Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số

Header Page 1 of 161.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LƯU THỊ HỒNG THÙY

TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH
SUY RỘNG CÓ THAM SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Văn Tuyên,
thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập
tại trường và tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận này. Trong quá
trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế. Em kính mong

nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Lưu Thị Hồng Thùy

Footer Page 2 of 161.
ii


Header Page 3 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào
khác.
Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Lưu Thị Hồng Thùy

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.4.

15

Bài toán tối ưu véctơ (VOP) . . . . . . . . . . . . . .

2 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài toán cân
bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số

17

2.1. Bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số . . . . . .

17

2.2. Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . .

21

Footer Page 4 of 161.
iv


Header Page 5 of 161.
Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

31

Footer Page 5 of 161.
v


Header Page 6 of 161.

Lời mở đầu
Bài toán cân bằng véctơ là mô hình thống nhất của một số bài toán,
chẳng hạn như, bài toán tối ưu véctơ, bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ,
bài toán bù véctơ và bài toán điểm yên ngựa véctơ (xem [6, 7] và các tài liệu
được trích dẫn trong đó). Nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ nghiệm của
bài toán cân bằng véctơ là một chủ đề quan trọng trong Lý thuyết tối ưu
véctơ. Gần đây, tính nửa liên tục, đặc biệt là tính nửa liên tục dưới của ánh
xạ nghiệm của bài toán tối ưu có tham số, bất đẳng thức biến phân véctơ có
tham số và bài toán cân bằng véctơ có tham số đã thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà toán học (xem [3, 5, 8, 10, 12, 14]).
Kỹ thuật vô hướng hóa là một phương pháp tiếp cận hữu hiệu để nghiên

cứu tính nửa liên tục dưới và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của các bất
đẳng thức biến phân véctơ có tham số và các bài toán cân bằng véctơ có
tham số. Sử dụng phương pháp vô hướng hóa, Cheng và Zhu [3] đã nghiên
cứu tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của
bất đẳng thức biến phân véctơ yếu có tham số trong không gian Euclide hữu
hạn chiều. Từ các ý tưởng của Cheng và Zhu [3], Gong [9] nghiên cứu tính
liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu có tham số. Dựa
trên phép biểu diễn vô hướng hóa của ánh xạ nghiệm và tính chất hợp của
một họ ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, Cheng và các đồng nghiệp [4] đã thiết
lập tính nửa liên tục dưới và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán
cân bằng véctơ suy rộng có tham số bằng một chứng minh mới khác với [9].
Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, có rất ít kết quả về tính liên
tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số. Trong
[8], bằng cách sử dụng một kết quả về tính trù mật và phương pháp vô hướng

Footer Page 6 of 161.
1


Header Page 7 of 161.
hóa, Gong và Yao là những người đầu tiên nghiên cứu tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số, nó được
gọi là nghiệm hữu hiệu của hệ suy rộng có tham số. Cheng và Li [5] đã nghiên
cứu tính liên tục và nửa liên tục dưới của các tập nghiệm của bài toán cân
bằng véctơ mạnh có tham số và bài toán cân bằng véctơ yếu có tham số, nó
được gọi là tập nghiệm hữu hiệu và tập nghiệm hữu hiệu yếu của hệ suy rộng
có tham số đã được trình bày trong [8] và [9]. Các kết quả của Cheng và Li
[5] về tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm không đòi hỏi giả thiết về tính
compact đều. Điều này thực sự đã cải tiến các kết quả đạt được trong [8, 9]
Tuy nhiên, trong các bài báo [5, 8, 9], tính nửa liên tục của ánh xạ

nghiệm hữu hiệu được nghiên cứu nhờ vào kỹ thuật vô hướng hóa, tập nghiệm
f -hữu hiệu hoặc một tập một điểm đối với một hàm số f tuyến tính liên tục
cố định thuộc nón đối ngẫu hoặc nó phải chứa các thông tin về tập nghiệm.
Hiển nhiên, từ quan điểm thực tế điều này không hoàn toàn hợp lí.
Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu tính chất nửa liên tục dưới
của ánh xạ nghiệm hữu hiệu bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số. Các
kết quả chính của khóa luận được trình bày trên cơ sở bài báo gần đây của
Xu và Li [15] đăng trên tạp chí Positivity năm 2013. Trong bài báo này, các
tác giả đưa ra một giả thiết mới không bao gồm bất kỳ thông tin nào về tập
nghiệm và nghiên cứu tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài toán
cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số trường hợp tập nghiệm f -hữu hiệu
là một tập tổng quát.
Khóa luận gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ
bản về Giải tích lồi và bài toán tối ưu véctơ.
Chương 2 nghiên cứu tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài
toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số.

Footer Page 7 of 161.
2


Header Page 8 of 161.

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi

1.1.1.

Tập lồi

Khái niệm tập lồi là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tập
lồi là tập mà khi lấy 2 điểm bất kì của tập thì đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng
nằm trong tập đó.
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và
với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.
Bổ đề 1.1. Cho I là tập chỉ số bất kì. Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là các
tập lồi thì tập X =

Xi là tập lồi.
i∈I

Chứng minh. Xét 2 trường hợp sau:
Xi = ∅ thì X là tập lồi tầm thường.

+Nếu X =
i∈I

Xi = ∅, ta có: ∀x, y ∈

+Nếu X =
i∈I

Xi , ∀λ ∈ [0, 1], suy ra x, y ∈
i∈I

Xi , ∀i ∈ I. Vì Xi (i ∈ I) là các tập lồi nên ta có:
(1 − λ)x + λy ∈ Xi , ∀i ∈ I.

Footer Page 8 of 161.
3


Header Page 9 of 161.
suy ra (1 − λ)x + λy ∈

Xi , ∀i ∈ I. Vậy X là tập lồi.
i∈I

Bổ đề 1.2. Cho X, Y là tập lồi trong Rn và các số thực t, µ. Khi đó, tX + µY
là tập lồi.
Chứng minh. Lấy tùy ý x, y ∈ tX + µY , với mọi λ ∈ [0, 1]. Suy ra,
x = tx1 + µy1 (với x1 ∈ X, y1 ∈ Y ),
y = tx2 + µy2 (với x2 ∈ X, y2 ∈ Y ).
Khi đó
(1 − λ)x + λy
= (1 − λ)(tx1 + µy1 ) + λ(tx2 + µy2 )
= t((1 − λ)x1 + λx2 ) + µ((1 − λ)y1 + λy2 ).
Do X, Y là các tập lồi nên t((1−λ)x1 +λx2 ) ∈ tX và µ((1−λ)y1 +λy2 ) ∈ µY .
Suy ra, t((1 − λ)x1 + λx2 ) + µ((1 − λ)y1 + λy2 ) ∈ tX + µY hay (1 − λ)x + λy ∈
tX + µY . Vậy tX + µY là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1 , x2 , ..., xm ,
nếu tồn tại các số thực không âm λ1 , λ2 , ..., λm sao cho
x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm
và
λ1 + λ2 + ... + λm = 1.
Định nghĩa 1.3. Bao lồi của X (kí hiệu: convX) là giao của tất cả các tập
lồi chứa X.

Bổ đề 1.3. Nếu X ⊂ Rn là tập lồi thì khi đó int X và X cũng là các tập lồi.

Footer Page 9 of 161.
4


Header Page 10 of 161.
Chứng minh. Cho B là một hình cầu đơn vị. Nếu x1 ∈ int X, x2 ∈ int X,
khi đó, ta có thể tìm ε > 0 sao cho x1 + εB ⊂ X và x2 + εB ⊂ X. Do đó,
(1 − λ)x1 + λx2 + εB ⊂ X với λ ∈ [0, 1]. Vì vậy, (1 − λ)x1 + λx2 ∈ int X. Vậy
int X là tập lồi.
Để chứng minh phần 2 của bổ đề, ta cho xk → x và y k → y với xk ∈ X
và y k ∈ X. Khi đó, dãy của các điểm: (1 − λ)xk + λy k được chứa trong X và
hội tụ tới (1 − λ)x + λy ∈ X. Vậy X là tập lồi.

1.1.2.

Hàm lồi

Định nghĩa 1.4. Cho f : Ω → R là một hàm số thực mở rộng trên tập lồi
Ω ⊂ Rn :
(i)

Hàm f được gọi là hàm lồi nếu:
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, ∀λ ∈ [0, 1].

(ii)

Hàm f được gọi là hàm lồi chặt (strictly convex) nếu:
f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, x = y, ∀λ ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.5. Cho hàm f : Rn → R. Kí hiệu:
Miền hữu hiệu của f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.
Đồ thị của hàm f : gphf := {(x, v) ∈ Rn × R | v = f (x)}.
Trên đồ thị của f : epif := {(x, v) ∈ Rn × R | v ≥ f (x)}.
Ví dụ 1.1. Hàm f (x) = x , với x ∈ Rn là một hàm lồi.
Thật vậy, với x, y ∈ Rn , λ ∈ [0, 1]. Ta có:
f ((1 − λ)x + λy) = (1 − λx) + λy ≤ (1 − λ)x + λy
= (1 − λ) x + λ y = (1 − λ)f (x) + λf (y).

Footer Page 10 of 161.
5


Header Page 11 of 161.
Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.
Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi x ∈ Rn
và tồn tại x¯ ∈ Rn sao cho f (¯
x) < +∞.
Định lý 1.1. Hàm f : Rn → R là hàm lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi trên
Rn × R .
Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi và lấy hai điểm bất kỳ
(x, v1 ), (y, v2 ) ∈ epif, λ ∈ [0, 1].
Ta có (1 − λ)(x, v1 ) + λ(y, v2 ) = ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)v1 + λv2 ). Do f là hàm
lồi nên f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) ≤ (1 − λ)v1 + λv2 . Do đó
(1 − λ)(x, v1 ) + λ(y, v2 ) ∈ epif , vậy epif là tập lồi.
Ngược lại, giả sử epif là tập lồi và x, y ∈ dom f, λ ∈ [0, 1]. Khi đó ta có
(x, f (x)), (y, f (y)) ∈ epif , do epif lồi nên (1 − λ)(x, f (x)) + λ(y, f (y)) ∈ epif
hay ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)f (x) + λf (y)) ∈ epif , suy ra f ((1 − λ)x + λy) ≤
(1 − λ)f (x) + λf (y). Vậy ta được f là hàm lồi

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : Rn → R. Hàm f là lồi khi và
chỉ khi với mọi λ1 , λ2 , ..., λm ≥ 0;

m
i=1 λi

m

f

= 1; ∀x1 , x2 , ..., xm ∈ Rn . Ta có:
m

λi xi

≤

i=1

λi f (xi ).

(1.1)

i=1

Chứng minh. Giả sử f lồi, ta chứng minh (1.1) bằng quy nạp theo m.
Dễ dàng thấy rằng, (1.1) đúng với m = 1, m = 2.
Giả sử (1.1) đúng đến m = k ≥ 2, ta phải chứng minh (1.1) đúng với
m = k + 1. Với λ1 , λ2 , ..., λk+1 ≥ 0;

k+1
i=1 λi

= 1; ∀x1 , x2 , ..., xk+1 ∈ Rn tùy ý.

+ Nếu λk+1 = 1 thì λ1 = λ2 = ... = λk = 0, suy ra (1.1) đúng.
+ Nếu 0 ≤ λk+1 < 1 từ

Footer Page 11 of 161.
6


Header Page 12 of 161.
k+1
i=1 λi

= 1 ta có

k
λi
i=1 1−λk+1

=1.

k+1

⇒f

k

λi xi

=f

λk+1 xk+1 +

i=1

i=1
k

=f

λi xi

λk+1 xk+1 + (1 − λk+1 )
i=1

λi
xi
1 − λk+1
k

≤ λk+1 f (xk+1 ) + (1 − λk+1 )f
i=1
k

≤ λk+1 f (xk+1 ) + (1 − λk+1 )
i=1

λi
xi
1 − λk+1

λi
f (xi )
1 − λk+1

k+1

=

λi f (xi ).
i=1

Vậy ta có bất đẳng thức (1.1). Ngược lại, nếu có (1.1) thì theo định nghĩa
(1.4) hiển nhiên f lồi.

1.1.3.

Nón

Định nghĩa 1.7. Một tập C ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi x ∈ C, và
với mọi α > 0 ta có: αx ∈ C.
C được gọi là nón lồi nếu C là một nón và C là một tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Cho C là một nón lồi, kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần
tuyến tính của nón C)
(i)

C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}.

(ii)

C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C).

Ví dụ 1.2. Trong không gian Rn , cho
C = Rn+ = {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n}.

Footer Page 12 of 161.
7


Header Page 13 of 161.
Khi đó, C là một nón lồi.
Thật vậy, với mọi x ∈ C thì xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n và với mọi α > 0 ta
có: αx = (αx1 , αx2 , ..., αxn ), αxi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n. Do đó αx ∈ C, vậy C là
một nón.
Mặt khác, với mọi x, y ∈ C, mọi α > 0 thì αxi ≥ 0, αyi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n và
với mọi λ ∈ [0, 1] ta có (1−λ)x+λy = ((1−λ)x1 +λy1 , ..., (1−λ)xn +λyn ) ∈ C,
nên C là một tập lồi. Vậy C là một nón lồi.
Bổ đề 1.4. Cho C là một nón lồi. Khi đó, nếu x1 ∈ C, x2 ∈ C, ..., xm ∈ C và
α1 > 0, α2 > 0, ..., αm > 0 thì α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm ∈ C.
Chứng minh. Bằng tính lồi, ta có:
α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm
∈ C.
α1 + α2 + ... + αm
Ta có thể nhân vế trái với α1 + α2 + ... + αm và vì C là nón nên α1 x1 + α2 x2 +
... + αm xm ∈ C. Ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Tập cone (X) = {αx | x ∈ X, α ≥ 0} được gọi là nón sinh

bởi tập X.
Bổ đề 1.5. Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi.
Định nghĩa 1.10. Cho x ⊂ Rn , tập CX (x) = cone (X − x) được gọi là nón
các phương chấp nhận được của X tại x.
Định nghĩa 1.11. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi. Tập
X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}
được gọi là nón lùi xa của X.
Định nghĩa 1.12. Cho C là một nón trong Rn . Tập
C o = {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ C}
được gọi là nón cực của C.

Footer Page 13 of 161.
8


Header Page 14 of 161.
Định nghĩa 1.13. Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X. Tập
NX (x) = [cone (X − x)]o
được gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x.
Nhận xét 1.1. v ∈ NX (x) ⇔ v, y − x ≤ 0, ∀y ∈ X.

1.2.

Bài toán tối ưu véctơ

1.2.1.

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định

nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là một
phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.14. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan hệ
này là:
(i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(iii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B, (y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(iv) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈
E, x = y;
(v) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(vi) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng như
một tập con của không gian tích E × E.
Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xét một số ví dụ cổ điển sau. Cho
E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định nghĩa quan
hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...)

Footer Page 14 of 161.
9


Header Page 15 of 161.
1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ.
Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2 không
phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ, không bắc
cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Định nghĩa 1.15. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản
xạ, bắc cầu.

Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian véctơ thì tập
C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược lại,
mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết: x

C

y thay cho x − y ∈ C; hoặc x

y nếu nó chắc chắn

là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x
là y

C

x, hay là x ∈ y + C\l(C). Khi int C = 0, x

C

C

y và không phải

y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ int C.
Ví dụ 1.3. Cho Rn và tập C = Rn+ . Thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính,
đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ.
Cho x = (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn :
x

C

y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n;

Footer Page 15 of 161.
10


Header Page 16 of 161.
x >C y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng

thức là ngặt;
x

1.2.2.

C

y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n.

Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh
bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.16. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương
ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C).
(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứng
với C nếu x

y, y ∈ A thì y

x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C).
(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);
Kí hiệu tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A là P rM in(A | C).
(iv) Giả sử int C = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với
C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ int C);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C).
Ví dụ 1.4. Cho:
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

1, y

0 ∪ {(x, y) : x

B = A ∪ {(−2, −2)}.
Nếu cho C = R2+ , ta có:

Footer Page 16 of 161.
11

0, −1 ≤ y ≤ 0} ;


Header Page 17 of 161.
IM in(B) = P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = {(−2, −2)};
IM in(A) = ∅,
P rM in(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, 0 > x, 0 > y ,
M in(A) = P rM in(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)},
W M in(A) = M in(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x

0}.

Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có :
IM in(B) = ∅,
P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = B,
IM in(A) = ∅,
P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Cho A ⊆ E thì :
(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:

∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(iii) Khi C = E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.2. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).
Hơn nữa, nếu IM in(A) = ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập một
điểm khi C là nhọn.
Chứng minh. Lấy x ∈ P rM in(A). Nếu x ∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈
C\l(C). Lấy nón lồi K, K = E với int K ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K). Thì
x − y ∈ int K ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy ra
P rM in(A) ⊆ M in(A).

Footer Page 17 of 161.
12


Header Page 18 of 161.
Lấy x ∈ M in(A). Nếu x ∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.1 tồn tại y ∈ A
sao cho x − y ∈ int C. Do C = E, int C ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C).
Điều này mâu thuẫn với x ∈ M inA. Vậy M in(A) ⊆ W M in(A).
Rõ ràng, IM in(A) ⊆ M in(A). Nếu IM in(A) = ∅, cho x ∈ IM in(A)
thì x ∈ M in(A). Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x ≥ y. Lấy một điểm bất
kỳ z ∈ A có z ≥ x vì x ∈ IM in(A) suy ra z ≥ y là y ∈ IM in(A). Do đó,
IM in(A) = M in(A). Ngoài ra, nếu C là nhọn x

y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y. Vậy IM inA là tập một điểm.
Định nghĩa 1.17. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt A
tại x và kí hiệu Ax .
Mệnh đề 1.3. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(i) IM in(Ax ) ⊆ IM in(A) nếu IM in(A) = ∅;
(ii) M in(Ax ) ⊆ M in(A);
(iii) W M in(Ax ) ⊆ W M in(A).
Chứng minh. (i) Cho y ∈ IM in(Ax ) và z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C và
A ⊆ z + C. Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra
A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C.
Do đó y ∈ IM inA.
(ii) Giả sử y ∈ M in(Ax ). Theo Mệnh đề 1.2 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y+l(C) suy ra
y − C ⊆ x − C nên
A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C).
Do đó y ∈ M inA.
Chứng minh tương tự cho W M in.
Nhận xét 1.2. Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừ
một số trường hợp đặc biệt.

Footer Page 18 of 161.
13


Header Page 19 of 161.
1.2.3.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm

(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α.
Định nghĩa 1.19. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy
đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng
{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
Định lý 1.3. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong
E. Thì M in(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác
rỗng.
Chứng minh. Nếu M in(A | C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhát
cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng là
một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.3 thì ta chỉ cần chứng minh
M in(Ax | C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A. Vì A = ∅
suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a

b nếu b ⊆ a. Rõ ràng ( ) là quan hệ

thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên. Thật vậy, giả sử
{aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn B
của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt
aB = ∪ {aα : α ∈ B} .
Và
ao = ∪ {aB : B ∈ B} .
Thì ao là một phần tử của P và ao

aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là một cận

trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn nhất của P , kí hiệu
là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại M in(Ax | C) = ∅. Chúng
ta sẽ chứng minh {(xα − cl(C))c : α ∈ I} phủ Ax . Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax
có α ∈ I mà (xα − cl(C))c chứa y. Giả sử phản chứng y ∈ xα − cl(C), ∀α ∈ I.

Footer Page 19 of 161.
14


Header Page 20 of 161.
Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z. Do tính đúng của C nên
x − α >C z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớn
nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy định lý được chứng minh.

1.2.4.

Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một
ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được sắp
thứ tự bởi nón lồi C.
Xét VOP :
min F (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu
F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, ở đây
F (X) =

F (x).
x∈X

Các phần tử của M in(F (x)|C) được gọi là giá trị tối ưu của (VOP). Tập các
điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X, F ). Thay thế IM in, P rM in,
W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X, F ), P rS(X, F )
và W S(X, F ).

Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của
VOP được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4. Cho (VOP), chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X, F ) ⊆ S(X, F ) ⊆ W S(X, F ).
Hơn nữa, nếu IS(X, F ) = ∅ thì IS(X, F ) = S(X, F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2

Footer Page 20 of 161.
15


Header Page 21 of 161.
Bổ đề 1.6. Giả sử C là lồi, X là tập compact khác rỗng và F là C- liên tục
trên trong X với F (x) + C là C-đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X) là
C-đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C-đầy đủ. Điều này có
nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho
{(aα − cl(C))c : α ∈ I}
là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính tổng quát,
giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong E có một
chỉ số β ∈ I sao cho
aα ∈ V + C, ∀α

β.

aα ∈ aδ + C, ∀δ

α.

Do {aα } là dãy giảm, nên

Từ đây suy ra:
aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α.
Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C- đầy đủ.

Footer Page 21 of 161.
16


Header Page 22 of 161.

Chương 2
Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ
nghiệm của bài toán cân bằng véctơ
mạnh suy rộng có tham số
2.1.

Bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham
số
Trong chương này, chúng ta luôn giả sử rằng X và Y là các không gian

véctơ tôpô Hausdorff thực và Z là một không gian tôpô thực. Ta cũng giả sử
rằng C là một nón lồi đóng nhọn trong Y với phần trong int C khác rỗng.
Nón C sinh ra một thứ tự bộ phận trên Y và nó được định nghĩa như sau:
x

C

y khi và chỉ khi x − y ∈ C.

Giả sử Y ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của Y và
C ∗ := {f ∈ Y ∗ : f (y) ≥ 0, ∀y ∈ C}
là nón đối ngẫu của C. Kí hiệu tựa phần trong (quasi-interior) của C ∗ là C ,
được xác định như sau:
C := {f ∈ Y ∗ : f (y) > 0, ∀y ∈ C\{0Y }}.

Footer Page 22 of 161.
17


Header Page 23 of 161.
Cho D là một tập con khác rỗng của Y . Bao nón của D, kí hiệu là cone (D),
được định nghĩa như sau:
cone (D) = {td : t ≥ 0, d ∈ D}.
Kí hiệu bao đóng của D là cl(D). Một tập con M lồi khác rỗng của nón lồi
C gọi là cơ sở của C nếu C = cone (M ) và 0 ∈
/ cl(M ). Dễ dàng thấy rằng
C = ∅ khi và chỉ khi C có một cơ sở.
Cho tập A ⊂ X, A = ∅ và cho ánh xạ F : A × A → 2Y \{∅}. Xét bài
toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng:
(GSVEP) tìm x ∈ A sao cho F (x, y) ∩ (−C\{0Y }) = ∅, ∀y ∈ A.

(2.1)

Một điểm x thỏa mãn điều kiện (2.1) được gọi là một nghiệm hữu hiệu của bài
toán (GSVEP). Tập nghiệm hữu hiệu của (GSVEP) được kí hiệu là S(A, F ).
Sự tồn tại nghiệm của lớp bài toán này đã được nghiên cứu trong [6]
và các tài liệu được trích dẫn trong đó.
Khi tập A và ánh xạ F được nhiễu bởi tham số µ lấy giá trị trên tập
Λ ⊂ Z, chúng ta xét bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số sau:

(PGSVEP) tìm x ∈ A(µ) sao cho F (x, y, µ) ∩ (−C\{0Y }) = ∅, ∀y ∈ A(µ),
trong đó A : Λ → 2X \{∅} là một ánh xạ đa trị, F : B ×B ×Λ ⊂ X ×X ×Z →
2Y \{∅} là ánh xạ đa trị với A(Λ) =

µ∈Λ A(µ)

⊂ B.

Các trường hợp đặc biệt của bài toán (PGSVEP):
(i) Cho F (x, y, µ) = ϕ(x, y, µ)+ψ(y, µ)−ψ(x, µ), trong đó ϕ : B×B×Λ → Y
và ψ : B × Λ → Y là hai ánh xạ đa trị véctơ. Khi đó, để tìm nghiệm hữu hiệu
cho bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số ta quy về tìm nghiệm
hữu hiệu cho hệ suy rộng có tham số (GS)µ được xét trong [8].
(ii) Khi F : B × B × Λ ⊂ X × X × Z → Y là một ánh xạ đa trị véctơ với
A(Λ) =

µ∈Λ A(µ)

⊂ B, để tìm nghiệm hữu hiệu cho bài toán cân bằng véctơ

Footer Page 23 of 161.
18


Header Page 24 of 161.
mạnh suy rộng có tham số (PGSVEP) ta quy về tìm nghiệm hữu hiệu cho
các (GS)µ xét trong [5].
Với mỗi µ ∈ Λ, kí hiệu S(µ) là tập nghiệm của (PGSVEP), tức là:
S(µ) = {x ∈ A(µ) : F (x, y, µ) ∩ (−C\{0Y }) = ∅, ∀y ∈ A(µ)}.
Kí hiệu SW (A, F ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu suy rộng,

tức là:
SW (A, F ) = {x ∈ A : F (x, y) ⊂ Y \ − int C, ∀y ∈ A}.
Với mỗi f ∈ C ∗ \{0Y ∗ } và mỗi µ ∈ Λ, kí hiệu Sf (µ) là tập các nghiệm f -hữu
hiệu của (PGSVEP):
Sf (µ) = {x ∈ A(µ) :

f (z) ≥ 0, ∀y ∈ A(µ)}

inf
z∈F (x,y,µ)

và Sf kí hiệu cho tập nghiệm f -hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ mạnh
suy rộng (GSVEP):
Sf = {x ∈ A :

f (z) ≥ 0, ∀y ∈ A}.

inf
z∈F (x,y)

Một véctơ x ∈ A gọi là nghiệm hữu hiệu thực sự dương (positive proper
efficient solution) của (GSVEP) nếu tồn tại f ∈ C sao cho inf z∈F (x,y) f (z) ≥
0, ∀y ∈ A.
Trong chương này, chúng ta luôn giả sử rằng Sf (µ) = ∅ với mọi f ∈
C ∗ \{0} và µ ∈ Λ. Bằng cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa, chúng tôi
sẽ thiết lập một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm
S(·). Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản được sử dụng
trong chương này.
Cho µ ∈ Λ và x ∈ A(µ). Định nghĩa F (x, A(µ), µ) :=

y∈A(µ) F (x, y, µ).
Ω

Giả sử W và Ω là các không gian tôpô Hausdorff thực và G : W → 2 là một
ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và cho ω
¯ ∈ W.

Footer Page 24 of 161.
19


Header Page 25 of 161.
Định nghĩa 2.1. (xem [2])
(i)

G được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại w¯ khi và chỉ khi với mỗi tập

mở V ⊂ Ω với V ∩ G(w)
¯ = ∅, tồn tại một lân cận N (w)
¯ của w¯ sao cho
G(w) ∩ V = ∅, với mọi w ∈ N (w).
¯
(ii)

G được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c) tại w¯ khi và chỉ khi với mỗi tập

mở V ⊂ Ω với G(w)
¯ ⊂ V , tồn tại một lân cận N (w)
¯ của w¯ sao cho G(w) ⊂ V,
với mọi w ∈ N (w).

¯
Ta nói rằng G(·) là l.s.c (tương ứng u.s.c) trên W khi và chỉ khi nó là l.s.c
(u.s.c) tại mọi điểm w ∈ W . Ánh xạ G(·) được gọi là liên tục trên tập W khi
và chỉ khi G(·) đồng thời là l.s.c và u.s.c trên W .
Mệnh đề 2.1. (xem [2])
(i)

G là l.s.c tại w¯ khi và chỉ khi mọi lưới {wα } ⊂ W với wα → w¯ và mọi

x¯ ∈ G(w),
¯ tồn tại xα ∈ G(wα ) sao cho xα → x¯.
(ii)

Nếu G có giá trị compact (nghĩa là, G(w) là một tập compact với mỗi

w ∈ W ), thì G là u.s.c tại w¯ khi và chỉ khi với mọi lưới {wα } ⊂ W với
wα → w¯ và mọi xα ∈ G(wα ), tồn tại x¯ ∈ G(w)
¯ và một lưới con {xβ } của
{xα } sao cho xβ → x¯.
Định nghĩa 2.2. (xem [11])
(i)

Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y được gọi là C- đơn điệu trên A × A, khi

và chỉ khi F (x, y) + F (y, x) ⊆ −C.
(ii) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y được gọi là C- đơn điệu chặt trên A × A,
khi và chỉ khi F là một C− ánh xạ trên A × A và với mọi x, y với x = y,
F (x, y) + F (y, x) ⊆ −int C.
(iii) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y được gọi là C- giống lồi trên X khi và
chỉ khi F (X) + C là một tập lồi trong Y .

Footer Page 25 of 161.
20