Luận văn thạc sĩ toán học về tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC

PHAN THỊ TUYẾT

VỀ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
SUY BIẾN

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI - NĂM 2011


i

Mục lục
Mục lục

i

Lời cảm ơn

iii

Mở đầu

1

1 Về tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến
tuyến tính với hệ số hằng
1.1

Khái lược về hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ
số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

1.2

3
3

Một số đặc thù của hệ phương trình vi phân suy biến
tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Dạng tương đương thứ nhất (First Equivalent Form, EF 1)

7

1.1.3

Dạng tương đương thứ hai (Second Equivalent Form, EF 2)

9

1.1.4

Dạng tương đương thứ ba (Third Equivalent Form, EF 3 )

10

Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến tuyến tính
với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến tuyến
tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1

Tính đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2

Điều khiển được, điều khiển được tương đối, R - điều khiển
được, và điều khiển được dạng xung . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.3

Quan sát được, R - quan sát được và quan sát được dạng
xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4

Tính chất đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


ii

1.5

Hệ phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Về tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suy biến
tuyến tính với hệ số hằng
2.1

50

Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến
tính với số bước không cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2

Một số đặc thù của hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính
với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3

Công thức nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính
với số bước cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4

Tính điều khiển được của phương trình sai phân suy biến tuyến
tính với số bước cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5

2.4.1

Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.2

R - điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.3

Y - điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.4

Quan sát được, R - quan sát được và Y - quan sát được . 62

Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suy biến tuyến
tính với số bước không cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.1

Công thức nghiệm của phương trình sai phân suy biến
tuyến tính với số bước không cố định . . . . . . . . . . . . 63

2.5.2

Quan hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của
hệ vi phân suy biến và hệ sai phân suy biến . . . . . . . . 66

Tài liệu tham khảo

68


iii

Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm Luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp
đỡ của PGS.TS. Tạ Duy Phượng (Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học Viện Toán học khóa 17
(2009 - 2011), đã trang bị cho tôi nhiều kiến thức cần thiết trong khoa học và
trong công việc.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã dành cho tôi sự cảm thông
và ủng hộ trong suốt thời gian học cao học và viết luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để
Luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 9-2011
Người viết Luận văn

Phan Thị Tuyết


1

Mở đầu
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, lý thuyết điều khiển hệ thống đã được
hình thành trên cơ sở nguyên lý cực đại Pontriagin, lý thuyết điều khiển được
Kalman, . . . và phát triển mạnh mẽ trong khoảng 50 năm trở lại đây.
Lý thuyết điều khiển toán học là một lĩnh vực có rất nhiều ứng dụng trong
thực tế, ngày nay đã trở thành một môn học phổ biến trong nhiều trường đại
học tổng hợp và đại học kỹ thuật trong và ngoài nước với các chuyên ngành
toán học ứng dụng như điều khiển kỹ thuật, phân tích hệ thống, điều khiển tối
ưu. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các
phương pháp toán học được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của
các hệ thống điều khiển. Có nhiều bài toán thực tiễn được mô tả bởi các hệ chứa
tham số điều khiển.
Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điều
khiển hệ thống là tính chất điều khiển được của hệ, tức là tìm một chiến lược
điều khiển sao cho có thể chuyển hệ thống điều khiển từ một trạng thái (vị trí)
này sang trạng thái (vị trí) khác. Bài toán điều khiển được là bài toán cơ bản
đầu tiên của lý thuyết điều khiển và liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác
như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, phương pháp số tìm điều khiển tối ưu,
bài toán ổn định và ổn định hóa, . . .
Mặc dù những nét cơ bản của lý thuyết điều khiển được đã được hình thành
cách đây 30 − 40 năm, nhưng hiện nay vẫn mang tính thời sự và được nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Mục đích của luận văn này là trình bày các tiêu chuẩn (điều kiện cần và
đủ) điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số

hằng và hệ sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng.


2

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương.
Chương 1 nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân
suy biến tuyến tính với hệ số hằng và gồm 5 mục.
Mục 1.1 của chương trình bày khái lược về hệ phương trình vi phân suy
biến tuyến tính với hệ số hằng.
Mục 1.2 của chương phát biểu công thức nghiệm và một số ví dụ của hệ
phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng.
Mục 1.3 và 1.4 của chương nói về mối quan hệ giữa tính điều khiển được và
quan sát được của hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng
và hệ đối ngẫu của nó.
Mục 1.5 của chương nói về hệ phân rã của hệ phương trình vi phân suy
biến tuyến tính với hệ số hằng, một số chi tiết về tính điều khiển được và quan
sát được của hệ phân rã.
Chương 2 nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suy
biến tuyến tính với hệ số hằng và gồm 5 mục.
Mục 2.1 của chương nghiên cứu về tính điều khiển được của hệ phương
trình sai phân thường với số bước không cố định.
Mục 2.2 của chương nêu nên một số đặc thù của hệ phương trình sai phân
suy biến tuyến tính với hệ số hằng.
Mục 2.3 của chương nói về công thức nghiệm và một số ví dụ của phương
trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng.
Mục 2.4 của chương nói về tính điều khiển được của phương trình sai phân
suy biến tuyến tính với hệ số hằng.
Mục 2.5 của chương nói về tính điều khiển được của hệ phương trình sai
phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng với số bước không cố định và mối quan

hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình vi phân và
hệ phương trình sai phân suy biến.


3

Chương 1

Về tính điều khiển được của hệ
phương trình vi phân suy biến
tuyến tính với hệ số hằng
1.1

Khái lược về hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính
với hệ số hằng

1.1.1

Một số đặc thù của hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với
hệ số hằng

Cho T = (a, b) là một khoảng nào đó của đường thẳng thực (a có thể bằng
−∞, b có thể bằng +∞). Ký hiệu C i (T ) là không gian của các hàm khả vi đến

cấp i và C A (T ) là không gian của các hàm giải tích trên T .
Xét hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng (thường
được gọi là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng) dạng
E x(t)
˙
= Ax(t) + f (t),

t ∈ T,

(1.1)

trong đó ma trận E là suy biến (detE = 0).
Nhiều bài toán ứng dụng dẫn đến hệ phương trình vi phân đại số gồm một
phương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số, tức là hệ
x˙ 1 = R1 x1 + R2 x2 + f1 ;
0 = R3 x1 + R4 x2 + f2 ,

(1.2)

trong đó x1 ∈ Rn1 , x2 ∈ Rn2 ; Ri , i = 1, 2, 3, 4 và fj , j = 1, 2 là các ma trận hàm và
vectơ hàm có số chiều tương ứng.
Đặt
x=

x1
x2

;f =

f1
f2

;E =

In1
0n2 ×n1

0n1 ×n2
0n2

;A =

R1 R2
R3 R4

,


4

trong đó I = In1 là ma trận đơn vị cấp n1 , 0 là các ma trận gồm tất cả các phần
tử bằng không có số chiều tương ứng; A và f là các ma trận và vectơ có số chiều
tương ứng.
Với cách đặt trên, hệ (1.2) có thể viết dưới dạng:
(Ex) = Ax + f

(1.3)

hay dạng (1.1).
Khi f (t) ≡ 0 ta có hệ thuần nhất
E x(t)
˙
= Ax(t)

(1.4)

(Ex(t)) = Ax(t),

(1.5)

hoặc

trong đó y(t)
˙
(hay y (t)) là ký hiệu đạo hàm của vectơ y(t) tại thời điểm t.
Nhận xét 1.1. Trong phần lớn các tài liệu, hệ phương trình vi phân đại số
thường được đồng nhất với hệ (1.1). Cách viết (1.1) đòi hỏi x có đạo hàm, tức
là toàn bộ các tọa độ của x đều phải có đạo hàm. Tuy nhiên, các hệ thường gặp
trong thực tế (thí dụ dạng (1.2)) thường chỉ đòi hỏi x1 có đạo hàm, còn x2 có
thể không khả vi. Từ đó ta thấy, (1.3) và (1.1) nói chung là khác nhau và cách
viết (1.3) là phù hợp với thực tế hơn.
Dưới đây để phù hợp với các tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.3) (và hệ (1.1)), trong đó
ma trận E suy biến là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng.
Dạng đặc biệt (1.2) thường được gọi là dạng nửa hiện của hệ phương trình vi
phân đại số tuyến tính với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.1. Vectơ hàm x(t) được gọi là nghiệm của (1.1) trên khoảng T
nếu nó khả vi liên tục trên T (tức là x(.) ∈ C 1 (T )) và khi thay x(t) vào (1.1) thì
ta được đẳng thức đúng với mọi t ∈ T .
Nếu hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(t0 ) = x0

(1.6)

và thỏa mãn phương trình (1.1) trong một lân cận nào đó của t0 thì ta nói x(t)
là nghiệm địa phương của (1.1) trong lân cận của t0 .

5

Nếu tồn tại nghiệm thỏa mãn (1.1) và (1.6) thì ta nói bài toán giá trị ban
đầu (bài toán Cauchy) là giải được.
Khác với hệ phương trình vi phân thường, không gian nghiệm của hệ phương
trình vi phân đại số (1.1) có thể là vô hạn chiều.
Ví dụ 1.1. Xét phương trình vi phân
1 2
0 0

x˙ 1 (t)
x˙ 2 (t)

+

1 2
1 2

x1 (t)
x2 (t)

t ∈ (0, 1).

= 0,

(1.7)

Hệ (1.7) có thể viết dưới dạng tường minh
x˙ 1 (t) + 2x˙ 2 (t) + x1 (t) + 2x2 (t) = 0;

x1 (t) + 2x2 (t) = 0.

Suy ra x(t) =

x1 (t)
x2 (t)

(1.8)

, i = 0, 1, 2, . . . với x1 (t) = −2x2 (t), x2 (t) ∈ C 1 (T ) là một

hàm khả vi bất kỳ, là nghiệm của hệ phương trình (1.7).
i
Chọn x(i)
2 (t) = −t ,

i = 0, 1, 2, . . . Khi đó
(i)

x(i) (t) =

x1 (t)
(i)
x2 (t)

=

2ti
−ti

,

t ∈ (0, 1),

i = 0, 1, 2, . . . ,

là nghiệm của (1.7).
Ta sẽ chứng minh rằng {x(i) (t)}∞
i=0 là dãy độc lập tuyến tính. Thật vậy, theo
định nghĩa dãy hàm độc lập tuyến tính, giả sử tồn tại dãy {ci }∞
i=0 sao cho


∞

ti



ci 
 2
i=0

=
ci x (t) = 
∞

i
−
ci t

i=0
∞

(i)

0
0

.

i=0

Do dãy hàm {ti }∞
i=0 là dãy vectơ cơ sở trong không gian các hàm đa thức nên từ
đẳng thức

∞

ci ti = 0,

∀t ∈ (0, 1),

i=0

ta suy ra ci = 0 ∀i = 0, 1, 2, . . . Chứng tỏ {x(i) (t)}∞
i=0 là dãy hàm độc lập tuyến
tính. Như vậy không gian nghiệm của (1.7) là vô hạn chiều.
Thí dụ (1.1) cho thấy, khác với phương trình vi phân thường, không phải
lúc nào không gian nghiệm của phương trình vi phân đại số cũng là một không
gian hữu hạn chiều.

6

Khái niệm cặp ma trận chính quy là một công cụ quan trọng để nghiên
cứu cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính. Ta có.
Định nghĩa 1.2. Cặp ma trận (E, A) được gọi là cặp ma trận chính quy nếu
tồn tại số λ ∈ C sao cho det(A − λE) = 0.
Ta cũng nhận thấy rằng, nếu tồn tại số λ ∈ C để det(A − λE) = 0 thì cũng
tồn tại vô số các số như vậy, chỉ trừ hữu hạn các giá trị là nghiệm của đa thức
đặc trưng det(A − λE) = 0.
Từ đây ta cũng suy ra rằng, hai cặp ma trận (E, A) và (A, E) đồng thời là
chính quy hoặc không chính quy. Điều này có thể suy ra từ đẳng thức
1
λ

det(A − λE) = (−λ)n det(E − A),
trong đó n là cấp của ma trận vuông E .
Định lý 1.1. ([4]) Không gian nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính thuần nhất E x(t)
˙ + Ax(t) = 0 là hữu hạn chiều khi và chỉ khi cặp ma trận
(E, A) là chính quy. Hơn nữa, số chiều của không gian nghiệm bằng bậc của đa

thức đặc trưng det(A − λE).
Nhận xét 1.2. Khác với hệ phương trình vi thường tuyến tính, nghiệm của hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính phụ thuộc chặt chẽ vào vế phải.
Ví dụ 1.2. Xét hệ
0 1
0 0

x˙ 1 (t)
x˙ 2 (t)

+

1 0
0 1

x1 (t)
x2 (t)

=

f1 (t)
f2 (t)

,

t ∈ (0, 1).

(1.9)

Ta có
(1.9) ⇔

x˙ 2 (t) + x1 (t) = f1 (t)
⇔
x2 (t) = f2 (t)

x1 (t) = f1 (t) − f˙2 (t)

x2 (t) = f2 (t).

Như vậy, nếu ta chỉ giả thiết f (.) ∈ C(T ), tức là f liên tục nhưng không khả vi
thì hệ (1.9) là vô nghiệm (vì không tồn tại x1 (t) khả vi liên tục). Để phương
trình (1.9) có nghiệm ta phải đặt điều kiện, ví dụ, khá thô thiển là f (.) ∈ C 2 (T ).
Khi ấy (1.9) có duy nhất nghiệm và điều này không liên quan đến giá trị ban
đầu. Nói cách khác, nếu ta thêm điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 =

x10
x20

thì để


7

(1.9) có nghiệm, ta phải có thêm điều kiện sau đây ràng buộc giữa vế phải của
phương trình với điều kiện ban đầu, thường được gọi là điều kiện tương thích:
x1 (t0 ) = f1 (t0 ) − f˙2 (t0 ) = x10 ;
x2 (t0 ) = f2 (t0 ) = x20 .

Ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất
(vế phải f (.) không đồng nhất bằng không), không gian nghiệm luôn hữu hạn và
không phụ thuộc vào vế phải f (.). Các thí dụ trên chỉ ra rằng, với phương trình
vi phân đại số tuyến tính, tính chất tồn tại nghiệm và hữu hạn chiều của không
gian nghiệm không chỉ phụ thuộc vào cặp ma trận (E, A) mà còn liên quan chặt
chẽ với vế phải của hệ không thuần nhất.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có tham số điều khiển
E x˙ = Ax + Bu;

(1.10)

y = Cx,

trong đó x ∈ Rn , u ∈ Rm , y ∈ Rr , E, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rr×n là các ma
trận hằng.
Trong chương này chúng ta giả thiết rằng detE = 0, tức là hệ suy biến. Chúng
ta thường sử dụng (E, A, B, C) để định nghĩa hệ (1.10).
Trước tiên chúng ta chỉ ra rằng, hệ (1.10) có thể đưa về các dạng tương đương
dễ nghiên cứu hơn sau đây.
1.1.2

Dạng tương đương thứ nhất (First Equivalent Form, EF 1)

Bổ đề 1.1. (xem[2], trang7) (E, A) là cặp ma trận chính quy khi và chỉ khi tồn
tại hai ma trận khả nghịch P, Q sao cho
QEP = diag(In1 , N ),

QAP = diag(A1 , In2 ),

trong đó A1 ∈ Rn1 ×n1 , diag(X, Y ) là ma trận khối, N ∈ Rn2 ×n2 là ma trận lũy linh
và n1 + n2 = n, Ini là ma trận đơn vị có số chiều ni , i = 1, 2.
Ký hiệu (B1 /B2 ) là ma trận dạng

B1
B2

.

Xét hệ (1.10), theo Bổ đề trên, tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q

8

sao cho
QEP = diag(In1 , N ),

QAP = diag(A1 , In2 ),

QB = (B1 /B2 ),

CP = (C1

C2 ).

(1.11)
Với phép biến đổi
x1
x2

= P −1 x,

x1 ∈ Rn1 ,

x2 ∈ Rn2 ,

(1.12)

trong đó n1 + n2 = n, N ∈ Rn2 ×n2 là ma trận lũy linh, B1 ∈ Rn1 ×m , B2 ∈ Rn2 ×m .
Ta có

E x˙ = Ax + Bu
⇔ Q−1 diag(In1 , N )P −1 x˙ = Q−1 diag(A1 , In2 )P −1 x + Bu
⇔ diag(In1 , N )P −1 x˙ = diag(A1 , In2 )P −1 x + QBu
x1
x˙ 1
+
= diag(A1 , In2 )
⇔ diag(In1 , N )
x2
x˙ 2
⇔

B1
B2

u

x˙ 1 = A1 x1 + B1 u
N x˙ 2 = x2 + B2 u.

Khi đó, hệ (1.10) tương đương với
x˙ 1 = A1 x1 + B1 u;
y 1 = C 1 x1 .

(1.13)

N x˙ 2 = x2 + B2 u;
y2 = C2 x2 .

(1.14)

(1.15)

y = C 1 x1 + C 2 x2 = y 1 + y 2 .

Các phương trình (1.13), (1.14), (1.15) được ký hiệu là EF 1, hệ con (1.13), (1.14)
tương ứng được gọi là hệ con chậm và nhanh (slow and fast subsystems), x1 , x2
tương ứng là các trạng thái con chậm và nhanh.
Các ma trận Q, P trong phép biến đổi trên nói chung là không duy nhất.
Ví dụ 1.3. Xét hệ
1
 0
 0
0


0
0
0
0

0
1
0
0



0
0 


x˙ = 
0 
0
y = (0

0
1
−1
0
0

1
0
0
1
1



0 0
0 0 

x+
0 1 
1 1
0)x.


0
0 

u;
0 
−1

(1.16)


9

Nếu chúng ta chọn phép biến đổi P −1 x = (x1 /x2 ),
1
 0
Q=
0
0


Ta có


0 1 −1
1 0
0 
,
0 −1 1 
0 1
0

x 1 ∈ R2 ,

x2 ∈ R2 , với


1
0 0 0
 −1 −1 1 0 
P =
.
0
1 0 0 
1
0 0 1



−1 −1 0 0
0 0 0 
−1 −1
 1
QAP = 
⇒ A1 =
,
0
0 1 0 
1
0
0
0 0 1



1
1
−1
 0 
QB = 
⇒ B1 =
, B2 =
,
−1 
0
0
0


CP = (0

1

0

0) ⇒ C1 = (0

1), C2 = (0

0).

Vậy hệ trên trở thành
x˙ 1 =

−1 −1

1
0

0 = x2 +
y = (0

x1 +

−1
0

1)x1 + (0

1
0

u,

u;

(1.17)

0)x2 .

Đây là dạng EF 1 đối với hệ (1.16).
1.1.3

Dạng tương đương thứ hai (Second Equivalent Form, EF 2)

Cho q = rankE . Từ lý thuyết ma trận, tồn tại hai ma trận không suy biến

P1 và Q1 sao cho Q1 EP1 = diag(Iq , 0). Với phép biến đổi P1−1 x = (x1 /x2 ), x1 ∈
Rq , x2 ∈ Rn−q .

Ta có
E x˙ = Ax + Bu
−1
⇔ Q−1
˙ = Ax + Bu
1 diag(Iq , 0)P1 x

⇔ diag(Iq , 0)P1−1 x˙ = Q1 Ax + Q1 Bu
x˙ 1
x1
⇔ diag(Iq , 0)
= Q1 AP1
x˙ 2
x2
⇔

x˙ 1 = A11 x1 + A12 x2 + B1 u
0 = A21 x1 + A22 x2 + B2 u.

+

B1
B2

u

10

Khi đó, hệ (1.10) tương đương với
x˙ 1 = A11 x1 + A12 x2 + B1 u,
0 = A21 x1 + A22 x2 + B2 u;

(1.18)

y = C 1 x1 + C 2 x2 ,

trong đó
Q1 AP1 =

A11 A12
A21 A22

,

Q1 B =

B1
B2

,

CP1 = (C1

C2 ).

Phương trình (1.18) là phương trình tương đương thứ hai của hệ (1.10) được ký

hiệu là EF 2. Trong phép biến đổi trên, ma trận Q1 và P1 nói chung là không
duy nhất.
Ví dụ 1.4. Xét hệ như trong ví dụ (1.3). Với phép biến đổi P1−1 x = (x1 /x2 ), x1 ∈
R2 , x2 ∈ R2 , với
1
 0
P1 = 
0
0

0
0
1
0

1 0
0 0

x2 +



Q1 = I4 ,

0
1
0
0



0
0 
,
0 
1

khi đó hệ (1.16) là tương ứng với
0 0
1 0

x˙ 1 =

−1 0
0 1

0=
y = (0

x1 +
x1 +

1)x1 + (0

0 1
1 1

0
0

x2 +

u,
0
−1

u;

0)x2 .

Đây là dạng EF 2 đối với hệ (1.16).
1.1.4

Dạng tương đương thứ ba (Third Equivalent Form, EF 3 )

Dưới giả thiết chính quy, luôn tồn tại một số α sao cho det(αE + A) = 0. Với
phép biến đổi ma trận
Q2 = (αE + A)−1 ,

P2 = In .

Khi đó Q2 A = In − α(αE + A)−1 E . Ta có
E x˙ = Ax + Bu
−1
⇔ E x˙ = Q−1
2 [In − α(αE + A) E]x + Bu

⇔ Q2 E x˙ = (In − αQ2 E)x + Q2 Bu.


11

Vậy hệ (1.10) là tương đương với
ˆ + Bu;
ˆ
Eˆ x˙ = (In − αE)x

(1.19)

y = Cx,

trong đó Eˆ = Q2 E và Bˆ = Q2 B , đây là phương trình tương đương thứ ba của hệ
(1.10), được ký hiệu là EF 3.
Ví dụ 1.5. Xét hệ (1.16). Vì A−1 là tồn tại, nên có thể chọn α = 0 và

0
1
0 0
0
0 0 
 1
=
,
−1 −1 −1 1 
0
1
1 0


Q2 = A−1

P2 = I4 .

Vì vậy, hệ (1.16) là tương đương với
ˆ
Eˆ x˙ = x + Bu;

(1.20)

y = Cx,

trong đó
0
 1
Eˆ = 
−1
0



0 1 0
0 0 0 
,
0 −1 0 
0 1 0


0
0 
ˆ=
B

 −1  ,
0


C = (0

0

1

0).

Đây là dạng EF 3 đối với hệ (1.16).

1.2

Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến
tuyến tính với hệ số hằng

Xét hệ
E x˙ = Ax + Bu;
y = Cx,

(1.21)

trong đó x ∈ Rn , u ∈ Rm , y ∈ Rr là các trạng thái, điều khiển đầu vào, và đầu
ra tương ứng, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rr×n là các ma trận hằng. Giả sử
q = rankE < n, (E, A) là cặp ma trận chính quy.

Vì (E, A) là cặp ma trận chính quy, nên tồn tại hai ma trận khả nghịch P

và Q sao cho
QEP = diag(In1 , N ),

QAP = diag(A1 , In2 ),

(1.22)


12

trong đó A1 ∈ Rn1 ×n1 , N ∈ Rn2 ×n2 là ma trận lũy linh cấp h (tức là N h = 0) và
n1 + n2 = n. Đặt
x1
x2

x=P
QB =

B1
B2

,

x1 ∈ Rn1 ,

,

B1 ∈ Rn1 ,

x2 ∈ Rn2 ,

B2 ∈ Rn2 ,

CP = ( C1 C2 ) .

Khi đó, hệ (1.21) có dạng tương đương EF 1 là
x˙ 1 = A1 x1 + B1 u,
N x˙ 2 = x2 + B2 u;
y = C 1 x1 + C 2 x2 .

(1.23)

Ta gọi hệ (1.23) là phân rã của hệ (1.21).
Khi t > 0, phương trình
x˙ 1 = A1 x1 + B1 u

là một phương trình vi phân thường. Phương trình này có nghiệm duy nhất
với bất kỳ điều kiện ban đầu x1 (0) và với bất kỳ hàm liên tục từng khúc u(t).
Nghiệm của phương trình này là
t

x1 (t) = e

A1 t

eA1 (t−τ ) B1 u(τ )dτ .

x1 (0) +

(1.24)

0

Xét phương trình N x˙ 2 = x2 + B2 u. Giả sử u(t) là có đạo hàm liên tục từng khúc
đến cấp h, khi đó ta có
x2 = N x˙ 2 − B2 u,
(2)

x˙ 2 = N x2 − B2 u,
˙
(2)

(3)

x2 = N x2 − B2 u(2) ,
...,
(h)

(h+1)

x2 = N x 2

− B2 u(h) ,

trong đó x(i)
2 là đạo hàm cấp i của hàm x2 (t).


13

Như vậy,
x2 = N x˙ 2 − B2 u
(2)

= N [N x2 − B2 u]
˙ − B2 u
(2)

= N 2 x2 − N B2 u˙ − B2 u
= ···
h−1

=

(h)
N h x2

N i B2 u(i)

−
i=0

h−1

N i B2 u(i)

=−

(vì N lũy linh cấp h).

(1.25)

i=0

Vì thế ta có
t

x1 (t) = e

A1 t

eA1 (t−τ ) B1 u(τ )dτ ;

x1 (0) +
0

h−1

N i B2 u(i) .

x2 (t) = −

(1.26)

i=0

Như vậy, nghiệm của hệ phương trình (1.21) là
x(t) = P [I/0]x1 (t) + P [0/I]x2 (t)
t

=P

I
0

A1 t

(e

x1 (0) +

e

A1 (t−τ )

B1 u(τ )dτ ) − P

0

0
I

h−1

N i B2 u(i) (t);
i=0

t

y(t) = Cx(t) = CP

I
0

A1 t

(e

eA1 (t−τ ) B1 u(τ )dτ ) − CP

x1 (0) +
0

0
I

h−1

N i B2 u(i) (t).
i=0

Phương trình (1.26) biểu thị rằng khi t > 0, trạng thái x(t) = P (x1 (t)/x2 (t))
được định nghĩa duy nhất bởi trạng thái ban đầu x1 (0), điều khiển đầu vào
u(τ ), 0 ≤ τ ≤ t và thời gian t.

Ta thấy rằng không phải lúc nào hệ (1.21) cũng có nghiệm theo nghĩa cổ
điển. Ta đưa vào khái niệm nghiệm suy rộng nhờ khái niệm đạo hàm suy rộng
như sau.
Giả sử ϕ(x) là hàm khả vi vô hạn lần xác định trên trục thực R và ϕ(x)
bằng không ở ngoài khoảng đóng bị chặn A ⊂ R. Các hàm này được gọi là các

hàm thử. Giả sử A là tập đóng nhỏ nhất sao cho, nếu x0 ∈ A, với mọi lân cận


14

U (x0 ) của x0 , tồn tại một điểm x ∈ U (x0 ) mà ϕ(x) = 0. Khi ấy A là giá của hàm
ϕ(x). Ký hiệu D là tập các hàm thử. Rõ ràng, D là không gian tuyến tính.

Định nghĩa 1.3. Cho {ϕi (x)} là dãy các hàm thử. Nếu các hàm ϕi (x) cùng có
giá A với mọi k = 0, 1, 2 . . . , dãy ϕ(k)
i (x) hội tụ đều tới không, thì dãy {ϕi } được
gọi là hội tụ tới hàm không và được ký hiệu bởi
lim ϕi (x) = 0.

i→∞

Định nghĩa 1.4. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D được gọi là hàm
suy rộng.
Nếu f (x) là hàm suy rộng thì f (x) có các tính chất sau.
1. < f, (aϕ1 + bϕ2 ) >= a < f, ϕ1 > +b < f, ϕ2 >,
2. Nếu ϕi → 0,

∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D; a, b ∈ R.

(i → ∞).

< f, ϕi >→ 0

Ở đây < f, ϕ > là một số thực định nghĩa bởi f, ϕ theo một quy luật nào đó.
Ví dụ 1.6. Giả sử f (x) nhận giá trị thực trên R và là hàm khả tích địa phương.

Khi ấy, sử dụng tích vô hướng cho f, g ta có
< f, g >=

f (x)g(x)dx =
R

f (x)g(x)dx,

(1.27)

A

ta có thể xác định một cách duy nhất hàm suy rộng g .
Giả sử f (x) là một hàm suy rộng. Nếu tồn tại hằng số M > 0 và k ∈ R thỏa
mãn
|f (x)| ≤ M |x|k , khi x → ∞,

thì f (x) cũng xác định một hàm suy rộng.
Ví dụ, hàm f (x) = e−a|x| , a > 0, và các hàm đa thức là các hàm suy rộng.
Theo định nghĩa, hàm theo nghĩa thông thường là các hàm suy rộng. Như
vậy, khái niệm hàm suy rộng là sự mở rộng hàm theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 1.7. Cho < f, g > xác định bởi (1.27). Thì
(δ, ϕ) := ϕ(0)

định nghĩa duy nhất hàm δ(x).


15

Cho < f, g > xác định bởi (1.27) và f (x) khả vi trên R với đạo hàm f (x). Thì

chúng ta có
+∞

< f ,ϕ > =

T

f (x)ϕ(x)dx = lim

T →∞
−T
T

−∞

= lim (f (x)ϕ(x)
T →∞

ϕ(x)df (x)

T
−
−T

ϕ (x)f (x)dx)
−T

+∞

=−

f (x)ϕ (x)dx = − < f, ϕ > .

−∞

Đẳng thức này đúng với mọi ϕ ∈ D. Từ đây ta đi đến định nghĩa về đạo hàm
của hàm suy rộng như sau.
Định nghĩa 1.5. Đạo hàm f của f là một hàm suy rộng mà xác định một cách
duy nhất bởi
< f , ϕ >= − < f, ϕ > .

Cho f (x) là một hàm số thực trên R, có đạo hàm ngoại trừ điểm τ0 và
f (τ0 − 0) = lim f (τ0 + ε)

f (τ0 + 0) = lim f (τ0 + ε),
ε→0+

ε→0−

tồn tại. Khi đó
∆τ0 f = f (τ0 + 0) − f (τ0 − 0)

được gọi là bước nhảy của hàm f tại τ0 .
Cho f (x) là đạo hàm thông thường của hàm f (x) và f˙ (x) là đạo hàm suy
rộng của hàm f (x) mà giả sử tồn tại đạo hàm tại điểm x ∈ R. Cho ϕ(t) ∈ D, ta
có
∞

τ0 −ε

< f˙ , ϕ > =< f, −ϕ >= lim {−

f (x)ϕ (x)dx−

ε→0

−∞
τ0 −ε
0 −ε
= lim{−f ϕ|τ−∞
− f ϕ|∞
τ0 +ε +

f (x)ϕ (x)dx},

τ0 +ε
∞

f ϕdx +
−∞

ε> 0

f ϕdx}

τ0 +ε

= ∆τ0 f ϕ(τ0 )+ < f , ϕ >=< f + ∆τ0 f δ(x − τ0 ), ϕ > .

Như vậy, ta có

f˙ (x) = f (x) + ∆τ0 f δ(x − τ0 ).

(1.28)


16

Giả sử rằng u(t) là có đạo hàm liên tục từng khúc đến cấp h. Ký hiệu x˙ 2 (t)
và x˙ 2 (t) lần lượt là đạo hàm theo nghĩa suy rộng và đạo hàm theo nghĩa thông
thường của hàm x2 (t). Từ (1.28), phương trình tương đương theo nghĩa suy rộng
của phương trình N x˙ 2 = x2 + B2 u là
N x˙ 2 (t) − N x2 (0)δ(t) = x2 (t) + B2 u(t),

trong đó δ(t) là giá trị của hàm dirac tại thời điểm t. Suy ra
N x˙ 2 (t) = x2 (t) + B2 u(t) + N x2 (0)δ(t)

từ (1.25) ta có
h−1

h−1

δ (i−1) (t)N i x2 (0) −

x2 (t) = −
i=1

N i B2 u(i) (t),

(1.29)

i=0

trong đó δ (i−1) là đạo hàm suy rộng cấp (i − 1) của δ được xác định theo công
thức sau: Với mọi ϕ ∈ D ta có
< δ (i−1) , ϕ > = (−1)(i−1) < δ, ϕ(i−1) >=< δ, (−1)(i−1) ϕ(i−1) >
= (−1)(i−1) ϕ(i−1) (0).

Công thức (1.29) là nghiệm của hệ con nhanh (1.14) theo nghĩa của hàm suy
rộng. Chúng ta gọi nghiệm trên là nghiệm suy rộng, mà trong đó xuất hiện
thành phần dạng xung, là các đại lượng có δ (i) (t) tham gia.
Từ (1.24) và (1.29) ta có thể viết nghiệm x(t) dưới dạng
t

x(t) = P [I/0]eA1 t [I

0]P −1 x(0) + P [I/0]

eA1 (t−τ ) B1 u(τ )dτ
0

h−1

− P [0/I]

h−1

δ

(i−1)

i

(t)N [0

I]P

−1

N i B2 u(i) (t).

x(0) − P [0/I]

i=1

(1.30)

i=0

Ví dụ 1.8. Xét hệ
1
 0
 0
0


0
0
0
0

0
1
0
0



0
0
0 
 1
x˙ = 
−1
0 
0
0
y = (0 0

1
0
0
1

0
0
0
1
1




0
0 

x+
1 
1
0)x.


0
0 
u(t);
0 
−1

(1.31)


17

Nếu chúng ta chọn phép biến đổi P −1 x = (x1 /x2 ),
1
 0
Q=
0
0




0 1 −1
1 0
0 
,
0 −1 1 
0 1
0

x 1 ∈ R2 ,

x2 ∈ R2 ,


1
0 0 0
 −1 −1 1 0 
P =
,
0
1 0 0 
1
0 0 1


thì hệ trên sẽ trở thành
−1 −1
1
0

x˙ 1 =

0 = x2 +
y = (0

1
0

x1 +

−1
0

u,

u;

(1.32)

1)x1 .

Từ (1.24) và (1.25) ta có
t

x1 (t) = eA1 (t) x1 (0) +

eA1 (t−τ )

1
0

u(τ )dτ ;

0

1
0

x2 (t) =

u(t).

Như vậy, nghiệm của hệ (1.31) là

x(t) = 



x1 (t)
x2 (t) +

−1 −1
1
0

x1 (t)

,

trong đó
x1 (t) = e−1/2t

− sin

t

e−1/2(t−τ )

+
0

x2 (t) =

1
0

√
√
√
√
3
3
3
t
−
3cos
t
−2
sin
2
2

2 t √
√
√
x1 (0)
√
2 sin 23 t
sin 23 t + 3cos 23 t
√
√
√
− sin√23 (t − τ ) − 3cos 23 (t − τ )
u(τ )dτ ;
2 sin 23 (t − τ )

u(t).

Trong ví dụ này, N = 0; vì thế không xuất hiện thành phần dạng xung trong
trạng thái nhanh.
Ví dụ 1.9. Xét
0 1
0 0

x(t)
˙
= x(t) +

−1
−1

u(t),

18

trong đó
0 1
0 0

N=

,

B=

(t)

x1 (0)
x2 (0)

−1
−1

.

Nghiệm của hệ trên là
x1
x2

1
i (i−1)

=−

N δ
i=1

−x2 (0)δ(t) + u(t) + u(t)
˙
u(t)

=

1

N i Bu(i) (t)

−
i=0

.

Vì thế
x1 (t) = −x2 (0)δ(t) + u(t) + u(t);
˙

(1.33)

x2 (t) = u(t).

Xét hai trường hợp đặc biệt.

1. Cho hàm điều khiển là hàm bước nhảy đơn vị
u(t) = f (t − α) =

1,
0,

t > α > 0;
t ≤ α, α là giá trị cho trước.

Khi đó
x1 (t) = −x2 (0)δ(t) + f (t) + δ(t − α);
x2 (t) = f (t).
2. Nếu hàm điều khiển là
u(t) = g(t) =

0,
t − β,

t ≤ β;
t > β,

β > 0 là giá trị cho trước,

thì u(t) là liên tục. Khi đó,
x1 (t) = −x2 (0)δ(t) + g(t) + f (t − β);
x2 (t) = g(t).

Khác với hệ phương trình vi phân thường, khi trạng thái x(t) là một hàm liên
tục tuyệt đối được xác định bởi hàm điều khiển u(t) liên tục từng khúc hoặc đo
được. Điều này không còn đúng đối với hệ suy biến, trong đó trạng thái x(t) có

thể có những bước nhảy do các tác động xung (xem các ví dụ trên).


19

1.3

Tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy
biến tuyến tính với hệ số hằng

1.3.1

Tính đạt được

Xét hệ suy biến (1.21).
Định nghĩa 1.6. Vectơ w ∈ Rn trong không gian vectơ n chiều được gọi là
đạt được từ trạng thái ban đầu x1 (0), nếu tồn tại t1 > 0 và điều khiển đầu vào
u(t) ∈ Cph−1 sao cho
x(t1 ) = w,

trong đó Cph−1 là tập tất cả các hàm khả vi liên tục từng khúc đến cấp h − 1.
Ký hiệu R(x1 (0)) là các trạng thái đạt được từ trạng thái ban đầu x1 (0).
Khi đó
R(x1 (0)) = {w ∈ Rn | tồn tại t1 > 0 và điều khiển u(t) ∈ Cph−1 : x(t1 ) = w},

là một không gian con trong không gian vectơ n chiều.
Ký hiệu
< E|B >= Im[B, EB, . . . , E n−1 B],

trong đó n là số chiều của ma trận E . Ở đây [B, EB, . . . , ] là ma trận tạo bởi các

ma trận được sắp xếp liên tiếp cạnh nhau.
ImB = {y : y = Bx,

x ∈ Rn },

KerE = {x : Ex = 0,

x ∈ Rn }.

Bổ đề 1.2. (xem[2], trang24) Cho đa thức khác không f (t) bất kỳ, chúng ta định
nghĩa
t
τ

f (s)eA1 s B1 B1τ eA1 s f (s)ds,

W (f, t) =
0

ở đây B τ là ma trận chuyển vị của ma trận B . Khi đó ImW (f, t) =< A1 |B1 >
với bất kỳ t > 0.
Bổ đề 1.3. Với bất kỳ h vectơ ui ∈ Rn , i = 0, 1, 2, . . . , h − 1, và t1 > 0, thì luôn
tồn tại một vectơ đa thức f (t) ∈ Rn có bậc là h − 1, sao cho
f (i) (t1 ) = ui ,

i = 0, 1, 2, . . . , h − 1.


20

Chứng minh. Xét vectơ đa thức
f (t) = a0 (t − t1 )h−1 + a1 (t − t1 )h−2 + . . . + ah−2 (t − t1 ) + ah−1 .

Ta có
f (0) (t1 ) = ah−1 = u0 ,
f (t1 ) = ah−2 = u1 ,
...,
f (h−1) (t1 ) = (h − 1)!a0 = uh−1 .

Vậy tồn tại vectơ đa thức f (t) ∈ Rn có bậc là h−1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dưới đây ta sử dụng một số khái niệm sau (xem [2], trang 308).
Cho ma trận vuông A cấp n × n, ma trận mũ của A được định nghĩa như
sau
eAt = I +

1
1
1
At + (At)2 + . . . + (At)k + . . .
1!
2!
k!

Định lý 1.2. (Hamilton)([2]) Cho f (s) = sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 là đa thức
đặc trưng của ma trận A, tức là f (s) = det|sI − A|. Khi đó
f (A) = An + an−1 An−1 + . . . + a1 A + a0 I = 0.

Từ đây ta có:
Cho bất kỳ ma trận A có cấp n×n thì tồn tại các hàm liên tục f0 (t), f1 (t), . . . , fn−1 (t)
sao cho

eAt = f0 (t)I + f1 (t)A + . . . + fn−1 (t)An−1 .

Định lý 1.3. (xem[2], trang25) Cho R(0) là tập các trạng thái đạt được từ trạng
thái ban đầu x1 (0) = 0. Khi đó
R(0) =< A1 |B1 > ⊕ < N |B2 >,

trong đó ⊕ là tổng trực tiếp trong không gian vectơ.
Chứng minh. Giả sử x ∈ R(0), khi ấy tồn tại t1 > 0 sao cho
t1

x1 (t1 ) =

h−1

e
0

A1 (t1 −τ )

B1 u(τ )dτ,

N i B2 u(i) (t1 ).

x2 (t1 ) = −
i=0


21

Như vậy, hiển nhiên, x2 (t1 ) ∈< N |B2 >. Hơn nữa theo Định lý Hamilton ta có

eA1 t = β0 (t)I + β1 (t)A1 + . . . + βn1 −1 (t)An1 1 −1 .

Như vậy,
t1

e

x1 (t1 ) =

t1

n1 −1
A1 (t1 −τ )

Ai1 B1

B1 u(τ )dτ =
i=0

0

βi (t1 − τ )u(τ )dτ ∈< A1 |B1 >
0

mà x(t) = (x1 (t)/x2 (t)) với mọi t nên x(t1 ) ∈< A1 |B1 > ⊕ < N |B2 > . Vì thế,
R(0) ⊆< A1 |B1 > ⊕ < N |B2 > .

(1.34)

Mặt khác, cho bất kỳ x = (x1 /x2 ) ∈< A1 |B1 > ⊕ < N |B2 >, với x1 ∈< A1 |B1 >,

x2 ∈< N |B2 >, từ x2 ∈< N |B2 > tồn tại x2i ∈ Rm , i = 0, 1, 2, . . . , h − 1 sao cho
h−1

N i B2 x2i .

x2 = −
i=0

Từ Bổ đề (1.3), cho t > 0, luôn tồn tại một đa thức f2 (s) có bậc h − 1 sao cho
(i)

f2 (t) = x2i . Chọn điều khiển
u(t) = u1 (t) + f2 (t),

với u1 (t) sẽ được xây dựng sau. Khi ấy ta có
t

x1 (t) =

t

e

A1 (t−τ )

0

Vì

0

t

e
0

t

n1 −1
A1 (t−τ )

eA1 (t−τ ) B1 f2 (τ )dτ .

B1 u1 (τ )dτ +

Ai1 B1

B1 f2 (τ )dτ =
i=0

βi (t − τ )f2 (τ )dτ ∈< A1 , B1 >
0

nên
x1 ∈ < A1 |B1 >,

trong đó x1 được định nghĩa như sau
t

eA1 (t−τ ) B1 f2 (τ )dτ.

x1 = x 1 −
0