ĐỀ THI hsg CỦA PHẠM HÀ THCS HÀ LAN

THI HC SINH GII NM HC 2008 2009
MễN: TON LP 9
THI GIAN: 150 PHT (Khụng k phỏt )
H v tờn: Phm Th H
n v : Trng THCS H Lan
Câu 1: (3 điểm)
Cho biểu thức P =
209
1
127
1
65
1
23
11
22222
++
+
++
+
++
+
++
+
+
aaaaaaaaaa
a) Tìm ĐKXĐ của P
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P biết a
2
23

+
a
= 0
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho N =
40...0069...99
010910

CScS
Tính
N
b) cho a,b,c là 3 số hữu tỷ thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Chứng minh
)1)(1)(1(
222
+++
cba
là một số hữu tỷ
Câu 3 (4 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P =
1
1
2
2
++
+
xx
xx
với x > 0
b) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 2x

3
+ xy 7 = 0
Câu 4 (3 điểm )
Cho tam giác ABC trung tuyến AM . Chứng minh rằng nếu cotgB = 3 cotgC
thì AM = AC
Câu5 (4 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ điểm O trong tam giác ta vẽ OD

BC, OE

CA,
ABOF

. Hãy xác định vị trí của O để OD
222
OFOE ++
nhỏ nhất
Câu 6 (2 điểm ) Gọi A là tích của các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1003 và B là tích
của các số nguyên liên tiếp từ 2004 đến 2006. Hỏi A+B có chia hết cho 2007 không.
Đáp án và h ớng dẫn chấm
Câu 1 : (3 điểm )
a) ĐKXĐ : a

o; -1; -2; -3; -4; -5 (0,5 điểm)
b) P =
)2)(1(
1
)1(
1
++

+
+
aaaa
+
)3)(2(
1
++
aa
+
)5)(4(
1
)4)(3(
1
++
+
++
aaaa
=
5
11
+

aa
=
)5(
5
+
aa
( 1,5 điểm)
c)Ta có a

010)22)(1(02
223
=+=++=+
aaaaa
( vì a
2
- 2a +2 > 0 )

a = -1
Với a = -1 (thoã mãn ĐKXĐ )

a= -1 giá trị của P là P =
4
5

(1 điểm )
Câu 2 :(4 điểm)
a) ( 2 điểm)
N =
40...0069...99
010910

CScS
=
40...001.69...99
011910
+

CSCS
= (

4)289...99)(289...99
910910
++

CSCS
=
=+
4489...99
2
910

CS
2
910
89...99

CS
89...99
910

CS
N
=
b)(2 điểm) Ta có 1 =ab +bc +ca

a
2
+1=(a+b)(a+c)
Tơng tự b
2

+ 1= (b+c)(b + a)
c
2
+ 1 = (a+c)(b+c)
Vậy (
222222
)()()()1)(1)(1( cacbbacba
+++=+++

)1)(1)(1(
222
+++
cba
=
(a+b)(b+c)(a+c) là một số hữu tỷ vì a,b,c là số hữu tỷ
Câu 3: (4 điểm)
a) P = 1 -
1
2
2
++
xx
x
= 1 -
1)
1
(
2
++
x

x
vì x +
3
2
1
1
2
31
1
2
1

++
++
x
x
x
x
x
PPP

3
1
3
2
1
min =
3
1
khi x= 1 (2 điểm)

b) 2x
3
+xy 7 = 0

7 - 2x
3
= xy do x >0 ; y > 0 nên xy > 0

7 - 2x
3
>0

x
3
<3,5 mà x
+

Z

x = 1

y = 5
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là x =1 ;y = 5
Câu 4 :(3 điểm )
Hạ AH

BC ta có cotgB =
AH
BH
; cotgC =

AH
CH
Mà cotgB = 3cotgC

BH = 3CH

BC = 4CH
Lại có BC = 2CM

CM = MH

AMC có CM = MH ; AH

CM Suy ra

AMC cân tại A

AM = AC
A
B
M
H
C
B
H
D
C
O
F
E

A
Câu 5 : Vẽ đờng cao AH và OK

AH
Ta có
2222
AKOAOFOE
=+
Mật khác OD = KH nên
22
)(
2
2
22222
AH
KHAK
KHAKOFOEOD
=
+
+++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi O là trung điểm của AH
Vậy Min
=++
2
2
222
AH
OFOEOD
O là trung điểm của AH
Câu 6: (2 điểm )

A = 1.2.31003
B = 1004.10052006 = (2007 -1003)(2007 1002)(2007 1)
=2007.N 1003.10021

A + B = 2007N

2007