de thi khao sat hsg mon toan lop 8 huyen vu thu thai binh nam 2016 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ
Ngày 28 tháng 8 năm 2016

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) 5 x3 + 15x2 +10x
4x 4 − 21x 2 y 2 + y 4
3)
2)

2
4) 4 ( x9x
+ 52 )+( 90x
x + 6+) (225
x +−10( x) ( −x7+) 12
) − 3x 2

Câu 2. (6 điểm)
P=

1) Tính giá trị của biểu
thức:
2) Cho x và y là hai số thực thỏa

1 2 3
2016
+ 2 + 3 + .... + 2016

2 2 2
2
Px 2=+xy6 2+=y16

mãn: . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
3) Tìm x nếu :
4) Với a và b là các số nguyên
4 +a+b
dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6. Chứng minh rằng số cũng
chia hết cho 6.
Câu 3. (4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì :
là số
( 1 + x 2 ) ( 1 + y2 ) + 4xy + 2 ( x + y ) ( 1 + xy )
chính phương
f (x)
f (x)= =
(x(x
+ a)(x
+ b)(x
− 4)
+ c)
−7
2) Tìm các số nguyên a, b, c
sao cho đa thức phân tích thành thừa số được
Câu 4. (4,0 điểm)
(x 2 − 4x + 1)3 = (x 2 − x − 1)3 − (3x − 2)3
a

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE,

A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với
đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD. Chứng
minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao
cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với
tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.

----------- Hết ----------HƯỚNG DẪN CHẤM


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Câu

Hướng dẫn giải

Câu 1

1) 5 x + 15x + 10x = 5x(x + 3x + 2) = 5x(x + 1)(x + 2)
2
2
9x + 90x + 225 − ( x − 7 ) = 9(x + 5) 2 − ( x − 7 ) = (3x + 15 + x − 7)(3x + 15 − x + 7)

(4,0)

3

2

Điểm
1đ
1đ

2

2

= (4x + 8)(2x + 22) = 8(x + 2)(x + 11)

2)
1đ

4x 4 − 21x 2 y 2 + y 4 = 4x 4 + y 4 + 4x 2 y 2 − 25x 2 y 2
= (2x + y ) − (5x y ) = (2x + y − 5x y )(2x + y + 5x y )
2

2 2

3)

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

4) 4 ( x + 5 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) − 3x 2

1đ

= 4(x 2 + 17x + 60)(x 2 + 16x + 60) 2− 3x 2 2= A
A = 4t(t + x) − 3x = 4t + 4tx − 3x 2 = 4t 2 + 4tx + x 2 − 4xx22 + 16x + 60 = t

Đặt thì

= (2t + x) 2 − 4x 2 = (2t + 3x)(2t − x) = (2x 2 + 35x + 120)(2x 2 + 31x + 120)
1 2 23
2016 1) Tính giá trị của biểu 1,5đ
P = + = 2(2x
+ 3++35x
.... ++ 120)(2x
+ 15)(x + 8)
2 2 2

22016 thức:

Câu 2
(6,0)

k k +1 k + 2
+) Số hạng tổng quát: với
=
− k
2k 2k −1
2
mọi k nguyên dương.
+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:
1 2 3 k=1 thì
= −
2 1 21 k=2 thì
3
4 5 k=3 thì
= 2− 3
3
2
2 2 k=4 thì
……………………….
2016 2017 2018
K=2016 thì

2
3 4
= 1− 3
2

2
2 2
4
5 6
= 3− 4
4
2
2 2

= 2015 − 2016
2016
2
2 2018
1 2 32
2016
1009 Cộng vế với
P = + 2 + 3 + .... + 2016 = 2 − 2016 = 2 − 2015
2 2 2
2
2
2
vế của các

đẳng thức trên ta có
Px 2=+xy6 2+=y16 2) Cho x và y là hai số thực

thỏa mãn: . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức .
P = x 6 + y6 = (x 2 + y 2 )(x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) = 1.(x 4 − x 2 y 2 + y 4 )
= (x 2 + y 2 ) 2 − 3x 2 y 2 = 1 − 3x 2 y 2 = 1 − 3x 2 (1 − x 2 )
 2 1  2 1 

= 3x − 3x + 1 = 3  x − ÷ + 
2  12 

4

2

2

2

1 1 1
1


= 3  x 2 − ÷ + ≥ do 3  x 2 − ÷ ≥ 0∀x ∈ R
2 4 4
2



1,5đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

1
1
1 Dấu = xảy ra và
⇔ x 2 =y = ⇔

± x=±
2
2 1 2
1 1
1
1
1 1
1
1
P min = ⇔ (x; y) = ( ;
);( − ; − );( − ;
);( ; − )
4
2 2
2
2
2 2
2
2

KL:
(x 2 − 4x + 1)3 = (x 2 − x − 1)3 − (3x − 2)3 3) Tìm x nếu :

1,5đ

Đặt ta được:
 x 2 − 4x + 1 = a
⇒ 3x − 2 = b − a 3
 2
a = b3 − (b − a)3 ⇔ a 3 = b3 − b 3 + 3a 2 b − 3ab 2 + a 3

 x − x −1 = b
⇔ 3a 2 b − 3ab 2 = 0 ⇔ 3ab(a − b) = 0

x = 2 ± 3
Kl…
 x 2 − 4x + 1 = 0
a = 0

1± 5
 2nguyên 1,5đ

b
là
các
số
4a + a + b 4) Với a và
⇔ b = 0 ⇔  x − x − 1 = 0 ⇔ x =

2
dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6.
rằng
minh
aChứng
=b

 3x − 2 = 0
2
 x=
số cũng chia hết cho 6.
3


4a + a + b = (4a + 2) + (a + 1) + (b + 2019) − 2022

+) chia hết cho 2

(4a + 2)

4a + 2 = (4a − 1) + 3 = (4 − 1)(4a −1 + 4 a − 2 + ... + 1) + 3 +) nên chia

hết cho 3.
Câu
3. (4
điểm
)

4a + a + b Vậy chia hết cho 6
1)
( 1 + x 2 ) ( 1 + y2 ) + 4xy + 2 ( x + y ) ( 1 + xy )

Là số chính
= (x 2 + y 2 + 2xy) + (1 + x 2 y 2 + 2xy) + 2 ( x + y ) ( 1 + xy ) phương với
mọi x và y
2
2
= ( x + y ) + ( 1 + xy ) + 2 ( x + y ) ( 1 + xy )
nguyên.
2
= ( x + y + 1 + xyf )(x)
f (x)= =(x(x+ +
a)(x

b)(x
− 4)
+ c)
− 7 2)Tìm các số nguyên a,
b, c sao cho đa thức phân tích thành thừa số được .
Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho:
= 1 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 + 4xy + 2 ( x + y ) ( 1 + xy )

(x + a)(x − 4) − 7 = (x + b)(x + c) ∀x
⇔ x 2 + (a − 4)x − 4a − 7 = x 2 + (b + c)x + bc ∀x
a − 4 = b + c
a − 4 = b + c
⇔
⇔
−4a − 7 = bc
−4a − 7 = bc
 a = b+c+4
⇔
(b + 4)(c + 4) = −39

Câu
4.

2đ

….
KL: (a; b;c) =
(-42;-43;-3); (42;-3;-43);
(34;35;-5); (34;-5;35); (6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1)
Câu 4. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C

là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của
tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD. Chứng minh
rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

(4,0
điểm

F

A

N

I
G
C

B

E

M
K
D

1)Tứ giác MNIK là hình bình hành
+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành

2đ

⇒ MN // = AB
+) Giải thích IK//= AB
Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành
2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.
+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC.
+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA)
GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành
⇒ AI= IG= GM

Câu
5: (2
điểm)

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của
các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và
CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường

2đ

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.

A
K
2

1

B

1

x

C

1
2

1

2

O

1

M

E

D
+)Vẽ hình bình hành ABMC ⇒ AB = CM (1)
+) BM//AE ⇒ góc E1 = góc B2.
CB = CE ⇒∆CBE cân tại C ⇒ góc E1 = góc B1.
⇒ góc B1 = góc B1.
⇒ BO là phân giác của tam giác MBC
Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC
⇒ MO là phân giác của tam giác MBC
⇒ MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC.
+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC
⇒ M, O, K thẳng hàng
+) Chỉ ra tam giác CMK cân tại C ⇒ CK = CM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = CK.

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí