Giải số phương trình tích phân fredholm

Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐỖ KHÁNH HẰNG

GIẢI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐỖ KHÁNH HẰNG

GIẢI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ
bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, khóa luận của
em đến nay đã được hoàn thành.
Em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo đã quan tâm, dìu
dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay. Trong suốt quá trình học
tập tại khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 em đã tiếp thu
được nhiều tri thức, kinh nghiệm, phương pháp học tập và được làm quen
với nghiên cứu khoa học, đó là một hành trang cần thiết cho em bước vào
đời.
Em xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.
Khuất Văn Ninh - người đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình trong suốt
thời gian qua để em có thể hoàn thành được khóa luận này. Thầy là một
tấm gương về sự nghiêm túc trong công việc, hiểu biết về toán học và sự
đam mê nghiên cứu khoa học. Nhờ đó em đã có ý thức và trách nhiệm để
hoàn thành khóa luận của mình.

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên
Đỗ Khánh Hằng

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình
học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô,
các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt
là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Các kết quả có trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân,
không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số
tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên
Đỗ Khánh Hằng

i

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức cơ sở

5

1.1

Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Tính gần đúng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Không gian C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Phân loại phương trình tích phân Fredholm . . . . . . .

11

1.5.1

Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.2

Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm
2.1

2.2

14

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2

Phương pháp thay thế hạch suy biến . . . . . . .

17

Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . .

25

2.2.1

Giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 5 of 161.

ii

25

Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.2

2.2.3

Đỗ Khánh Hằng

Giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3 Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm
3.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1

3.2

45

Phương pháp cầu phương giải phương trình tích
phân phi tuyến Fredholm . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2

45

46

Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 47

Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . .

50

3.2.1

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Kết luận

57

Tài liệu tham khảo

57

Footer Page 6 of 161.

iii


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Lời mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học
khác, toán học chia thành toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên
quan đến việc giải phương trình tích phân. Nó được xem như là một
công cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn
trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình
tích phân nhằm giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xác
định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân
không thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền,
.... Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan
trọng trong lý thuyết toán học.
Nhằm mục đích mở rộng kiến thức và tập làm quen với việc tự nghiên

cứu một mảng nhỏ trong toán học cùng sự hứng thú với phương trình
tích phân - một phương trình mà ẩn hàm cần tìm nằm dưới dấu tích
phân. Từ nguồn tài liệu mà Thầy Khuất Văn Ninh giới thiệu và các tài
liệu mà em tìm được, với sự gợi ý của thầy, em quyết định chọn đề tài
"Giải số phương trình tích phân Fredholm" để làm khóa luận tốt nghiệp.

Footer Page 7 of 161.

1


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Khóa luận tập trung nghiên cứu về phương trình tích phân Fredhom
và vận dụng phương pháp giải số để giải một số bài tập liên quan
đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm và phương trình
tích phân phi tuyến Fredholm.
- Làm rõ phương pháp giải số và minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ
thể.

3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được những kết quả cần thiết, tôi sử dụng phương pháp
- Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm và phương
pháp giải số phương trình tích phân Fredholm.
- Một số công cụ của Giải tích hàm.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Fredhom.
- Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chủ yếu nghiên cứu về phương pháp
giải số phương trình tích phân Fredholm.

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

5. Ý nghĩa khoa học
Khóa luận được hoàn thành sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữu
ích cho các thầy cô giáo, các bạn sinh viên khoa toán. Về bản thân bên
cạnh việc được tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân Fredholm,
còn được nâng cao kiến thức cơ sở về phương trình tích phân, Toán cao
cấp.

6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm
ba chương
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này nhắc lại một số kiến thức
về tích phân xác định, công thức tính gần đúng tích phân, nguyên lý ánh
xạ co, không gian C[a,b] , phân loại phương trình tích phân Fredholm.
Chương 2. Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm. Mục

đích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm loại I, phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II và
phương pháp giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
Chương 3. Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm. Mục
đích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân phi tuyến Fredholm, phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm.

Footer Page 9 of 161.

3


Header Page 10 of 161.

Bảng kí hiệu
N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

C

Tập số phức

Rn

Không gian Euclide n- chiều

C[a,b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]

Footer Page 10 of 161.

4


Header Page 11 of 161.

Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1

Định nghĩa tích phân xác định

Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n
đoạn nhỏ bởi phân hoạch P
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Nếu trong mỗi đoạn [xk−1 , xk ] chọn điểm tùy ý ck , ta nói có phép chọn
C. Lập tổng

n

f (ck ).(xk − xk−1 ),

σρ =
k=1

gọi là tổng tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] ứng với phân hoạch
P và phép chọn C. Ký hiệu |P | = max |xk − xk−1 | : k = 1, n là đường

kính phân hoạch P .
Khi đó nếu tồn tại lim|p|→0 σp = I theo nghĩa: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

Footer Page 11 of 161.

5


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

với mọi phân hoạch P mà |P| < δ và với mọi phép chọn C ta có
n

f (ck )(xk − xk−1 ) − I < ε,

|σp − I| =
k=1

thì I gọi là tích phân xác định của hàm f (x) trên đoạn [a, b] và ký hiệu
là
b

I=

f (x)dx
a

.
Trong đó f (x) gọi là hàm dưới dấu tích phân f (x)dx gọi là biểu thức
dưới dấu tích phân, a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên của tích phân.

1.2

Tính gần đúng tích phân xác định

Bản chất của phương pháp cầu phương là sự thay thế tích phân bằng
tổng hữu hạn.
Chia đoạn [a, b] bởi các điểm
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b,
ta có

b

n

ϕ(x)dx =
a

(1.1)

Ak ϕ(xk ) + εn [ϕ]

(1.2)

k=1

trong đó Ak , xk tương ứng là các hệ số và nút của công thức cầu phương,

εn là phần dư của công thức cầu phương, Ak tùy thuộc vào việc chọn
quy tắc tính mà có các công thức cầu phương với các đại lượng Ak tương

Footer Page 12 of 161.

6


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

ứng.
• Quy tắc hình thang
h=

b−a
, xi = a + ih, i = 0, n,
n

1
A0 = An = h, A1 = A2 = ... = An−1 = h.
2
|εn (ϕ)| ≤

M (b − a) 2
h,
12

trong đó M = sup{ ϕ (x)| : x ∈ [a, b]}
• Quy tắc parabol (Simpson)
h=

b−a
, xi = a + ih, i = 0, n, n = 2m, m > 0
2m
1
A0 = A2m = h;
3
4
A1 = A3 = ... = A2m−1 = h;
3
2
A2 = A4 = ... = A2m−2 = h,
3
|εn (ϕ)| ≤

M (b − a) 4
h
180

trong đó M = max{[ϕ(4) (x)] : x ∈ [a, b]}

Footer Page 13 of 161.

7


Header Page 14 of 161.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

Đỗ Khánh Hằng

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1. Cho hai không gian mêtric M1 = (X, d1 ) và M2 =
(X, d2 ). Ánh xạ A ánh xạ không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh
xạ co, nếu tồn tại số α, 0 ≤ α < 1 sao cho
d2 (Ax, Ax, ) ≤ αd1 (x, x, ), ∀x, x, ∈ X

(1.3)

Định lý 1.1. Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d)
vào chính nó đều tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ X sao cho Ax∗ = x∗ .
Phần tử x∗ được gọi là điểm bất động của ánh xạ co A.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X, đặt xn = Axn−1 , n = 1, 2, ...
thì
d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) ≤ αd(Ax0 , x0 )
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 )
......
d(xn+1 , xn ) = d(Axn , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 )
Từ đó suy ra với ∀n ∈ N∗ , ∀p ∈ N∗ , ta có
p−1

d(xn+p , xn ) ≤

d(xn+j+1 , xn+j )

j=0
p−1

αn+j d(Ax0 , Ax0 )

≤
j=0

p−1

αn+j

= d(Ax0 , x0 )
j=0
n

α
= d(Ax0 , x0 ) 1−α

Footer Page 14 of 161.

8


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Do lim αn = 0, (0 ≤ α < 1) nên lim d(xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N∗ hay

n→∞
(xn )∞
n=0

dãy

n→∞

là một dãy cơ bản trong không gian metric đầy M .

Do đó tồn tại giới hạn của dãy (xn ) trong không gian M .
Kí hiệu : lim xn = x∗ .
n→∞

Với mọi n ∈ N∗ , ta có
d(Ax∗ , x∗ ) ≤ d(Ax∗ , xn+1 ) + d(xn+1 , x∗ )
= d(Ax∗ , Axn ) + d(Axn+1 , x∗ )
≤ αd(x∗ , xn ) + d(xn+1 , x∗ ) → 0, (n → ∞)
Điều này chứng tỏ d(Ax∗ , x∗ ) = 0 hay Ax∗ = x∗ .
Giả sử tồn tại x∗ , y ∗ ∈ X thỏa mãn Ax∗ = x∗ , Ay ∗ = y ∗ thì ta có
d(x∗ , y ∗ ) = d(Ax∗ , Ay ∗ ) ≤ αd(x∗ , y ∗ )

(1.4)

⇒ (1 − α)d(x∗ , y ∗ ) ≤ 0
⇒ d(x∗ , y ∗ ) = 0 (do (1 − α) ≥ 0)
⇔ x∗ = y ∗
Vậy tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho Ax∗ = x∗ .

1.4

Không gian C[a,b]

Định nghĩa 1.2. Tập hợp các hàm số thực xác định và liên tục trên
một đoạn [a, b] với khoảng cách giữa hai phần tử x(t) và y(t) là
ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)|
a≤t≤b

Footer Page 15 of 161.

9


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

là không gian C[a,b] .
Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định.
x(t) ∈ C[a,b] : x = max |x(t)|
a≤t≤b

(1.5)

Định lý 1.2. Không gian C[a,b] là không gian Banach với chuẩn (1.5).
Chứng minh. Giả sử {xn (t)}∞
n=1 là dãy cơ bản bất kỳ trong C[a,b] , nghĩa
là
(∀ε > 0)(∀n0 ∈ N )(∀m, n ≥ n0 ) : xn − xm < ε.

Suy ra max |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀m, n ≥ n0 .
a≤t≤b

Do đó |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b].
Như vậy với mỗi t cố định thuộc [a, b] thì {xn (t)}∞
n=1 là dãy cơ bản trong
R1 .
1
Vì R1 là một không gian đầy nên dãy {xn (t)}∞
n=1 hội tụ trong R .

Đặt x(t) = lim xn (t) cho t thay đổi trên [a, b] thì ta có hàm số x(t) xác
n→∞

định trên [a, b].
Cho m → ∞ ta có
(∀ε > 0)(∀n0 ∈ N )(∀n ≥ n0 ), (∀t ∈ [a, b]) |xn (t) − x(t)| ≤ ε
Hay max |xn (t) − xm (t)| ≤ ε. Tức là dãy {xn (t)}∞
n=1 hội tụ đều tới
a≤t≤b

x(t).
Vậy x(t) liên tục trên [a, b], x(t) ∈ C[a,b] , và {xn (t)}∞
n=1 hội tụ tới
x(t) trong C[a,b] . Nói cách khác C[a,b] là không gian Banach với chuẩn
(1.5).

Footer Page 16 of 161.

10

Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Đỗ Khánh Hằng

Phân loại phương trình tích phân Fredholm

1.5.1

Phương trình toán tử

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục đưa không gian tuyến tính định
chuẩn X vào chính nó.
• Phương trình dạng
Ax=f

(1.6)

trong đó f cho trước, f ∈ X, được gọi là phương trình loại I.
• Phương trình có dạng
x = λAx + f

(1.7)

trong đó, f cho trước, f ∈ X, tham số λ thuộc trường số thực R
(hoặc trường số phức C), được gọi là phương trình loại II.

1.5.2

Phương trình tích phân

Định nghĩa 1.3. Phương trình tích phân là phương trình mà hàm ẩn
nằm dưới dấu tích phân.
Ví dụ
1

es−t x(s)ds =

−2
.
et

0
π
4

x(t) =

sin t cos s.x(s)ds +

1
π
− sin t.
cos t 4

0

Footer Page 17 of 161.

11


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Định nghĩa 1.4. Nếu A là toán tử tích phân tuyến tính thì tương ứng
với (1.7) ta có phương trình tích phân loại II.
Định lý 1.3. Cho K(t, s) là một hàm số liên tục theo hai biến (t, s) ∈
[a, b] × [a, b], x(s) là hàm số liên tục trên [a, b] hay x(s) ∈ C[a,b] .
Đặt
b

(Ax)(t) =

K(t, s)x(s)ds.
a

Khi đó A là toán tử tuyến tính từ C[a,b] vào chính nó.
Chứng minh. Thật vậy
+ Do K(t, s) liên tục theo hai biến trên [a, b] × [a, b], x(s) là hàm số
liên tục trên [a, b] nên K(t, s).x(s) là hàm liên tục theo hai biến
(t, s) ∈ [a, b] × [a, b]. Do đó, theo định lý về tính liên tục của tích
phân phụ thuộc tham số, ta có Ax(t) liên tục trên [a, b].
b

K(t, s)x(s)ds ∈ C[a,b] .

Suy ra
a

Vậy toán tử A tác động từ C[a,b] vào C[a,b] .
Hàm K(t, s) được gọi là nhân (hạch) của toán tử A.
+ A toán tử tuyến tính
∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ C[a,b] với x = x(t), y = y(t) ta có
b

A(αx + βy)(t) =

K(t, s) [αx(s) + βy(s)]ds
a
b

=α

b

K(t, s)x(s)ds + β
a

a

= (αAx)(t)+(βAy)(t).

Footer Page 18 of 161.

K(t, s)x(s)ds

12


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Hay A(αx + βy) = αAx+βAy.
⇒ A là toán tử tuyến tính từ C[a,b] vào C[a,b] .

Định nghĩa 1.5.

1. Toán tử tuyến tính liên tục A được gọi là toán

tử tích phân Fredholm nếu:
b

Ax(t) =

K(t, s)x(s)ds.
a

Trong đó hàm hai biến K(t, s) gọi là nhân của toán tử tích phân.
2. Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II là phương trình
dạng
x = λAx + f
Trong đó x, f ∈ X - không gian định chuẩn, trong khóa luận này

ta xét X là không gian C[a,b] .
λ ∈ R, A là toán tử tích phân Fredholm.
• Nếu A là toán tử tích phân Fredholm nhưng không giả thiết tuyến
tính thì ta có phương trình tích phân phi tuyến Fredhom.

Footer Page 19 of 161.

13


Header Page 20 of 161.

Chương 2
Phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm
2.1

Cơ sở lý thuyết

• Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I
b

K(t, s)x(s)ds = f (t).
a

• Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II
b

x(t) − λ

K(t, s)x(s)ds = f (t).
a

Đặt f + λ

b
a K(t, s)x(s)ds

= A, K(t, s) ∈ C[a,b]×[a,b] = D.

Định lý 2.1. (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn
1. |K(t, s)| ≤ M, ∀(t, s) ∈ D
2. |λ| M (b − a) = q < 1
thì phương trình x = Ax + f có nghiệm duy nhất.

Footer Page 20 of 161.

14


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Chứng minh. Vì A là ánh xạ tuyến tính nên ta có
b

K(t, s)[x1 (s) − x2 (s)]ds

|Ax1 − Ax2 | = λ
a
b

≤ |λ|

|K(t, s)| |x1 (s) − x2 (s)| ds
a
b

≤ |λ|

M. max |x1 (s) − x2 (s)|
a
b

= |λ| M. x1 − x2

ds
a

= |λ| M.(b − a) x1 (s) − x2 (s) .
⇒ max |Ax1 (t) − Ax2 (t)| ≤ |λ| M (b−a)
x1 − x2 = q x1 − x2
q
⇒ Ax1 − Ax2 ≤ q x1 − x2
do 0 ≤ q < 1 suy ra A là ánh xạ co. Theo nguyên lý điểm bất động tồn
b

K(t, s)x∗ (s)ds.

tại duy nhất x∗ sao cho x∗ = Ax∗ hay x∗ (t) = f (t) + λ
a
b

K(t, s)x∗ (s)ds = f (t)

Do đó x∗ (t) − λ
a

2.1.1

Phương pháp giải

Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm, tìm hàm x = x(t),
t ∈ [a, b] thỏa mãn phương trình
• Loại I
b

K(t, s)x(s)ds = f (t).

(2.1)

a

• Loại II
b

x(t) − λ

K(t, s)x(s)ds = f (t).
a

Footer Page 21 of 161.

15

(2.2)


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Trong đó K, f là các hàm cho trước.
Chọn một công thức tính gần đúng tích phân xác định. Công thức
này có dạng

n

b

Ak F k .

F (t)dt =
a

(2.3)

k=0

Trong đó
b−a
; k = 0, 1, 2, ..., n ; Ak : Các hệ số
n
trong công thức (2.3) được xác định tùy theo công thức cầu phương cụ
Fk = F (tk ); ti = a + k.h; h =

thể.
Khi đó các giá trị xi = x(ti ); i = 0, 1, 2, ..., n được xác định nhờ các
hệ phương trình tương ứng.
Đối với phương trình tích phân loại I
n

Aj kij xj = fi ; i = 0, 1, 2, ..., n

(2.4)

j=0

Đối với phương trình tích phân loại II
n

xi − λ

Aj kij xj = fi ; i = 0, 1, 2, ..., n

(2.5)

j=0

Trong đó kij = k(xi , xj ); fi = f (xi ); i, j = 0, 1, 2, ..., n; xi = x(ti ); i =
0, 1, 2, ..., n.
Sai số của phương pháp này tùy thuộc vào sai số của công thức lấy
tích phân (2.3).
Đầu tiên từ phương trình tích phân (2.2) ta thay t = ti (i = 0, 1, 2, ..., n)
ta được

Footer Page 22 of 161.

16


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng
b

x(ti ) = λ

k(ti , s)x(s)ds + f (ti )i = 0, ..., n.
a

Sau đó áp dụng công thức cầu phương (2.3) ta được hệ phương trình
đại số tuyến tính
n

x(ti ) = λ

Aj k(xi , sj )x(sj ) + f (ti )i = 0, ..., n.

(2.6)

j=0

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.6) ta được nghiệm của
phương trình tích phân loại II cho dưới dạng bảng số
x(ti ); i = 0, ..., n.
• Để giải phương trình loại I, ta đưa nó về phương trình loại II bằng
cách đạo hàm hai vế đẳng thức (2.1) ta được
b

K(t, t)x(t) +
a

∂K
(t, s)x(s)ds = f (t).
∂t

Giả sử K(t, t) = 0. Khi đó
b ∂K
∂t (t, s)

x(t) = −

K(t, t)

a

x(s)ds +

f (t)
K(t, t)

.
2.1.2

Phương pháp thay thế hạch suy biến

Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II
b

x(t) − λ

K(t, s)x(s)ds = f (t)
a

Footer Page 23 of 161.

17

(2.7)


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

trong đó K(t, s) là hàm liên tục theo hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] gọi là
hạch của phương trình, λ ∈ R - tham số của phương trình, f (t) - hàm
số cho trước, x(t) - hàm ẩn phải tìm.
Ta nói rằng hạch K(t, s) suy biến nếu nó được biểu diễn dưới dạng
n

K(t, s) =

αi (t)βi (s)

(2.8)

i

trong đó, αi (t), βi (s) - là những hàm số đã biết, chúng ta giả thiết rằng
các hệ hàm {αi (t)}ni=1 , {βi (s)}ni=1 là các hệ hàm độc lập tuyến tính. Trong
trường hợp này ta tìm nghiệm x(t), nếu nó tồn tại, sẽ được có dạng
n

x(t) = f (t) +

Ai αi (t)

(2.9)

i=1

trong đó Ai - hệ số bằng số chưa được biết. Các hệ số này có thể được

biểu thị qua x(t) và αi (t), βi (t). Thực vậy khi ta thay tổng (2.2) vào
b

βi (s)x(s)ds.

phương trình (2.3), chúng ta sẽ có Ai = λ
a

Khi ta sử dụng phương trình (2.1) và (2.3), ta được hệ phương trình đại
số tuyến tính để xác định A1 , ......, An ,
n

Ai − λ

Aj βij = λfi , i = 1, ..., n

(2.10)

j=1
b

trong đó βij =

b

αj (t)βi (t), fi =
a

f (t)βi (t)dt
a

Chúng ta ký hiệu nghiệm của hệ phương trình (2.4) là A∗i , (i = 1, 2, ..., n).

Footer Page 24 of 161.

18


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Khánh Hằng

Khi đó nghiệm phải tìm của phương trình (2.1) được tính theo công thức
n

A∗i αi (t).

x(t) = f (t) + λ

(2.11)

i=1

Giả sử ∆(λ) - là định thức của hệ phương trình (2.4), ta có
1 − λβ11 ,
∆(λ) =

−λβ21 ,

−λβ12 ,

...,

−λβ1n

1 − λβ22 , ...,

−λβ2n

...

...

...

−λβn1 ,

−λβn2 ,

...

..., 1 − λβnn

còn ∆ik - là phần bù đại số của phần tử với các chỉ số (i, k) trong
định thức ∆(λ). Khi đó biểu diễn A∗i qua ∆(t, s, λ) và ∆(λ) ta có
b

∆(t, s, λ)
f (s)ds,

∆(λ)

x(t) = f (t) + λ
n

a
n

∆(t, s, λ) =

(2.12)

∆ik αi (t)βk (s).
i=1 k=1

Công thức (2.6) là biểu diễn nghiệm của hệ phương trình (2.4) được
viết theo quy tắc Cramer. Trên thực tế khi tìm nghiệm của hệ phương
trình(2.4) không cần dùng đến quy tắc này. Để làm việc này ta có thể
áp dụng phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Công thức
(2.6) có ý nghĩa quan trọng đối với các nghiên cứu lý thuyết.
∆(t, s, λ)
gọi là giải thức của phương trình (2.1).
Hàm Γ(t, s, λ) =
∆(λ)
Nếu như biết Γ(t, s, λ) thì nghiệm x(t) của phương trình (2.1) sẽ được
viết theo công thức (2.6) .
Nghiệm của phương trình ∆(λ) = 0 được gọi là giá trị riêng của hạch
K(t, s), chúng ta ký hiệu các nghiệm này là λ1 , ....., λn . Tiếp theo giả sử

Footer Page 25 of 161.

19