Đề luyện thi học sinh giỏi

Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 1
1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:
2
m
2
n
= 1984
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
656xy 657y
2
= 1983
2/ Tìm cực trị:
a) Tìm giá trị lớn nhất của S = x
6
+ y
6
biết x
2
+ y
2
= 1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 2x
2
+ y
2
biết x y = 1
3/ Cho
1
22

2
2
2
2
+

+++

+
=
xyyx
yx
xxyyx
y
yxyyx
x
A
a) Rút gọn A
b) Tìm cặp số nguyên (x,y) để A = -7
4/ Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc
4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến
nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đờng, rồi cả
hai cùng đi về nhà Bích. Khi trở về đến nhà mình, An tính
ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích
đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích.
5/ Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC.
Lấy hai điểm P và Q bất kì lần lợt trên hai cạnh AB và AC
sao cho góc PMQ = 60
0
a) Chứng minh rằng: MB

2
= QC.BP
b) Chứng minh rằng: QM, PM lần lợt là phân giác của
góc CQP và góc BPQ.
Kẻ MH vuông góc PQ. Khi P, Q di chuyển trên AB, AC
nhng vẫn đảm bảo góc PMQ = 60
0
thì điểm H di chuyển
trên đờng cố định nào ?
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 1
1/ a/ Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:
2
m
2
n
= 1984
b/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
656xy 657y
2
= 1983
2/ Tìm cực trị:
a) Tìm giá trị lớn nhất của S = x
6
+ y
6
biết x
2
+ y

2
= 1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 2x
2
+ y
2
biết x y = 1
3/ Cho
1
22
2
2
2
2
+

+++

+
=
xyyx
yx
xxyyx
y
yxyyx
x
A
a) Rút gọn A
b) Tìm cặp số nguyên (x,y) để A = -7
4/ Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4

km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà
An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đờng, rồi cả hai
cùng đi về nhà Bích. Khi trở về đến nhà mình, An tính ra
rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích đã
đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích.
5/ Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC.
Lấy hai điểm P và Q bất kì lần lợt trên hai cạnh AB và AC
sao cho góc PMQ = 60
0
c) Chứng minh rằng: MB
2
= QC.BP
d) Chứng minh rằng: QM, PM lần lợt là phân giác của
góc CQP và góc BPQ.
e) Kẻ MH vuông góc PQ. Khi P, Q di chuyển trên AB,
AC nhng vẫn đảm bảo góc PMQ = 60
0
thì điểm H di
chuyển trên đờng cố định nào ?
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 2
1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:
xy- 4x = 35 5y
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2x
3
+ xy 7 = 0
2/ Tìm giá trị lớn nhất của A = (3 - x)(4 - x)(2x + 3y)
với 0
;3

x

40

y
3/ Cho
3011
1
209
1
127
1
65
1
2222
+
+
+
+
+
+
+
=
xxxxxxxx
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A

0
4/ Một nông dân mang cam ra chợ bán cho ngời khách thứ

nhất
2
1
số cam và thêm
2
1
quả, bán cho ngời khách thứ
hai
2
1
số cam còn lại và thêm
2
1
quả, bán cho nời khách
thứ ba
2
1
số cam còn lại và thêm
2
1
quả...Cứ tiếp tục nh
vậy cho đến khi ngời khách thứ sáu mua xong thì số cam
vừa hết. Tính tổng số cam của ngời nông dân đem bán.
5/ Cho hình chữ nhật nội tiếp một tam giác (một cạnh của
hcn nằm trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của
hcn nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác. Biết diện tích
hcn bằng 63 cm
2
, cạnh đáy bằng 30 cm, đờng cao ứng với
đáy là 10 cm. Tính các kích thớc của hcn.

Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 2
1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:
xy- 4x = 35 5y
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2x
3
+ xy 7 = 0
2/ Tìm giá trị lớn nhất của A = (3 - x)(4 - x)(2x + 3y)
với 0
;3

x

40

y
3/ Cho
3011
1
209
1
127
1
65
1
2222
+
+
+
+

+
+
+
=
xxxxxxxx
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A

0
4/ Một nông dân mang cam ra chợ bán cho ngời khách thứ
nhất
2
1
số cam và thêm
2
1
quả, bán cho ngời khách thứ hai
2
1
số cam còn lại và thêm
2
1
quả, bán cho nời khách thứ
ba
2
1
số cam còn lại và thêm
2
1

quả...Cứ tiếp tục nh vậy
cho đến khi ngời khách thứ sáu mua xong thì số cam vừa
hết. Tính tổng số cam của ngời nông dân đem bán.
5/ Cho hình chữ nhật nội tiếp một tam giác (một cạnh của
hcn nằm trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của hcn
nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác. Biết diện tích hcn
bằng 63 cm
2
, cạnh đáy bằng 30 cm, đờng cao ứng với đáy là
10 cm. Tính các kích thớc của hcn.
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 3
Bài 1: Cho x thoả mãn đồng thời hai phơng trình:
x + a + b + c =7 (1)
x
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= 13 (2)
(a, b, c là tham số)
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có của x)
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình:
( )
1
1
11
1

2
2
+
+
=
+
+


x
xa
x
b
x
ax
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
224224224
222
bacacbcba
bacacbcba
++
++
Bài 4: Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể chứa và
một vòi chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn nếu mở hai vòi
thì sau 2h42 đầy bể. Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi
chảy vào thì sau 1h30 đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp
hai lần vòi chảy ra.

a) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc
ngang ở chỗ vòi chảy ra.
b) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi
chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu?
Bài 5: Cho hbh ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE, CF lần lợt
vuông góc với AB và AD.
C/m: AB.AE + AD.AF = AC
2
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 3
Bài 1: Cho x thoả mãn đồng thời hai phơng trình:
x + a + b + c =7 (1)
x
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= 13 (2)
(a, b, c là tham số)
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có của x)
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình:
( )
1
1
11
1
2
2

+
+
=
+
+


x
xa
x
b
x
ax
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
224224224
222
bacacbcba
bacacbcba
++
++
Bài 4: Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể chứa và một
vòi chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn nếu mở hai vòi thì
sau 2h42 đầy bể. Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi chảy
vào thì sau 1h30 đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp hai
lần vòi chảy ra.
c) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc
ngang ở chỗ vòi chảy ra.

d) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi
chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu?
Bài 5: Cho hbh ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE, CF lần lợt
vuông góc với AB và AD.
C/m: AB.AE + AD.AF = AC
2
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 4
Bài 1: Tìm cực trị biểu thức
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x
2
+ 4x - 62x + 1 + 6
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của:
C =
1
323
2
2
+
+
x
xx
Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
- y
2
= 2(2x + y) + 1
Bài 3:(4 điểm) Cho biểu thức:
A =

+



+






+



+
x
x
x
x
:
x
xx
x
xx

1
1
1
1
11
2
3
2
3
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A với 2x - 1= 2
Bài 4: (4 điểm) An hỏi Bình: "Năm nay cha mẹ anh bao
nhiêu tuổi?" Bình trả lời: "Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trớc
đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi
của ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số
tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh
em chúng tôi".
Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình hiện nay là bao nhiêu?
Bài 5: Cho đoạn BC cố định. Điểm A di động sao cho góc
BAC = 90
o
. Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC.
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 4
Bài 1: Tìm cực trị biểu thức
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x
2
+ 4x - 62x + 1 + 6
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của:
C =
1

323
2
2
+
+
x
xx
Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
- y
2
= 2(2x + y) + 1
Bài 3:(4 điểm) Cho biểu thức:
A =






+



+

+



+
x
x
x
x
:
x
xx
x
xx
1
1
1
1
11
2
3
2
3
c) Rút gọn A
d) Tính giá trị của A với 2x - 1= 2
Bài 4: (4 điểm) An hỏi Bình: "Năm nay cha mẹ anh bao
nhiêu tuổi?" Bình trả lời: "Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trớc
đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi

của ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số
tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh
em chúng tôi".
Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình hiện nay là bao nhiêu?
Bài 5: Cho đoạn BC cố định. Điểm A di động sao cho góc
BAC = 90
o
. Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC.
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 5
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên chúng của hai phơng trình sau:
x + y + z = 3 (1)
x
3
+ y
3
+ z
3
= 3 (2)
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
ab + ac + ad
Bài 3: Cho biểu thức:
A =

( ) ( )
( )
( )
1583
32
529
1255
453
18012020
2
2
2
2
2
2
2
2
2
++
+

+

+
+
++
xx
xx
xx
x

xx
xx
a) Rút gọn A
b) Tìm x Z để A Z
Bài 4: Lớp 8A có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh
giỏi môn Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn
bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi
Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn
biết rằng sĩ số lớp 8A là 37 hs.
Bài 5: Cho ABC vuông tại A, một đờng thẳng cắt hai
cạnh AB, AC tại D và E.
a) CMR: CD
2
CB
2
= ED
2
EB
2
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích BMC bằng diện
tích ABC.
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 5
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên chúng của hai phơng trình sau:
x + y + z = 3 (1)
x
3
+ y
3
+ z
3

= 3 (2)
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
ab + ac + ad
Bài 3: Cho biểu thức:
A =
( ) ( )
( )
( )
1583
32
529
1255
453
18012020
2
2
2
2
2
2
2
2

2
++
+

+

+
+
++
xx
xx
xx
x
xx
xx
c) Rút gọn A
d) Tìm x Z để A Z
Bài 4: Lớp 8A có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh
giỏi môn Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng
nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn.
Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn biết
rằng sĩ số lớp 8A là 37 hs.
Bài 5: Cho ABC vuông tại A, một đờng thẳng cắt hai cạnh
AB, AC tại D và E.
a) CMR: CD
2
CB
2
= ED
2

EB
2
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích BMC bằng diện
tích ABC.
Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 6
Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của bất phơng trình:
x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
< 2xy + 2yz + 2z
b) Giải phơng trình: 1 3x + x - 4 = 5x + 1
Bài 2: Cho a, b, c, d, e là những số dơng thoả mãn:
a + b + c + d + e = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ab + bc + cd + de
Bài 3: Cho biểu thức:
A = 1 -
144
1
21
1
14
5
21
2
22
++

+
xx
x
x
x
x
x
:
a) Rút gọn A