểm M thuộc đoạn thẳng AB
kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt PA tại C và PB tại D. Chứng
C
minh rằng :
A
a) Các tứ giác OCAM , OBDM nội tiếp

b) M là trung điểm của CD
M
c) Bốn điểm C , O , D , P có cùng thuộc một đường tròn không?
O

Hướng dẫn
D
a) + Chứng minh đỉnh A và M của tứ giác OCAM cùng nhìn
B
cạnh OC dưới hai góc bằng nhau
+ Chứng minh tứ giác OBDM có tổng hai góc đối OMD và
OBD bằng 1800
b) Ta chứng minh tứ giác PAOP nội tiếp và chứng minh hai đỉnh D và P của tứ giác CODP nhìn
cạnh OC dưới các góc bằng nhau
Nhận xét: Vậy ta có thể vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh bốn điểm cùng
thuộc một đường tròn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB
các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của
EA,
EB với các nửa đường tròn (I), (K).
1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K).
3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn
Lời giải:
1. Ta có: ∠BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K)
=> ∠ENC = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
∠AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => ∠EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
∠AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay ∠MEN = 900 (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật
)
2. Theo giả thiết EC ⊥AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K)
=> ∠B1 = ∠C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => ∠C1=
∠N3
=> ∠B1 = ∠N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => ∠B1 = ∠N1
(5)
Từ (4) và (5) => ∠N1 = ∠N3 mà ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay
MN ⊥ KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N.
Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M,
Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).
3. Ta có ∠AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => ∆AEB vuông tại A có EC ⊥ AB (gt)
=> EC2 = AC. BC ó EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta có S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π . 202 = 400 π .


Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là S =
S=

1
( S(o) - S(I) - S(k))
2

1
1
( 625 π - 25 π - 400 π ) = .200 π = 100 π ≈ 314 (cm2)
2
2

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính
MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD
đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Lời giải:

1. Ta có ∠CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); ∠MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn ) => ∠CDB = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm
trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠D1= ∠C3( nội tiếp cùng chắn cung AB).
¼ = EM
¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau)
∠D1= ∠C3 => SM
=> CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác
CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
¼ = EM
¼ => ∠D1= ∠D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
4. Theo trên Ta có SM
5. Ta có ∠MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠MEB = 900.
Tứ giác AMEB có ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên
tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => ∠A2 = ∠B2 .
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠A1= ∠B2( nội tiếp cùng chắn cung CD)
=> ∠A1= ∠A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
TH2 (Hình b)

Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng phụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS
» = CS
» => SM
¼ = EM
¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác của góc SCB.
=> CE
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính
BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G.


Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
3. AC // FG.
4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Lời giải:
1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 900 ( vì tam giác ABC
vuông tại A); ∠DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ∠DEB = ∠BAC = 900 ; lại có ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB
2. Theo trên ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì hai góc kề bù); ∠BAC = 900
( vì ∆ABC vuông tại A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà
đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp .


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

* ∠BAC = 90 ( vì tam giác ABC vuông tại A); ∠DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn ) hay ∠BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90 0 nên A và F cùng nằm

trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.
3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà đây là hai góc
so le trong nên suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không
trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3. Chứng minh OH ⊥ PQ.
Lời giải:
1. Ta có MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt)
=> ∠AQM = 900 như vậy P và Q cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên
đường tròn đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp.
* Vì AM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác APMQ là trung điểm của AM.
0

2. Tam giác ABC có AH là đường cao => SABC =

1
BC.AH.
2

1
AB.MP
2
1
Tam giác ACM có MQ là đường cao => SACM = AC.MQ
2

Tam giác ABM có MP là đường cao => SABM =

Ta có SABM + SACM = SABC =>

1
1
1
AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
2
2
2

Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH.
3. Tam giác ABC có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác => ∠HAP = ∠HAQ =>
» = HQ
¼ ( tính chất góc nội tiếp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc
HP
POQ. Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đường
cao => OH ⊥ PQ
Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không
trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA
và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
Năm học : 2013 - 2014

14


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội

Lời giải:
1. ∠BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠BID = 900 (vì là hai góc kề bù); DE ⊥ AB tại
M => ∠BMD = 900
=> ∠BID + ∠BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp.
2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ⊥ AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan
hệ đường kính và dây cung)
=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường .
3. ∠ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ⊥ DC; theo trên BI ⊥ DC => BI // AD. (1)
4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2).
Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.)
5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của
DE) =>MI = ME => ∆MIE cân tại M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cân tại O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính
)
=> ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 .
Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I tại I => MI là tiếp tuyến của
(O)

Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
A. Một số phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
+ Dựa vào hai đường tròn có ba điểm chung thì trùng nhau
Ví dụ : để chứng minh 5 điểm A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh : bốn điểm
A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm A,B,C,E cùng thuộc một đường tròn. Vì hai
đường tròn này có ba điểm A , B , C chung nên 5 điểm trên cùng
thuộc một đường tròn
+ Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố định

A
C
+ Chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm dưới các
góc bằng nhau
O'
O
B. Bài tập
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B .
B
M
Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) và (O’)
tại C và D. Tia CB cắt đường tròn (O’) tại M . Tia DB cắt đường tròn
N
(O) tại N . Chứng minh 5 điểm M , N , A , O , O’ cùng thuộc một
đường tròn
Năm học : 2013 - 2014

D

15


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

Hướng dẫn
+ Ta chứng minh bốn điểm A, O, N, O’ cùng thuộc một đường tròn và A, O , M , O’ cùng thuộc một
đường tròn
+ Mà hai đường tròn này có ba điểm chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đường tròn

Bài 2: (Đường tròn chín điểm hay đường tròn Ơle)
Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh ,
chân của ba đường cao , các trung điểm của ba đoạn thẳng nối liền
ba đỉnh với trực tâm của tam giác cùng nằm trên một đường tròn

A
E
F
C'

R
H

B'

Hướng dẫn.
S
T
Gọi A’ . B’ , C’ thứ tự là trung điểm của các cạnh BC , AC , AB
B
D
A'
Gọi D , E , F thứ tự là các chân đường cao hạ từ A , B , C xuông
cạnh đối diện
Gọi R , S , T thứ tự là trung điểm của AH , BH , CH
Ta chọn ba điểm A’ , B’ , C’ làm gốc sau đó chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : DC’B’A’ ,
EC’A’B’ FC’A’B’
RC’A’B’ , SA’B’C, TB’C’A’
Một số bài tập luyện tập
Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn .

Kẻ OA vuông góc với xy . Từ A kẻ cát tuyến ABC với (O). Tiếp
tuyến tại B và C của (O) cắt xy lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh các tứ giác AOCE và ABOD
b) TaM giác ODE là tam giác gì? Vì sao?

C

O

C
B
D

A

E

Hướng dẫn:
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 và tứ giác có hai đỉnh nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới
các góc bằng nhau
b) Tam giác có hai góc bằng nhau
Nhận xét: nếu ta chứng minh hai góc ADO = góc AEO một cách trực tiếp thì có thể khó , nên ta đưa các
góc này về trong đường tròn để từ đó vận dụng quan hệ giữa các góc của một đường tròn để chứng
minh chúng bằng nhau
B
N
Bài 2: Cho A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB
và AC . Gọi I là giao điểm của AO với BC. Vẽ dây MN qua I
( MN < 2R). Chứng minh rằng
a) Tứ giác ABOC nội tiếp

I
A
O
b) Chứng minh IO.IA = IM.IN và tứ giác MONA nội tiếp
c) AO là tia phân giác của góc MAN
M
Hướng dẫn
a)
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
C
b)
+ Tứ giác ABOC nội tiếp nên IB.IC = IO.IA
+ tứ giác MBCN nội tiếp nên IB.IB = IM.IN
Vậy IO.IA = IM.IN
Từ đó ta có tam giác OIM đồng dạng với tam giác NIA nên góc MOA = góc MNA suy ra tứ giác
MONA nội tiếp
c)
ta chứng minh góc OAN = góc OMN = góc ONM = góc OAM
Năm học : 2013 - 2014

16


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

Nhận xét: Qua các bài tập trên giúp HS nhìn nhận một bài toán với các yếu tố hình học được đưa vào
trong đường tròn . Như vậy khả năng so sánh , chứng minh sẽ dễ dàng hơn

III . Bài tập tổng hợp :
1) Các câu hỏi thường gặp trong các bài toán hình :
1. Chứng minh : Nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là 4 điểm cùng nằm trên
một đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) .
2. Chứng minh hai đường thẳng song song , vuông góc với nhau .
3. Chứng minh đẳng thức hình học .
4. Nhận biết hình là hình gì ? ( có thể là tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật
, hình thang cân …) . Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân không được chứng
minh là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau .
5. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ; 3 hay nhiều điểm thẳng hàng .
6. Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn , tiếp tuyến chung của hai đường
tròn .
7. Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt .
8. Toán cực trị hình học .
9. Toán các đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích …
Trong các câu hỏi trên tùy theo từng bài mà ra các câu hỏi sao cho có sự logic giữa các câu thứ
nhất , thứ hai và các câu sau .
Thông thường kết quả của các câu trên bao giờ cũng là giả thiết để chứng minh câu dưới, đôi khi
cần vẽ thêm hình thì bài toán trở lên đơn giản hơn .
2) Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By . Qua điểm M
thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F .
1. Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp .
2. AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q . Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?

E
A

3. Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) . Gọi K là giao của MH và EB . So sánh MK và KH.
Hướng dẫn :

F
1) EAO = EMO = 900 . Nên AEMO là tứ giác nội tiếp .
M
2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có
Q
MPO = MQO = 90 0 và PMQ = 900 nên PMQO là hình
K
chữ nhật .
P

H O

B

3) ∆EMK

∆ EFB (g.g) ⇒

EM EF
=
mà MF = FB ⇒
MK FB

EM EF
=
MK MF

C
EK AB
EF AB

=
=
∆EAB ∆ KHB (g.g) ⇒
mà
( Ta let)
KH HB
MF HB
EM EA
=
⇒
Vì EM = EA ⇒ MK = KH .
MK KH
Bài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyến chung CBD ⊥
Năm học : 2013 - 2014

B

D
’

O
’

O

K

A
G

I

17


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).)
1. Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng .
2. Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giác CKID nội
tiếp .
3. Chứng minh BA , CK và DI đồng quy .
Hướng dẫn :
1. CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng .
2. Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD dưới một góc
vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp .
3. A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G .
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm
D
A,B . Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại
E
C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F .
A
a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng .
b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
O’
O
c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE .

F
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) C
B
Hướng dẫn :
a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng .
b) D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp .
c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF = ADB . Hay DE là
phân giác góc D của ∆BDE . Tương tự EC là phân giác góc E của ∆BDE . Hai phân giác cắt nhau
tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE .
d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’
= ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)
DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)
Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính
bằng nhau )
d
Q
Bài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động . Gọi đường thẳng
D
d là tiếp tuyến của đường tròn tại B . Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC ,
AD theo thứ tự tại P và Q .
1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn .
B
A
O
2) Chứng minh AD. AQ = AC.AP .
3) Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ?
C
4) Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACD
Hướng dẫn :
1. CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ = 1800.

2. ∆ADC ∆APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP .
3. Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.
4. Để SCPQD = 3.SACD ⇒ SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai
Năm học : 2013 - 2014

P
18


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

tam giác này là ½ . Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là
trung điểm của CP ⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB .
Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD của
đường tròn đó .
1) Gọi E là trung điểm của dây CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên một
đường tròn .
2) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao ?
A
3) Chứng minh AC . BD = BC.DA = ½ AB.CD
D
K
C
E
Hướng dẫn chứng minh
S
O
1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B cùng nhìn SO

dưới một góc vuông , nên tứ giác SADO nội tiếp đường
tròn đường kính SO .
Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung ,
B
ta có SEO = 900 . Nên E thuộc đường tròn đường kính SO .
2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông .
3) Ta thấy

∆SAC

∆SDA ⇒

AC SC
=
;
DA SA

∆SCB

∆SBD ⇒

BC SC
=
BD SB

AC BC
=
⇒ AC.BD = AD.BC (1)
AD BD

Mà SA = SB ⇒

Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó ∆CAK

∆BAD (g.g) ⇒ AC.DB = AB.CK

∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.AB
Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD
Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD .
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D . Trên cung AD lấy
một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F .
1) Chứng minh CDEF nội tiếp .
2) Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N . Tia phân giác
của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q . Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ?
3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC . Chứng minh : r
= r12 + r22 .
Hướng dẫn :
A
1) Dựa vào số đo cung ta thấy C = DEB
K

E

F
M

P
B

D

N

⇒ C + DEF = 1800,Nên tứ giác CDEF nội tiếp .

Q

2) ∆BED

C

∆BCQ ( g.g) ⇒ BPE = BQC

⇒ KPQ = KQP hay ∆KPQ cân .
∆CNK

∆MK ⇒ EMK = CNK

⇒ BMN = BNM hay ∆BMN cân . ⇒ MN ⊥ PQ và MN cắt PQ là trung điểm của mỗi đường .
Nên MNPQ là hình thoi.
Năm học : 2013 - 2014

19


Trường THCS Đăk Drô

3) ∆ABC
⇔

∆DAB

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
r1
r2
r
r1 2
r2 2
r2
=
=
∆DAC ⇒
⇒
=
=
BC AB AC
BC 2 AB 2 AC 2

r12 + r2 2
r12 + r2 2
r2
=
=
BC 2 AB2 + AC 2
BC 2

⇔ r2 = r12 + r22 .

Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BE của tam giác . Các

tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . Tìm tâm I của đường tròn đó .
b) MN // DE .
A
c) Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn
AB . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp
N
tam giác CED không đổi .
Hướng dẫn giải :
I
O E
a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB
nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I ( trung điểm
H
của AB ) là tâm
K
b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN
B D
( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN .
C
c) Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác
M
AEBD suy ra được CN = CM nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE
Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp
tam giác CDE ⇒ KD = KE và ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình
bình hành ⇒ KC = OI không đổi .
Bài 8 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R)
1) Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của ∆ABC .
2) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M ≠ B,C ) Trên tia đối của MB lấy MD = MC . Chứng
tỏ ∆MCD đều .

3) CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cố định , xác định tâm
và các vị trí giới hạn
4) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của S
theo R .
Hướng dẫn :

B

E

O

M
D

A

C

AB 3
và AB = AC = BC = R 3
2

2) Có MC = MD ( gt) sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 360 0 : 3).2
= 1200 .
⇒ CMD = 600 . Vậy ∆CMD đều

I
H

1) AH =

3) ∆IMC = ∆IMD ( c.g.c) ⇒ IC = ID .
Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D chạy trên đường tròn
(I;IC )
Khi M ≡ C ⇒ D ≡ C ; M ≡ I ⇒ D ≡ E .

4) ∆ACM = ∆BCD ( g.c.g ) ⇒ AM = BD ⇒ S = MA + MB
+ MC = 2.AM ≤ 2.AI ⇒ S ≤ 4R . S Max= 4R khi AM là đường kính .
Năm học : 2013 - 2014

20


Trường THCS Đăk Drô

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

Bài 9 : Cho ∆ABC ngoại tiếp (O) . Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P sao cho BM=BN và
CM = CP . Chứng minh rằng :
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP . b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
c) Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất .
A
Hướng dẫn :
a) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết suy ra :

P

D
N

DN = EM = FP ⇒ ∆ODA = ∆OEM = ∆OFP ( c.g.c )

F
O

⇒ON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP
b) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp .

c) Kẻ OH ⊥ NP . Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO =
B
C
2.NO.Cos(A/2)
M
E
= 2.OE .Cos (A/2) .
Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) . Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm .
Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh
F
D
C
AD và DF = a trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .
Chứng minh : AF ⊥ BE .
Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .
Tính theo a đoạn HE, HB
Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn. Đường tròn ấy cắt
BF ở K. Tính theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .
Hướng dẫn :
a)
b)

c)
d)

a) ∆ADF = ∆BAE ⇒DAF = EBA ⇒ BE ⊥ AF .

K
E

H

A

B

b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a 5 ; BF = a 13
c) Dùng hệ thức lượng : EH =

a 10
9a 10
; HB =
10
10

d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp. ∆BEK

∆BFH ⇒ BK =

BE.BH 9a 13
=
BF

13

e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng

Năm học : 2013 - 2014

21