Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán hình học cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học giải bài toán về đường tròn trong hình học 9

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ HOÀI LINH





RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH
HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG TRÕN TRONG HÌNH HỌC 9






KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC





SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ HOÀI LINH





RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH
HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG TRÕN TRONG HÌNH HỌC 9





Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Hoàng Thị Thanh




SƠN LA, NĂM 2014
LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành sâu sắc đến cô giáo
ThS. Hoàng Thị Thanh, người trực tiếp hướng dẫn em nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc,
Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, Ban chủ nhiệm khoa và các thầy cô giáo
trong khoa Toán – Lí – Tin cùng các phòng ban chức năng đã giúp em trong
quá trình nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Trường THCS Yên Thạch – Sông Lô – Vĩnh
Phúc đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong việc thu thập tài liệu, thông tin, số liệu
cho đề tài này.
Qua đây, em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, cô giáo
chủ nhiệm, các bạn sinh viên lớp K51 – ĐHSP Toán - Lí, cùng toàn thể các bạn
sinh viên khoa Toán - Lí - Tin cũng rất quan tâm tạo cho em những điều kiện
thuận lợi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến Hội đồng khoa học đã dành thời gian
nghiệm thu và ghi nhận kết quả khóa luận này của em.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2014
Người thực hiện:

Nguyễn Thị Hoài Linh






DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt
Dịch là
Đpcm
Điều phải chứng minh
gt
Giả thiết
cmt
Chứng minh trên
HS
Học sinh
THCS
Trung học cơ sở

DANH MỤC KÍ HIỆU

Kí hiệu
Dịch là
Kí hiệu
Dịch là
ABC

Tam giác
ABC



Tương đương


Vuông góc

≡
Trùng
//
Song song
~
Đồng dạng


Giao


Suy ra


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……………………………………………….……………………… 1
1. Lý do chọn khóa luận…………………………………………………………1
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………….…………………1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………… …………… 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………… …….… 2
5. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… ……2
6. Cấu trúc khóa luận…………………………………………………………….2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………… 3
1.1. Dạy học giải bài tập Toán………………………………………………… 3
1.1.1. Dạy học môn Toán ở trường phổ thông…………………………… ……3
1.1.1.1. Cung cấp cho HS những kiến thức, kĩ năng, phương pháp Toán học phổ
thông cơ bản, thiết thực 3
1.1.1.2. Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả
năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống 5

1.1.1.3. Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động
khoa học, biết hợp tác lao động, có ý thức và thói quen tự học thường
xuyên 7
1.1.1.4. Tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động 9
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán 9
1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải bài tập Toán 10
1.1.4. Dạy học phương pháp tìm lời giải bài Toán 12
1.2. Tìm lời giải bài toán bằng phương pháp phân tích 13
1.2.1. Phân tích đi lên (suy ngược tiến) 13
1.2.2. Phân tích đi xuống (suy ngược lùi) 14
1.3. Nội dung bài tập đường tròn trong chương trình hình học 9 14
1.3.1. Những kiến thức cơ bản 14
1.3.1.1. Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn 14
1.3.1.2. Tiếp tuyến của đường tròn 15
1.3.1.3. Vị trí tương đối của hai đường tròn 15
1.3.1.4. Các loại góc 16
1.3.1.5. Tứ giác nội tiếp đường tròn 16
1.3.1.6. Chu vi đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, quạt tròn 16
1.3.1.7. Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp đa giác 17
1.3.2. Các dạng bài tập cơ bản 18
CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI
TOÁN HÌNH HỌC THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƢỜNG
TRÒN 22
2.1. Dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn 22
2.1.1. Một số gợi ý để chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn 22
2.1.2. Một số bài toán minh họa 22
2.1.3. Một số bài tập đề nghị 28
2.2. Dạng toán tính toán các yếu tố hình học 29
2.2.1. Một số gợi ý tính các yếu tố hình học trong đường tròn 29
2.2.2. Một số bài toán minh họa 29

2.2.3. Một số bài tập đề nghị 34
2.3. Dạng toán về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 35
2.3.1. Chú ý khi giải bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường
tròn 35
2.3.2. Một số bài toán minh họa 35
2.3.3. Một số bài tập đề nghị 39
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 41
3.1. Mục đích thực nghiệm 41
3.2. Phương pháp thực nghiệm 41
3.3. Nội dung thực nghiệm 41
3.4. Tổ chức thực nghiệm 42
3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 42
3.5.1. Biện pháp 42
3.5.2 Đánh giá thực nghiệm 42
KẾT LUẬN 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
PHỤ LỤC


1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận
Môn Toán là một trong những môn học khó đòi hỏi người dạy và người
học đều phải có những phương pháp dạy và học phù hợp thì mới đem lại kết quả
tốt. Đặc biệt, nội dung Toán 9 trong chương trình Toán cuối cấp THCS chiếm
một vị trí quan trọng, nó vừa nghiên cứu kiến thức mới vừa mang ý nghĩa tổng
hợp, phát triển các kiến thức của các lớp 6, 7, 8.
Hình học là một phần của bộ môn Toán mà đa số học sinh rất ngại học
phần này do tính trìu tượng từ kiến thức đến bài tập, khó học và khó tìm ra lời

giải. “Đường tròn” là nội dung cơ bản của hình học lớp 9, tất cả các tính chất
hình học, các phương pháp giải bài tập đều được tích hợp trong bài toán liên
quan đến đường tròn. Chính vì thế khi giải các bài tập này cần phải có kĩ năng
phân tích giữa cái đã biết và cái chưa biết; giữa cái có sẵn và cái phải tìm. Bên
cạnh đó việc giải bài tập hình học nói chung và bài tập về đường tròn nói riêng
còn đòi hỏi học sinh phải biết tổng hợp kiến thức, nắm được các phương pháp
giải Đặc biệt là phải có kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kĩ
năng phân tích tìm lời giải bài toán hình học cho học sinh trung học cơ sở
thông qua dạy học giải bài toán về đường tròn trong hình học 9” nhằm giúp
học sinh có phương pháp và kết quả tốt hơn khi giải các bài tập về đường tròn,
góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán
hình học cho học sinh THCS thông qua dạy học giải bài toán về đường tròn
trong hình học 9 góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn liên quan đến khóa luận.
- Nghiên cứu kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán trong quá trình rèn
luyện giải bài tập đường tròn trong hình học 9.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi của phương
pháp phân tích tìm lời giải bài toán thông qua giải bài tập đường tròn trong hình
học 9.


2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình dạy học giải bài tập về đường tròn trong chương trình
hình học lớp 9 THCS.

4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải các bài toán về
đường tròn trong chương trình hình học 9 THCS.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích các tài liệu, các công trình nghiên cứu
khoa học liên quan đến rèn luyện kĩ năng và một số lý luận có liên quan.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát
Nghiên cứu, tìm hiểu việc rèn luyện kĩ năng cho HS lớp 9 ở một số trường
THCS qua các bài toán đường tròn.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Đánh giá tính khả thi của phương pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, mục lục, phụ lục, danh mục các tài liệu tham khảo,
khóa luận gồm có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán hình học thông
qua một số dạng bài tập về đường tròn.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.



3
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Dạy học giải bài tập Toán
1.1.1. Dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông
Mục tiêu giáo dục của nước ta là hình thành những cơ sở ban đầu, trọng
yếu của con người mới phát triển toàn diện, phù hợp với yêu cầu, điều kiện,
hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.

Trong Luật giáo dục 1998, chương I, điều 2 nước ta quy định: “Mục tiêu
giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri
thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân
tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng
lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
“Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp HS phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách
con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công
dân, chuẩn bị cho HS tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia
xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (luật giáo dục, chương II, mục 2, điều 23)
Từ mục tiêu chung của giáo dục, việc dạy học môn toán có những mục đích
sau:
1.1.1.1. Cung cấp cho HS những kiến thức, kĩ năng, phƣơng pháp Toán học
phổ thông cơ bản, thiết thực
HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các mục
đích về các phương diện khác. Để đạt được mục đích này cần trang bị cho HS
một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp Toán học cơ bản,
hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp. Bên
cạnh đó cần trau rồi cho HS khả năng vận dụng những hiểu biết Toán học vào
việc học tập các môn học khác cũng như vận dụng vào đời sống lao động sản
xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật.
Việc thực hiện mục đích này cần cụ thể hóa như sau:
Thứ nhất, trong quá trình cung cấp kiến thức cho HS cần tạo điều kiện cho
HS kiến tạo những tri thức khác nhau. Có thể phân biệt 4 dạng tri thức: tri thức
sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị.

4
- Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm
vectơ), một định lí (chẳng hạn định lí hàm số sin), cũng có khi là một yếu tố lịch
sử một ứng dụng toán học,…

- Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản
chất: những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc
hai) và những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng
quát của Pôlia để giải bài tập toán học).
- Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng
hạn quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần
đúng…
- Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn “Toán
học có vai trò trong khoa học và trong công nghệ cũng như trong đời sống”,
“Khái quát hóa là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”
Trong giờ học toán, người thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng tri
thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt, tri
thức phương pháp ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá
trị liên hệ mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế giới quan.
Thứ hai, do sự trìu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ vì
vậy cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên nhiều phương diện khác nhau: Kĩ
năng vận dụng tri thức vào môn Toán, vào môn học khác và vào đời sống.
Kĩ năng trên phương diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri
thức Toán học. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức Toán học
mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên phương diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ Toán học đối với
những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn
học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên Toán cần có quan điểm tích hợp
trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên phương diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán.
Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Thứ ba, dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và
các cộng sự (theo Trần Bá Hoành, 1995), cần có ý thức để HS phối hợp giữa
chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên
cao:

- Biết: Ghi nhớ và tái hiện thông tin;

5
- Thông hiểu: Giao tiếp và sử dụng thông tin đã có;
- Vận dụng: Áp dụng các thông tin (quy tắc, phương pháp, khái niệm…)
vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý;
- Phân tích: Chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn
nhau giữa chúng;
- Tổng hợp: Cải tổ các thông tin từ những nguồn khác nhau, trên cơ sở đó
tạo nên mẫu mới;
- Đánh giá: Phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu
nào đó.
Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương
trình. Dạy học môn Toán không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những tri thức lẻ
tẻ, rèn luyện những kĩ năng riêng biệt cho HS mà còn phải thường xuyên chú ý
những hệ thống tri thức, kĩ năng tạo thành những mạch xuyên suốt chương trình.
Điều đó sẽ giúp HS thấy được cái bộ phận trong toàn thể, tránh tình trạng thấy
cây mà không thấy rừng.
1.1.1.2. Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình
thành khả năng suy luận đặc trƣng của Toán học cần thiết cho cuộc sống
Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng
có thể khai thác để rèn luyện cho HS tư duy lôgic và phát triển khả năng suy
đoán và tưởng tượng. Hơn nữa, khi học môn học này đòi hỏi HS phải thường
xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trìu
tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, so sánh,… do đó có tác dụng rèn luyện
cho HS những hoạt động này. Ngoài ra cần hình thành và rèn luyện cho HS
những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong
cuộc sống như tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo. Cụ thể:
Thứ nhất, rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. Tư duy không thể
tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện

trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình
thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy lôgic gắn liền với việc rèn
luyện ngôn ngữ chính xác. Việc phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở
HS qua môn Toán có thể thực hiện theo ba hướng quan hệ chặt chẽ với nhau:
- Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết lôgic
và, hoặc, nếu thì, phủ định,…
- Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với các đĩnh nghĩa.

6
- Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập
tiến hành chứng minh.
Thứ hai, là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng phát
triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở việc rèn luyện tư duy lôgic
mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả
năng này cần lưu ý:
- Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét
tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen… Những suy đoán có thể rất táo bạo
nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc kinh nghiệm nhất định chứ không
phải là đoán mò, mà càng không phải là nghĩ liều.
- Luyện tập cho HS khả năng hình dung được những đối tượng quan hệ
không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những
hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành,
sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời
sống.
Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng
hợp, trìu tượng hóa…
- Phân tích là tách một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những
bộ phận riêng lẻ.
- Tổng hợp là liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật
thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược

nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động
trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên
nền tảng phân tích và tổng hợp.
- Trìu tượng hóa là tách những hoạt động bản chất khỏi những đặc điểm
không bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây
mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động.
- Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp của
lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy ngay rằng trìu tượng hóa là
điều kiện cần của khái quát hóa.
Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Việc rèn luyện cho HS những
phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc
sống. Có thể nêu một số phẩm chất trí tuệ quan trọng:

7
- Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển
hướng của quá trình tư duy. Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo
ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát
cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành
đích của quá trình mới.
- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát
hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình
kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính
phê phán của tư duy.
- Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều
kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau
của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra
cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết
quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường
nảy sinh bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ nhìn nhận cái mới như thế

nào. Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ,
có cân nhắc cẩn thận chứ không phải là nghĩ liều, làm liều.
1.1.1.3. Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao
động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý thức và thói quen tự học thƣờng
xuyên
Bên cạch việc cung cấp những tri thức Toán học cơ bản rèn luyện những kĩ
năng phát triển tư duy cho HS, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi
dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm
chất của con người mới trong học tập và sản xuất như: làm việc có mục đích, có
kế hoạch, có phương pháp, có tính cẩn thận, chính xác, kĩ thuật, tiết kiệm, sáng
tạo, dám nghĩ, dám làm, có óc thẩm mĩ, có sức khỏe, dũng cảm bảo vệ chân lý,
xây dựng, bảo vệ Tổ quốc.
Cũng như các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là quá trình
thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Để làm được việc này một mặt phải thực
hiện được nhiệm vụ chung giống như các bộ môn khác: phát huy tác dụng
gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể HS, phối hợp với giáo viên chủ
nhiệm…; nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của nội dung môn Toán
để đóng góp phần riêng của bộ môn vào việc thực hiện mục đích này.
Vấn đề đặt ra là phải khai thác tiềm năng là phải khai thác đặc thù của nội
dung môn Toán với tư cách một thành phần trong tất cả các môn học, góp phần
giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ.

8
Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội. Trong phạm
vi môn Toán có thể thực hiện mục đích này theo các cách sau:
- Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc vào những
đề toán trong những trường hợp có thể được.
- Khai thác một số sự kiện về lịch sử toán liên quan đến truyền thống dân
tộc.
- Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng Toán học của dân tộc ta. Tiềm năng

này bộc lộ rõ ràng đến mức thế giới đã thừa nhận rằng có một nền Toán học Việt
Nam.
Thứ hai, cần bồi dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng. Môn
Toán có nhiều tiềm năng có thể khai thác để thực hiện mục đích này được cụ thể
hóa như sau:
- Làm cho HS thấy rõ mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn, cụ thể là
thấy rõ Toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, thấy rõ nguồn gốc,
đối tượng và công cụ của Toán học, qua đó hiểu được bản chất của những sự trìu
tượng Toán học.
- Làm cho HS ý thức được những yếu tố của phép biện chứng. Cần chú ý là
ta thực hiện những điều này thông qua việc dạy học Toán chứ không phải là dạy
môn Triết học trong môn Toán.
Thứ ba, cần rèn luyện phẩm chất đạo đức cho HS. Môn Toán có tiềm năng
rất lớn đối với việc bồi dưỡng cho HS những phẩm chất đạo đức của con người
mới, bởi vì bản thân lao động Toán học cũng đòi hỏi những phẩm chất như thế.
Trong số những phẩm chất này có thể kể tới: tính cẩn thận, chính xác, tính kế
hoạch, kỉ luật, tính kiên trì, vượt khó, ý trí tiến công, tinh thần trách nhiệm, thái
độ phê phán, thói quen tự kiểm tra…
Trong khi việc giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩ xã hội, việc bồi
dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng chỉ có thể thực hiện ở những cơ hội
nhất định thì việc rèn luyện phẩm chất đạo đức cho HS diễn ra hàng ngày, hàng
giờ trong môn Toán.
Thứ tư là việc giáo dục thẩm mĩ qua môn Toán. Để giáo dục thẩm mĩ cho
HS cần chú ý phát triển đồng thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm mĩ,
quan niệm và thị hiếu thẩm mĩ, tình cảm và năng lực thẩm mĩ. Môn Toán cũng
có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho HS trong một số phương
tiện sau:

9
Môn Toán có những cơ hội để HS càm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa

thông thường trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, những
hình cân đối, hài hòa mà nhiều khi đã được người ta sử dụng trong kiến trúc và
trong nghệ thuật tạo hình… có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho HS biết
thưởng thức cái đẹp. Việc yêu cầu HS giữ vở sạch, viết chữ đẹp, vẽ hình rõ ràng,
sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép tính ngắn gọn,
chặt chẽ, chính xác… sẽ góp phần giáo dục HS biết thưởng thức cái đẹp.
Như vậy, cùng với tri thức Toán học quy định trong chương trình, môn
Toán còn tiềm tàng những khả năng không nhỏ để giáo dục thẩm mĩ. Giáo viên
có thể dạy cho HS thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận logic chặt chẽ,
trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc, trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gọn, chính
xác, trong những lời giải bất ngờ, độc đáo, trong những ứng dụng phong phú đa
dạng…của Toán học vào đời sống.
1.1.1.4. Tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động
Mục đích dạy học môn Toán ở trường phổ thông nhằm hình thành ở HS thế
giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhận thức và hành động, động
cơ đúng đắn và lòng say mê học tập, lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Điều đó thể hiện sự thống nhất giữa dạy chữ và dạy người, giữa dạy học và phát
triển.
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán
Bài tập toán có vị trí và vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là
bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập toán,
HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện
định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy
học. Vì vậy, vai trò của dạy học bài tập toán được thể hiện trên ba phương diện
sau:
- Thứ nhất, hình thành trên phương diện mục đích dạy học. Bài tập toán
học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt
động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện

những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
+) Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ sảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

10
+) Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
+) Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất của người lao động mới.
- Thứ hai, trên phương diện nội dung dạy học, những bài tập toán là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho những bài tập đó
trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn
chỉnh hay những tri thức bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày
trong phần lý thuyết.
- Thứ ba, trên phương diện phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực
và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Tóm lại, các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu
quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển
năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ sảo, ứng dụng bài toán vào thực tiễn.
Hoạt động giải bài toán là điều kiện để hoàn tất các mục đích dạy học toán
ở trường phổ thông, thể hiện thông qua các chức năng của bài tập toán là: chức
năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra.
1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải bài tập Toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán, ta cần nắm vững các yêu cầu của lời
giải bài tập toán. Nói một cách ngắn gọn, lời giải bài toán trước hết phải đúng và
tốt, tức là bao hàm đủ các ý cần thiết. Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu

cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá HS, có thể cụ thể hóa các
yêu cầu như sau:
+) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,… thõa mãn các yêu cầu của đề bài. Kết quả của các bước trung
gian cũng phải đúng và lôgic. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm
tính toán, vẽ hình, lập luận, biến đổi công thức,…
+) Lập luận chặt chẽ.
Khi lập luận một bài tập toán phải tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Luận đề phải nhất quán;

11
- Luận cứ phải đúng;
- Luận chứng phải hợp lôgic.
+) Lời giải đầy đủ.
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một
khả năng, một chi tiết cần thiết nào. Lời giải phải đầy đủ các trường hợp của bài
toán, ví dụ như giải phương trình không được thiếu nghiệm, không được bỏ sót
các trường hợp của bài toán …
+) Ngôn ngữ chính xác.
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Trong dạy học môn Toán cũng phải đảm bảo nguyên tắc này.
+) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết , hình vẽ và cách sắp xếp các
yếu tố (chữ, hình, kí hiệu, …) trong lời giải.
+) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.
Trong quá trình tìm tòi những cách giải khác HS sẽ phát triển được tư duy,
giải quyết bài toán theo nhiều hướng khác nhau để đi tìm lời giải hay nhất, hợp
lý nhất.
+) Nghiên cứu, giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

đề.
Trong bảy yêu cầu trên, yêu cầu thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư là các
yêu cầu cơ bản, thứ năm là yêu cầu về mặt trình bày, còn yêu cầu thứ sáu và thứ
bảy là yêu cầu đề cao.
1.1.4. Dạy học phƣơng pháp tìm lời giải bài toán
Ta biết rằng không có thuật giải tổng quát nào để giải mọi bài toán. Ngay
cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp
không có thuật giải. Song, việc trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy
nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya
(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học,
có thể nêu lên phương pháp chung để giải một bài toán gồm có 4 bước như sau:



12
Bước 1: Tìm hiều bài toán
Phát biểu đề bài dưới dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân
biệt cái đã cho và cái phải tìm; có thể dùng kí hiệu, hình vẽ, công thức để hỗ trợ
cho việc diễn tả đề bài. Đây chính là bước phân tích giả thiết, kết luận,tìm mối
liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, từ đó đi tìm cách giải cho bài toán.
Bước 2: Tìm cách giải
Đây là bước quan trọng – nếu không nói là quan trọng nhất – trong việc
giải bài toán.
+) Cần nhận dạng và tập hợp kiến thức. Tức là “khoanh vùng” bài toán và
vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận diện bài toán thuộc loại nào.
+) Phân tích để đưa về những dạng toán đơn giản hơn. Một bài toán, nhất là
bài toán tổng hợp, bài toán khó thường được xây dựng từ những bài toán đơn
giản. Vì vậy cần phân tích bài toán đang xét thành những bài toán đơn giản hơn,
khi đó việc tìm ra cách giải sẽ dễ dàng hơn.

+) Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho và cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán
như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, suy diễn, toán dựng hình, toán
quỹ tích…
+) Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kiến thức tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan. Tìm
tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất của hai công việc khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn
bản để đánh giá kết quả hoạt động giải toán. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp
xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự
thích hợp và thực hiện các bước đó.
Lời giải phải được trình bày lôgic, gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Đây chính là hoạt động giúp học sinh có thể tư duy, liên hệ giữa các kiến
thức với nhau. Nghiên cứu sâu lời giải bài toán tức là nghiên cứu khả năng ứng

13
dụng kết quả của bài toán, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng
hay lật ngược vấn đề.
1.2. Tìm lời giải bài toán bằng phƣơng pháp phân tích
Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riệng biệt
của cái toàn thể ra thành từng phần. Từ đó, ta có thể “mổ sẻ, chia nhỏ” bài toán
giúp cho việc tìm ra cách giải của bài toán. Phân tích gồm có phân tích đi lên và
phân tích đi xuống. Ta có thể sử dụng sơ đồ để biểu thị cách tìm lời giải bằng
hai phương pháp này.
1.2.1. Phân tích đi lên (suy ngƣợc lùi)

Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A. ta nhận xét rằng mệnh đề A sẽ chứng
minh được nếu mệnh đề A
1
đúng, mệnh đề A
1
đúng nếu mệnh đề A
2

đúng…nghĩa là ta có sơ đồ sau đây:
A ⟸ A
1
⟸A
2
⟸ … ⟸ A
n -1
⟸ A
n

Sơ đồ trên cho thấy: Để chứng minh mệnh đề A đúng, ta chỉ cần chứng
minh mệnh đề A
n
đúng.
Chú ý: Trong sơ đồ trên, nếu A
n
là mệnh đề sai thì không có cơ sở để kết
luận rằng mệnh đề A là đúng (hay là sai).
1.2.2. Phân tích đi xuống (suy ngƣợc tiến)
Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A. Ta nhận xét rằng nếu A đúng thì
mệnh đề A
1

đúng, mệnh đề A
1
đúng thì mệnh đề A
2
đúng…, nghĩa là ta có sơ đồ
sau đây:
A ⟹ A
1
⟹ A
2
⟹ … ⟹ A
n

Theo sơ đồ trên ta thấy rằng nếu A
n
là mệnh đề đúng thì chưa thể kết luận
được gì về A, A có thể đúng và A cũng có thể sai. Tuy nhiên sơ đồ đó nhiều khi
cho ta một dự đoán rằng có thể chứng minh được sơ đồ sau:
A
n
⟹ A
n – 1
⟹ … ⟹ A
1
⟹ A
1
.
Khi đó nếu mệnh đề A
n
là đúng thì mệnh đề A được chứng minh.

Chú ý: Trong sơ đồ trên nếu A
n
là mệnh đề sai thì ta kết luận được luôn A
cũng là mệnh đề sai.
1.3. Nội dung bài tập đƣờng tròn trong chƣơng trình hình học 9
1.3.1. Những kiến thức cơ bản
1.3.1.1. Sự xác định và các tính chất cơ bản của đƣờng tròn
- Tập hợp các điểm cách đều điểm
O
cho trước một khoảng không đổi
R


14
gọi là đường tròn tâm
O
bán kính
R
, kí hiệu là
(O; R)
.
- Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó.
Nếu
AB
là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính
AB
là tập hợp những
điểm
M
sao cho

0
AMB = 90
. Khi đó tâm
O
sẽ là trung điểm của
AB
còn bán
kính thì bằng
AB
R =
2
.
- Qua 3 điểm
A, B, C
không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ
một mà thôi. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua
trung điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
- Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
- Trong một đường tròn, hai dây cung không bằng nhau, dây lớn hơn khi và
chỉ khi dây đó gần tâm hơn.
1.3.1.2. Tiếp tuyến của đƣờng tròn
- Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó
có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm.
- Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp
điểm. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán
kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến.

- Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách
đều hai tiếp điểm; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai
bán kính đi qua các tiếp điểm.
- Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội
tiếp của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường
phân giác của tam giác.
- Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và
phần kéo dài của hai cạnh kia.
1.3.1.3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn
- Giả sử hai đường tròn
(O; R)
và
(O'; r)
có
R r
và
d = OO'
là khoảng
cách giữa hai tâm. Khi đó mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với một
hệ thức giữa
R
,
r
và
d
theo bảng sau:

15
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đường nối

tâm.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung
chung và chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau.
1.3.1.4. Các loại góc
a) Góc ở tâm
- Định nghĩa: Là góc có đỉnh ở tâm đường tròn.
- Tính chất: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
b) Góc nội tiếp
- Định nghĩa: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc
chứa hai dây của đường tròn đó.
- Tính chất: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
c) Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm
Tính chất: Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một
nửa số đo của cung bị chắn.
d) Góc có đỉnh nằm bên trong đƣờng tròn
Tính chất: Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng
số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
e) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đƣờng tròn
Tính chất: Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu
số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc.


Vị trí tƣơng đối
Số điểm chung
Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau
2
R - r < d < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc

1
d = R + r (d = R - r)

Hai đường tròn không giao
nhau
0
d > R + r (d < R - r)


16
1.3.1.5. Tứ giác nội tiếp đƣờng tròn
- Định nghĩa: Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn.
- Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 2
góc vuông. Ngược lại, trong một tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 2 góc
vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
1.3.1.6. Chu vi đƣờng tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, quạt tròn
- Chu vi hình tròn:
C = 2πR

- Diện tích hình tròn
2
S = πR

- Độ dài cung tròn:
πRn
l =
180

- Diện tích hình quạt tròn:
2

πR n
S =
180

1.3.1.7. Tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp
a) Bán kính đƣờng tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh
0
a
R = .AB
180
2sin
n

0
a
r =
180
2tan
n

b) Bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh
0
a
r =
180
2tan
n

c) Bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
(r)

a b c
r = = =
2sinA 2sinB 2sinC

Δ
abc
r =
4S

Với tam giác vuông tại
A
:
a
r =
2

Với tam giác đều cạnh
a
:
a
r =
3



17
d) Bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
(R)

Δ
S
R =
p
với
(2p = a + b + c)

Với tam giác vuông tại
A
:
c + b - a
R =
2

Với tam giác đều cạnh
a
:
a3
R =
6

1.3.2. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đƣờng tròn
Ví dụ: Cho tam giác
ABC
cân đỉnh
A
. Điểm
M
thay đổi trên cạnh

BC
.
Các đường thẳng qua
M
song song với các cạnh bên
AB
,
AC
lần lượt cắt
AC
,
AB
tại
Q
và
P
. Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Chứng
minh rằng tứ giác
APOQ
nội tiếp.
*) Phân tích, tìm lời giải (suy ngược lùi - sử dụng sơ đồ phân tích đi lên):

O
P
Q
C

B
A
M


APOQ
nội tiếp
⇑

APO + AQO
=
0
180

⇑

APO = CQO

⇑

18

APO = CQO

⇑

QC = AP
;
OA = OC
(gt) ;

PAO = ACO

⇑ ⇑

ACB = QMC

PAO = OAC
;
OAC = ACO

⇑ ⇑ ⇑

ABM = QMC
;
ABC = ACB

ABC
cân (gt)
OAC
cân (gt)
⇑ ⇑

AB
//
QM
(gt)
OAC
cân (gt)
*) Lời giải:
+) Ta có:

ABC
cân ⟹
OA
là đường phân giác
A
⟹
PAO = OAC


OA = OC
⟹
OAC
cân tại
O
⟹
OAC = ACO

Suy ra
PAO = ACO
(1)
+) Theo giả thiết :

AB
//
QM
⟹
ABM = QMC
(đồng vị).
Và
ABC = ACB

( gt) ⟹
ACB = QMC

Từ đó ta có:
QMC
cân tại
Q
⟹
QM = QC

Lại có:
APMQ
là hình bình hành ⟹
QM = AP

Suy ra
QC = AP
(2)
+) Mặt khác:
OA = OC
(gt) (3)
Từ (1), (2), (3) ⟹
APO = CQO
(c–g–c)
⟹
APO = CQO

⟹
APO + AQO
=

CQO + AQO
=
0
180
.
Vậy
APOQ
nội tiếp đường tròn.