Giải bài toán Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Toán 8 Nâng cao
Đề bài: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các
số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi .
Bài làm
Gọi 3 kích thước của tam giác vuông có dạng x ; y ; z (x;y;z>0)
theo đề bài ta có

x 2 + y 2 = z 2 (1)
Từ (1) ta có

1
xy = x + y + z ⇔ xy = 2( x + y + z )(2)
2

⇔ z = ( x + y) − 2
2

2

⇔ z2 = ( x + y ) − 4( x + y + z )
2

⇔ ( z − x − y ) ( x + y + z ) = −4 ( x + y + z )
Vì x+y+z ≠ 0 Chia hai vế cho x+y+z
⇔ z − x − y = −4
⇔ z= x+ y−4
Thay vào (2) ta có


⇒ xy = 2 ( 2 x + 2 y − 4 )
⇔ xy − 4 x − 4 y + 8 = 0

⇔ xy − 4 x − 4 y + 16 = 8
⇔ ( xy − 4 y ) − ( 4 x − 16 ) = 8
⇔ ( x − 4) ( y − 4) = 8

 x − 4 = 2
 x = 6
⇒ z = 10


 y − 4 = 4 ⇔  y = 8
 x − 4 = 1
 x = 5


⇒ z = 13
  y − 4 = 8
  y = 12

vậy có hai tam gics vuông có kích thước sau thỏa mãn đề bài
(x;y;z)= { ( 6;8;10 ) ; ( 5;12;13) }