Một số phương pháp giải phương trình tích phân fredholm

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Nhiều vấn đề toán học (phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay
điều kiện biên), cơ học, vật lý, dẫn đến những phương trình trong đó hàm
chưa biết ở dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó gọi là phương
trình tích phân. Phương trình tích phân được xem như là công cụ toán học
hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía
cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh,
nghiệm chỉnh hóa, Nó có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà
còn trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích
phân với các điều kiện xác định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà
phương trình vi phân không thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện
tượng truyền Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai
trò quan trọng trong lý thuyết toán học.
Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích
hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hóa học và nhiều
ngành khoa học ứng dụng khác. Vận dụng lý thuyết toán tử trong không gian
Hilbert vào việc khảo sát các phương trình tích phân thường gặp nhất, gọi là
phương trình Fredholm.
- Phương trình tích phân có dạng

( ) ( , ) ( )
b
a
f s s t t dt
λ ϕ
= Κ
∫

được gọi là phương trình Fredhlom loại 1, trong đó
( )t

ϕ
là hàm chưa biết,
( , )s tΚ
và
( )f s
là những hàm cho trước,
λ
là tham số.
- Phương trình tích phân có dạng

( ) ( ) ( , ) ( )
b
a
s f s s t t dt
ϕ λ ϕ
= + Κ
∫

1
được gọi là phương trình Fredholm loại II, trong đó
( )s
ϕ
là hàm chưa biết,
( )f s
và
( , )s tΚ
là những hàm cho trước,
λ
là tham số.
Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình tích

phân tuyến tính Fredholm. Đồng thời, đóng góp thêm một số lời giải chi tiết
cho một vài bài toán cụ thể có liên quan đến phương trình tích phân
Fredholm, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương
trình tích phân Fredholm” làm khóa luận tốt nghiệp Đại học.
2. Mục tiêu khóa luận
Khóa luận tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về phương trình tích
phân Fredholm:
• Nghiên cứu phương trình tích phân Fredholm và hệ thống lại một số
phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm.
• Vận dụng các phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm để
giải một số bài tập liên quan đến phương trình tích phân Fredholm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, phương
trình tích phân Fredholm.
• Làm rõ một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm.
• Minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được những kết quả cần thiết, tôi sử dụng các phương pháp:
• Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm và một số phương
pháp giải phương trình tích phân Fredholm. Sau đó phân hóa, hệ thống các
kiến thức.
2
• Một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm, phương pháp giải
phương trình tích phân, phương pháp số gần đúng.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Fredholm.
• Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chủ yếu nghiên cứu về một số
phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm.

6. Ý nghĩa khoa học
Khóa luận được hoàn thành sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữu ích
cho các thầy cô giáo, các bạn sinh viên khoa Toán. Về bản thân bên cạnh việc
được tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân Fredholm còn được nâng
cao kiến thức cơ sở về Giải tích hàm.
Nội dung khóa luận chủ yếu đề cập tới một số phương pháp giải phương
trình tích phân Fredholm. Song bên cạnh đó, ở phần kiến thức cơ sở, khóa
luận cũng đề cập tới một số vấn đề liên quan khác như: Các kiến thức về giải
tích hàm, số gần đúng và sai số, v.v… những kiến thức được đưa thêm vào đó
không chỉ phục vụ cho việc làm khóa luận này mà còn có thể giúp cho bạn
đọc có thêm kiến thức để học tốt học phần Giải tích hàm.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương.
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này hệ thống lại một số lý thuyết trên không gian Hilbert và toán
tử trên không gian Hilbert, phương trình tích phân tuyến tính và các ví dụ về
phương trình tích phân, số gần đúng và sai số làm cơ sở cho các chương sau.
Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm
Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình tích phân
Fredholm loại 2 như: Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn),
3
phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến, phương trình tích
phân Fredholm loại II với nhân không suy biến, phương trình tích phân tuyến
tính loại II với nhân đối xứng, phương pháp xấp xỉ liên tiếp,.
Chương 3: Các bài tập áp dụng
Chương này trình bày một số bài tập có lời giải cụ thể và đưa ra một số
bài tập không có lời giải.
4
CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Các khái niệm cơ bản của Giải tích hàm
1.1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1.1. Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực
hoặc phức), hàm thực
×
: X
→
¡
thoả mãn ba tính chất:
(i)
x
≥
0

, 0 0,∀ ∈Χ = ⇔ = ∀ ∈Χx x x x
(ii)
,+ ≤ +x y x y

,∀ ∈Χx y
(iii)
. ,x x
λ λ
=

,∀ ∈Χx

λ
∀ ∈Κ
Được gọi là một chuẩn trên

Χ
, cặp (
Χ
,
×
) được gọi là không gian tuyến
tính định chuẩn, hay không gian định chuẩn.
1.1.1.2. Ví dụ 1.1.
Không gian vectơ tất cả các hàm số
( )
x x t=
xác định và đo được trên
[ ]
;a b

với bình phương môđun khả tích trên
[ ]
;a b
,
( )
−∞ < < < +∞a b
ta kí hiệu là
[ ]
2
,a b
L
.

[ ]
2

,a b
L
=
2
( ) ( )
 
 
= < +∞
 
 
 
∫
b
a
x x t x t dt
Khi đó (
[ ]
2
,a b
L
,
×
) là không gian định chuẩn, với chuẩn
×
xác định bởi

x
=
( )
1

2
2
 
 ÷
 
∫
b
a
x t dt
,
[ ]
2
,a b
x L∈
1.1.1.3. Tính chất
•

( )
,d x y
=
−x y
,
( )
, ,∀ ∈ Χ ×x y
là một mêtric trên X
•
Trong một không gian tuyến tính định chuẩn X
( )
i
Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục

5
( )
ii
Chuẩn
×
là một hàm số liên tục trên X
Chứng minh.
( )
i
: Giả sử hai dãy
{ } { }
,
n n
x y
trong không gian định chuẩn X, lần lượt
hội tụ tới
0 0
,x y
thuộc X, tức
0
lim ,=
n
x x

0
lim =
n
y y
và
{ }

λ
n
là dãy số trong
trường K với lim
0
λ λ
= ∈Κ
n
Khi đó:
∗
( )
0 0 0 0 0 0
0
+ − + = − + − ≤ − + − →
n n n n n n
x y x y x x y y x x y y
(khi
→ ∞n
)

⇒
lim
( )
0 0
+ = +
n n
x y x y
.
∗
( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0 0n n n n n n n n
x x x x x x x x
λ λ λ λ λ λ λ λ
− = − + − ≤ − + −

0 0 0
0
λ λ λ
≤ × − + − × →
n n n
x x x
(khi
→ ∞n
)

( )
0 0
lim
λ λ
⇒ =
n n
x x
.
( )
ii
: Với mọi
, ∈Χx y
ta có:
*
= − + ≤ − +x x y y x y y

⇒ − ≤ −x y x y
(1.1)
*
= − + ≤ − + = − +y y x x y x x x y x

⇒ − ≤ −y x x y
(1.2)
Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra:
− ≤ −x y x y
. Do đó, với
{ }
n
x
là một dãy phần
tử trong X mà hội tụ tới
0
∈Χx
thì
0 0
0− ≤ − →
n n
x x x x
(khi
→ ∞n
)
0
lim⇒ =
n
x x

, hay ta có chuẩn
×
là một hàm số liên tục trên X.
6
1.1.2. Không gian Banach
1.1.2.1. Định nghĩa1.2. Một không gian định chuẩn
( )
, .X
đầy đủ đối với
mêtric xác định bởi chuẩn được gọi là một không gian Banach.
∗
Dãy
{ }
n
x
trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu:
ε
∀
> 0 cho trước,
0
n
∗
∃ ∈Ν
để
,
o
m n n
∀ ≥
ta đều có
−

n m
x x
<
ε
.
1.1.2.2. Ví dụ 1.2.
• Không gian
¡
n
và
n
£
là những không gian Banch với chuẩn xác định
bởi:

2
1=
=
∑
n
i
i
x x
, trong đó
( )
1,
n
i
i n
x x K

=
= ∈
•
¡
,
£
là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi

,x x=
với mọi
x∈¡
hoặc
x∈£

• B(T) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi

( )
sup
t T
x x t
∈
=
, với mọi
( ) ( )
x t B T∈

1.1.2.2. Định lý 1.1. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và
chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Chứng minh
Giả sử X là không gian Banach, chuỗi

1
∞
=
∑
n
n
x
hội tụ tuyệt đối, tức chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑

hội tụ.
Gọi
{ }
n
S
là dãy tổng riêng của chuỗi
1
∞
=
∑
n
n
x
với

n
S
=
1=
∑
n
k
k
x
, khi đó với mọi số
tự nhiên
,n
p
ta có:
1 1
0
+ +
+
= + = +
− = ≤ →
∑ ∑
n p n p
n p n k k
k n k n
S S x x
khi
,n
p

→ ∞

(do
1
∞
=
∑
n
n
x
hội tụ)
7
Suy ra
{ }
n
S
là một dãy cơ bản trong không gian X, vì X là không gian
Banach nên dãy này hội tụ, do đó chuỗi
1
∞
=
∑
n
n
x
hội tụ.
Ngược lại, giả sử X là không gian định chuẩn thỏa mãn mọi chuỗi hội tụ
tuyệt đối đều hội tụ, ta chỉ ra X là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử
{ }
n
x

là một dãy cơ bản bất kì của không gian tuyến tính định
chuẩn X, khi đó với mỗi số tự nhiên n, tồn tại số tự nhiên
n
k
sao cho
≥
n
m k
,
≥
n
l k

Thì
1
2
− ≤
l m
n
x x
(1.3)
Ta chọn các
n
k
sao cho:
1 2 3
< < < < <
n
k k k k
thì ta sẽ có dãy con

{ }
n
k
x

của dãy
{ }
n
x
hội tụ trong X, vì từ (1.1.3) suy ra

1
1
2
+
− <
n n
k k
n
x x
,
∗
∀ ∈¥n
Suy ra chuỗi

( )
( ) ( )
1 2 1 3 2 1

+

+ − + − + + − +
n n
k k k k k k k
x x x x x x x
(1.4)
có
1
0
+
− →
n n
k k
x x
khi
→ ∞n
Do vậy (1.1.4) hội tụ tuyệt đối, theo giả thiết thì chuỗi (1.1.4) hội tụ. Mặt
khác,
=
n
n k
S x
, với mọi
n ∈¥
. Do vậy
{ }
n
k
x
hội tụ trong X, vì
{ }

n
x
là dãy cơ bản
suy ra chuỗi
{ }
n
x
hội trong X.
( )
,⇒ Χ ×
là không Banach.
1.1.3. Không gian Banach khả li
1.1.3.1. Định nghĩ 1.3. Không gian Banach X được gọi là khả li (hay tách được)
nếu tồn tại một dãy
{ }
n
n
x
các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X.
8
1.1.3.2. Ví dụ 1.3. Không gian các hàm số liên tục trên
[ ]
0,1
kí hiệu là
[ ]
0,1
C
, là
không gian khả li với dãy
{ }

[ ]
0,1
⊂
n
x C
xác định bởi:
0
1=x
,
( )
,= ∈¥
n
n
x t t n
trù
mật khắp nơi trong
[ ]
0,1
C
.
1.1.4. Không gian Hibert
1.1.4.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert
Cho E là một không gian vectơ trên trường K, hàm
: E Eϕ × → ¡
thỏa
mãn:
(i)
( ) ( )
x,y y,x , x,y E.ϕ = ϕ ∀ ∈
(ii)

( ) ( ) ( )
x y,z x,z y,z , x,y,z Eϕ + = ϕ + ϕ ∀ ∈
.
(iii)
( ) ( )
, , , , ,x y x y x y E
ϕ λ λϕ λ
= ∀ ∈ ∈Κ
.
(iv)
( ) ( )
x,x 0, x E, x,x 0 x 0 Eϕ ≥ ∀ ∈ ϕ = ⇒ = ∈
.
Khi đó
ϕ
được gọi là một tích vô hướng trên E, thường kí hiệu là
,

( )
, ,Ε
được gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert hoặc
không gian Unita.
1.1.4.2. Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền hilbert
Kí hiệu
,
=
x x x
, với mọi
∈Εx
thì ta có:

, , ,x y x y x y≤ ∀ ∈Ε
Bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Schwarz.
•
Công thức
,
=
x x x
là một chuẩn trên không gian tích vô hướng E
∗
Nhận xét. Mọi không gian tích vô hướng đều là không gian định chuẩn và
chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng
,××
.
∗
Đẳng thức hình bình hành
,∀ ∈Εx y
:
( )
2 2 2 2
2 + = + + −x y x y x y
9
1.1.4.3. Khái niệm không gian Hilbert
* Định nghĩa 1.3. Ta gọi không gian Hilbert là không gian tích vô hướng đầy
đủ (tức mọi dãy cơ bản đều hội tụ trong nó).
* Một số không gian Hilbert
+ Không gian tích vô hướng các số phức
£
, với tích vô hướng
, ' 'z z zz=
là

không gian Hilbert.
+ Không gian
,£ ¡
k k
là những không gian Hilbert với tích vô hướng được
xác định lần lượt là:
•

'
1
, '
=
=
∑
k
j j
j
z z z z
,
( )
( )
1
' '
1
, , , ' , ,
k k
z z z z z z= =
.
•

1
,
=
=
∑
k
i i
i
x y x y
,
( )
1,=
=
i
i k
x x
,
( )
1,=
=
i
i k
y y
+ Không gian
[ ]
2
,a b
L
các hàm số xác định và đo được trên
[ ]

,a b
và có bình
phương mođun khả tích trên
[ ]
,a b
là không gian Hilbert với tích vô hướng
được xác định:
( ) ( )
, =
∫
b
a
x y x t y t dt
,
[ ]
2
,
,
∈
a b
x y L
.
+ Không gian
2
l
(các dãy số thực hoặc phức
( )
n
n
x

thỏa mãn
2
1
∞
=
< ∞
∑
n
n
x
)
là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định như sau

( )
1
,
∞
=
=
∑
n n
n
x y x y
,
( ) ( )
2
,= = ∈
n n
n n
x x y y l

.
1.1.4.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn
a) Vectơ trực giao. Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, ta có thể
định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian
3
¡
thông thường.
Ta nói hai vectơ
,x y
của một không gian Hilbert
Η
trực giao với nhau, và kí
hiệu
⊥x y
nếu
, 0=x y
.
10
b) Một số tính chất đơn giản.
+) Nếu
⊥x y
thì
⊥y x
. Ta nói
⊥x x
khi và chỉ khi
0x =
, vectơ
0
r

trực
giao với mọi vectơ.
+) Nếu
1 2
, , ,⊥
n
x y y y
thì
( )
1 1 2 2

α α α
⊥ + + +
n n
x y y y
.
+) Nếu
( )
,⊥ → → ∞
n n
x y y y n
thì
⊥x y
.
+) Nếu tập hợp
Μ
trù mật trong H thì
M
⊥
gồm một phần tử duy nhất là 0, nghĩa

là
0x x⊥ Μ ⇒ =
, trong đó
M
⊥
là phần bù trực giao của
Μ
, tức
{ }
:
⊥
Μ = ∈ ⊥ Μx H x
.
Thật vậy, vì M trù mật trong H nên mọi
∈Ηx
đều là giới hạn của một dãy
{ }
: lim∈Μ =
n n
x x x
vậy
⊥ Μx
kéo theo
⊥
n
x x
với mọi
n
, và do đó
⊥x x

,
rồi kéo theo
0x =
.
∗
Nếu
⊥x y
thì
2 2 2
+ = +x y x y
(đinh lý Pythago). Mở rộng
{ }
1,=
i
i k
y

là một dãy các phần tử của H đôi một trực giao nhau thì khi đó
2
2
1 1
.
− =
=
∑ ∑
k k
i i
i i
y y
c) Hệ thống trực giao.

Một họ S các vectơ khác 0 trong không gian tích vô hướng E được gọi là một
hệ thống trực giao nếu
⊥x y
với mọi
, ,∈ ≠x y S x y
.
d) Hệ thống trực chuẩn.
Hệ thống trực giao S thỏa mãn điều kiện
1=x
với mọi
∈x S
thì S được
gọi là một hệ trực chuẩn của
Ε
.
* Ví dụ 1.4.
+) Trong không gian tích vô hướng
2
l
dãy các véctơ
( )
δ
=
n mn
n
x

( )
,
∗

∈Νm n
11
( )
( )
( )
1
2
1,0,0, ,0,
0,1,0, ,0,
0, ,0,1,0,
n
x
x
x
=
=
=
là một dãy trực chuẩn.
+) Trong không gian tích vô hướng
[ ]
2
,
π π
−
L
dãy các phần tử
( )
n
n
y

của
[ ]
2
,
π π
−
L

xác định bởi
in
,
2
ϕ
= ∈
x
n
e
n
n
Z
là một dãy trực chuẩn trong không gian
[ ]
2
,
π π
−
L
,
vì với
≠m n

ta có:
( ) ( )
( )
1
,
2
π π
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
π
−
− −
= =
∫ ∫
i n m x
n m n m
x x dx e dx
=
( )
( )
( )
2
0
π
π
π
− −
−
−
−

=
i n m
i n m
i n m
e e
Khi
=n m
thì:

,
ϕ ϕ
n m
=
1
1
2
π
π
π
−
=
∫
dx
∗
Nhận xét. Mọi hệ trực giao đều độc lập tuyến tính.
e) Hệ trực chuẩn đầy đủ
Một hệ trực chuẩn
{ }
n
n

e
trong không gian tích vô hướng E gọi là đầy đủ
khi chỉ duy nhất vectơ
0
r
trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là:
⊥
n
x e
(
1,2, =n
) theo x = 0.
f) Cở sở trực chuẩn
Hệ trực chuẩn B trong không gian tích vô hướng E được gọi là một cở sở
trực chuẩn của E, nếu mọi
∈x
E có biểu diễn duy duy nhất:
1
α
∞
=
=
∑
n n
n
x x
trong đó
α
∈
n

E,
n
x
là các phần tử đôi một phân biệt trong B
∗
Nhận xét. Mỗi dãy trực chuẩn đầy đủ là một cơ sơ trực chuẩn.
12
1.1.4.5. Giá trị riêng, vectơ riêng
* Định nghĩa 1.4. Cho A là toán tử tuyến tính trong không gian vectơ E. Số
λ
∈Κ

được gọi là một giá trị riêng của A, nếu tồn tại vectơ
0u ≠
sao cho
Au u
λ
=
,
vectơ ấy được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
* Nhận xét. Tập hợp tất cả các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ làm
thành một không gian con của E ứng với giá trị riêng λ.
* Ví dụ 1.5.
Cho H là không gian Hilbert, S
⊂ Κ
,
S
P
:
Η →

S là phép chiếu trực giao
tìm tất cả các giá trị riêng của
S
P
.
Xét phương trình:
λ
=
S
P u u
, λ
∈
£
. Tác động
S
P
vào hai vế của phương
trình trên ta có:
( )
( )
λ
=
S S S
P P u P u
mà
( )
2 2
λ λ λ λ
= ⇒ = ⇔ =
S S S S

P P u P u P u u u u
,
0u∀ ≠
( )
2
0
0
1
u
λ
λ λ
λ
=

⇒ − = ⇔

=

Như vậy đối với toán tử chiếu thì chỉ có hai giá trị riêng là λ

=1, λ

=0
1.1.4.6. Không gian Hilbert tách được.
* Định nghĩa 1.5. Một không gian Hilbert gọi là tách được nếu nó có chứa
một dãy trực chuẩn đầy đủ. Mọi không gian Hilbert hữu hạn chiều xem như là
tách được.
* Ví dụ 1.6.
+) Không gian
2

l
, có một hệ trực chuẩn đầy đủ là
{ }
n
x
với
( )
1
1,0, ,0, =x

( )
2
0,1,0, ,0, =x


( )
0, ,0,1,0, =
n
x
13
+) Không gian
[ ]
2
,
π π
−
L
là không gian Hilbert tách được với hệ trực chuẩn
đầy đủ
{ }

n
y
:
,
2
= ∈
inx
n
e
y n
n
Z
.
1.1.4.7. Phiếm hàm song tuyến tính trên không gian Hilbert H
* Định nghĩa 1.6. Giả sử cho E là không gian vectơ trên trường phức
£
. Ánh
xạ
: E Eϕ × → Κ = £
được gọi là dạng song tuyến phức nếu thỏa mãn điều
kiện sau:
(i)
1 2
( , )
ϕ α β
+x x y
=
1 2
( , ) ( , )
αϕ βϕ

+x y x y
(ii)
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
ϕ α β αϕ βϕ
+ = +x y y x y x y
trong đó
,
α β
∈£
;
1 2 1 2
, , , , , ∈Εx x x y y y
* Ví dụ 1.7.
+) Tích vô hướng là 1 dạng song tuyến tính phức.
+) Cho A, B là các toán tử tuyến trên không gian tích vô hướng E, khi đó

( )
1
, , ;
ϕ
=x y Ax y

( )
2
, , ;
ϕ
=x y x By

3

, , ,
ϕ
= ∀ ∈ΕAx Ay x y
là các dạng song tuyến tính phức trên E.
* Định nghĩa 1.7. Cho
ϕ
là một dạng song tuyến tính trên không gian vectơ
E khi đó:
(i)
ϕ
được gọi là đối xứng nếu
( ) ( )
, , , ,
ϕ ϕ
= ∀ ∈Εx y x y x y
(ii)
ϕ
được gọi là dạng song tuyến tính dương nếu
( )
, 0,
ϕ
≥ ∀ ∈Εx x x
(iii)
ϕ
được gọi là dạng song tuyến tính dương chặt nếu:
( )
, 0, 0x x x
ϕ
> ∀ ≠
14

(iv) Nếu E là một không gian định chuẩn,
ϕ
được gọi là bị chặn nếu
( )
,x y x y
ϕ
≤ Μ ×
, với M là một số dương nào đó
, ∈Εx y
khi đó kí hiệu số
( )
1
sup ,
ϕ ϕ
= =
=
x y
x y
được gọi là chuẩn của
ϕ
.
* Ví dụ 1.8.
Tích vô hướng trên E là một dạng song tuyến tính, đối xứng, dương chặt
và bị chặn, có chuẩn
, 1×× =
.
1.1.4.8. Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert
Giả sử
1
,Η

2
Η
là hai không gian Hilbert trên cùng trường K ánh xạ A từ
1
Η
vào
2
Η
là một toán tử tuyến tính liên tục, khi đó mọi kết quả của toán tử
tuyến tính liên tục của không gian Banach đều được áp dụng ở đây.
a) Toán tử tự liên hợp
Biết nếu A là một toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H vào chính
nó thì
, , ,∀ ∈ΗAx y x y
là một phiến hàm song tuyến tính liên tục cho nên có
một toán tử tuyến tính liên tục duy nhất
A
∗
để cho:
, , , ,
∗
= ∀ ∈Η
Ax y x A y x y
.
Toán tử
∗
A
gọi là toán tử liên hợp của
A

Vì
∗
A
bằng chuẩn của phiến hàm
,Ax y
mà chuẩn của phiếm hàm này
lại bằng
A
nên
∗
=A A
.
b) Toán tử đối xứng
Một toán tử liên tục A từ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là đối
xứng nếu toán tử liên hợp của nó chính là nó.
c) Toán tử hoàn toàn liên tục
15
* Định nghĩa 1.8. Toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert H được gọi
là toán tử hoàn toàn liên tục nếu với mọi dãy bị chặn
{ }
n
x
các phần tử trong
H, dãy
{ }
n
Ax
có dãy con hội tụ.
* Định lý 1.2. (Fubini ).
Cho

µ
là độ đo
σ
- hữu hạn trên một
σ
- đại số M trong không gian X,
γ

là độ đo
σ
- hữu hạn trên một
σ
- đại số N trong không gian Y,
( , )f x y
là
một hàm đo được theo độ đo
λ µ γ
= ×
. Nếu
( , )f x y
không âm hoặc khả tích
trên tập
×A B
⊂ ×M N
thì ta có:

( , ) ( ( , ) ) ( ( , ) ) .
λ µ γ γ µ
×
= =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
A B B A A B
f x y d f x y d d f x y d d
Và khi
( , )f x y
khả tích trên
×
A B
thì, và hầu hết mọi
∈y B
, hàm số
( , )f x y

xem như hàm số theo một biến x là khả tích trên A. Đồng thời, với hầu hết
mọi
∈x A
, hàm số
( , )f x y
xem như hàm số theo một biến y, là khả tích trên
B.
1.1.4.9. Toán tử tích phân
* Định nghĩa 1.9. Cho một hàm hai biến K :
[ ] [ ]
, ,× → £a b a b
là một hàm giá
trị phức với lũy thừa bậc hai của mođun khả tích trên hình vuông
[ ] [ ]
, ,×a b a b
, tức là

2
( , )
b b
a a
K s t dsdt < +∞
∫∫
(1.5)
Xét toán tử: A :
[ ] [ ]
2 2
, ,
→
a b a b
L L
cho bởi:

[ ]
( ) ( , ) ( ) ,( , )
b
a
A s s t t dt s a b
ϕ ϕ
= Κ ∈
∫
(1.6)
Toán tử này được gọi là toán tử tích phân Fredholm sinh bởi
( , )s tΚ
,
( , )s tΚ

được gọi là nhân hay hạch của toán tử này.
16
Trước hết ta có thể thấy rằng đó là một toán tử tuyến tính liên tục trong
[ ]
2
,a b
L
. Thật vậy, cho
[ ]
2
,
( )
a b
s L
ϕ
∈
, do có (1.5) nên theo định lý Fubini hàm
2
( , )s tΚ
khả tích theo t, với hầu hết mọi s, nghĩa là
( , )s tΚ
xét như một hàm
của t, thuộc
[ ]
2
,a b
L
. Do đó tích phân (1.6) tồn tại với hầu hết mọi
ϕ
. Cũng theo

định lý Fubini, hàm

2
2
( ) ( , )
b
a
k s s t dt= Κ
∫
Khả tích theo s và tích phân của
2
( )k s
( cận là a và b ) bằng

2
2
( , )= Κ < +∞
∫∫
b b
a a
N t s dtds
Cho nên
[ ]
2
,
( )
a b
k s L∈
. Theo bất đẳng thức schwarz-buniakowski ta có
1 1

2 2
2 2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
( , ) ( )
b b
a a
b b
a a
A s s t t dt s t t dt
s t dt t dt
ϕ ϕ ϕ
ϕ
= Κ ≤ Κ
   
≤ Κ
 ÷  ÷
   
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2
2 2
( ) ( )
ϕ ϕ ϕ
⇒ ≤ = < +∞
∫ ∫
b b
a a
A t dt k t dt N
(1.7)
Vậy

[ ]
2
,
( )
a b
A s L
ϕ
∈
, nghĩa là A là một toán tử trong
[ ]
2
,a b
L
và do tích phân là
tuyến tính đối với các hàm nên A là tuyến tính và do có (1.1.7) nên ta có
được:

1
2
2
( ) .
b
a
A A s ds N
ϕ ϕ ϕ
 
= ≤
 ÷
 
∫

⇒
A là toán tử tuyến tính bị chặn ( hay A liên tục ), và:
17

1
2
2
( , )
b b
a a
A N s t dsdt
 
≤ = Κ
 ÷
 
∫∫
.
* Định lý 1.3. Toán tử tích phân Fredholm là một toán tử hoàn toàn liên tục
trong
[ ]
2
,a b
L
.
* Định lý 1.4. Toán tử Fredholm sinh bởi một hạch đối xứng là một toán tử
đối xứng.
1.2. Phương trình tích phân
1.2.1. Các định nghĩa
1.2.1.1. Định nghĩa 10. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm
chưa biết nằm trong dấu tích phân.

* Ví dụ 1.9. Với
,≤ ≤a s t b
ta có các phương trình tích phân:
( ) ( , ) ( )
b
a
f s s t t dt
λ ϕ
= Κ
∫
(1.9)
( ) ( , ) ( )
b
a
s s t t dt
ϕ λ ϕ
= Κ
∫
(1.10)
( )
2
( ) ( , ) ( )
b
a
s s t t dt
ϕ λ ϕ
= Κ
∫
(1.11)
( ) ( ) ( , ) ( )

s
a
s f s s t t dt
ϕ λ ϕ
= + Κ
∫
(1.12)
Thấy rằng:
- Hàm ẩn
( )s
ϕ
phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm cả
ở ngoài dấu tích phân.
- Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là
bậc một (ví dụ như các phương trình (1.9) và (1.10) là tuyến tính còn phương
trình (1.11) không phải).
18
- Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa
được về dạng
( )
A I f
λ ϕ
− =
trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A là
toán tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính.
Sau đây ta chỉ quan tâm tới phương trình tích phân tuyến tính.
1.2.1.2. Định nghĩa 1.11.
+) Phương trình tích phân có dạng

( ) ( , ) ( )

b
a
f s s t t dt
λ ϕ
= Κ
∫
(1.13)
được gọi là phương trình Fredhlom loại I, trong đó
( )f s
là hàm chưa biết,
( , )s tΚ
là những hàm cho trước,
λ
là tham số.
+) Phương trình tích phân có dạng

( ) ( ) ( , ) ( )
b
a
s f s s t t dt
ϕ λ ϕ
= + Κ
∫
(1.14)
được gọi là phương trình Fredholm loại II, trong đó
( )s
ϕ
là hàm chưa biết,
( )f s
và

( , )s tΚ
là những hàm cho trước,
λ
là tham số.
+) Nếu f(s) = 0 thì phương trình (1.14) trở thành

( ) ( ) ( )
,
b
a
s K s t t dt
ϕ λ ϕ
=
∫
(1.15)
Phương trình (1.15) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.14).
1.2.1.3. Ví dụ 1.10.
a) Phương trình tích phân Fredholm loại I

( )
0
cos( ) ( )f s ts t dt
ϕ
∞
=
∫

( )
0
sin( ) ( )f s ts t dt

ϕ
∞
=
∫

( )
( )
b
s t
a
f s e t dt
ϕ
−
=
∫
19
b) Phương trình tích phân Fredholm loại II

( ) ( )
0
cos( ) ( )s f s ts t dt
ϕ λ ϕ
∞
= −
∫

( ) ( )
0
sin( ) ( )s f s ts t dt
ϕ λ ϕ

∞
= −
∫

( ) ( ) ( )
( )
b
a
s f s s t t dt
ϕ λ ϕ
= − −
∫
1.3. Số gần đúng và sai số
1.3.1. Số gần đúng.
Ta nói rằng a là số gần đúng của a
*
nếu như a không sai khác a
*
nhiều, hiệu
số
( )
*
a a
∆ = −
là sai số thực sự của a, nếu
0∆ >
thì a là giá trị gần đúng
thiếu, cò nếu
0∆ <
thì a là giá trị gần đúng thừa của a

*
.
Vì rằng a
*
nói chung không biết nên cũng không biết
∆
, tuy nhiên ta cũng
có thể thấy, tồn tại
0
a
∆ ≥
thỏa mãn điều kiên:

*
a
a a− ≤ ∆
. (1.16)
Số
a
∆
thỏa mãn điều kiện (1.3.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a. còn
a
a
a
δ
∆
=
là sai số tương đối của a. Rõ ràng
,
a a

δ
∆
càng nhỏ càng tốt.
Chú ý. Nếu xét đoạn AB có số đo a = 100 mét và đoạn CD có số đo b = 10
mét, với
a b
∆ = ∆
= 0,01 mét. Khi đó
0,01 0,01
,
100 10
a b
δ δ
= =
, vậy
10
b a
δ δ
=
và
phép đo đoạn AB chính xác hơn phép đo đoạn CD. Từ đó ta thấy độ chính
xác của một phép đo thường được phản ánh qua sai số tương đối.
1.3.2. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
Xét một số thập phân dạng tổng quát:
20

( )
.10 .10 .10
p i p s
p i p s

a
α α α
−
−
± + + + +=
(1.17)
trong đó
, , 0,0 9
j p j
j
α α α
∈Ν ∀ ≠ ≤ ≤
.
Nếu (p – s)
≥
0 thì a là số nguyên; nếu (p – s) = - k (k > 0) thì a là phần lẻ
gồm k chữ số, nếu
( )
p s− → −∞
thì a là thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a
gọn hơn và gần đúng với số a.
Quy tắc làm tròn: xét số a ở dạng (1.17) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ I,
phần bỏ đi là
µ
thì:

1
1
.10 .10 .10

p i i
p i i
a
α α α
− −
+
+
 
= ± + + + +
 ÷
 
Trong đó:

i
α
=
i
α
nếu
1
0 .10
2
i
µ
≤ <
hoặc
1
.10
2
i

µ
=
mà
i
α
là số chẵn
Và

i
α
=
i
α
nếu
1
.10
2
i
µ
>
hoặc
1
.10
2
i
µ
=
mà
i
α

là số lẻ
Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là
a
Γ
, như vậy
a
a a− = Γ
, rõ ràng
1
.10
2
i
a
Γ ≤
.
Vì vậy
* *
a a
a a a a a a− ≤ − + − ≤ ∆ + Γ
. Do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt
đối tăng thêm
a
Γ
.
* Ví dụ.1.11.
a = 1,183 thì
a

1,18 1,2 1≈ ≈ ≈
.

b = - 0,183 thì
0,18 0,2 0b ≈ − ≈ − ≈

c = 3,748 thì
3,75 3,8 4c ≈ ≈ ≈
.
1.3.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
21
Xét số a ở dạng (1.17) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ
số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những số 0 bị kẹp giữa hai chữ số khác 0
hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.17):
a =
( )
.10 .10 .10
p i p s
p i p s
α α α
−
−
± + + + +
.
Chữ số
j
α
ở (1.17) của chữ số a là chữ số chắc nếu:

.10 ,
j
a

ω ω
∆ ≤
là tham số cho trước.
Tham số
ω
sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng
i
α
là chữ số chắc thì
1i
α
+
cũng là chữ số
chắc.
* Ví dụ 1.12. a = 0,01700030
Ta thấy hai chữ số 0 đầu tiên không có nghĩa, tất cả các chữ số còn lại kể từ
số 1 sang phải đều có nghĩa.
* Ví dụ 1.13. a = 1,70134,
a∆
= 0,001.
Khi đó: a =
0 1 2 3 4 5
1.10 7.10 0.10 1.10 3.10 4.10
− − − − −
+ + + + +
.
Chọn
ω
= 1 thì a có 4 chữ số đầu là chắc gồm 1, 7, 0, 1, còn lại chữ số không

chắc là 3, 4. Nếu chọn
ω
=
1
2
thì a có ba chữ số 1, 7, 0 là chắc, ba chữ số còn
lại 1, 3, 4 là không chắc.
Bây giờ ta sẽ bàn đến vấn đề chọn
ω
.
Giả sử a viết ở dạng (1.17) và
i
α
là chắc, vậy
1i
α
+
vốn là chắc.
Ta chọn
ω
sao cho khi làm tròn đến đúng bậc ( i+1) thì có
1i
α
+
vẫn là chắc,
muốn vậy ta phải có:

1 1
1
.10 .10 .10

2
i i i
a
α ω ω
+ +
∆ + Γ ≤ + ≤
22
từ đó ta có
5
9
ω
≥
. Tuy nhiên trong thức tế để cho tiện, người ta thường chọn
1
2
ω
=
hoặc
ω
= 1, nếu
ω
= 1 thì ta thường nói chữ số là chắc theo nghĩa
rộng, còn
1
2
ω
=
thì người ta thường nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp.
Trong cuốn này, kể từ nay về sau nếu không chú thích gì thêm, ta chỉ cần
xét chữ số chắc theo nghĩa rộng, đồng thời ta cũng quy ước rằng, khi viết chữ

số gần đúng thì hoặc là mọi chữ số đều chắc hoặc là chỉ rõ sai số.
1.3.4. Sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:

( )
1 2
, , ,
n
y f x x x=
Gọi
( ) ( )
* * * * * *
1 2
, , , ,
n
x x x x y f x
= =
là giá trị đúng còn

( )
( )
1 2
, , , ,
n
x x x x y f x= =
là giá trị gần đúng của y
*
,
*
i i i

x x x∆ = −
.
Giả sử
( )
1 2
, , ,
n
f x x x
là hàm số khả vi liên tục thì:
( )
( )
* * *
1 1
1
* , , , , ' .
i
n
n n x i i
i
y y y f x x f x x f x x
=
∆ = − = − = −
∑
Với
'
i
x
f
là đạo hàm theo x
i

tính tại điểm trung gian.
Vì f là khả vi liên tục,
i
x∆
khá bé nên:

( )
1
1
' , ,
i
n
n i
x
i
y f x x x
=
∆ = ∆
∑
(1.18)
Vậy:

1
ln
n
y i
i
i
y
f x

y x
δ
=
∆ ∂
= = ∆
∂
∑
(1.19)
a) Sai số của phép toán cộng, trừ
Nếu
1
n
i
i
y x
=
=
∑
thì
' 1
i
x
y =
, vì vậy ta có:
23

1
n
i
i

y x
=
∆ = ∆
∑
.
Chú ý rằng nếu tổng đại số
1
n
i
i
y x
=
=
∑
bé về giá trị tuyệt đối thì
y
y
∆
lớn,
phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến
hiệu của hai số gần nhau.
* Ví dụ 1.14.
2,01 2,00y = −

Ta có:
0,01 0,01
0,0035
1,42 1,41
2,01 2,00
y =

+
+
; ;
.
b) Sai số của phép toán nhân, chia
Giả sử
1 1
/
q p
n
i p i
i i
y x x
−
+
= =
=
∏ ∏

Áp dụng (1.1.10), (1.1.11) sẽ có:

1

q
y x x
δ δ δ
= + +

.
y

y y
δ
∆ =
c) Sai số của phép tính lũy thừa
Xét
( )
, 0y x x
α
α
= ∈ >¡
, khi đó
.
y x
δ α δ
=

Như vậy, nếu
α
> 1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu
α
< 1 thì độ chính
xác tăng lên. Nếu
α
= -1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi,
nếu
1
,
k
α
=

*
k ∈¥
(phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
d) Sai số của phép tính logarit: y = lnx.
Xét y = lnx, ta có
x
y
δ
∆ =
.
* Ví dụ 1.15.
Biết diện tích hình vuông S = 12,34 và
0,01S∆ =
. Hãy tính cạnh của hình
vuông.
24
Gọi x là cạnh hình vuông, thì
3,513x S= ;
. Xét
0,008
S
S
S
δ
∆
= ;
. Vậy
3
1,4.10x

−
∆ =
, từ đó thấy rằng x có 3 chữ số chắc (trừ chữ số 3 cuối cùng).
1.3.5. Bài toán ngược của sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức :
( )
1 2
, , ,
n
y f x x x=
.
Yêu cầu đặt ra là cần tìm
i
x∆
như thế nào để
y
ε
∆ ≤
, với
ε
là cho trước.
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có :

1
n
i
i
i
y x
x

ε
=
∂
∆ = ∆ ≤
∂
∑
Bất đẳng thức trên sẽ thỏa mãn nếu:
. '
i
i
x
n f x
ε
∆ ≤

Kết luận: Nếu các biến x
i
có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy
. '
i
i
x
n f x
ε
∆ ≤
,
khi đó
y
ε
∆ ≤

.
* Ví dụ 1.16. Một hình trụ có chiều cao h
≅
3m, bán kính đáy R
≅
2m. Tính
,h R∆ ∆
và số
π
để thể tích V được tính chính xác đến 0,1m
3
.
Ta có:
V
π
∂
∂
= R
2
h,
2
V
Rh
R
π
∂
=
∂
,
2

V
R
h
π
∂
=
∂
. Vậy
0,1
0,003
3.4.3
π
∆ = <
;
0,1
3.6. .2
R
π
∆ =
< 0,01;
0,1
0,003
3. .4
h
π
∆ = <
.
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
PHÂN FREDHOLM

2.1. Phương pháp Nystrom (thay nhân bằng tổng hữu hạn)
Xét phương trình tích phân dưới dạng Fredholm: Tìm hàm
( )f s
ϕ
=
,
[ ]
;s a b∈
thỏa mãn phương trình loại I:
25