De ĐA HSG Toan 7 Huyen Truc Ninh 2010-2011

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 7
Ngày thi 05 tháng 4 năm 2011
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1 (4 điểm). Thực hiện phép tính
a.
7 5 5 2 5 18
13 9 9 13 9 13
 
× − × − − ×
 ÷
 
b.
1 12 123 1234 12345 3 5 19
12 123 1234 12345 123456 4 6 12
   
+ + + + × + −
 ÷  ÷
   
.
c.
1 3 3 3 3 3
54 1.3 3.5 5.7 7.9 79.81
− − − − − − ×××−
Bài 2 (4 điểm). Cho biểu thức
2
x 3
A

x 2
+
=
−
.
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A luôn xác định.
b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm.
c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (3 điểm).
Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6
− − −
= =
và
3x 2y 5z 96− + =
. Tìm x; y; z.
Bài 4 (7 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm
D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD.
1. Chứng minh rằng tam giác BDC cân và DM = CN.
2. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. Chứng minh
BMK CMD∆ = ∆
.
3. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK.
Bài 5 (2 điểm).
Cho đa thức
2
A 3x 15x 17= − +
. Chứng minh rằng không có số hữu tỉ x nào để
giá trị của biểu thức A bằng 0.

Hết
Họ và tên thí sinh:………………………. .Chữ ký của giám thị 1:………………………
Số báo danh :……………………. …. Chữ ký của giám thị 2:……………………
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
***********
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG
MÔN : TOÁN 7
Năm học : 2010 -2011
Bài 1 (4 điểm)
a) (1 điểm)

7 5 5 2 5 18 5 7 2 18
13 9 9 13 9 13 9 13 13 13
   
× − × − − × = + −
 ÷  ÷
   
0.5
5 7 2 18 5 9 5
9 13 9 13 13
+ − −
= × = × = −
0.5
b) (1 điểm)
1 12 123 1234 12345 3 5 19
12 123 1234 12345 123456 4 6 12
   
+ + + + × + −

 ÷  ÷
   
1 12 123 1234 12345 9 10 19
12 123 1234 12345 123456 12
+ −
   
= + + + + ×
 ÷  ÷
   
0.5
1 12 123 1234 12345
0 0
12 123 1234 12345 123456
 
= + + + + × =
 ÷
 
0.5
c) (2 điểm)
1 3 3 3 3 3 1 3 3 3
54 1.3 3.5 5.7 7.9 79.81 54 1.3 3.5 79.81
 
− − − − − −×××− = − − + +×××+
 ÷
 
0.5
1 3 2 2 2
54 2 1.3 3.5 79.81
 
= − − + +×××+

 ÷
 
0.5
1 3 1 1 1 1 1
1
54 2 3 3 5 79 81
 
= − − − + − +×××+ −
 ÷
 
0.5
1 3 1 1 3 1 3
1
54 2 81 54 2 54 2
 
= − − − = − − + = −
 ÷
 
0.5
Bài 2 (4 điểm)
a) (1 điểm)
A xác định khi
x 2 0 x 2
− ≠ ⇒ ≠
1
b) (1,5 điểm)
A nhận giá trị âm khi tử số và mẫu số trái dấu
0.25
Mà
2

x 3 0+ >
với mọi
x ∈¡
Suy ra
x 2 0− <
0.75
Suy ra
x 2<
. Vậy với
x 2<
thì biểu thức A xác định 0.5
c) (1,5 điểm)
2
x 4 7 7
A x 2
x 2 x 2
− +
= = + +
− −
0,5
Vì
x x 2∈ ⇐ + ∈¢ ¢
và
x 2− ∈¢
.nên để A nhận giá trị nguyên thì
7
x 2−
phải
là số nguyên
0.5

1
Suy ra
{ }
x 2 7; 1; 1;7− ∈ − −
suy ra
{ }
x 5;1;3;9∈ −
0.5
Bài 3 (3 điểm)
5z 6y 6x 4z 4y 5x 20z 24y 30x 20z 24y 30x
4 5 6 16 25 36
− − − − − −
= = ⇒ = =
0.5
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
20z 24y 30x 20z 24y 30x 20z 24y 30x 20z 24y 30x
0
16 25 36 16 25 36
− − − − + − + −
= = = =
+ +
0.5
Suy ra
20z 24y 30x 20z 24y 30x 0− = − = − =
0.5
suy ra
x y z
20z 24y 30x 10x 12y 15x
4 5 6
= = ⇒ = = ⇒ = =

0.5
x y z 3x 2y 5z 3x 2y 5z 96
3
4 5 6 12 10 30 12 10 30 32
− +
= = ⇒ = = = = =
− +
0.5
x
3 x 12
4
= ⇒ =
;
y
3 y 15
5
= ⇒ =
;
z
3 x 18
6
= ⇒ =
0.5
Bài 4 (7 điểm)
K
N
M
D
C
B

A
1) (2 điểm).
a. Chứng minh
∆
BAD =
∆
BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và
µ µ
0
1 2
B B 45= =
0.5
Kết luận
∆
BDC cân tại B và
·
0
DBC 90=
suy ra
∆
BDC vuông tại B 0.5
b. Chứng minh
∆
BDM =
∆
BCN 0.75
Suy ra BM = CN 0.75
2) (3 điểm).
Vì
∆

BDM =
∆
BCN suy ra
·
·
BNC BMD=
0.5
∆
BNC vuông tại B nên
·
·
0
BNC BCN 90+ =
∆
CME vuông tại E nên
·
·
0
MCE CME 90+ =
Từ đó suy ra
·
·
CME BMD=
1
Vì
·
·
·
·
CME BMD BMK CMD= ⇒ =

0.5
Chứng minh
∆
BMK =
∆
CMD (g.c.g) 1
3) (2 điểm)
Vì
∆
BMK =
∆
CMD suy ra MD = MK.
Vậy chu vi
∆
DMK bằng 2MD + DK
0.5
2
E
Tính
a 5
DM
2
=
0.5
Tính
DK a 2=
0.5
Chu vi tam giác DMK bằng
( )
5

2DM DK 2a a 2 a 10 a 2 a 10 2
2
+ = + = + = +
0.5
Bài 5 (2 điểm)
Giả sử tồn tại số hữu tỉ x để giá trị của biểu thức A bằng 0.
Vì x là số hữu tỉ nên
p
x
q
=
(p, q nguyên và
p
q
tối giản)
0.5
suy ra
2
2 2
p p
3 15 17 0 3p 15pq 17q 0
q q
 
− + = ⇒ − + =
 ÷
 
0.5
Vì
2
2

15pq q
3p q 3 q
17q q

⇒ ⇒


M
M M
M
( vi p không chia hết cho q)
Vì 3 lẻ nên q là số lẻ
0.5
Tương tự khảng định
17 pM
suy ra p là số lẻ
nên
2 2
3p 15pq 17q 0− + ≠
(mâu thuẫn)
Vậy không có số hữu tỉ x nào để giá trị của biểu thức A bằng 0.
0.5
Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình
thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm
thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.

HẾT
3