Nội suy bởi hàm RBF và ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYẾN ĐỒNG SỸ

NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Thái Nguyên – 2010.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐỒNG SỸ

NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Chuyên ngành : KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số : 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên – 2010.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 4

Chương 1
TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN ............................... 5
1.1. Khái niệm cơ bản về nội suy và xấp xỉ hàm số ................................... 5
1.1.1. Bài toán nội suy hàm số ................................................................. 5
1.1.2. Bản chất của phương pháp nội suy ................................................. 7
1.2. Nội suy hàm một biến ........................................................................... 8
1.2.1. Phát biểu bài toán ........................................................................... 8
1.2.2. Nội suy và xấp xỉ đa thức ............................................................... 9
1.2.3. Nội suy bởi hàm ghép trơn ............................................................. 9
1.3. Nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến ...................................................... 11
1.3.1. Nội suy hàm hai biến .................................................................. 11
1.3.2. Nội suy hàm ba biến .................................................................... 12

Chương 2
NỘI SUY BỞI HÀM RBF ......................................................................... 13
2.1. Hàm cơ sở bán kính và các tính chất ................................................. 13
2.2. Nội suy dữ liệu phân tán bởi hàm RBF ............................................. 13
2.2.1. Phát biểu bài toán ......................................................................... 13

2.2.2. Một số hàm cơ sở ......................................................................... 15
2.2.3. Thành phần đa thức RBF ............................................................. 16
2.2.4. Phép nội suy trơn nhất ................................................................. 16
2.3. Hạn chế của nội suy sử dụng RBF và giải pháp ............................... 17
2.3.1. Vấn đề dữ liệu lớn ........................................................................ 17
2.3.2. Dữ liệu có nhiễu ........................................................................... 17
2.3.3. Một số giải pháp khắc phục ......................................................... 19
2.4. Các phương pháp nhanh nội suy sử dụng RBF ............................... 21
2.4.1. Giảm tâm ...................................................................................... 21
2.4.2. Làm trơn dữ liệu nhiễu ................................................................. 22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Chương 3
BÀI TOÁN BIỂU DIỄN VÀ KHÔI PHỤC CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D ..... 24
3.1. Bài toán biểu diễn và khôi phục dữ liệu phân tán ........................... 24
3.1.1. Giới thiệu ..................................................................................... 24
3.1.2. Mô tả bài toán .............................................................................. 25
3.2. Khôi phục đối tượng 3D từ tập điểm trên bề mặt sử dụng RBF .... 26
3.2.1. Trùng khớp tới dữ liệu bề mặt 3D ............................................... 26
3.2.1.1. Tạo dữ liệu dày đặc từ các pháp tuyến bề mặt .................... 27
3.2.1.2. Đảm bảo khoảng cách thích hợp tới dữ liệu bề mặt ........... 28
3.2.1.3. Hợp lệ khoảng cách chiếu và nhiễu .................................... 30
3.2.2. Chuẩn hóa bề mặt ......................................................................... 31
3.2.2.1. Các điểm hạt giống của bề mặt chuẩn ................................ 32

3.2.2.2. Tối ưu lưới .......................................................................... 33
3.2.2.3. Bao biên .............................................................................. 33

Chương 4
XÂY DỰNG VÀ CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM NỘI SUY BỞI RBF ........ 35
4.1. Phân tích và xây dựng chương trình .................................................. 35
4.1.1. Hàm tạo lập RBF........................................................................... 35
4.1.2. Hàm nội suy RBF.......................................................................... 40
4.1.3. Một số file xây dựng chương trình ............................................... 42
4.2. Kết quả thử nghiệm nội suy bởi RBF................................................. 59
KẾT LUẬN .................................................................................................. 63
HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI ..................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 64
PHỤ LỤC ..................................................................................................... 66
1. Môi trường lập trình MATLAB ........................................................... 66
2. Các khả năng thực hiện của Matlab ..................................................... 66
3. Chế độ làm việc ....................................................................................... 67
4. Câu lệnh và biến ..................................................................................... 68
5. Hàm và tạo hàm ..................................................................................... 71
6. Các câu lệnh điều khiển của Matlab .................................................... 72
7. Đồ họa 3D ................................................................................................ 75
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy. .......................................... 6

Hình 1.2. Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau khi nội suy. ....................................... 6
Hình 1.3. Nội suy hàm y = cos(x). .................................................................. 8
Hình 1.4. Nội suy spline bậc 3 hàm y = sin(x) + x2. ..................................... 10
Hình 1.5. Nội suy hàm hai chiều interp2. ..................................................... 11
Hình 1.6. Nội suy hàm ba chiều interp3. ...................................................... 12
Hình 2.1. Nội suy một chiều RBF hàm y = sin(x). ....................................... 15
Hình 2.2. Dữ liệu có nhiễu với cường độ 0.5................................................ 18
Hình 2.3. Bề mặt nội suy dữ liệu có nhiễu.................................................... 18
Hình 2.4. Độ chính xác đánh giá và độ chính xác trùng khớp. ..................... 20
Hình 2.5. Minh họa giảm tâm RBF. .............................................................. 21
Hình 3.1. Phục hồi dữ liệu phân tán .............................................................. 24
Hình 3.2. Điểm kết thúc bề mặt (off-surface). .............................................. 27
Hình 3.3. Thêm vào các điểm off-surface..................................................... 28
Hình 3.4. Nội suy dữ liệu khi chưa được hợp lệ. .......................................... 29
Hình 3.5. Nội suy dữ liệu khi đã hợp lệ giá trị.............................................. 29
Hình 3.6. Nội suy dữ liệu sau khi hợp lệ khoảng cách. ................................ 30
Hình 3.7. Chuẩn hóa bề mặt bằng Marching Cubes. .................................... 31
Hình 3.8. Một số dạng chuẩn hóa bề mặt...................................................... 32
Hình 3.9. Các kiểu tối ưu lưới. ...................................................................... 33
Hình 3.10. Bề mặt mở không có bao biên. ................................................... 34
Hình 3.11. Bề mặt đóng với biên dương. ...................................................... 34
Hình 3.12. Bề mặt đóng với biên âm. ........................................................... 34
Hình 4.1. Giao diện chương trình demo ...................................................... 59
Hình 4.2. Đồ thị so sánh hàm nội suy RBF và hàm interp1 ........................ 59
Hình 4.3. Đồ thị biểu diễn một số dạng hàm cơ bản.................................... 60
Hình 4.4. Giao diện chức năng RBF 2D ....................................................... 60
Hình 4.5. Kết quả nội suy hàm z = x*exp(-x2-y2) ......................................... 61
Hình 4.6. Nội suy đối tượng 3D với 2000 điểm ........................................... 61
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4

Hình 4.7. Kết quả xử lý dữ liệu trong cửa sổ lệnh ........................................ 62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

MỞ ĐẦU
Đồ họa máy tính ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khoa học, kĩ thuật, nghệ thuật điển hình như bài toán mô phỏng và chẩn
đoán hình ảnh, tái tạo hình ảnh, hỗ trợ thiết kế, đào tạo huấn luyện… Các
ứng dụng đồ họa rất đa dạng, phong phú và phát triển liên tục không ngừng.
Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng
3D là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài
toán này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập
điểm đã biết thông thường người ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và
các biến thể của nó. Từ khoảng hai chục năm nay người ta đã và đang phát
triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ
sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phương pháp nội suy này
đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh
và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng
đã được phát triển. Vì thế, việc tìm hiểu về hàm RBF và nghiên cứu phát triển
các ứng dụng của nó trong đồ họa máy tính là một việc làm thiết thực và có ý

nghĩa khoa học cũng như thực tiễn. Đề tài luận văn thạc sĩ “Nội suy bởi hàm
RBF và ứng dụng trong đồ họa máy tính” chính là nhằm mục đích trên.
Em xin được gửi lời biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo PGS. TS. Đặng
Quang Á, người đã tận tình chỉ bảo và tạo những điều kiện tốt nhất để em
hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Công nghệ
Thông tin Trường Đại học Thái Nguyên, các Thầy cô trong Viện Công nghệ
Thông tin đã trang bị kiến thức và góp ý cho em trong quá trình thực hiện đề
tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

Chương 1
TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN
1.1. Khái niệm cơ bản về nội suy và xấp xỉ hàm số
1.1.1. Bài toán nội suy hàm số
Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số. Bài
toán thường gặp trong các trường hợp sau:
i) Cần phục hồi hàm số f(x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b], khi
cho trước giá trị của hàm tại một số điểm. Các giá trị này thường là các
giá trị quan sát hoặc đo đạc được.
Xét ví dụ : Cho quan hệ hàm số y = f(x), dạng hàm là chưa biết nhưng
biết sự phụ thuộc của đại lượng y vào đại lượng x bằng phép đo thực nghiệm
theo bảng :
x

x0 x1 x2 ... xn

y

y0 y1 y2 ... yn

Xác định giá trị của y với x  xi (i = 1,...,n) trở thành bài toán nội suy.
Dựa vào bảng trên ta phải ước lượng đại lượng y ứng với đại lượng x khi x
không có trong bảng bằng phương pháp nội suy hay phương pháp xấp xỉ [1].
Ví dụ minh họa sử dụng phép nội suy : Gia tăng tỉ lệ mẫu trong tín hiệu
biến thiên theo thời gian t (Code trong MATLAB).
t = 0:0.001:1;
x = sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*60*t);
y = interp(x,4);
stem(x(1:30));
title('Tin hieu ban dau');
figure
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

stem(y(1:120));
title('Sau khi noi suy');
Kết quả như sau:
Tin hieu ban dau
2

1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2

0

5

10

15

20

25

30

Hình 1.1. Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy.
Sau khi noi suy
2
1.5
1
0.5
0

-0.5
-1
-1.5
-2

0

20

40

60

80

100

120

Hình 1.2. Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau khi nội suy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Nội suy đa thức là việc xác định đa thức y = P(x) thỏa mãn điều kiện
nội suy P(xk) = yk với k = 0,...,n
ii) Khi hàm f(x) cho bởi công thức quá phức tạp đòi hỏi khối lượng tính

toán lớn và ta cần tính giá trị hàm f tại các điểm x thuộc [a, b] nào đó. Khi đó
người ta thường tính gần đúng f(x) tại một số điểm rồi xây dựng công thức
nội suy để tính các giá trị khác và làm tăng tốc độ tính toán.
iii) Ngoài ra nội suy hàm số còn được dùng để xây dựng các công thức
tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm nghiệm gần đúng của phương trình.
1.1.2. Bản chất của phương pháp nội suy
Bản chất của nội suy là thay hàm f(x) bằng hàm (x) sao cho :
 (x) đơn giản, dễ tính toán
 (x) = f(x) tại một số điểm đã biết
Thông thường chọn (x) có dạng đơn giản là đa thức bậc m.

 ( x)  Pm ( x)  am x m  am1 x m1  ...  a1 x1  a0 x 0 .

(1)

Với (x) = Pm(x), ta có đa thức nội suy hay đa thức xấp xỉ.
Ví dụ xét đồ thị hàm y = cos(x) với x thuộc [0, 2pi]
Tiến hành nội suy đa thức trong MATLAB
function v = polyinterp(x,y,u)
n = length(x);
v = zeros(size(u));
for k = 1:n
w = ones(size(u));
for j = [1:k-1 k+1:n]
w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;
end
v = v + w*y(k);
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....