tiêu chuẩn compact trong các định lý tồn tại

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đồng Thị Thương

TIÊU CHUẨN COMPACT
TRONG CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đồng Thị Thương

TIÊU CHUẨN COMPACT
TRONG CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Bùi Trọng Kiên

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên
ngành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Trọng Kiên đã
tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành đề tài này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Giải tích
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để
tôi hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Đồng Thị Thương

Footer Page 3 of 161.

Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bài khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của
TS. Bùi Trọng Kiên và sự quan tâm của các thầy, cô giáo trong tổ Giải
tích của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nộị 2.
Kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng
lặp với các đề tài khác và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận
đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Đồng Thị Thương

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Tiêu chuẩn compact trong các không gian tôpô

3

1.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian compact và compact đếm được . . . . . .

8

1.3

Tính compact trong không gian mêtric . . . . . . . . .

14

2 Một số định lý tồn tại
2.1

2.2

20

Các định lý tồn tại nghiệm trong tối ưu

. . . . . . . .

20

2.1.1

Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Tập lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.3

Compact yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.4

Một số định lý tồn tại . . . . . . . . . . . . . .

28

Điều kiện compact trong các định lý điểm bất động . .

33

2.2.1

Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . .

33

2.2.2

Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Kết luận chung

38

Tài liệu tham khảo

39

ii

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng
nửa đầu thế kỉ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như một ngành
toán học cổ điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết
tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của
Giải tích, Đại số,... Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích
hàm chứa đựng nội dung hết sức phong phú, những phương pháp và
kết quả của giải tích hàm đã xâm nhập vào các ngành toán học khác
nhau có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không gian
vectơ.
Lí thuyết compact là một trong những vấn đề quan trọng trong
giải tích hàm. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn
về tính compact em đã chọn đề tài "Tiêu chuẩn compact trong
các định lý tồn tại". Nghiên cứu vấn đề này chúng ta có cơ hội tìm
hiểu sâu hơn về tiêu chuẩn compact trong các không gian hàm, vai trò
của tính compact trong các định lý tồn tại của lý thuyết tối ưu và lý
thuyết điểm bất động.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu vai trò của tính compact trong các định lý tồn tại của lý
thuyết tối ưu và lý thuyết điểm bất động.

1

Footer Page 6 of 161.

Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu vai trò của tính compact trong các định lý tồn tại của
lý thuyết tối ưu và lý thuyết điểm bất động. Đối tượng nghiên cứu
gồm Giải tích hàm và Giải tích phi tuyến.

4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, nghiên
cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh,...

5. Cấu trúc
Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo,
khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Tiêu chuẩn compact trong các không gian Tôpô.
Chương 2: Một số định lý tồn tại.

Footer Page 7 of 161.

2


Header Page 8 of 161.

Chương 1
Tiêu chuẩn compact trong các

không gian tôpô
1.1

Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1. (không gian tôpô)
Cho X là một tập hợp. Họ τ ⊆ 2X (họ tất cả các tập con của X)
được gọi là một tôpô trên X nếu
1. {Ø, X} ∈ τ .
2. Hợp vô hạn các tập thuộc τ là một tập thuộc τ .
3. Giao hữu hạn các tập thuộc τ là một tập thuộc τ .
Khi đó (X, τ ) được gọi là không gian tôpô.
Ví dụ 1.1.1.

1. Cho X là không gian mêtric với mêtric d(x, y).

Ta nói A ⊂ X là d-mở nếu ∀a ∈ A, ∃B(a, ) ⊂ A. Quy ước Ø, X
là các tập mở. Gọi τ là họ tất cả các tập d-mở trong X, khi đó τ
là một tôpô trên X.

Footer Page 8 of 161.

3


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

2. Cho không gian định chuẩn (X, . ). Ta nói A ⊂ X là tập mở
nếu ∀a ∈ A, ∃B(a, ) ⊂ A với B(a, ) = {x ∈ X : x − a < }.
Gọi τ là họ các tập mở trong X, khi đó τ là một tôpô trên X.
Định nghĩa 1.2. Cho không gian tôpô (X, τ ).
1. Tập U ⊂ X được gọi là tập đóng trong X nếu phần bù của nó
U C = X \ U là tập mở trong X.
2. Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của x0 ∈ X nếu ∃G ∈ τ thỏa
mãn x0 ∈ G ⊂ U . Kí hiệu U (x0 ).
3. Tập hợp tất cả các lân cận của điểm x0 là họ lân cận của x0 . Kí
hiệu N (x0 ).
Mệnh đề 1.1. Trong không gian tôpô (X, τ ), tập G ⊂ X là tập mở
khi và chỉ khi G là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử G là tập mở và điểm x0 ∈ G bất
kì.Khi đó ta có x0 ∈ G ⊂ G . Suy ra G là lân cận của điểm x0 . Vì x0
là bất kì trong G nên ta có G là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Điều kiện đủ: Giả sử G là lân cận của mọi điểm thuộc G. Ta cần
chứng minh G là một tập mở.
Thật vậy:
∀x ∈ G, ∃Ax ∈ τ : x ∈ Ax ⊂ G.
Do đó
Ax ∈ τ.

G=
x∈G

Vậy G là tập mở.

Footer Page 9 of 161.

4

Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 1.3.

Đồng Thị Thương

1. Ánh xạ
x :

N −→ X
n −→ x(n)

được gọi là một dãy trong không gian tôpô X.
Kí hiệu xn thay cho x(n) và (xn ) hoặc {xn } kí hiệu dãy đã cho.
Nếu tồn tại dãy tăng n1 < n2 < ... < nk < ... thì dãy (xnk ) gọi là
dãy con của dãy (xn ) .
2. Dãy (xn ) gọi là hội tụ tới x0 nếu
∀U ⊂ N (x0 ), ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈ U.
Khi đó ta nói x0 là giới hạn của dãy (xn ).
3. Dãy (xn ) gọi là lũy tiến tới x0 nếu
∀U ⊂ N (x0 ), ∀m : ∃n ≥ m ⇒ xn ∈ U.
Khi đó điểm x0 được gọi là điểm tụ của dãy (xn ).
Mệnh đề 1.2. Cho (X, d) là một không gian mêtric và (xn ) là một
dãy trong X.
Khi đó x0 là điểm tụ của (xn ) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy con
(xnk ) hội tụ đến điểm x0 khi k → ∞ .
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử x0 là điểm tụ của (xn ) trong X.

1
Xét dãy hình cầu B(x0 , ). Khi đó với m = k, ∃nk > k thì
k
1
xnk ∈ B(x0 , ).
k

Footer Page 10 of 161.

5


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Do đó
d(xnk , x0 ) <

1
→ 0 khi k → ∞.
k

Suy ra xnk → x0 .
Điều kiện đủ: Giả sử ∀(xn ) ⊂ X, ∃(xnk ) ⊂ (xn ) : xnk → x0 . Ta cần
chứnh minh x0 là điểm tụ của (xn ) .
Thật vậy: Giả sử phản chứng rằng x0 không là điểm tụ của (xn ).
Khi đó
∃B(x0 , ), ∃m : ∀n ≥ m ⇒ xn ∈

/ B(x0 , ).
Vì vậy
∃k0 : ∀k ≥ k0 , nk ≥ m ⇒ xnk ∈
/ B(x0 , ).
Điều này là vô lý vì xnk → x0 .
Vậy x0 là điểm tụ của dãy (xn ).
Định nghĩa 1.4. Cho không gian tôpô (X, τ ) và A ⊂ X. Điểm x
được gọi là điểm cluster của A nếu ∀U (x) : (U (x) \ {x})

A = Ø.

Định nghĩa 1.5. Cho không gian tôpô (X, τ )
1. X là T0 -Không gian nếu
∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , ∃U (x1 ) : x2 ∈
/ U (x1 ).
2. X là T1 -Không gian nếu
∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , ∃U (x1 ), V (x2 ) : x2 ∈
/ U (x1 ), x1 ∈
/ V (x2 ).

Footer Page 11 of 161.

6


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

3. X là T2 -Không gian (không gian Hausdorff) nếu
∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , ∃U (x1 ), V (x2 ) : U (x1 )
Nhận xét 1.1.

V (x2 ) = Ø.

1. X là T1 -Không gian thì X là T0 -Không gian.

Điều ngược lại nói chung là không đúng. Chẳng hạn:
Xét tập X = {a, b} với τ = {Ø, {a}, X}. Khi đó X là T0 - Không
gian nhưng không là T1 -Không gian .
2. X là không gian Hausdorff thì X là T1 -Không gian. Điều ngược
lại không hoàn toàn đúng.
Chẳng hạn X là tập vô hạn phần tử với tôpô gồm các tập có phần
bù hữu hạn, khi đó X là T1 -Không gian nhưng không là không
gian Hausdorff.
Ví dụ 1.1.2. Không gian mêtric là không gian Hausdorff.
Mệnh đề 1.3. Không gian tôpô (X, τ ) là T1 -Không gian khi và chỉ
khi mỗi tập con gồm một phần tử của X đều là tập đóng.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là T1 -Không gian và x ∈ X.
Xét tập X \ {x}: lấy y ∈ X \ {x} bất kì, khi đó y = x.
Vì X là T1 -Không gian nên ∃U (y) : x ∈
/ U (y). Khi đó U (y) ⊂ X \ {x}.
Suy ra X \ {x} là tập mở.
Vậy {x} là tập đóng trong X.
Điều kiện đủ: Giả sử x, y là hai phần tử phân biệt trong X.
Vì {x}, {y} là các tập đóng trong X nên tồn tại U (x), V (y) sao cho
U (x) ⊂ X \ {y} và V (y) ⊂ X \ {x}.

Footer Page 12 of 161.

7


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Do đó x ∈
/ V (y) và y ∈
/ U (x).
Suy ra X là T1 -Không gian.
Hệ quả 1.1. Nếu X là T1 -Không gian thì tập hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn }
là tập đóng.

1.2

Không gian compact và compact đếm được

Định nghĩa 1.6.
1. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian compact nếu với
mọi phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn. Tức là
n

Gα , ∃{Gαj }nj=1

∀{Gα }α∈I , X =

:X=

Gαj .
j=1

α∈I

2. Tập M trong không gian tôpô (X, τ ) được gọi là tập compact nếu
M là không gian compact với tôpô cảm sinh trên nó.
Mệnh đề 1.4. Tập M ⊂ X là tập compact trong không gian tôpô
(X, τ ) khi và chỉ khi với mọi họ các tập mở {Gα }α∈I trong X thỏa
mãn M ⊂
m

M⊂

Gα thì tồn tại họ hữu hạn Gα1 , Gα2 , ..., Gαm thỏa mãn
α∈I

Gαj .
j=1

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử M là tập compact và M ⊂

Gα
α∈I

trong đó {Gα }α∈I là một họ các tập mở trong X.
Suy ra :
M ⊂(

Gα )

α∈I

Footer Page 13 of 161.

8

M.


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Hay
M⊂

(M

Gα ).

α∈I

Dễ thấy M

Gα là các tập mở trong M, phủ M.

Do đó tồn tại m sao cho

m

M⊂

(M

Gαj )

j=1

hay

m

M ⊂M

(

Gαj ).

j=1

Suy ra:

m

M⊂

Gαj .
j=1

Điều kiện đủ: Giả sử với mọi họ các tập mở {Gα }α∈I trong X thỏa
mãn M ⊂

Gα thì tồn tại họ hữu hạn Gα1 , Gα2 , ..., Gαm thỏa mãn
α∈I
m

M⊂

Gαj .
j=1

Xét hệ {Gα }α∈I gồm các tập mở trong M sao cho M ⊂

Gα và
α∈I

Gα = M

Gα ở đó Gα ∈ τ .

Ta có
M⊂

(M

Gα )

α∈I

hay
M ⊂(

Gα )

α∈I

Footer Page 14 of 161.

9

M.


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Suy ra
M⊂

Gα .
α∈I

m

Do đó theo giả thiết ta có M ⊂

Gαj .
j=1

Suy ra
m

M ⊂M

(

Gαj )

j=1
m

=

(M

Gαj )

j=1
m

=

Gαj .
j=1

Vậy M là tập compact trong X.

Định nghĩa 1.7. Họ các tập đóng {Mα }α∈I được gọi là họ có tâm
nếu mọi họ con hữu hạn đều có giao khác rỗng.
m

Tức là ∀m thì

Mαj = Ø.
j=1

Định lý 1.1. Tập M trong không gian tôpô (X, τ ) là tập compact khi
và chỉ khi mọi họ có tâm các tập đóng trong M đều có giao khác rỗng.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử M là tập compact và {Mα }α∈I là
Mα = Ø.

họ có tâm các tập đóng trong M. Ta cần chứng minh
α∈I

Mα = Ø. Khi đó

Giả sử phản chứng rằng
α∈I

M =M\

Mα
α∈I

(M \ Mα ).

=

α∈I

Footer Page 15 of 161.

10


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Do đó {M \ Mα }α∈I là một phủ mở của M. Vì M là compact nên tồn
tại m sao cho

m

M⊂

(M \ Mαj ).
j=1

m

Mαj = Ø (vô lý vì {Mα } là họ có tâm).

Suy ra
j=1

Mα = Ø.

Vậy
α∈I

Điều kiện đủ: Giả sử mọi họ có tâm các tập đóng của M đều có
giao khác rỗng. Ta cần chứng minh M là tập compact.
Giả sử phản chứng M không là tập compact. Khi đó tồn tại một
phủ mở {Gα }α∈I trong M sao cho không có phủ con hữu hạn.
Vì M ⊂

Gα nên ta có
α∈I

Ø=M\

Gα .
α∈I

Hay
(M \ Gα ).

Ø=
α∈I

m

Mà M \ Gα là các tập đóng và

(M \ Gαj ) = Ø.
j=1

Suy ra {M \ Gα }α∈I là họ có tâm. Do đó

(M \ Gα ) = Ø ( vô lý ).
α∈I

Vậy M là tập compact.
Định nghĩa 1.8. Không gian tôpô(X, τ ) được gọi là compact đếm
được nếu mọi họ đếm được các tập mở phủ X luôn có phủ con hữu
hạn. Tức là
∞

∀{Gj }∞
j=1 , X

m

Gj , ∃m : X =

=
j=1

Footer Page 16 of 161.

Gαk .
k=1

11

Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Định lý 1.2. Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff. Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
i) X là compact đếm được.
ii) Mọi tập vô hạn đếm được của X đều có điểm cluster.
iii) Mọi dãy trong X đều có điểm tụ.
Chứng minh.
i) ⇒ ii): Giả sử X là compact đếm được, A là tập đếm được vô
hạn phần tử và A không có điểm cluster. Trước tiên ta đi chứng minh:
Nếu A không có điểm cluster thì A là tập đóng. Thật vậy:
¯
- Hiển nhiên ta có A ⊂ A.
-Lấy x¯ ∈ A¯ tùy ý. Vì x¯ không là điểm cluster nên
∃U (¯
x) : (U (x) \ {x})
Mà U (¯
x)

A = Ø.

A = Ø nên x¯ ∈ A.Do đó
A¯ ⊂ A.

Suy ra
¯
A = A.

Vậy A là tập đóng. Hay AC là tập mở.
-Ta có A = {ai }∞
i=1 . Hiển nhiên ∀ai (i = 1, 2, ...), ∃Ui (ai ) sao cho
Ui (ai )

A = {ai }.

Suy ra {Ui , AC } là họ đếm được các tập mở phủ X. Tuy nhiên phủ

Footer Page 17 of 161.

12


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

này không có phủ con hữu hạn . Điều này là vô lý vì X là compact
đếm được.
Vậy A có điểm cluster.
ii) ⇒ iii): Giả sử mọi tập đếm được vô hạn phần tử của X đều có
điểm cluster. Xét dãy (xn ) trong X có điểm cluster x0 .
Giả sử U là lân cận của x0 và Tm = {xn , n > m}.
Khi đó U \ {x1 , x2 , ..., xm } vẫn là lân cận của x0 . Vì x0 là điểm cluster
của (xn ) nên ta có A (U \ {x0 , x1 , ..., xm }) = Ø. Suy ra U

Tm = Ø.

Từ đó ∀m, ∃k > m : xk ∈ U .
Vậy x0 là điểm tụ của dãy (xn ).
iii) ⇒ i) : Giả sử mọi dãy trong X đều có điểm tụ. Ta cần chứng
minh X là compact đếm được. Thật vậy:
Giả sử phản chứng X không là compact đếm được. Khi đó tồn tại một
phủ mở đếm được {Ui , i ∈ N}nhưng không có phủ con hữu hạn.
n

Do đó ∀n ∈ N, ∃xn ∈ X \

Ui .
i=1

Xét dãy (xn ), theo giả thiết ta có x0 là điểm tụ của dãy (xn ). Vì
∞

x0 ∈ X =

Ui nên ∃i0 : x0 ∈ Ui0 . Do đó Ui0 là lân cận của x0 .
i=1

Chọn m = i0 , theo định nghĩa điểm tụ ∃n ≥ m : xn ∈ Ui0 .
n

Mặt khác ta có xn ∈ X \

n

Ui nên xn ∈
/

i=1

Ui .
i=1

Suy ra xn ∈
/ Ui0 (vô lý).
Vậy X là compact đếm được.
Hệ quả 1.2. Không gian mêtric X là compact đếm được khi và chỉ khi
mọi dãy (xn ) trong X, tồn tại dãy con (xnk ) hội tụ tới điểm x0 thuộc
X.

Footer Page 18 of 161.

13


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ mệnh đề 1.2 và định lý 1.2.

1.3

Tính compact trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.9. Cho (X, d) là không gian mêtric và

> 0. Tập A

gọi là -lưới của M ⊂ X nếu ∀x ∈ M, ∃a ∈ A : d(x, a) < .
Ví dụ 1.3.1. Cho X là không gian thực n chiều Rn với
d(x, y) = x − y .
Khi đó tập A = {(a1 , a2 , ..., an ), ai ∈ Z(i = 1, 2, ..., n)} là

√

n - lưới

của X.
Chứng minh. Ta cần chứng minh ∀x ∈ X, ∃a ∈ A : d(x, a) <

√

n.

Thật vậy ∀x ∈ X, x = (x1 , x2 , ..., xn ) và chọn a ∈ A : a = ([x1 ], [x2 ], ..., [xn ])
ta có
d(x, a) = x − a =

(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + ... + (xn − an )2

(x1 − [x1 ])2 + (x2 − [x2 ])2 + ... + (xn − [xn ])2
√
√
≤ 1 + 1 + ... + 1 = n.
=

Vậy A là

√

n -lưới.

Định nghĩa 1.10. Cho (X, d) là không gian mêtric, M ⊂ X. Tập M
được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu ∀ > 0, ∃ - lưới hữu hạn của
M.

Footer Page 19 of 161.

14


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Ví dụ 1.3.2. Cho X là không gian thực n chiều Rn với
d(x, y) = x − y
và M ⊂ Rn . Nếu M là tập hoàn toàn bị chặn thì M là tập bị chặn.
Chứng minh. Cố định

> 0 và A là -lưới hữu hạn của M.

Khi đó
∀x ∈ M, ∃a ∈ A : x − a < .
Vì A là hữu hạn nên ta có thể viết A = {a1 , a2 , ..., an }. Đặt

β = max{||a1 ||, ||a2 ||, ..., ||an ||}.
Vì A là - lưới hữu hạn nên
∀x ∈ M, ∃ai ∈ A : x − ai <

(i = 1, 2, ..., n)

⇔ x ≤ x − ai + ai < + β = γ.
Suy ra
∀x ∈ M, ∃γ : x < γ.
Vậy M là tập bị chặn.
Ví dụ 1.3.3. Cho X là không gian thực n chiều Rn với
d(x, y) = x − y =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2

và M ⊂ X. Khi đó M là tập bị chặn thì M là tập hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh. Giả sử M ⊂ X là tập bị chặn. Khi đó tồn tại hình hộp

Footer Page 20 of 161.

15


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Q ⊂ Rn có 2n đỉnh, độ dài cạnh là , độ dài đường chéo lớn nhất của
√

Q là
n thỏa mãn M ⊂ Q . Suy ra
∀x ∈ M, ∀a ∈ Q, x − a <

√

n.

Đặt A = {a1 , a2 , ..., a2n } với ai (i = 1, 2, ..., 2n ) là các đỉnh của Q. Từ
đó từ đó ta có
∀x ∈ M, ∃ai ∈ A : d(x, ai ) <
Suy ra A là

√

n (i = 1, 2, ..., 2n ).

-lưới của M, A hữu hạn. Theo Định nghĩa 1.10 ta có

M là tập hoàn toàn bị chặn.
Nhận xét 1.2. Trong không gian thực n chiều Rn , tập M bị chặn khi
và chỉ khi M hoàn toàn bị chặn.
Định lý 1.3. ([1, Theorem 1, p. 99]) Mọi không gian mêtric compact
đếm được X là hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh. Giả sử phản chứng X không là tập hoàn toàn bị chặn.
Khi đó ∃

0

sao cho X không có

0

-lưới hữu hạn. Chọn a1 ∈ X thì

∃a2 ∈ X sao cho
d(a1 , a2 ) >

0.

Tương tự ∃a3 ∈ X:
d(a1 , a3 ) >

0 , d(a2 , a3 )

>

0.

Tiếp tục quá trình với a1 , a2 , ..., an , .. ta được
d(ak , an+1 ) >

Footer Page 21 of 161.

(k = 1, 2, ..., n).

0

16

Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Từ cách xây dụng của dãy (an ), ta thấy dãy (an ) không có giới hạn.
Do đó X không là tập compact đếm được. Điều này mâu thuẫn với
giả thiết.
Vậy X là tập hoàn toàn bị chặn.
Định lý 1.4. ([1, Theorem 2, p. 100]) Không gian mêtric X là compact
đếm được khi và chỉ khi X là đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
Hệ quả 1.3. Cho X là không gian thực n chiều Rn , M ⊂ X là tập
đóng và bị chặn. Khi đó M là tập compact.
Chứng minh. Giả sử M là tập đóng và bị chặn trong Rn . Khi đó M
cùng với mêtric d(x, y) = x − y là không gian mêtric đủ và M là tập
hoàn toàn bị chặn (theo nhận xét 1.2). Khi đó theo Định lý 1.4 ta có
M là compact.
Vậy M là tập compact.
Ví dụ 1.3.4.

1. Cho X = R, M = [a, b] ⊂ R khi đó M là tập

compact.
2. Cho X = Rn , B(0, γ) = {x : x ≤ γ} là tập compact.
Tuy nhiên một tập đóng và bị chặn trong không gian Banach bất
kì chưa chắc là tập compact.

Ví dụ 1.3.5. Xét l2 = {x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) : x
∞

x

2

x2n < ∞.

=
n=1

Footer Page 22 of 161.

17

2

< ∞} và


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Khi đó l2 là không gian Hilbert (không gian Banach) với
∞

x, y =

x i yi .

i=1

Xét mặt cầu
S = {x = (x1 , x2 , ..., xn , ..) : x

2

= 1}.

Khi đó S là tập đóng và bị chặn. Tuy nhiên S không là tập compact.
Để chứng minh điều đó ta chỉ ra rằng S không là tập hoàn toàn bị
chặn, tức là ∃

0

> 0 sao cho S không có

0

- lưới hữu hạn.

Cho mục tiêu {ei }∞
i=1 với
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1, ..., 0).
Khi đó
ei − ej =

√

2.

√
Chọn

0

=

2
. Khi đó S không có
4

0

- lưới hữu hạn.

Thật vậy:
- lưới hữu√hạn và tập A = {a1 , a2 , ..., am }.
2
.
+) Với 1 ∈ S → ∃ai1 : e1 − ai1 ≤
√4
2
+) Với 2 ∈ S → ∃ai2 : e2 − ai2 ≤
.
4
................
√
2
+) Với n ∈ S → ∃ain : en − ain ≤

.
4
+) n > m → ∃s, k : ais = aik .
Giả sử phản chứng S có

Footer Page 23 of 161.

0

18


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đồng Thị Thương

Do đó
√

2 = eis − eik ≤ eis − ais + eik − ais
√
2
≤
+ eik − aik
√
√4
2
2
+

≤
4
√4
2
(Vô lý).
=
2

Vậy S không có

Footer Page 24 of 161.

0

- lưới hữu hạn.

19


Header Page 25 of 161.

Chương 2
Một số định lý tồn tại
2.1

Các định lý tồn tại nghiệm trong tối ưu

Cho không gian tôpô (X, τ ), A ⊆ X và f : X → R là một hàm số.
Xét bài toán (P ):




f (x) → inf


x ∈ A.
Khi đó x0 là nghiệm của (P) nếu
f (x0 ) = inf f (x)
x∈A

tức là f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ A.
2.1.1

Định lý Weierstrass

Định nghĩa 2.1. Hàm số f : X −→ R được gọi là liên tục dưới (trên)
tại x0 ∈ X nếu ∀ > 0, ∃U (x0 ) : ∀x ∈ U (x0 ) thì f (x0 ) −

≤ f (x)

(f (x) ≤ f (x0 ) + , ∀x ∈ U (x0 )).
Mệnh đề 2.1. Hàm f là nửa liên tục dưới trên X khi và chỉ khi ∀γ ∈ R,

Footer Page 25 of 161.

20