tiểu luận triết học với toán học tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU
Khi nghiên cứu về sự vật, hiện tượng, mỗi chúng ta có những phương
pháp nghiên cứu khác nhau dựa vào cách nhìn nhận sự vật hiện tượng dưới
nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, dù nhìn nhận sự, vật hiện tượng ở góc độ
nào đi nữa, chúng ta cũng cần phải nắm được bản chất của vấn đề. Đó là chìa
khóa để chúng ta có những đánh giá chính xác về đối tượng mà chúng ta đang
nghiên cứu. Trong thực tế, mỗi sự vật, hiện tượng đều vận động một cách liên
tục, không ngừng. Nếu chúng ta chỉ xét sự vật ở một góc độ riêng lẻ, tức là
xem xét đối tượng một cách phiếm diện, một chiều, thì dễ đưa đến những
nhận định sai lệch. Điều này rất nguy hiểm, bởi lẽ nó có thể đem lại những
thiệt hại lớn trong đời sống, có khi thiệt hại cả về tính mạng, của cải. Vì thế,
khi nghiên cứu chúng, ta cần phải có cái nhìn tổng thể, đa chiều để nắm bắt
từng đặc tính của sự vật, hiện tượng. Từ đó, tổng hợp nên các đặc tính mang
tính bản chất của chúng để có những cái nhìn đúng đắn về chúng. Chủ nghĩa
Mác – Lênin đã khẳng định điều này thông qua phép biện chứng duy vật.
Phép biện chứng duy vật cho ta cách thức đánh giá một sự vật, hiện
tượng một cách khoa học, chính xác đang được sử dụng rộng rãi trong khoa
học và đời sống hiện nay. Trong tiểu luận này, xin phép được trình bày một
nội dung nhỏ trong lĩnh vực Toán học. Đó là: “Vai trò của Toán học trong sự
hình thành và phát triển thế giới quan duy vật”.. Toán học là một lĩnh vực
khoa học lớn. Để nghiên cứu toán học cũng đòi hỏi nhiều yêu cầu. Trong nội
dung tiểu luận này, chỉ xin phép trình bày nội dung ở dạng ví dụ mẫu. Hy
vọng sẽ góp phần hữu ích cho đọc giả trong quá trình nghiên cứu Toán học
của mình. Do thời lượng có hạn, kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế. Vì thế
không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự góp ý và chỉ bảo
của bạn đọc.
Chuyên đề tiểu luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy phụ
trách môn triết học sau đại học là GVC. Ths Trần Khải Định, trưởng khoa Lí
Luận Chính Trị trường Đại học Tây Nguyên, cùng sự đóng góp ý kiến của các
bạn trong lớp cao học Toán Giải Tích khóa 11, trường Đại học Tây Nguyên.
Nhân đây, cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, các bạn học

viên!

1


PHẦN I. MỞ ĐẦU
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các
hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con
người và loài người nói chung. Quá trình hình thành và phát triển của triết
học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài. Trong quá trình đó, toán học đã
đóng góp một phần rất quan trọng.
Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã
hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản
thân đối tượng của toán học cũng không ngừng phát triển từ đơn giản đến
phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao
hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối
tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ
sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ
đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.
Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học
là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện
thực, chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của
toán học dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực
khách quan và mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng
đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực
tiễn phát triển của toán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết
toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn
tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác
nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không ít các

cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng như vai trò của
toán học trong quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong tiểu luận
luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với
2


toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc
làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của toán học sẽ
góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nói riêng
và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng
khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm đó cũng chính là cơ
sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực tại
khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của
toán học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của
Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy
tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" .
Đó là lý do em chọn đề tài: “Vai trò của Toán học trong sự hình thành và
phát triển thế giới quan duy vật”.

3


PHẦN II. NỘI DUNG
I.

MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC
TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN

Ngay buổi bình minh của tư tưởng Tây phương, ích lợi thực tiễn của
toán học đã được Herodotus(1) ghi nhận; ông cho rằng nguồn gốc của Hình

học xuất phát từ những người đo đất ở Ai Cập. Thật vậy, chữ hình học
theo nguyên ngữ có nghĩa là “trắc địa”. Nhưng các triết gia Hy Lạp, đặc
biệt là Plato, đã tỏ ý khinh bỉ cái ý tưởng coi toán học có giá trị chỉ vì sự
hữu dụng của nó trong việc khảo sát đất đai hoặc đo lường sự chuyển động
của các thiên thể. Theo Plato, học toán là sự chuẩn bị lý tưởng cho tư
tưởng triết lý, bởi vì nó đem trí tuệ vượt xa khỏi những sư vật thấy được
và sờ được dể chú tâm vào những đối tượng trừu tượng thuần túy - những
con số, những hình hình học, và những tỉ lệ.
Lập trường của Plato đã dẫn đến một kiểu bất đồng khác về bản chất của
toán học, còn mãi cho tới ngày nay. Aristote đồng ý với Plato rằng toán
học có giá trị như một tri thức, hoàn toàn không kể tới những ứng dụng
thực tiễn, nhưng ông phản đối mạnh mẽ ý kiến nói toán học được coi là
mẫu mực cho tất cả tri thức triết học. Ông lấy làm khó chịu thấy những
học trò của Plato đồng nhất hóa toán học với triết học, và các sinh viên
khoa triết sẽ không lắng nghe giảng viên nào không trình bày tư tưởng của
mình bằng hình thức toán học. Theo Aristotle, mỗi khoa học có một
phương pháp riêng thích hợp đối với đối tượng chính yếu của nó, và do đó,
phương pháp toán học không nên áp dụng trong các khoa học khác.
Sự bất đồng từ thời thượng cổ Hy Lạp này lại tiếp tục ở thời hiện đại trong
các quan điểm đối lập nhau của Descartes(2) và Kant. Là nhà toán học vĩ
đại đồng thời là một triết gia, Descartes tuyên bố phương pháp toán học là
con đường duy nhất dẫn đến tri thức, kể cả tri thức về vật lý vũ trụ. Đối
với ông, cũng như đối với Newton và các nhà khoa học hiện đại vĩ đại
khác, thế giới tự nhiên hình thành theo cách có thể được hiểu rõ nhất bằng
phân tích toán học. Từ cái nhìn này, vũ trụ vật chất có một cơ cấu có thể
diễn tả được bằng các thuật ngữ toán học.
Kant thừa nhận rằng những nguyên lý toán học có thể áp dụng vào việc
nghiên cứu thế giới vật lý, và ông đề cao thiên tài của Newton (3). Nhưng
ông cảnh báo các triết gia coi chừng bị lạc đường vì những thành công
sáng chói của toán học trong một lĩnh vực mà ở đó chỉ cần tri thức đích

xác về những quan hệ định lượng. Ông nói, chúng ta không thể có được
một vài tri thức quan trọng nhất bằng cách đi từ những khái niệm và châm
ngôn rõ ràng đến việc chứng minh những kết luận chính xác và chắc chắn.
4


Điều này đặc biệt đúng đối với tri thức, nơi mà những phân biệt minh bạch
chỉ đạt được ở cuối quá trình truy vấn, chứ không phải ở bước đầu quá
trình này. Hơn nữa phương pháp toán học không đóng một vai trò gì trong
đạo đức học, mà đối với Kant thì đạo đức học là khoa học triết lý hoàn
thiện nhất.
Trong nhiều thế kỷ qua, toán học đã có những biến đổi to lớn nhưng cuộc
tranh luận lâu đời này vẫn chưa ngã ngũ giữa các triết gia. Trong số các tư
tưởng gia hiện đại, Bertrand Russell(4), chẳng hạn, tiêu biểu cho chủ
trương dùng phương pháp toán học để tiếp cận mọi vấn đề, trong khi đó thì
John Dewey(5) thích lối tiếp cận có tính chất thực chứng và sinh vật học
hơn. Nhưng cho dù các triết gia có bất đồng thế nào đi nữa về giá trị của
toán học như là một hình mẫu cho mọi loại tri thức, họ vẫn phải đồng ý
với nhau một điều - toán học đem tới cho con người tri thức chắc chắn và
xác minh thông qua sự suy luận nghiêm ngặt mà không cần đến sự hỗ trợ
của thí nghiệm và nghiên cứu thực nghiệm
Tính chất chính xác, nghiêm ngặt và thuần lý của toán học đã đưa nó lên vị
trí cao trong cái nhìn của các nhà giáo dục mọi thời đại. Như Plato khẳng
định, toán học là môn học hướng dẫn lý trí trong việc nghiên cứu các đối
tượng và những mối liên hệ trừu tượng. Nó cung cấp một bằng chứng về
suy luận diễn dịch, là thứ suy luận đi từ những tiền đề sáng rõ đến những
kết luận tất yếu.
“Giá trị thực hành” cao nhất của toán học là trong việc phát triển trí tuệ
con người. Có nhiều ứng dụng hằng ngày của toán học: đo đạc địa hình,
thiết kế nhà cửa và quần áo, vạch quỹ đạo súng pháo binh… Nhưng ngay

cả khi các máy tính điện tử và các phương tiện tối tân khác thay thế cho
mọi tính toán của con người, lý trí chúng ta vẫn phải cần đến nguyên lý
toán học để nắm được một phương diện thiết yếu của thế giới chúng ta
đang sống.

Toán học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập
luận trừu tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ
bản và đối lập lẫn nhau của nó là lôgic và trực giác, giải tích và phép dựng
hình, tính khái quát và tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt
nguồn từ truyền thống này hay truyền thống khác, sự tác động đồng thời
của những thái cực đó và sự đấu tranh để tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo
cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học toán học.
Sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những
nhu cầu có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái
5


đà nội tại vượt ra ngoài giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một
khoa học ứng dụng sang một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong
lịch sử xa xưa, song ngày nay cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự
đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý trong toán học hiện đại cũng đủ
rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa nhất đã xuất hiện ở phương
Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon đã tập
hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu hướng xếp vào
đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học theo một
ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào
khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày
càng tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt
tới đỉnh trong thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo
đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong

lĩnh vực toán học và thiên văn học. Toán học đã nhanh chóng trở thành
đối tượng của các cuộc thảo luận về triết học thông thường tại các Nhà
nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư tưởng Hy Lạp đã nhận
thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những khái miệm
toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vô hạn – và bài toán đo
các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm
vượt khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư
tưởng Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể
sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy
diễn trong toán học, bắt đầu từ Evđôkxôp, đã được thể hiện rất rõ trong
tác phẩm “khởi đầu” Ơclit.
Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi
bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau
này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của
các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ
thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày
toán học không theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích
hơn.
Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô
ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán
bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng
kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong
rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những
cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ
những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị
của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng
về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã
được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.
6

Sau một thời gian tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng
bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng
với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ
XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và
suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ
xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ
những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu
thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai phá kiến
thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách
pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định
huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng
của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới
vô cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng
được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận
trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải
củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục
cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét
lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân
và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những
đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu
bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của
các chứng minh. Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một
lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện
nay, chúng ta còn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy
vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và
những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất
chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng
những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở
của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho

những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ
giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa
tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán
học trong một tương lai gần đây.
Dù ta đứng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu
khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và
đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải
là trí thức, chưa phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau
và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật
tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý
mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa
học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự
biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép
dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận
thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế
7


giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm
ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của
khoa học hiện đại.
Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc
thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự
kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những
hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này
tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu
hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của
ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân nhắc kỹ sự kiện một quan
sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật
được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị trí và

vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong
vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết.
Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng
các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các
vật tự thân; còn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học
(hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý
thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có tính chất giả định – gọi là
môi trường “ête” - đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động
cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà
đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về
siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một
cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về
ê-te đã bị dứt khoát loại bỏ.
Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ
ràng hơn. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà
họ quan tâm – số, đường thẳng v.v ... như là những vật tự thân. Song, vì
những bản thể đó không thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất
của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng
cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực
thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều không có ý
nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào
toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ
tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với
những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề
điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có
liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên
hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng;
theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác
v.v...
Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho

8


rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một
trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện
nay của toán học.
May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng
triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết
còn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với
những người yêu thích toán học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân
tụy nghiên cứu bản thân toán học mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán
học là gì?
II.

ẢNH HƯỞNG CỦA TOÁN HỌC ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN
CỦA TRIẾT HỌC VÀ CÁC NGÀNH KHOA HỌC TỰ
NHIÊN

Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại
lượng lấy những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự
hình thành cơ sở của lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính
xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy
khoa học. Thí dụ từ quan hệ a = b, b = c suy ra a = c. Tuy nhiên, khái niệm
bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và
thiên văn học là tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học
này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ
nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách
mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có một nền toán học mang
những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại lượng biến

đổi ở thời kỳ cổ điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học
Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới
xung quanh. Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học
làm chuẩn mực để tính toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ
sở cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của
chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát
triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự nhiên. Mặt khác,
những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo ra
mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ
cổ đại. Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và
hữu hạn... Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự
hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ
dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan chủ nghĩa
duy vật siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất
yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
9


Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư
tưởng về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm
hơn ở các khoa học tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá:
“Đại lượng biến đổi của Đềcác đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán
học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi
phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.” . Thật vậy, trong lập luận
của giải tínc toán và phép tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm
như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn... Rõ ràng, toán
học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh
rất quan trọng. Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học
đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học. Ở thời kỳ trước cổ điển,
lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các khái niệm, phạm

trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng vận động, liên hệ
của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các hình
thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình
thức nói riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem
đường cong là giới hạn của những đường thẳng.... Vì vậy, tư tưởng vận
động, liên hệ của toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện
chứng. Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở khoa học của logic biện
chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao?
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan
siêu hình máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và
phát triển tư tưởng vận động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh
mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính
bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên”. Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi
phân, giải tích toán học đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới
trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật, quá trình trong tự nhiên. Nhờ
đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy
luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời thuyết tương đối
của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình
học phi Ơclít. Như vậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào
cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc
dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian
và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra
đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại
khác là ví dụ (với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian không
tách rời nhau).
Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của
tưởng thống kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn
tại khách quan của cái ngẫu nhiên. Thế giới không chỉ có những cái tất
nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt
chẽ và bổ sung cho nhau. Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan

10


niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các
sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận
chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và
tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Sự tồn tại cái ngẫu
nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới.
Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp
phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho
thế giới quan duy vật biện chứng. Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng
mang những hạn chế nhất định. Nó chưa đáp ứng được những nhu cầu của
nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền sản xuất tự động hoá, của sự
phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên
ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học
tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật
toán.
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư
tưởng cấu trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một
cách trừu tượng và khái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để
vạcg ra quy luật chung của chúng. Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có
sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa các lĩnh vực có bản chất khác
nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lý luận
cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều khiển học, tin
học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế... Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở
sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô
sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự
động, hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng
vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Hơn nữa, tư

tưởng cấu trúc của toán học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất
của thế giới. Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu
hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật:
tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức
được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có
những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này.
Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý
thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư
tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương
trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn,
sự tăng trưởng của nền kinh tế... Như vậy, tư tưởng cấu trúc của toán học
hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của
sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp
luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận
11


chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của
thế giới.
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh
hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại,
đặc biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự
về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất
giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết
hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạt
mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm. Điển hình là việc
phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một
phương trình z căn bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự
đoán ngoài electron còn tồn tại một hạt khác có một số tính chất vừa giống
điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về dấu của điện tích. Đó là pozitron. Dự

đoán này đã trở thành hiện thực. Về sau các phản hạt của phần lớn các hạt
cũng được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron. Khả năng vượt trước
của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của chủ
nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng vô tận. Các cuộc cách mạng trong hoá
học (hoá học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân
tử... đều dựa vào những thành tựu của toán học hiện đại. Đối với khoa học
nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội... sẽ
góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong nhận thức nhân
văn và xã hội.
Ở trên là ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới
quan triết học. Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích
cực đến sự phát triển của toán học, trước hết dẫn đến một số khuynh
hướng nghiên cứu toán học. Ví dụ, khuynh hướng tìm kiếm các cấu trúc
toán tương ứng với quan hệ không tuyển (vừa là... vừa là, chẳng hạn vừa là
sóng, vừa là hạt) là một trong những đặc điểm nổi bật của các hệ thống
phức tạp trong giới tự nhiên sống và xã hội. Quan điểm “tập hợp mờ” tức
là tập hợp toán trong ranh giới giữa các phân tử không rõ ràng của lade,
cho đến cái gọi là “toán học của sự phát triển” (khuynh hướng toán học về
sự tiến hoá của sự sống). Tuy nhiên cũng cần phải thấy rằng chủ nghĩa duy
tâm cũng đã lợi dụng những thành tựu của toán học hiện đại vì những mưu
đồ đen tối của nó. Bên cạnh đó cũng có những sự giải thích lệch lạc của
chủ nghĩa duy vật không biện chứng trong khi lĩnh hội, kiến giải và sử
dụng các thành tựu toán học. Những sự giải thích như vậy chỉ nhằm mưu
đồ phủ nhận triết học khoa học, xoá nhoà mối liên hệ, quan hệ giữa triết
học khoa học với toán học hiện đại.
“Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người
trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánh
12

và tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng toán học đều có
đặc điểm như vậy. Thế giới toán học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ
mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tính chất
trong toán học như thể các hiện tượng. Nếu triết học nghiên cứu về sự vận
động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về
những đối tượng và các tính chất bất biến của nó. Điều đó cho thấy rằng
toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

GÓC NHÌN TRIẾT HỌC VỀ TOÁN HỌC.
1. Thế giới vật chất toán học.
1.1. “Vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý
thức”.
Trong toán học, tất cả các đối tượng toán học đều là một thế giới vật
chất sinh động. Từ những con số hay tập số, kí hiệu toán học, biểu thức
toán học, phương trình toán học… đều là một dạng vật chất. Chúng có
trước và tồn tại khách quan, không phụ thuộc vào cảm giác con người. Và
vì vậy, chúng sẽ bị chi phối bởi cac quy luật khách quan, chẳng hạn: hằng
đẳng thức, nguyên lý Đi-rich-lê về những chú thỏ và những chiếc lồng,
quy luật tương ứng 1-1 của hàm số, các bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-côpxki… Tất cả các đối tượng toán học đều có trước những người khám phá
ra nó. Tất cả đã vốn đều có trong thực tiễn. Thật vậy, ta có:
Những con số hay tập số: Một đội tuyển bóng đá ra sân gồm 11 cầu
thủ, lớp học gồm 30 học sinh, một ta bút chì có 12 cậy bút, … Những con
số 11, 30, 12 là ngẫu nhiên khách quan. Nếu con người không khám phá
thì tự bản thân nó vẫn mang bản chất là 11, 30 và 12, chỉ có điều nó chưa
được gán cái tên là “11”, “30” và “12”… Như vậy, trước khi con người
tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan. Việc con người
khám phá chỉ mang tính chất định dạng lại.
Kí hiệu toán học: Các kí hiệu toán học như “+”, “-”, “x”, “/” (cộng, trừ,
nhân, chia), hay phép giao, phép hội, rồi tam giác, rồi hình lập phương…
tất cả đều xuất phát từ thực tế. Đơn cử như phép cộng. Nó có thể xuất phát

từ nhiều bài toán thực tiễn cơ bản. Đó là việc thêm một lượng đối tượng
(người, đồ dùng, tiền ,…) vào một lượng đối tượng đã có trước đó để thu
được một lượng lớn hơn. Hay các hình như tam giác, lập phương… tồn tại
rất nhiều trong cuộc sống cho dù con người có khám phá ra hay không, nó
mãi mãi vẫn vậy
Biểu thức toán học: Các biểu thức toán học như công thức toán học,
phương trình toán học là biểu thị mối liên hệ giữa các đối tượng vật chất
toán học như các con số hay kí hiệu toán học. Nó cũng là dạng vật chất,
xuất phát từ trong thực tiễn, đó là từ những tình huống, những bài toán cần
tìm một đối tượng nào đó. Đơn cử như tình huống một thửa ruộng hình
chữ nhật có chu vi là 30m, diện tích 200m 2. Yêu cầu đặt ra là tính các
III.

13


cạnh của nó. Khi đó ta dễ dàng có các phương trình toán học a + b = 30
và a.b = 200. Với a là chiều dài, b là chiều rộng…
Các quy luật toán học: Luật tương ứng 1-1 cho ta khái niệm về hàm số.
Điều này thể hiện ở thực tiễn một cách rộng rãi. Như mỗi đồ dùng, vật
dụng có một cái tên. Mỗi con vật gắn liền với một cái tên. Mỗi người có
một số tiền lương nhất định… Tất cả đều xuất phát từ thực tiễn.
1.2. Vật chất tồn tại theo quy luật khách quan.
Từ việc nghiên cứu thực tiễn, con người đã khái quát hóa nên các đối
tượng toán học ấy. Các đối tượng này được con người định dạng lại bằng
việc gán cho nó một cái tên như là “hàm số – đồ thị”, “tập số”, “phương
trình”, “hình lập phương”… Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học
duy vật biện chứng khẳng định tính chất “tồn tại khách quan, độc lập với
ý thức của con người, không ai tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được”.
Theo quan điểm triết học Mác – xít, thông qua hoạt động của mình, con

người tác động vào giới tự nhiên tạo nên sự ảnh hưởng đến sự tồn tại và
phát triển của giới tự nhiên. Tuy thế, sự tồn tại và phát triển của giới tự
nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng, con người không thể
quyết định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ý muốn chủ quan của
mình”. Trong toán học, từ những hoạt động toán học (khám phá các đối
tượng, chứng minh các tính chất toán học) đã làm cho “thế giới toán học”
phát triển ngày càng nâng cao, nhưng toán học vẫn có sự phát triển theo
quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào con người, con người
không thể thay đổi được các quy luật đó. Nguyên lý Đi-rich-lê vẫn luôn
đúng dù con người có tác động đên hay không. Hay như trong hình học
phẳng “2 đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ
3 thì chúng song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy… Cho dù “con
người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được thế
giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả các đối tượng toán
học đều tuân theo quy luật riêng của nó. Tuy nhiên con người có khả năng
nhận thức được, tác động vào nó và khám phá ra nó, nhằm phục vụ cho
mục đích con người. Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con
người hiểu rõ hơn về thế giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương
pháp luận biện chứng của con người.
2. Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học.
Thế giới vật chất toán học luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận
động và phát triển đó thể hiện là sự vận động trong nội tại toán học. Chẳng
hạn như:
Tập số: Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số
phức…
Các phép toán: phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit…
Phép biến hình: Phép tịnh tiến đồ thị, phép biến hình trong hình học,
quỹ tích và tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm
số…
Sự vận động còn thể hiện ở phương trình và bất phương trình chứa

14


tham số, khi tham số thay đổi phương trình và bất phương trình thay đổi…
Hay ban đầu con người ta chỉ biết giải phương trình bậc nhất, nhưng sau
đó con người đã biết giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và thậm
chí còn chứng minh được phương trình bậc năm không có phương pháp
giải tổng quát.
Sự vận động phát triển đó còn là sự vận động và phát triển của các
kiến thức toán học nói chung. Tất cả các kiến thức toán học phát triển hàng
ngày hay ngày thậm chí hàng giờ. Không chỉ lý thuyết toán phát triển, mà
công cụ giải toán cũng phát triển. Xin đơn cử:
Nếu như hình học ban đầu chỉ giải theo phương pháp tổng hợp đơn
thuần thông qua tính toán và trực quan thì sau đó đã có những công cụ mới
giải toán mạnh hơn, phù hợp hơn như phương pháp vectơ, phương pháp
quỹ tích…
Hay như trong vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số xác định điểm
để vẽ đồ thị cho đến công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên) thông qua
các tính chất đặc trưng như tính tuần hoàn, tính đối xứng, tính đồng biến,
nghịch biến...
Rồi với các bài toán đố, chỉ với những phép toán thông thường đa
phần là tính nhẩm, hay là mò mẫm… thì rõ ràng việc giải một số bài toán
này bất tiện và không nhanh chóng hơn bằng phương pháp dùng phương
trình để giải…
Toán học vận động theo cách thức cái mới ra đời thay thế cái cũ,
cái tiến bộ ra đời thay thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó không phải là
phủ nhận hoàn toàn, mà là trên cơ sở kế thừa cái cũ. Điều này thể hiện rõ
bản chất triết học trong toán học. Chẳng hạn, khi giải phương trình bậc 2
một ẩn, ta đã xây dưng được phương pháp cụ thể. Cũng từ đó một số
phương trình bậc ba, bậc 4 dạng đặc biệt cũng được giải bằng cách đưa về

phương trình bậc hai. Không chỉ thế, nhờ việc xét trường hợp vô nghiệm
trên trường số thực khi delta âm, ngươi ta còn xây dựng lên trường số
phức ơi nhiều tính chất và ứng dụng đặc biệt. Hay thay vì xét trường hợp
hữu hạn riêng lẻ, người ta đã xây dựng nên trường hợp tổng quát thông
qua phép quy nạp toán học…Và khi phương pháp toán học đã phát triển,
người ta có thể kết hợp cả nhiều phương pháp như phương pháp vectơ,
phương pháp giải tích, hay phương pháp đại số…
Tất cả sự phát triển đó là tất yếu trong toán học, và vì sự tất yếu đó,
nên khi xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ bảo
thủ. Sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển và vận
động của tư duy các nhà toán học. Ngày nay, toán học phát triển một cách
vượt bậc với những tính chất đa dạng và phong phú. Sự vận động đó đem
lại cho con người nhiều ứng dụng, không chỉ đơn thuần là trong nội tại
toán học mà còn trong các khoa học khác như tin học, hóa học, vật lý, sinh
học, y học… Toán học ngày càng phát triển thì khả năng ứng dụng của nó
vào thực tiễn ngày càng cao, càng hiệu quả.
15


3. Nguồn gốc vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học.
Nếu như triết học Mác-Lênin khẳng định thế giới vật chất vận động
và phát triển theo quy luật mâu thuẫn thì trong toán học điều này thể hiện
rất rõ. Mâu thuẫn là một chỉnh thể, trong đó có hai mặt đối lập vừa thống
nhất với nhau, vừa đấu tranh với nhau. Trong toán học, các mặt đối lập
thể hiện trong nhiều nội dung. Chẳng hạn, trong tập số tự nhiên, ta thấy số
chẵn và lẻ với các tính chất trái ngược nhau, nhưng chúng lại thống nhất
để tạo nên chỉnh thể tập các số tự nhiên. Hay số âm và số dương (trong
chỉnh thể số thực). Rồi tính đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàm số
); mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó (trong chỉnh thể mệnh đề); tập hợp
và phần bù của tập hợp; không gian và không gian đối ngẫu; bằng và khác,

số đúng và số gần đúng; ngoại tiếp và nội tiếp…Những mặt đối lập liên hệ
gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn tại cho nhau mà trong triết học
gọi đó là sự thống nhất của các mặt đối lập. Thật vậy, số thực dương và số
thực âm không tồn tại riêng lẻ, nếu không có số thực dương thì số thực âm
cũng không có đồng thời không tồn tại tập số thực và ngược lại. Hay đối
với số chẵn và số lẻ trong tập số tự nhiên, nếu số chẵn chia hết cho 2 (dạng
2k với k tự nhiên) thì số lẻ chia 2 dư 1 (dạng 2k+1). Rõ ràng nếu không có
số chẵn thì không có số lẻ và sẽ không có tập số tự nhiên. Do đó chúng
vẫn tồn tại đối lập mà thống nhất với nhau để hình thành chỉnh thể tập số
tự nhiên…Cũng từ mâu thuẫn giữa các mặt đối lập này (quan hệ chia hết,
không chia hết chẳng hạn) người ta đã phát triển thành ra tập số hữu tỷ với
nhiều ứng dụng. Rồi cũng từ số hữu tỷ ta xây dựng nên số vô tỷ, để tạo
nên chỉnh thể tập số thực. Cũng từ tập số thực, là động lực để xây dựng số
ảo tạo nên trường số phức… Tất cả điều thể hiện: mâu thuẫn là động lực
của sự phát triển.
4. Cách thức vận động, phát triển của thế giới vật chất toán học.
Thế giới vật chất toán học vận động theo nhiều quy luật. Xong, thể
hiện rõ nét với quy luật lượng chất. Triết học Mác-xit khẳng định: Sự biến
đổi về chất dẫn đến sự biến đổi về lượng, chất mới sinh ra bao hàm một
lượng mới tương ứng. Ví dụ, khi xét một tam giác thường, có ba cạnh, có
thể bằng nhau hoặc khác nhau, nhưng một tam giác cân chắc chắn là có hai
cạnh bằng nhau và khác cạnh còn lại, đến với tam giác đều, rõ ràng 3 cạnh
bằng nhau. Hay một tứ giác có bốn cạnh có thể bằng nhau hoặc khác nhau
nhưng một hình bình hành thì có 2 cặp cạnh bằng nhau từng đôi một, một
hình vuông thì có 4 cạnh bằng nhau. Đối với biểu thức S=a+b, khi S thay
đổi chắc chắn a hoặc b thay đổi. Rồi xét một phương trình đa thức. Nếu nó
là phương trình bậc hai thì có tính chất về nghiệm là vô nghiệm, có
nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt; còn nếu nó là phương trình bậc ba
thì có tính chất về nghiệm là có nghiệm, có hai nghiệm, có ba nghiệm phân
biệt …

5. Phép duy vật biện chứng trong toán học.
Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật,
16


hiện tượng trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và
phát triển không ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là
phương pháp luận biện chứng. Khi giải quyết một vấn đề toán học, các đối
tượng toán học được nhà toán học xem xét dựa trên sự ràng buộc giữa
chúng, và trong sự vận động không ngừng. Từ đó tìm ra quy luật chi phối
chúng để tổng kết nên thành quả toán học. Xin đề cập ví dụ là giải bài toán
tìm hai số nguyên dương x và y thỏa x + y = 3. Rõ ràng biểu thức trên đã
cho thấy mối liên hệ ràng buộc giữa x và y. Và chúng còn mỗi quan hệ nữa
chính là đều là các số nguyên dương, tức là x và y đều không nhỏ hơn 1 và
không lớn hơn 3. Từ đó, x và y chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Kiểm nghiêm
thấy x=1, y=2 hoặc x=2, y=1 là hai căp nghiệm. Một ví dụ đơn giản thôi,
nhung ta thấy rằng, khi làm việc với các đối tượng toán học, chúng ta cần
phải xét chúng trong sư ràng buộc, trong sự vận động và phát triển của
chúng.
Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng.
Cụ thể, tất cả các công thức trong toán học đều thể hiện mối quan hệ biện
chứng.
Như xét định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng
giữa 2 góc đối đỉnh; “hai tam giác có 2 cặp góc băng nhau thi đồng dạng”:
mối quan hệ biện chứng giữa 2 tam giác, giữa các goc trong 1 tam giác.
Nói rộng ra, tất cả các định lý, tính chất đều thể hiện mối quan hệ biện
chứng
trong
đó.
Ta còn có thể kể đến mối quan hệ biện chứng giữa biến số và hàm số, giữa

các mệnh đề với quan hệ suy ra hay tương đương.. Trong triết học “thế
giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có sau. Thế
giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách
quan”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính
chất các đối tượng) là cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là
cái có sau. Con người có khả năng nhận thức được các quy luật của các đối
tượng đó. Sự nhận thức này là từ phương pháp luận biện chứng đã nói ở
trên. Như vậy, toán học và phương pháp luận biện chứng có mối quan
hệ không thể tách rời nhau, mà gắn bó chặt chẽ với nhau. Nội dung này sẽ
được cụ thể hóa bằng phần trọng tâm của chuyên đề. Đó chính là nội dung
của chương 2 mà ta sẽ làm rõ sau đây.
IV. VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VÀO SÁNG
TẠO TOÁN HỌC.
Toán học là một khoa học cụ thể, có quan hệ chặt chẽ với triết học.
Trong các quy luật khách quan về thế giới vật chất, toán học cũng vận
động theo các quy luật khách quan đó. Là người nghiên cứu toán học, ta
hiểu rằng, bất cứ một lời giải cho một bài toán cụ thể nào đều dựa vào mối
quan hệ giữa các yếu tố trong giả thiết (đề bài). Nói rộng hơn, đó là sự thể
hiện của mối quan hệ biện chứng giữa các yếu tố toán học. Trên cơ sở đó,
17


xuất phát từ việc nghiên cứu kĩ về phép biện chứng duy vật, ta sẽ thu được
những kết quả thú vị trong quá trình nghiên cứu toán học. Trong phần này,
xin đưa ra quan điểm về việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào sáng
tạo toán học bằng việc xây dựng kiến thức về cách thức tiếp cận thông qua
các vấn đề cụ thể. Từ đó, sẽ là cơ sở để chúng ta mở rộng vấn đề hơn trong
những đề tài tương tự.
1. Vận dụng phép biện chứng duy vật với cặp phạm trù “cái chung –
cái riêng”.

Hẳn chúng ta đã biết định lý Pi-ta-go quen thuộc trong chương trình
hình học lớp 8: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng
tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu học xong nội dung của
định lý này, chúng ta hiểu được định lý, có thể áp dụng vào giải một số bài
toán liên quan đến công thức trong định lý thì quả thật chưa đủ. Bởi lẽ, đây
là kiến thức tương đối thú vị về tam giác vuông, từ công thức của định lý
này, ta có thể tìm ra các bộ số Pi-ta-go chẳng hạn bộ số (3,4,5) hay bộ số
(6,8,10)…(vì 32+42=52; 62+82=102), hay có thể áp dụng kết hợp với tính
đồng dạng để đo chiều cao của cây, của các công trình…còn rất nhiều ứng
dụng vô cùng thú vị nữa. Tôi đặt ra vấn đề này bởi vì là một người học
toán, nghiên cứu toán, nếu như sau mỗi một bài toán cụ thể nào đó, ta
dừng lại và chấp nhận nó như một chân lý khách quan và là một thành quả
của bản thân thì chưa đủ. Như vậy chúng ta chỉ tiếp cận được những cái rất
khô và sơ cứng mà lâu nay ta nhầm tưởng và mặc định tính chất khô khan
cho toán học. Thực ra, ta sẽ thấy toán học rất linh động, uyển chuyển, mới
lạ, hào hứng và thú vị. Để có được chất nghệ thuật trong toán học, với mỗi
vấn đề toán học, ta cần tìm hiểu nó một cách rõ ràng. Đồng thời đừng quên
mở rộng vấn đề cho bài toán. Việc mở rộng này hoàn toàn không khó
khăn. Chỉ bằng cách đặt những câu hỏi: Tại sao? Vì sao? Thiếu cái này thì
sẽ thế nào? Thêm cái kia thì sẽ ra sao? Hay: Đối với vấn đề tương tự, liệu
ta có thu được kiến thức tương tự không?...Và cuối cùng không quên đặt
câu hỏi: Thực tế ứng dụng của bài toán là gì? Việc trả lời các câu hỏi trên
không hề dễ, nhưng cũng chẳng khó. Điều quan trong ở đây chính là cách
thức tiếp cận như thế nào? Và thực hiện nó ra sao? Đó chính là nội dung
của việc ứng dụng phép biện chứng duy vật vào toán học mà ta sẽ làm rõ.
Ta lần lượt đi vào các bài toán và đưa ra cách thức sáng tạo trong mỗi
hướng tiếp cận để thu được những kết quả mới thú vị. Cái mà chúng ta
thường gọi là sáng tạo toán học.
Bài toán 1: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý Hàm số cosin trong tam
giác.

Bài toán 2: Từ định lí Pi-ta-go đến hệ thức lượng trong tứ giác.
Bài toán 3: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý diện tích các mặt trong
tam diện vuông.
2. Vận dụng phép biện chứng duy vật với quy luật “lượng -chất”
18


Ở kiến thức bậc trung học, hẳn chúng ta rõ ràng bài toán cơ bản:
“Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B nằm khác phía nhau so với đường
thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất”. Đây là bài toán
khá đơn giản. Vì nó dựa vào kết luận quen thuộc:
“Trong một tam giác, tổng hai

B

cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại”.
M’

là giao điểm của AB và d (hình 2.1).

A

Thật thế, với bất kì điểm M trên d
ta đều có

MA + MB ≥ AB

M

d

Vậy đáp số chính là: điểm M cần tìm

Hình 2.1

.

Thế nên, MA + MB nhỏ nhất khi có dấu bằng xảy ra, tức là A,M, B thẳng
hàng. Khi đó M là giao của AB và d. Nếu xét bài toán trên như là một sự
vật hiện tượng, thì ta thấy có các yếu tố về lượng và chất trong đó như: các
điểm A, B, M, khoảng cách MA, MB, MA + MB và đường thẳng d (yếu tố
lượng); A, B nằm khác phía, M thuộc d , MA + MB nhỏ nhất (yếu tố chất).
Tuy nhiên, sự phân biệt chỉ mang tính chất tương đối. Bởi lẽ, xét “tính
khác phía” của A, B là chất đối với hai điểm này, xong cũng có thể là
lượng của cả bài toán. Mặc dù vậy, điều này không quan trọng lắm. Vì ta
tập chung vào sự phân tích cụ thể nào đó để tìm ra hướng phát triển mới
của bài toán. Đó mới là điều quan trọng. Ta thấy rằng, yếu tố quan trọng
của bài toán tập trung chủ yếu vào tính chất “cùng phía” hay “khác phía”
của A, B và sự “nhỏ nhất của tổng MA +MB”. Các yếu tố khác trong bài
toán là “bình thường”. Nếu xét như trên, thì khi thay đổi tính chất “cùng
phía” bởi “khác phía” thì rõ ràng tính chất bài toán sẽ thay đổi. Cũng chính
từ đó, bài toán có thể theo hai hướng: một là mở rộng ra, hai là thu hẹp đi.
Bây giờ ta bỏ hẳn yếu tố này đi. Tức là “A, B có thể cùng hoặc khác phía”.
Thế thì rõ ràng bài toán đã có sự thay đổi về chất đáng kể. Khi đó, tính
chất bài toán sẽ khác. Ta thấy rằng, bài toán lúc này sẽ rộng hơn, phức tạp
hơn. Bởi vì, xét riêng mà nói, khi bỏ thuộc tính “cùng phía” hay “khác
phía” trong giả thiết của bài toán cũng đồng nghĩa với việc tăng “lượng”
của bài toán lên hai trường hợp rõ ràng. Ta đi vào nghiên cứu cụ thể vấn
đề bài toán bằng cách vận dụng quy luật lượng chất xem kết quả thế nào…
Bài toán 1: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d

sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Bài toán 2: Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc hai đường
thẳng song song a và b. Tìm điểm M trên a, điểm N trên B sao cho
AM+MN+NB nhỏ nhất.
19


Bài toán 3: Cho các số dương a, b thỏa
1 1
M =a+b+ +
a b
của
.

a + b ≤ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất

PHẦN III. KẾT LUẬN
Từ toàn bộ sự phân tích trên chúng tôi đã rút ra một số kết luận:
1.

Toán học các đại lượng bất biến là cơ sở cho sự ra đời của chủ nghĩa
duy vật máy móc, siêu hình: Nó có ý nghĩa tích cực đối với sự phát triển
của khoa học ở giai đoạn đầu tiên. Nó cũng góp phần khẳng định thế
giới quan duy vật, chống lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện.

2.

Toán học các đại lượng biến đổi, trước hết là tư tưởng vận động, là một

trong các nguồn gốc đẻ ta tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để
hình thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong
giới tự nhiên vô sinh.

3.

Toán học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật
biện chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần
củng cố hoàn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng.

4.

Đồng thời cũng phải thấy rằng, mặc dù toán học mang tính độc lập
tương đối của tư duy trừu tượng và hình thức, triết học duy vật biện
chứng luôn luôn là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn
cho sự phát triển của toán học.

Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của
toán học góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế
giới quan khoa học mà nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết
học duy vật biện chứng nói riêng. Mối quan hệ giữa toán học và triết học
duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến
trình phát triển nhận thức của con người.
Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải
cách giáo dục ở phổ thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành
thế giới quan duy vật biện chứng trong giảng dạy toán học. Điều đó giúp
cho thế hệ trẻ có một cách nhìn, cách xem xét hiện thực, thực tiễn hơn về
lĩnh vực chuyên môn của mình. Từ đó tạo ra hiệu quả cao nhât trong học
20

tập và công tác.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. C. Mác và Ph. Ăng-ghen, toàn tập, NXB Chính trị Quốc gia,
H.1995.
[2]. V.I. Lê-nin, toàn tập, NXB Tiến bộ, M. 1984.
[3]. Giáo trình triết học Mác-Lênin, NXB Chính trị Quốc gia, H.
1999
[4]. PGS.TS Vũ Tình, Giáo trình triết học (dùng cho cao học và
nghiên cứu sinh không thuộc chuyên ngành triết), NXB Chính trị - Hành
chính, H. 2010.
[5]. Lê Hải Châu, Kể chuyện thi toán quốc tế (3 tập), NXB Giáo
dục, 1988.
[6]. Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Tuyển tập 200 bài thi vô địch
toán (3 tập), NXB Giáo dục, 2002.
[7]. Hoàng Chúng, Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường
phổ thông, NXB TP. Hồ Chí Minh, 1993.
[8]. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đại số 10, NXB Giáo dục, 2009.
[9]. Lê Thị Hương, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng, Những bài toán
cơ bản và nâng cao chon lọc 8 (2 tập), NXB Đại học Sư phạm, 2004.
[10]. Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục, 2007.
[11]. Lê Quang Nẫm, Tìm tòi để học toán, NXB Đại học Quốc gia
TP. Hồ Chí Minh, 2000.
[12]. Đào Tam, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học Sư
phạm, 2000.
[13]. Nguyễn Cảnh Toàn, Tập cho học sinh làm quen với nghiên
cứu toán học, NXB Giáo dục, 1999.
[14]. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục,
2000.

[15]. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physis
(4 volumes), Acad. Press, 1972-1979.

21


22