Luận văn thạc sĩ toán học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (836.75 KB, 73 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
CHU VĂN ĐÔNG
VE MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
CHU VĂN ĐÔNG
VỀ MỘT s ố PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VÃN THẠC s ! TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. KHUẤT YĂN NINH
Hà Nội - Năm 2015
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,
người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành
luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân
cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã
giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận
văn của mình.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã ữuyền thụ kiến thức, giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả
cũng chân thành cám ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Toán Trường
THPT Kim Anh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập
và hoàn thành tốt luận văn . Và qua đây tác giả cũng cảm ơn gia đình, đồng
nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015
Tác giả
Chu Văn Đông
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân ữọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được ữong luận
văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào
của ai khác.
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015
rTI-Í _ _*2
Tác
giả
Chu Văn Đông
iii
Mục lục
LỜI CẢM ƠN
i
LỜI CAM ĐOAN
ii
MỞ ĐẦU
1
1
Kiến thức chuẩn bị
4
1.1
Không gian vec t ơ ..................................................................
4
1.2
Không gian meữic, nguyên lí ánh xạ co
...............................
6
1.2.1
Không gian m e ữ i c .....................................................
6
1.2.2
Nguyên lí ánh xạ co
8
1.3
..................................................
Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân trong
không gian định c h u ẩ n ...........................................................
9
1.3.1
Không gian tuyến tính định c h u ẩ n ............................
9
1.3.2
Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . .
12
1.4 Phương pháp N e w to n ...............................................................
16
1.4.1
Điểm F o u rie r..............................................................
16
1.4.2
Phương pháp N ew ton..................................................
16
1.5 Phương pháp dây c u n g ............................................................
18
1.6 Phương pháp Newton trong Rn ...............................................
20
iv
2
1.7 Bậc hội tụ của hàm l ặ p ............................................................
22
1.7.1 Hàm lặ p .........................................................................
22
1.7.2 B ậ c h ộ itụ ......................................................................
23
Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc
hội tụ cao và hiệu quả tính toán
25
2.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng b a ...................................
25
2.1.1 Đặt vấn đề
3
...................................................................
25
2.1.2 Bổ đ ề ............................................................................
26
2.2 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng n ă m ................................
31
2.3 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng s á u ................................
33
2.4
Hiệu quả tính to á n .....................................................................
34
2.4.1
So sánh giữa các chỉ số hiệu q u ả ................................
36
2.4.2
So sánh (ƠM) với (G2,3) ............................................
36
2.4.3
So sánh (Ơ 1 IỖ) với (G2,5) ............................................
37
2.4.4
So sánh (ƠI 6) vói (G2 б ) ............................................
39
ứng dụng phần mềm Maple vào giải hệ phương trình phi tuyến
trong M2 và M3
41
3.1 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng b a ...............................................
41
3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng n ă m ............................................
46
3.3 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng s á u ...............................................
52
3.4
So sánh tính hiệu quả của các phương pháp lặp có bậc hội tụ
bằng ba, năm và sáu trong việc giải hệ phương tìn h phi tuyến
57
KẾT LUẬN
65
Tài liệu tham khảo
66
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải hệ phương trình phi tuyến F(x) = 0 là một vấn đề phổ biến và quan
trọng trong nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau, vấn đề này được mô
tả như sau: Đối với một hàm phi tuyến cho trước F{x) : D Ç Mn —> Mn
với
F(x)
=
vectơ a = («!, a 2,
f 2{ x ) , f n { x ) y
yằ X =
( x 1, x 2, . . . , x n) t ,
ta cần tìm một
а пУ sao cho F (a) = 0. Vectơ nghiệm a có thể tìm
được như một điểm cố định của hàm G( x ) : Mn —> Mn bằng phương pháp
lặp điểm được xác định bởi dãy X
= G ( x ^ ) , к = 0 ,1 ,.....Một trong
những phương pháp cơ bản để giải hệ phương ữình phi tuyến là phương pháp
Newton cổ điển có bậc hội tụ bằng hai. Phương pháp Newton cổ điển được
xác định bởi:
= G
= x W —F f[ x ^ ) 1F (xW) , k = о, 1,2,
ữong đó yêu cầu hàm F khả vi, liên tục và xấp xỉ ban đầu ж(°) là điểm Fourier.
( F '( x )- 1 là nghịch đảo của đạo hàm Fréchet F ' (x) đối với hàm F (X) ).
Để cải thiện bậc hội tụ của phương pháp Newton nhiều đề xuất đã được
đưa ra ví dụ như: M.Frontini và E.Sormani đã phát ữiển một vài phương pháp
lặp có bậc hội tụ bằng ba. M.T.Darvishi và A.Barati đã ữình bày một phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng bốn. A.Cordero, E.Martinez và J.R.Torregrosa đã
đưa ra một phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng năm. A.Cordero, J.L.Hueso,
E.Martinez và J.R.Torregrosa đã trình bày một phương pháp lặp có bậc hội
tụ bằng sáu.
Với mong muốn tạo ra các phương pháp lặp có bậc hội tụ cao và có cấu
trúc đơn giản nhưng với tính toán là tối thiểu, và nhằm bổ sung và nâng cao
kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học, tôi chọn đề tài “về
2
một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phỉ tuyến” làm
luận văn cao học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp lặp vào giải xấp xỉ một lớp bài toán
hệ phương trình phi tuyến trong Rn. Nghiên cứu về bậc hội tụ, chỉ số hiệu quả
tính toán của một số phép lặp. Nêu một số ví dụ về giải số hệ phương ữình
phi tuyến trong M2 và R3 trong đó có sử dụng phần mềm Maple.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm và sáu.
Nghiên cứu về chỉ số hiệu quả tính toán của một số phương pháp lặp.
Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến cụ thể trong M2
và M3.
4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình
phi tuyến bằng phương pháp lặp.
Phạm vi nghiên cứu:
+ Nghiên cứu một số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm và sáu.
+ Nghiên cứu về chỉ số hiệu quả tính toán của một số phương pháp lặp.
4- Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến cụ thể trong
M2 và R3.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ Giải tích, Giải tích hàm và Giải tích số
để tiếp cận và giải quyết vấn đề.
Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài
3
báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học
viên cao học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi
tuyến.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
Không gian vec tơ
Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu : ấ, ß, 7 , . . . và
trường
к mà các phần tử được kí hiệu: x , y , z , . ..
Giả sử trên E có hai phép toán :
1. Phép toán cộng , kí hiệu + :
E X E — » E.
(а,Д ) I— >ã + ß
2. Phép toán nhân, kí hiệu là • :
К X E — » E.
( X , ã ) I— > X • ã .
thỏa mãn các tiên đề sau :
1) ã + ß = ß + ấ, Võí, ß e E\
5
2) (đ + ß) + 7 = ã + (ß + 7 ), Vã, ß, 7 e E;
3) tồn tai 6 e E sao cho ể + ã = ấ + ể = ã , Vữ Ễ £ ;
4) Vói mỗi ã tồn tại a! € E sao cho a' + ã = ã + a' = 9;
5) (íc + y)ã = x ã 4- yã, Va G E \ k x , y & K\
6) x((ĩ + ß) = x ã + xß, Va, ß & E v ầ x & K ;
7) x ( y ấ ) = ( xy) ấ, v<ĩ G E Yầ. x , y G K
8) l
a = a,V a G £■ và 1 là phần tử đơn yị của trường Â\ Khi đó E
cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ ữên trường K, hay
K -không gian vectơ, hay không gian tuyến tính .
Khi K = M thì E được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = c thì E được gọi là không gian vectơ phức.
Định nghĩa 1.2. Hệ véc tơ (ãị), Vi = 1 ,2 ,..., n gọi là độc lập tuyến tính nếu
n
^2 Xịăị = 0 kéo theo Xị — 0, V« = 1 ,2 ,..., n .
i=1
Hệ véc tơ (ctj), Vi = 1, 2, . . . , n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc
lập tuyến tính .
Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một không gian vectơ. Một hệ vectơ ữong E
được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều biểu thị tuyến tính
qua hệ đó . Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là
không gian vectơ hữu hạn sinh.
Đỉnh nghĩa 1.4. Một hệ vectơ ữong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ
sinh độc lập tuyến tính.
6
Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử
thì số phần tử trong cơ sỏ đó được gọi là số chiều của không gian.
Khi E là một
-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu: dim E = n
Định nghĩa 1.6. Tập con w Ỷ 0 của một K -không gian vec tơ E được gọi là
không gian vec tơ con của E nếu nó ổn định vớihai phép toán của E , nghĩa
là thỏa mãn các điều kiện sau :
1) VỔ, ĩ € w, ã + ặ € w ,
2) Va € w và
1.2
G K thì x ã G w.
Không gian metric, nguyên lí ánh xạ co
1.2.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.7. Cho 1 ^ 0 . Một metric trong X là một ánh xạ
d:X x X ^ R
của tích X X X vào đường thẳng thực M, thỏa mãn các điều kiện sau đây
1) d (X, y ) > 0, Vx, y e X và d (x, y) — 0
X = y\
2) d (X, y) = d (y , x) , Vx, y e X]
3) d (X, y) < d (x, z) + d (z, y ), Vx, y , z EX , (bất đẳng ứiức tam giác).
Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng
cách (hay meưic) ưong X . Các phần tử của một không gian meưic gọi là các
điểm của không gian ấy, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.
7
Ví dụ 1.2.1. c [a, 6] là một không gian metric với khoảng cách
d (X, y ) = max Ix(t) — y(t) I.
a
Định nghĩa 1.8. Một dãy điểm (xn) , n = 1,2... trong không gian metric X
gọi là hội tụ đến điểm a e X nếu lim d (xn, a) = 0. Khi đó, ta ký hiệu:
n-¥0 o
limxn = a
n—
>00
hoặc x n —>a, khi n —>■00 .
Định nghĩa 1.9. Dãy điểm (xn) , n = 1,2... được gọi là dãy cơ bản (hay dãy
Côsi) trong không gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho trước, đều tồn tại
một số n0 sao cho với mọi n > n 0 và m > n 0 ta đều có
d ( x n, x m) < £.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.10. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A :
X
Y được gọi là liên tục tại
3?0 ẽ X
nếu như vói mọi £ > 0, 3(5 > 0 sao cho với mọi X £ X thỏa mãn d ( x: X Q) < ổ
thì
d (A ( x ) , A (a:0)) < £.
1.2.2
Nguyên lí ánh xạ co
Định nghĩa 1.12. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A :
X —> Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại a với 0 < a < 1 sao cho với
mọi x :y & X ta đều có
d(A (x),A(y)) < ad(x, y).
Đinh lý 1.1 (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử X là một không gian metric đầy
đủ, và A : X —>X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một
và chỉ một điểm X* € X sao cho A (z*) = X*.
Ví dụ 1.2.2. Trong không gian M1 cho ánh xạ A được xác định bởi công thức
A x = 7Ĩ — asiĩix, |aỊ < 1.
Khi đó A là ánh xạ không gian gian đủ R 1 vào chính nó. Hơn nữa,
IA x —Ax'\ = Ịasinx —asin x 'l = 2 Ịa| |sin
|cos
< 2 |a| 1 ^ 1 = \a\ \ x - x ' \
Suy ra A là ánh xạ co , vì |a| < 1 .
Theo nguyên lý về ánh xạ co, ánh xạ Ả có điểm bất động duy nhất X . Ta dễ
dàng kiểm tra được điểm bất động duy nhất đó là
X =
7T.
Ví dụ 1.2.3. Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1, +oo) vào chính nó được
xác định bởi công thức
_ H—1 .
Ax = X
X
Ta có [1, +oo) là một tập hợp con đóng của R 1 với metric d ( x , y ) = \x —y\.
Do đó [1, +oo) cùng với metric của R 1 lập thành một không gian meữic đủ.
9
Giả sử ánh xạ A : [1, + 00 ) —> [1, + 00 ) ,(x —»■A x ) là ánh xạ co, suy ra tồn
tại duy nhất Xq € [1, + 00 ) sao cho A x ữ = x ữ <=} x ữ + — = x ữ <=} — = 0 ( YÔ
lý ). Vậy A không có điểm bất động, do đó A không là ánh xạ co.
1.3
Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vỉ phân
trong không gian định chuẩn
1.3.1 Không gian tuyến tính định chuẩn
Cho X là một không gian tuyến tính trên trường p (P = R hoặc c ).
Định nghĩa 1.13. Một chuẩn, kí hiệu II. ỊỊ, trong X là một ánh xạ đi từ X vào
R thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ||z|| > 0,Vz G X;
2) Ị|z|| = 0 khi và chỉ khi X = 6 (6 là kí hiệu phần tử
không);
3) ||Ax|| = |A| ||z|| ,VA G P,Vz G X ;
4) ||z + y\\ < ||z|| + IMI , Va:,ĩ/ G X .
Số ||a;|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ
X
e X . Một không gian
tuyến tính X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là
một không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoạc phức, tùy theo p thực hay
phức).
Ví dụ 1.3.1. Không gian M2 là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn
thường chọn là chuẩn : II X ||2= y/xỊ + xị , X = ( x i , x 2) Ễ K2.
10
Định lý 1.2. Giả sử không gian X là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Với mọi x , y €E X , đặt
d ( x , y ) = \\x - y\\ .
Khỉ đó, d là một metrỉc trên X .
Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ gọi là không gian
Banach.
Ví dụ 1.3.2. Cho không gian véctơ thực n chiều Rn. Đối với véctơ bất kỳ
X—
x n) e Mn ta đặt
n
( 1. 1)
Công thức (1.1) cho một chuẩn ữên Rn. Dễ thấy Rn là không gian Banach.
Ví dụ 1.3.3. Cho không gian
C [a
6] . Đối với mỗi X (t ) G C ị a 6] ta đặt
ỊỊa^ll = max \x (í)Ị.
( 1.2 )
a
Công thức (1.2) cho một chuẩn trên
C ịa
6]. Dễ thấy
C ịa
6] là không gian Ba-
nach.
Định nghĩa 1.15. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X với hai chuẩn IIII1
và IIII2. Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và
m > 0 sao cho :
raỊMIi < ||a:||2 < Mll^ll^Va; e X.
Định nghĩa 1.16. Dãy (xn) , n = 1,2... ữong không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ đến x 0 E X nếu lim IIx n —a:0|| = 0.
11
Khi đó, ta kí hiệu limxn = x 0 hoặc x n —»■x ữ, khi n —»■00 .
n—
>00
Định nghĩa 1.17. Dãy (zn) ,77, = 1,2... trong không gian định chuẩn X được
gọi là một dãy cơ bản nếu
lim \\xm - x n\\ = 0.
m,n—>00
Định nghĩa 1.18. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên
trường p . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ
tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:
1) A ( x + y) = A x + A y , Vx, y G X;
2) A (ax) = aAx, \fx Ẽ l , V a Ẽ p.
Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.
Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y = p thì toán tử A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.19. Cho X , Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó
chuẩn ||i4|| của toán tử tuyến tính liên tục A : X
Y là đại lượng:
\\A\\ = sup IIÁcII = sup-^Y^-.
||a;||
x^d
ll^ll
Định nghĩa 1.20. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X v ằ Y . Toán
tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c > 0 sao cho
IIAx\\ < c ||a;|| ,Vx G X.
12
Định nghĩa 1.21. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y . Kí hiệu
A e L (X , Y), L (X , Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ không
gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L (X, Y ) hai phép toán:
1) Tổng của hai toán tử А,
вe
L (X , Y ) là toán tử, kí hiệu А +
в xác định
bởi biểu thức
(А + В ) (æ) = А х + B x , Væ g X,
2) Tích vô hướng của a e p (P = R hoặc p = C) với toán tử A G L (X, Y)
là toán tử, kí hiệu là a Ả, được xác định bởi biểu thức
(iolA) (X) = а (A x ) .
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + в e L (X, Y ), a A G L (X , y ). Khi đó,
tập L (X , Y) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn ữên trường p.
Định lý 1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L (X, Y ) là không gian
Banach.
1.3.2
Phép tính vỉ phân trong không gian định chuẩn
Giả sử X, Y là các không gian Banach, и с X là một tập mở, F : и —»• Y
là một ánh xạ
Định nghĩa 1.22. Cho и € и. F được gọi là khả vi Fréchet tại и nếu tồn tại
A g L { X , Y ) sao cho
||F ( M+ f t ) - F ( u ) - A ( f t ) | | r
114,-0
INI*
Ta có thể thấy A nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi Ả là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu A = dF (и ), còn A(h) được gọi là vi
13
phân Fréchet của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu là df (x,h). Nếu F khả vi
Fréchet tại mọi điểm и € и thì ta bảo F là khả vi Fréchet trong и .
Định nghĩa 1.23. Giả sử F : и —>Y khả vi Fréchet trong и. Khi đó ánh xạ
F ' : U -> LỤC, Y )
и —>dF (и)
được gọi là đạo hàm Fréchet của F trong и . Nếu F' liên tục tại и thì ta nói F
khả vi liên tục tại u. Nếu F' liên tục ữong и thì ta nói F thuộc lớp c l ữong
t/v à viết F
Ả G L (X , Y ) sao cho với mọi h G X và Ve G R ta đều có
Ta có thể thấy A(h) nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi A(h) là vi phân
Gâteaux của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu A( h ) = dGF (и ), còn A gọi là
đạo hàm Gâteaux của ánh xạ F tại điểm и và ta ký hiệu là F g (u) . Nếu F khả
vi Gâteaux tại mọi điểm и G и thì ta bảo F là khả vi Gâteaux trong и.
Định lý 1.4 (quan hệ giữa đạo hàm Gâteaux và Fréchet). Giả sử F : и —>Y
khả vi Gâteaux trong и và đạo hàm Gâteaux
liên tục tại u*. Khi đó F khả vi Fréchet tại u* và dF (и*) = de F (и*).
Định lý 1.5. Nếu ánh xạ f khả vi Fréchet tại x ữ thì f cũng khả vi Gâteaux tại
14
X q.
Nhưng điều ngược lại không đúng.
Chứng minh. Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn trên trường R và ánh
xạ / : X —> Y khả vi Frechet tại điểm x ữ e X. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến
tính liên tục A : X
Y sao cho vói mọi h e X mà IIh\\
f { x 0 + h ) - f (xữ) = A( h) + a (xữ, h), với lim
NHO
0 ta có biểu diễn
ỊỊAỉỊỊ
= 0.
Ta lấy tuỳ ý hị G X và t G R thì lim \\thị II = 0. Do đó
í—
^0
/ (ж0 + thi) — f (ж0) = Ả (t hi ) + a ( x 0, t h i ) , v/ii € X, Ví € R \ {0} .
Ta có
И тИ ф ф М = о.
t—>0
|Ịí< ỉi II
Vì A là ánh xạ tuyến tính nên A (thị) = t A (hi).
= Umlüfeilfüillft!!! = 0.ЦЛ,
í->0 II47*1
0, Vhị G X. Chứng tỏ / khả vi Gâteaux tại x 0 yà lúc đó đạo hàm Gâteaux và
Suy ra lim
í^o
- A(h0
đạo hàm Frechet của / tại x ữ ữùng nhau.
Ngược lại, ánh xạ / khả vi Gâteaux tại x 0 nhưng chưa chắc nó đã khả vi
Fréchet tại điểm đó. Ta lấy ví dụ sau đây để minh hoạ.
Xét ánh xạ / : R 2 —>• R cho bởi công thức
{
0
khi (x, у) = 0
khi (x, y) Ỷ 0
Lấy tuỳ ý h = (/li, h2) e R 2, t G R \ {0} và xét ánh xạ tuyến tính liên tục
15
g : R 2 —>■R, g (X, y ) = 0. Ta có
khi (hị, h2) — 0
/ (thuthv) = <
t2hịhị
í6/ij2+/i®e
khi (hị, h2) 7^ 0
Nên
lim
t—
}0
f { t h i , t h 2) - /(0 ,0 )
-9{h)
= lim l l / № , t M I I =
Ho
|íỊ
2
tức là f ( x , y) khả vi Gâteaux tại X Q = (0,0) € M2 và đạo hàm Gâteaux có nó
tại điểm này chính là g.
Giả s ử
f(x, y
) khả vi Frechet tại X Q = (0,0) e M2, tức là tồn tại ánh xạ tuyến
tính liên tục A : R2 —»■M sao cho với mọi h = (hi, h2) e R 2, \\h\\ —>0 ta có
biểu diễn
f ( h i , h 2) — f(0, 0) = A(h) + a ( x Q,h),
với lim llQ(Xo’ ^)ll _ Q
I II—
>0
\\h\\
Suy ra
\\ỉ(h)\\ = \\f(hu h2)\\ = \\A(h) + a ( x 0ì /ì)|| < P l l . IỊ/iỊI + M s o , h) II < c. \\h\\
= 0 nên
khi ỊỊh \\ -> 0 (c là hằng số nào đó không âm, lưu ý lim
»-0
khi \\h\\ —> 0 ứiì
bị chặn). Từ đó dẫn tới "Ỹ^11 bị chặn với mọi h €
R 2, ||/ỉ|| —>• 0(*). Bây giờ ta chọn h = (2~n,2~2n) e R 2\ {(0,0)} , n e N,
ứiì hiển nhiên \\h\\ —»• 0 khi 77, —>• oo. Lúc này
= íirrTĩ
2 \\h\\
+oo khi
n —»• + 0 0 (II/ỉ II —»• 0). Điều này mâu thuẫn với (*). Chứng tỏ / không khả vi
Frechet tại điểm (0,0).
□
16
1.4
Phương pháp Newton
1.4.1
Điểm Fourier
Xét phương trình một biến số
f ( x ) = 0.
(1.3)
1) Giả sử phương trình (1.3) có nghiệm £ duy nhất trên đoạn [a, 6].
2) / G c2[a, 6] và
f "( x) không đổi dấu trên đoạn [a, 6].
Điểm X G [a, 6] được gọi là điểm Fourier, nếu
> 0.
Không giảm tổng quát hàm f ( x ) trong phương trình (1.3) có thể coi có
f " { x ) > 0, nếu không ta xét phương ữình g(x) = 0 với g(x) =
1.4.2
Phương pháp Newton
Chọn xấp xỉ ban đầu x 0 là điểm Fourier: f " ( x 0) f ( x 0) > 0. Phương trình tiếp
tuyến của đường cong y — f ( x ) tại điểm M (xQ, f ( x o)) có dạng:
y = f ' M {x -
Xo)
+ f { x 0).
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành là:
0 =
f { x 0) (Xị -
x 0 ) + f ( x o)
Xị =
x0 - .
J [Xo)
Tương tự ta có:
x n+l = x n -
fÿ n) .
ỈM
(1.4)
17
Vì ta đã coi f"{x) > 0 nên sau đây ta chỉ xét trường hợp f' {x) < 0. Trường
hợp f ' ( x ) > 0 hoàn toàn tương tự. Khai triển f ( x n) tại điểm x n_i theo công
thức Taylor, ta có:
f ( x n) = f ( x n-i) + f ' ( x n-i) (xn - x n-i) + f ^ " " ^ ( ĩ n - x n- i ) 2.
Từ (1.4) suy ra
f ( Xn) = ^
- ^ n - l ) 2 > 0.
Mặt khác
x n+1 - x n = -
f { x n) _
\
ĩ '{Xn)
f ” { £ n - l ) { X n - X n - 1)2 ^ n
= ------------ỵ„
--------- > 0.
2/'(a;n)
Do đó dãy {x.„} đơn điệu không giảm. Nếu có x n > ệ ứiì do f' {x) < 0 nên
ĩ{Xn) < /( £ ) = 0
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức f ( x n) > 0. Như vậy
*£ĩl —*^71+1 —••• —£•
Suy ra tồn tại giới hạn lim x n = C- Ta có \ f ( xn)\ = If ( x n) \ \xn+1 - x n\ <
n—¥00
M |xn+i —x n\, trong đó m = sup {\f'(x)\ : X E [a, &]}.
Cho n —> oo ta được /(C) = 0. Từ giả thiết (1) trong (1.3) suy ra c= £•
Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết rằng:|/"(a;)|
\f'{x)\ > M 2 > 0 với mọi X e [a, b]. Một mặt ta có:
f { x n + 1 ) = f ( x n + 1 ) - / ( £ ) = f { x n + 1 ) ( x n+1 - £)
< Mị và
18
Từ đây suy ra
k + 1 - íl <
(1.5)
Mặt khác, sử dụng (1.4) và khai triển Taylor ta có:
f ( x n+l ) = f { x „ ) + f ' ( x „ ) { x u+1 - x n) + * ^
( s „ + i - x nf
=
Áp dụng (1.5) ta được:
IFn +1
t\ si
^ —
I l^rc+i
xI2n\
SA
(1.6)
Khi n lớn, độ lệch \xn+i — x n \khá bé. Từ công thức (1.6) suy ra Xn + 1 rất gần
£ vì \xn+1 - £1 = o (|x n+i - x n\2Ỵ
1.5
Phương pháp dây cung
Xét phương trình (1.3).
Để cho xác định ta giả sử f ' ( x ) < 0. Điểm X = a là điểm Fourier, vì f ( a ) >
/(£ ) = 0 và f"{a) > 0. Gọi x k là xấp xỉ thứ k > 0 của nghiệm £ (x0 = b
là xấp xỉ ban đầu). Để tìm hoành độ giao điểm của cung M N k với ữục hoành,
trong đó tọa độ của các điểm M, N k tương ứng là M (a, / ( a ) ) , N k (xk, f ( x k)),
ta ứiay cung MNỵ bằng dây cung MNỵ và tìm hoành độ của giao điểm của
đoạn thẳng MNỵ với trục hoành.
Phương ữình đường thẳng đi qua hai điểm M và Nỵ là:
tí \
y _= /(«
) +
---- —--------- {x-a).
,
Xỵ
f ( x k) - / ( « )
Ũ
A
