Đề đa HSG toán 7 huyện triệu sơn 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Đề chính thức

Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 12 tháng 4 năm 2016
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)

Số báo danh
.....................................

Năm học 2015 - 2016

Câu 1: (5,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
1
1 
1 
1  
a. A = 1 + 1 + 1 + ...1 +
2

1.3 

2.4 

3.5  

1
b. B = 2x2 – 3x + 5 với x = .
2

(

1

.
2015.2017 

)

0

 2015 
c. C = 2 x − 2 y + 13x 3 y 2 ( x − y ) + 15 y 2 x − x 2 y + 
 , biết x – y = 0.
 2016 

Câu 2: (4,0 điểm)
2

1

1. Tìm x, y biết:  2 x −  + 3 y + 12 ≤ 0.
6

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
=

=
2. Tìm x, y, z biết:
và x + y + z = 18.
4
3
2

Câu 3: (5,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.
2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101. Tính f(100).
3. Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn
được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Câu 4: (5,0 điểm)
1. Cho ∆ ABC có B + C = 600, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối
của tia AC lấy điểm M sao cho ABM = ABO. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao
cho ACN = ACO. Chứng minh rằng:
a. AM = AN.
b. ∆ MON là tam giác đều.
2. Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là
hình chiếu của M trên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x + y = 1, x > 0, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a2 b2
+
(a và b
x
y

là hằng số dương đã cho).

---------------- Hết --------------Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

/>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Hướng dẫn chấm

Môn: Toán
Ngày 12 tháng 4 năm 2016
(Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu)

Năm học 2015 - 2016

Câu

Điểm

Nội dung
1
1 
1 
1  
a. A = 1 + 1 + 1 + ...1 +

1

1


2  1.3  2.4  3.5   2015.2017 
1  2 2  3 3  4 4   2016 2016 
=  .  .  . ...
.

2  1 3  2 4  3 5   2015 2017 
1  2 2  3 3  4 4   2016 2016  2016
=  .  .  . ...
.
.
=
2  1 3  2 4  3 5   2015 2017  2017

0,75
0,75

1
1
1
nên x = hoặc x = 2
2
2
1
1
1
Với x = thì B = 2.( )2 – 3. + 5 = 4
2

2
2
1
1
1
Với x = - thì B = 2.(- )2 – 3.(- ) + 5 = 7
2
2
2
1
1
Vậy B = 4 với x = và B = 7 với x = - .
2
2

(5,0đ) b. Vì x =

(

)

0,5
0,75
0,75

0

 2015 
c. C = 2 x − 2 y + 13x y ( x − y ) + 15 y x − x y + 


 2016 
= 2( x − y ) + 13 x 3 y 2 ( x − y ) − 15 xy ( x − y ) + 1 = 1 (vì x – y = 0).
3

2

2

2

1,5

2

1

1. Vì  2 x −  ≥ 0 với ∀ x; 3 y + 12 ≥ 0 với ∀ y, do đó:
6


0,5

2

1

 2 x −  + 3 y + 12 ≥ 0 với ∀ x, y.
6


0,25
2

Theo đề bài thì

1

 2 x −  + 3 y + 12 ≤ 0 .
6


Từ đó suy ra:

0,5

2

2
(4,0đ)

1

 2 x −  + 3 y + 12 = 0
6

1
Khi đó 2 x − = 0 và 3 y + 12 = 0
6
1
 x=

và y = −4.
12
1
Vậy x =
và y = −4.
12

0,75

2


3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
=
=
4
3
2
4( 3x − 2 y ) 3( 2 z − 4 x ) 2( 4 y − 3 z ) 12 x − 8 y + 6 z − 12 x + 8 y − 6 z
=
=
=
=0
Suy ra:
16
9
4
29
3x − 2 y
x y

= 0 ⇒ 3x = 2 y ⇒ =
Do đó:
(1)
4
2 3
2z − 4x
x z
= 0 ⇒ 2z = 4x ⇒ =
(2)
3
2 4
x y z
Từ (1) và (2) suy ra = = .
2 3 4

2. Ta có:

0,5
0,25
0,25
0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x + y + z 18
= = =
=
= 2.
2 3 4 2+3+ 4 9

0,5

Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.

0,25

1. Ta có: x – 2xy + y – 3 = 0
 2x – 4xy + 2y – 6 = 0  2x – 4xy + 2y – 1 = 5
 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5  (2x – 1)(1 – 2y) = 5
Lập bảng :
2x – 1
1
5
-1
1 – 2y
5
1
-5
x
1
3
0
y
-2
0
3
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Vậy ( x; y ) ∈ { (1;−2) , ( 3;0) , ( 0;3) , ( − 2;1)} .
3

(5,0đ)

10

9

8

0,75
-5
-1
1,0
-2
1
Thỏa mãn
0,25

7

2. Ta có: f(x) = x – 101x + 101x – 101x + … – 101x + 101
= x 10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x +
101
= x 9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + …
+ x(x – 100) – (x – 101)
Suy ra f(100) = 1.
3. Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là a 1, a2, a3, …, a8 với 1 ≤ a1 ≤
a2 ≤ … ≤ a8 ≤ 20.
Nhận thấy rằng với ba số dương a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c và b + c > a
thì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Từ đó, ta thấy nếu trong các
số a1, a2, a3, …, a8 không chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam

giác thì:
a6 ≥ a7 + a8 ≥ 1 + 1 = 2
a5 ≥ a6 + a7 ≥ 2 + 1 = 3
a4 ≥ a5 + a6 ≥ 3 + 2 = 5
a3 ≥ a4 + a5 ≥ 5 + 3 = 8
a2 ≥ a3 + a4 ≥ 8 + 5 = 13
a1 ≥ a2 + a3 ≥ 13 + 8 = 21 (trái với giả thiết).
Vậy điều giả sử trên là sai. Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn
chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.

0,75
0,75
0,5

0,25
0,25

0,25

0,25
3


1.
a.
0,5
0,75
∆ ABM = ∆ ABD (g.c.g)

 AM = AO (1)

∆ ACN = ∆ ACO (g.c.g)
 AN = AO (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.
b. ∆ AOM = ∆ AON (c.g.c)
 OM = ON (3)
∆ AOM = ∆ AMN (c.g.c)
 OM = NM (4)
Từ (3) và (4) suy ra OM = ON = NM.
Do đó ∆ MON là tam giác đều.

4
(5,0đ)

2.
Hướng dẫn:
DE = AM ≥ AH (AH là đường cao
của ∆ ABC).
Vậy DE nhỏ nhất  AM nhỏ nhất 
M trùng với H.

a 2 b 2 a 2 .1 b 2 .1 a 2 ( x + y ) b 2 ( x + y )
a2 y
b2 x
2
2
+
=
+
=a +
+b +

Ta có: P = + =
x
y
x
y
x
y
x
y
 a2 y b2 x 
 + a 2 + +b 2 .
= 
+
y 
 x
b2 x
a2 y
Các
số
dương
và
có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất
5
y
x
(1,0đ)
a2 y b2 x
a
=
⇔ a 2 y 2 = b 2 x 2 ⇔ ay = bx ⇔ a (1 − x ) = bx ⇔ x =

khi và chỉ khi
x
y
a+b
b
Suy ra y =
a+b
a
b
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + b ) 2 khi x =
và y =
.
a+b
a+b

0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

0,5
0,25
0,25

Chú ý:

1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.

4